2-11函数的作图

0
不存在
( 0, )

0
拐点
( 3, 26 ) 9


0



间 断 点
极值点
3
补充点 : (1 3,0), (1 3,0);
A ( 1,2), B (1,6), y C ( 2,1).
作图
6 B
1
C
1 2
3 2 1
o
x
2
A
3
4( x 1) f ( x) 2 2 x
第十一节
函数的作图
一、曲线凹凸的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
y
C
B
A
o
x
y
y f ( x)
y
y f ( x)
o
x1
x2 x
o
x1
x2
x
图形上任意弧段位 于所张弦的下方
图形上任意弧段位 于所张弦的上方
设函数yf(x)在区间I上连续 如果函数的 曲线位于其上任意一点的切线的上方， 则称该曲线在区间I上是凹的； 如果函数的曲线位于其上任意一点的切 线的下方，则称该曲线在区间上是凸的
A (1,0),
B (0,1),
3 5 C ( , ). 2 8
列表确定函数升降区间, 凹凸区间及极值点与拐点:
x
f ( x ) f ( x )
f ( x)
1 ( , ) 3


1 3
1 1 ( , ) 3 3
0
极大值

32 27

y
1 3
1 ( ,1) 3
1
(1, )

0
但在( ,0)内, y 0, 曲线在( ,0]上是凹的 ; 在(0,)内, y 0, 曲线在[0,)上是凸的.
点(0,0)是曲线 y 3 x的拐点.
四、渐近线
定义: 当曲线 y f ( x ) 上的一动点 P 沿着曲线
移向无穷点时, 如果点 P 到某定直线 L 的距离 趋向于零, 那么直线 L 就称为曲线 y f ( x ) 的 一条渐近线.
思考题解答
因为 f ( x 0 ) 0 只是( x 0 , f ( x 0 )) 为拐点 的必要条件，
故( x0 , f ( x0 )) 不一定是拐点.
例 f ( x) x4
x ( , )
f (0) 0
但( 0,0) 并不是曲线 f ( x ) 的拐点.
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导 数应用的综合考察. y 凸的
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x )在( x0 , x0 ) 内存在二阶导 数,则点 x0 , f ( x0 ) 是拐点的必要条件是 f " ( x0 ) 0 .
证 f ( x ) 二阶可导, f ( x ) 存在且连续,
又 ( x0 , f ( x0 ) )是拐点,
则 f ( x ) [ f ( x )]在x0两边变号,
条件, f ( x )在x0取得极值,由可导函数取得极值的
f ( x ) 0.
, 方法1: 设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导 且f ( x0 ) 0,
第三步
确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐 近线以及其他变化趋势;
第五步 描出与方程 f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 的根对
第四步
应的曲线上的点，有时还需要补充一些点，再综 合前四步讨论的结果画出函数的图形.
六、作图举例
4( x 1) 例5 作函数 f ( x ) 2 的图形. 2 x 解 D : x 0, 非奇非偶函数,且无对称性.
1.铅直渐近线 (垂直于 x 轴的渐近线)
如果
x x0
lim f ( x ) 或 lim f ( x )
x x0
那么 x x0 就是 y f ( x ) 的一条铅直渐近线 .
1 , 例如 y ( x 2)( x 3)
有铅直渐近线两条: x 2,
第一步
f ' ( x ) 0 和 f " ( x ) 0 在函数定义 求出方程 域内的全部实根，用这些根同函数的间断点或导数 不存在的点把函数的定义域划分成几个部分区间.
第二步
确定在这些部分区间内 f ' ( x ) 和 f " ( x ) 的符 号，并由此确定函数的增减性与极值及曲线的凹 凸与拐点（可列表进行讨论） ；
x e 2
x2 2
.
得驻点 x 0,
得特殊点 x 1, x 1.
x2 2
1 lim ( x ) lim e x x 2
0, 得水平渐近线 y 0.
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x ( ,1) 1 (1,0) 0
凹凸区间为( ,0],
[0, 2 ], 3
[ 2 ,). 3
注意: 若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能
是连续曲线 y f ( x ) 的拐点.
例3
求曲线 y 3 x 的拐点.
2 3 5 3
1 4 解 当x 0时, y x , y x , 3 9 x 0是不可导点, y, y均不存在.
y 2 x 4 是曲线的一条斜渐近线 .
2( x 2)( x 3) f ( x) 的两条渐近线如图 x 1
五、图形描绘的步骤
利用函数特性描绘函数图形.
确定函数 y f ( x ) 的定义域,对函数进行奇 偶性、周期性、曲线与坐标轴交点等性态的讨论, ' " 求出函数的一阶导数 f ( x ) 和二阶导数 f ( x ) ;
可以断定 y f ( x ) 不存在斜渐近线 .
2( x 2)( x 3) 例4 求 f ( x ) 的渐近线. x 1
解
D : ( ,1) (1,).
lim f ( x ) ,
x 1

lim f ( x ) ,
x 1
x 1 是曲线的铅直渐近线 .
极小值

拐点
1 16 ( , ) 3 27

0
B (0,1)
3 5 C( , ) 2 8
A (1,0) 1 1 3
o
1 3
1
x
y x3 x2 x 1
七、小结
曲线的弯曲方向——凹凸性;
凹凸性的判定. 改变弯曲方向的点——拐点; 拐点的求法1, 2.
思考题
设 f ( x ) 在(a , b ) 内二阶可导，且 f ( x 0 ) 0 ， 其中 x 0 ( a , b ) ，则( x 0 , f ( x 0 )) 是否一定为 曲线 f ( x ) 的拐点？举例说明.
f ( x) lim a, x x
lim[ f ( x ) ax] b.
x
那么 y ax b 就是曲线 y f ( x ) 的一条斜渐近线 .
注意:
如果 f ( x) (1) lim 不存在; x x f ( x) ( 2) lim a 存在, 但 lim[ f ( x ) ax] 不存在, x x x
f ( x) 2( x 2)( x 3) 又 lim lim 2, x x x x( x 1)
2( x 2)( x 3) lim[ 2 x] x x( x 1)
2( x 2)( x 3) 2 x ( x 1) 4, lim x x 1
D : ( , ), 无奇偶性及周期性.
f ( x ) 2( 3 x 1).
f ( x ) ( 3 x 1)( x 1),
令 f ( x ) 0, 令 f ( x ) 0,
1 得驻点 x , 3
x 1.
1 得特殊点 x . 3
补充点 :
二、曲线凹凸的判定
y
ห้องสมุดไป่ตู้
y f (x )
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的 ; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
2 y 36 x( x ). y 12 x 12 x , 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
x
f ( x )
f ( x)
( ,0)
0 0
拐点

凹的
( 0, 2 ) 3
凸的
2
3 0
( 2 ,) 3
凹的
(0,1)
拐点 ( 2 , 11 ) 3 27
单增
y f ( x)
凹的 最 小 值
拐 点 极 大 值
单减
最 大 值
极 小 值
a
o
b
x
思考题
两坐标轴 x 0 ， y 0 是否都是
sin x 函数 f ( x ) 的渐近线？ x
思考题解答
sin x lim 0 x x y 0 是其图象的渐近线. sin x lim 1 x 0 x x 0 不是其图象的渐近线.