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量子力学课件第六章

第二部分应用第6章不含时微扰理论6.1非简并微扰理论6.1.1 一般公式表达假设对于某些势场（比如，一维无限深势阱），我们已经解出了（定态）薛定谔方程：(6.1)ψ，从而可以得到一套完备的正交本征函数，0n(6.2)E。

现在，我们对这个势进行微小扰动(比方说,在势阱底部加入一个小突起−及对应的能量本征值0n图6.1)。

我们期望可以找到新的本征函数和本征值：(6.3) 但是除非我们非常幸运，对于这个有些复杂的势场，一般我们是不可能精确求解薛定谔方程的。

微扰理论是一套系统的理论，它可以利用已得的无微扰时地精确解求出有微扰时的近似解。

图6.1：受到小微扰的无限深势阱。

首先，我们将哈密顿量写成两项之和：(6.4)其中'H 是微扰（上标0总是表示非微扰量）。

此时，我们将λ取为一个很小的数；稍后我们会将取它为1，H 将为真实的哈密顿量。

下面我们把n ψ和n E 展为λ的幂级数：(6.5)(6.6)其中，1n E 为第n 个本征值的一级修正，1n ψ为第n 个本征函数的一级修正；2n E 和2n ψ为二级修正，以此类推。

将6.5和6.6式代入6.3式，得到：或（将λ幂次相同的项合并）对于零级（0λ）项1有，这没有什么新的内容（它就是6.1式）。

对于一级（1λ）项有，(6.7)对于二级（2λ）项有，(6.8)以此类推。

（方程中并没有λ——它仅仅用来更清楚地按数量级分出各方程——所以现在把λ取为1。

）6.1.2 一级近似理论将0n ψ与6.7式进行内积运算（即乘以(0n ψ)*后积分），1级数展开的唯一性（见第2章，脚标25）保证了相同幂次的系数是相等的。

但是0H 为厄米算符，所以它和右边第一项相抵消。

又有001n n ψψ=，所以，2(6.9)这就是一级近似理论的一个最基本的结果；在实际中，它也是量子力学最重要的方程。

它说明能量的一级修正就是微扰在非微扰态中的期待值。

例子6.1 无微扰的无限深势阱波函数为（2.28式）：图6.2：存在于整个势阱的常微扰。

高二物理竞赛课件：量子力学之氦原子(微扰法)

可得能量一级修正为：
(m n) (m n)
E(1) 1
2
[ n
*
(r1 ) m
* (r2
)
m
*
(r1 ) n
* (r2
)]
e
2 s
r12
[n (r1 )m (r2 ) m (r1 )n (r2 )]d1d2
1 {
2
n (r1 )
2
m (r2 )
2
e
2 s
r12
d1d 2
空间波函数反对称，量子数不能相同，则两电子有相互回避的
趋势，排斥力很大，能级偏低。
2.K 和 J 的物理意义
令 nn
( r1
)
e
n
( r1
)
2
；
mm (r2
)
e
m
( r2
)
2
mn (r1 )
e m
*
( r1
) n
( r1 )
；mn
*
( r2
)
e m
( r2
) n
*
( r2
)
则 K
一、氦原子的定态问题(忽略 L-S，S-S 耦合)
1.体系的哈密顿
将氦原子视为两个电子体系，取氦核为坐标原点，以
r1
,
r2
,
s1
,
s2
表示两个电子的坐标和自旋，其哈密顿为:
Hˆ
2 2
12
2e
2 s
r1
2 2
2 2
2e
2 s
r2
e
2 s
r12
其中 r12
r1

量子力学概论第6章不含时微扰理论

6.4.3 中间情况的塞曼效应
表6.2 存在精细结构和塞曼分裂的氢原子n=2能级
图6.12 弱场、中间场、强场下，氢原子n=2能态的塞曼分裂
6.5 超精细分裂图6.1 基态氢原子的超精细分裂图6.14 两个相邻的极化原子
图6.6 例题6.2中的简并的消除
6.3 氢原子的精细结构
6.3.1 相对论修正 6.3.2 自旋-轨道耦合
表6.1 氢原子玻尔能量修正量级图
6.3.2 自旋-轨道耦合
图6.7 从电子看质子运动
图6.8 带电圆环绕轴旋转
图6.9 考虑了精细结构的氢原子能级图(未按比例大小给出)
6.4 塞曼效应
第6章不含时微扰理论
6.1 非简并微扰理论 6.2 简并微扰理论 6.3 氢原子的精细结构 6.4 塞曼效应 6.5 超精细分裂
6.1 非简并微扰理论
6.1.1 6.1.2 6.1.3
一般公式一级近似理论二级能量修正
6.1.1 一般公式
图6.1 受到小微扰的无限深方势阱
对于零级(λ0)项1有H0ψ0n=E0nψ0n, 有 H0ψ0n=E0nψ0n,(6.1)
对于一级项(λ1)有，
H0ψ1n+H′ψ0n=E0nψ1n+E1nψ0n.(6.7)
对于二级项(λ2)有，
H0ψ2n+H′ψ1n=E0nψ2n+E1nψ1n+E2nψ0n， (6.8)
依次类推。(方程中并没有λ——它仅仅用来更清楚地按数量级分出各方程——所以现在把λ取为1。)
6.1.2 一级近似理论
E0nxnynz=π2ћ22ma2(n2x+n2y+n2z).(6.32) 注意到基态(ψ111)是非简并的；它的能量为：

大学课件量子力学微扰理论

微扰法 ppt课件

Page 9
而 k 2 l,
Na
k 2 l
Na
上式分子为
1 ei(kk ) Na 1 ei 2 (ll ) 0
分母不为零，且
1
a
a e i(kk )V ( )d
0
Vn
为V（x）付里叶展开系数。因此有
H kk Vn ,
k k
将上式代入薛定谔方程谔方程第15第五章第五章晶体中电子能带理论晶体中电子能带理论page155353一维晶格中电子的布拉格反射一维晶格中电子的布拉格反射ikxikikxik上式分别左乘上式分别左乘并对xx积分由于积分由于第五章第五章晶体中电子能带理论晶体中电子能带理论page16得到两个线性方程组得到两个线性方程组5353一维晶格中电子的布拉格反射一维晶格中电子的布拉格反射第17第五章第五章晶体中电子能带理论晶体中电子能带理论page17方程组有非零解的条件方程组有非零解的条件由此解得能量本征值为由此解得能量本征值为把能量本征值分别代入把能量本征值分别代入55式可求得系数式可求得系数aa和和bb即可求出对应能即可求出对应能量本征值的本征函数

E

A
1 eikx B L
1 L
e
ik
x

( Ek0

E

Hˆ
)
A
0 k

( Ek0

E

Hˆ
)B
0 k

0
(4)
上式分别左乘
, 0 和
0
k
k
并对x积分，由于
第五章晶体中电子能带理论
第 15 页
§5.3 一维晶格中电子的布拉格反射
Page 16

山东大学量子力学第五章微扰理论

(0) n
H kn ( 0) ( 0) k ( 0) k n En - Ek
(14)
(13)、(14)式成立的条件（逐步近似法适用的条件）为
| ck | 1,
即
( 0) ( 0) || En | Hkn - Ek |
(15)
(0) 如果紧靠着 En 存在别的 Ek(0) ，即使 H H 0 ，
-
n 2
1 ( 0) n -1 ( 0) (0) E n - E n -1
n1 2
-
e
n 2
1 (0) n -1
1
3
n1 2
1 (0) n1 -
(0) - n n -1
e
2
n 1
(0) n1
微扰论也不适用。
例
带电量为e的一维谐振子，受到恒定弱电场的微扰 H -ex 作用试用微扰论求能级的变化，并与精确解比较。
将 Hamilton 量分成H0 + H’ 两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成微扰。（1）电谐振子Hamilton 量
2 2 d ˆ H 2 2 dx 1 2
n 1,2,Lk L
(3)
(6)
( 0) ( 0) ˆ ) ( 0) c ( E ( 0) H ˆ ) ( 0) E ( 0) E ( En H c k k n k n n n k k k n k n
用 n
(0)*
左乘（6）式并积分就得到
(0) c k H nk En H nn En k n
ˆ H ˆ ) E (H 0 n n n
(4)
ˆ H ˆ )( ( 0) C ( 0) ) E ( ( 0) c ( 0) ) (H k k k k 0 n n n

周世勋量子力学教程第二版课件量子力学第五章

E(2) n

l
a(1) l
Hˆ
(1) nl

l
Hˆ l(n1)
Hˆ
(1) nl
E(0) n

E(0) l

l
Hˆ
(1) nl
2
E(0) n

E(0) l
其中： Hˆ l(n1) Hˆ n(1l)*
(因 Hˆ l(n1)

(0)* l
Hˆ
(1)
(0) n
dx

[
Hˆ
(1)

E(1) n
)
(0) n
（2）
2 :
(Hˆ n(0)

E(0) n
)
(2) n
(Hˆ n(1)

E(1) n
)
(1) n
E(2) (0) nn
（3）
逐级求解。
6
一级近似：
（1）能量一级近似由（2）式：
(Hˆ n(0)

E(0) n
)
(1) n

(Hˆ n(1)

E(1) n

En(0)
(1) n

2 En(0)
(2) n

En(1)
(0) n

E2 (1) (1) nn

E3 (1) (2) nn
L
5
比较的同次项
0 :
(Hˆ n(0)

E(0) n
)
(0) n

0
（1）
1 :
(Hˆ n(0)

E(0) n
)
(1) n

量子力学(第十章微扰论)

1

(0)

(2)
ˆ (0) 0 E 3 H
ˆ 利用 H 0 的厄米性，以上两边左边应相等，得
E
3
(1)

ˆ E 1 (1) H

利用此式，可以直接用微扰一级近似波函数来计算能量的三级近似。
10.1.1 非简并态微扰论 1.一级近似解令一级微扰近似波函数表示为 ˆ (0) E (0) (0) ,H (0) E (0) (0) ˆ H0 n n n 0 k k k
0 (1) 0 k
0
E E
0 k
(6a)
1
1
ˆ (0) E H k
(1)
(2)
ˆ E H
(6b) E
2

(0) k
(6c)
式（6b）、（6c）和（6d在书上p176）两边左 (0) 乘 k ，并利用式（5），可以得到 1 ˆ E (0) H (0) 7a
(1) (0) (1) ' an n n k n
用
得：
(0) k
ˆ ˆ | 左乘(6b)式 H 0 Ek 0 (1) E 1 H k(0)

(0) k
ˆ E 0 (1) (0) | E 1 H (0) ˆ | H0 k k k
例题1：电介质的极化率考虑各向同性电介质在外电场作用下的极化现象。当没有外电场作用时，介质中的粒子在其平衡位置附近作小振动，可视为简谐运动。设沿x方向加上以均匀外电场 e ，对带电 q 的离子，Hamilton量为

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左乘 <ψm(0) |
(1) n
a(1) (0) kn k
k 1
[H ˆ(0) En (0)]
a(1) kn
(0) k
[H ˆEn (1)]
(0) n
k1
ak (1n )[Ek(0) En (0)]
(0) k
[H ˆEn (1)]
(0) n
k1
12
a k ( 1 ) [ E n k ( 0 ) E n ( 0 ) ] m ( 0 )|k ( 0 ) m ( 0 )|H ˆ |n ( 0 ) E n ( 1 ) m ( 0 )|n ( 0 )
n
n (2) )
乘开得：
H ˆ2[(0 H )ˆ(0 n () 0) n (2) [H ˆ H ˆ(0 (1 ))n (1 n (1 )) ] H ˆ(1 ) n (0)] E 2 n ([0 E )n (0 n () 0) n (2) [E E n (0 n (1 ))n (1 n (1 )) E E n (1 n () 2)n (0 n () 0 ])]
[H ˆ (1)
En(1)]
E (1)
(2)
n
n
(0) n
体系的能量和态矢为
EnEn (0) En (1) En (2)
n
(0)
n
(1)
n
(2) n
10
二、非简并定态的微扰近似
1、态矢和能量的一级近似
(1)能量一级修正En (1)
左乘 <ψn(0) |
[H ˆ(0 ) E n (0 )]n (1 ) [H ˆ E n (1 )]n (0 )
而ψn(0) , λψn(1) , λ2 ψn(2) , ...分别是状态矢量 0 级近似、1级近似和2级近似等。
8
代入Schrödinger方程得：
(H ˆ(0)H ˆ(1)) (n (0)
(1) 2 (2)
n
n
)
(En (0)
En (1) 2En (2) )(n (0)
(1) 2
其中λ是很小的实数，表征微扰程度的参量。
因为 En 、 ψn 都与微扰有关，可以把它们看成是λ的函数而将其展开成λ的幂级数：
EnEn (0) En (1) 2En (2)
n
(0) n
(1)
2
n
(2) n
其中En(0), λEn(1), λ2 En(2), ... 分别是能量的 0 级近似、1级近似和2级近似等。
3
§1 非简并定态微扰理论 §2 简并微扰理论及其应用 §3 变分法与氦原子基态
4
平衡态附近的泰勒展开
5
§1 非简并定态微扰理论
一、微扰体系的Schrödinger方程
H ˆn Enn
Hˆ Hˆ (0) Hˆ 其H ˆ中 H ˆ(0)
其中H(0) 所描写的体系是可以精确求解的，其本征值En(0) ，本征矢 Ψn(0) 。则：
3[ ]
3[ ]
( a b ) na nn a n 1 b n a b n 1 b n
9
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等:
0:
பைடு நூலகம்
H ˆ(0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
1:
H ˆ(0)
n (1)H ˆ(1)
E (0)
n
(0) n
E (1)
(1)
n
n
(0) n
H ˆ(0)
E (0)
(0)
n
n
(0) n
6
H ˆ(0)
E (0) (0)
n
n
(0) n
当 H ≠ 0 时引入微扰，使体系能级发生移动，由 En(0) → En ，状态由ψn(0)→ψn 。
7
微扰体系的定态Schrödinger方程
为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：
H ˆH ˆ(1)
Em(0)
m
E(0) n
Em(0)
15
低级微扰近似结果
E n (1 ) H n n n (0 )|H ˆ| n (0 )
(1) n
mn
'
m
2:
H ˆ(0)
n (2)H ˆ(1)
E (1)
(0)
n
n
E (2)
(1)
n
n
E (1)
(2)
n
n
(0) n
整理后得：
[H ˆ (0)
En(0)]
(0) n
0
[H ˆ (0)
En(0)]
(1) n
[H ˆ (1)
En(1)]
(0) n
[H ˆ(0) En(0)]
(2) n
量子力学第五章微扰理论
1
可解析求解模型
V(x)
V(x)
II I
II
II
I
x
II x
V(x)
II I II x
2
一、近似方法的出发点
近似方法通常是从简单问题的精确解（解析解）出发，来求解复杂问题的近似（解析）解。
二、近似解问题分为两类
1、体系 Hamilton 量不是时间的显函数——定态问题（1）定态微扰论；（2）变分法。 2、体系 Hamilton 量显含时间——状态之间的跃迁问题（1）与时间 t 有关的微扰理论；（2）常微扰。
a(1) (0) kn k
k1
a a (1) (0) kn k
(1) (0) nn n
k1
H (1) a EE n
m n ' (1) (0)
m n m
m
m n '
m
m n (0)
(0) (0) m
n
m
14
能量高阶近似
[Hˆ (0)
En(0)]
(0) n
0
方程左乘态矢 ψn(0) |
k 1
a m (1 )[E n m (0 ) E n (0 )] H ˆm n E n (1 )mn
a m (1) nE n (0 H ) m E m (0 n )m E (0)n (0 |)H ˆE |m (0) n (0),m n
13
（2）态矢的一级修正ψn(1)
注意
(1) n
利用本征基矢的正交归一性：
E n (1 ) H n n n (0 )|H ˆ| n (0 )
其中能量的一级近似等于微扰Hamilton 量在 0 级态矢中的平均值
11
二、非简并定态的微扰近似
（2）态矢的一级修正ψn(1)
[H ˆ(0 ) E n (0 )]n (1 ) [H ˆ E n (1 )]n (0 )
[Hˆ (0) [Hˆ (0)
En(0)]
(1) n
En(0)]
(2) n
[HˆEn(1)]n(0) [HˆEn(1)]n(1)
E(2) (0) nn
E(k) n
(0) n
Hˆ
(k 1) n
mn '
Hmn
(0)
m
E(0) n
Em(0)
m
mn
'
HmnHnm
mn
'
Hnm 2
m
E(0) n