随机过程考前部分要点2012
复习课及考试要求(随机过程)
《随机过程》课程需要掌握的内容及要求第一章：随机过程及其分类（1）掌握随机过程和随机过程的有限维分布函数族的概念，掌握随机过程的n维分布函数、分布密度的概念。
理解随机过程的两种描述方式。
（2）理解随机过程的均值函数、协方差函数和相关函数的概念，掌握它们的主要性质，并会对给定的简单过程和常用的重要过程计算这些数字特征。
（3）了解随机过程的分类方式及分类。
（4）了解两个随机过程的联合分布的概念。
会计算联合随机过程的互协方差函数和互相关函数。
了解两个随机过程之间独立的概念。
第二章：Markov过程（1）理解马氏链及其转移概率的定义和性质。
理解齐次性的概念。
了解独立增量过程与马氏过程的关系。
（2）掌握C-K方程，并能利用C-K方程计算转移概率。
（3）了解状态的常返性、遍历性的概念。
掌握遍历性的主要定理的条件和结论。
能对简单齐次马氏链的状态进行分类。
（4）掌握马氏链的极限性质，掌握平稳分布的概念，能对简单的齐次马氏链找平稳分布。
（5）掌握纯不连续马氏过程转移概率的概念，掌握转移率矩阵（Q矩阵）的定义和求法。
（6）掌握前进方程、后退方程及福克－普朗克方程，会利用此方程求过程的均值函数。
（7）理解生灭过程的定义，并能写出生灭过程的Q矩阵。
第三章：Poission过程（1）掌握独立增量过程、正交过程及计数过程的定义和性质。
（2）掌握Poission过程的定义及一维分布，会求此过程的数字特征。
（3）掌握Poission过程与指数分布之间的关系。
掌握到达时间和条件到达时间的分布性质；了解更新过程的定义和基本性质。
（4） 一些主要结果：● 一维分布：N k e k t k t N P k s N t s N P tk ∈====-+-,!)(})({})()({λλ； ● Q 矩阵： ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----= λλλλλλλλ000000Q ；● 均值函数：tt N E t t N E t m N )}({)}({)(=⇒==λλ；● 均方函数：t t t N E λλ+=22)()}({； ● 方差函数：t t D N λ=)(；● 相关函数：},min{),(2121221t t t t t t R N λλ+=； ● 协方差函数：},min{),(2121t t t t C N λ=；● 到达时间的分布：n S 表示第n 个事件发生的时刻（1≥n ），则有：0,)!1()()(1≥-=--t e n t t f t n S n λλλ；● 到达时间间隔的分布：)1(1≥-=-n S S X n n n 表示第1-n 个事件与第n 事件发生的时间间隔，则有：n k t e t f t X n ≤≤≥=-1,0,)(λλ；● 无条件),,,(21n S S S 的联合概率密度：⎩⎨⎧<<<<=-其它,00,),,,(2121nt n n t t t e t t t g n λλ ● 在已知条件n t N =)(下，事件相继发生的时间),,,(21n S S S 的条件概率密度：⎪⎩⎪⎨⎧≤<<<<=其它,00,!),,,(2121tt t t t n t t t f n n n● 在已知条件n t N =)(下，第)(n r r <个事件发生时刻的概率密度：t x tt x t x r r n n n t N x f rn r S r <<⋅⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--==--0,11)!1()!(!))((1 转移概率函数：i j e i j s t i N j N P j i t s p s t i j s t ≥--====---,)!()]([}{),,,()(λλ；第四章：二阶矩过程、平稳过程和随机分析（1） 掌握二阶矩过程、严平稳过程及宽平稳过程的定义及关系。
(完整版)随机过程知识点汇总
第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x)p kf (t)dt分布函数kxX 的概率分布用概率密度 f (x)F(x)分布函数连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,)其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 XEX x p kkXEX xf (x)dx连续型随机变量2DX E(X EX) 2 EX (EX) 2方差：反映随机变量取值 的离散程度协方差（两个随机变量 X ,Y ）：B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EYXYB XY相关系数（两个随机变量X,Y ）：0，则称 X ,Y 不相关。
若XYDX DY独立不相关itXg(t) E(e )itxe p k 连续 g(t)ke itxf (x)dx４．特征函数离散 g(t) 重要性质： g(0) 1，g(t) 1 g( t) g(t)，， g (0) i EX kk k５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布P( X 1) p,P( X 0) qEX pDX pqP(X k) C p q n kk kEX npDX n p qnk泊松分布P( X k) ek!EXDX均匀分布略( x a)21 2N(a, ) f (x)222EX a正态分布eDX2xe ,x 0 0, x 011指数分布f (x)EXDX2X (X ,X , ,X ) 的联合概率密度 X ~ N(a, B) ６．Ｎ维正态随机变量1 2 n11 2T 1(x a) B (x a)}f (x , x , , x n ) exp{ 11 2n 2(2 ) | B |2a (a ,a , ,a )， x (x , x , ,x )， B (b ) 正定协方差阵 1 2 n 1 2 n ij n n二．随机过程 的基本概念 １．随机过程 的一般定义设 ( , P)是概率空间， T 是给定 的参数集，若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， X(t,e),t T ( , 是P)上 的随机过程。
通信原理 第三章 随机过程 学习要点及习题解答
第三章 随机过程学习目标通过对本章的学习，应该掌握以下要点： 随机过程的基本概念随机过程的数字特征（均值、方差、相关函数）；平稳过程的定义、各态历经性、相关函数和功率谱密度；高斯过程的定义和性质、一维概率密度函数；随机过程通过线性系统、输出和输入的关系；窄带随机过程的表达式和统计特性；正弦波加窄带高斯过程的统计特性；高斯白噪声及其通过理想低通信道和理想带通滤波器。
3.1 内容概要3.1.1 随机过程的基本概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，具有不可预知性，不能用确切的时间函数来描述。
1.定义角度一：随机过程ξ(t )是随机试验的全体样本函数{ξ1 (t ), ξ2 (t ), …, ξn (t )}的集合。
角度二：随机过程ξ(t )是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。
这说明，在任一观察时刻t 1，ξ(t 1)是一个不含t 变化的随机变量。
可见，随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
研究随机过程正是利用了它的这两个特点。
2.分布函数和概率密度函数 一维分布函数：ξ(t )在11111(,)[()]F x t P t x ξ=≤含义：随机过程ξ(t )在t 1时刻的取值ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率。
如果存在1111111),(),(x t x F t x f ∂∂=则称111(,)f x t 为ξ(t )的一维概率密度函数。
同理，任意给定12n t t t T ∈ ，，，，则ξ(t )的n 维分布函数为{}12121122(,,,;,,)(),(),,()n n n n n F x x x t t t P t x t x t x ξξξ=≤≤≤如果此能在n21n 21n 21n n n 21n 21n x )t x ()t x (∂∂∂∂= x x t t x x F t t x x f ，，，；，，，，，，；，，，则称其为ξ(t )的n 维概率密度函数。
显然，n 越大，对随机过程统计特性的描述就越充分。
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。
例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
t)|^2]协方差函数BZs,t)E[(ZsmZs))(ZtmZt))]，其中Zs和Zt是Z在时刻s和t的取值。
复随机过程是由实部和虚部构成的随机过程，其均值和方差函数分别由实部和虚部的均值和方差函数计算得到。
协方差函数和相关函数也可以类似地计算得到。
复随机过程在通信系统中有广泛的应用，例如调制解调、信道编解码等。
随机过程知识点总结
∈
且
∑ = 1
∈
矩阵表示
= ()
3、 各状态平均返回时间
=
1
第五章 连续时间马尔可夫链
1、 转移概率 (, ) = {( + ) = |() = }
齐次转移概率 (, ) = ()
2、 转移速率
()
() = ∑ , ≥ 0
=1
[()] = [1 ]；[()] =
[12]
第四章 马尔可夫链
4.1 马尔可夫链概念与状态转移概率
1、
2、
马尔可夫过程：未来状态只与当前状态有关，而与过去状态无关。
时间、状态都是离散的，称为马尔可夫链。
马尔可夫链的统计特性完全由条件概率{+1 = +1 | = }确定。
随机矩阵：各元素非负且各行元素之和为 1；
步转移矩阵是随机矩阵；
闭集 C 上所有状态构成的步转移矩阵仍是随机矩阵。
周期为的不可约马氏链，其状态空间可唯一地分解为个互不相交的子集之和，即
−1
= ⋃ , ∩ = ∅, ≠
=0
且使得自 中任一状态出发，经一步转移必进入+1 中( = 0 )。
[ ( + ) − ()] −[ (+)− ()]
!
+
( + ) − () = ∫
()
相较与齐次泊松过程 → ( + ) − ()
5、 复合泊松过程（独立增量过程）
是由对泊松过程的每一点赋予一独立同分布的随机变量而得的随机过程。
=1
′′ (0)(− 2 )
随机过程知识点
第一章：预备知识§1.1 概率空间随机试验，样本空间记为Ω。
设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合族。
如果 〔1〕∈ΩF ；〔2〕∈A 若F ，∈Ω=A A \则F ； 〔3〕假设∈n A F ， ，，21=n ，那么∞=∈1n nAF ；那么称F 为-σ代数(Borel 域)。
(Ω,F )称为可测空间，F 中的元素称为事件。
由定义易知： .216\,,)5)4(111F A A A i F A F B A F B A F i i n i i n i i i ∈=∈∈∈∈∅∞=== ，，则，，，）若（；则若（；定义1.2 设(Ω,F )是可测空间，P(·)是定义在F 上的实值函数。
如果()()()()∑∞=∞==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∅=⋂≠=Ω≤≤∈1121,,,31210,)1(i i i i j i A P A P A A j i A A P A P F A 有时，当）对两两互不相容事件（；）（；任意那么称P 是()F ,Ω上的概率，〔P F ，，Ω〕称为概率空间，P(A)为事件A 的概率。
设〔P F ，，Ω〕是概率空间，F G ⊂，如果对任意G A A A n ∈,,,21 ，,2,1=n 有： (),11∏===⎪⎪⎭⎫⎝⎛ni i n i i A P A P那么称G 为独立事件族。
§1.2 随机变量及其分布随机变量X ，分布函数)(x F ，n 维随机变量或n 维随机向量，联合分布函数，{}T t X t ∈,是独立的。
§设随机变量X 的分布函数为)(x F ，假设⎰∞∞-∞<)(||x dF x ，那么称)(X E ＝⎰∞∞-)(x xdF为X 的数学期望或均值。
上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分。
方差，()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差，而 DYDX B XYXY =ρ为X 、Y 的相关系数。
随机过程知识点
随机过程知识点随机过程是现代概率论的重要分支之一，它描述的是一个或多个随机变量随时间的变化规律。
在实际应用中，随机过程经常被用来建立模型，进行仿真以及预测未来的变化趋势等。
随机过程知识点众多，本文将从概念、分类、建模等方面进行探讨。
一、概念随机过程指的是一个定义在时间集合T上的随机变量的集合{Xt:t∈T}。
其中，T表示时间的取值范围，Xt是一个随机变量。
每个时刻t对应一个随机变量Xt，称为随机过程在时刻t的取值。
二、分类根据随机变量的值域，随机过程可以分为离散随机过程和连续随机过程两类。
1. 离散随机过程离散随机过程的取值集合为有限或可数集合。
在离散随机过程中，随时间变化的变量通常被称为时间序列。
离散随机过程可以进一步分为如下几类：（1）马尔可夫链马尔可夫链是最简单的离散随机过程模型，假设当前时刻状态只与前一时刻状态有关。
马尔可夫链的基本性质是：状态转移概率只与当前状态有关，而与历史状态无关。
（2）泊松过程泊松过程是一种间断性随机过程，它描述了单位时间或者单位面积内，某事件发生次数的概率分布。
泊松过程的关键特征是时间和事件之间的指数分布关系，即事件之间的时间间隔是独立且指数分布的。
2. 连续随机过程连续随机过程是取值集合为实数（或实数集合的子集）的随机过程。
在连续随机过程中，随时间变化的变量通常被称为随机过程信号。
连续随机过程可以进一步分为如下几类：（1）布朗运动布朗运动是最基本的连续随机过程，描述了物体在连续介质中的随机运动。
其轨迹连续但不光滑，呈现出瞬时变化的特点。
（2）随机游走随机游走是一种简单的随机过程模型，它描述了物体在一组不断变化的环境下进行的随机运动。
其主要特征是不规则的移动和不可预测性。
三、建模在实际应用中，随机过程的建模是非常重要的。
通过从数学模型中提取重要的特征和参数，可以更好地理解随机过程的行为，从而更好地预测未来的变化。
1. 马尔可夫模型马尔可夫模型是一种广泛使用的随机过程模型，其基本假设是状态的未来只与当前状态有关。
【VIP专享】随机过程总结
= [3 − 4(t1 − t2 )2 ]e−(t1−t2 )2
RX (t1, t2 ) = e−(t1 −t2 )2
18
2 2
+
6.5t32
+
24t1 t2
+
6t1
t3
+
13t 2 t 3
)]
7
例设( X ,Y )的概率密度函数为
江西理工大学理学院
f
(
x,
y)
=
⎪⎧ ⎨
1 y
e−(
x y
+
y)
x > 0, y > 0， 求 E[ X | y = 3], E( X )
⎪⎩ 0
其它
解
fY
(
y)
=
∫∞
−∞
f
(x,
y)dx
= eλ (e jt −1)
f
(x)
=
⎧λe − λx，
⎨
x
>
0
⎩0,
x≤0
λ>0
∫ ∫ g(t) =
+∞
e
itx
f
( x)dx
=
+∞ eitxλe−λxdx
−∞
0
∫ = λ +∞ e(it−λ )xdx 0
=
λ
λ
−
it
,
λ>0
3
例4 二项分布 X～Ｂ(n,p)的特征函数
江西理工大学理学院
pk = P{ X = k} = Cnk pkqn−k
⎡6 3 2 1⎤
µX
= (2,1,1,0)，BX
=
⎢⎢3 ⎢2
随机过程复习要点教案
随机过程复习要点第一章 概率论知识补充1.随机事件体有样本空间的全体子集总共2n个组成。
1.特征函数：随机变量X 的分布函数为F(x),称()()(),itX itxg t E e e dF x t ∞-∞==-∞<<∞⎰为X 的特征函数。
()()ln X X t g t ψ=，此为第二特征函数。
离散型：()1kitx k k g t ep ∞==∑；连续型：()()itx g t e f x dx ∞-∞=⎰2特征函数的性质：注：特征函数为虚函数。
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2'"'12n 12n 12101,1,.2-30=-0.-0;00.4....5n k k kk k k n g g t g t g t g t X g t n k n g i EX EX i g EX i g DX g g X g t g t g t g t =≤-=∞∞≤===-+==第二项为取模，第三项为取共轭。
在，一致连续；若随机变量X 的n 阶矩EX 存在，则的特征函数阶可导，且当时，有；若X X ...X 相互独立，则X +X +...+X 的特征函数为随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定。
两者是一一对应的。
3随机变量的分布函数()F x 与特征函数g(t)是一一对应的且相互唯一确定。
如果X为连续型且特征函数g(t)j绝对可积则有：()()()()()()()()1;2.itx X itx X X X f x e g t dt g t e f x dx g t f x f x g t π∞--∞∞-∞==⎰⎰是的相差一个负号的傅氏变换；是的相差一个负号的傅氏逆变换。
4n 维正态分布：()()()1212,,..,...n n i ijij n nn XN a B X X X a a a a a B b b ⨯==维正态分布：其中 X=为均值，为正定矩阵，为协方差。
随机过程复习提纲
第一章：1． 填空若X 1,X 2,…,X n 是相互独立的随机变量,且g i (t)是X i 的特征函数,i=1,2,…,n)则X=X 1+X 2+…X n 的特征函数g(t)= ＿g 1(t) g 2(t)…g n (t) 2.设P(S)是X 的母函数，试证: (1)若E(X)存在，则EX=P ′(1)(2)若D(X)存在，则 DX = P"(1)+ P ′(1)-[ P ′(1)]2 证明:(1)因为p （s ）=sp kk k∑∞=0，则p ′（s ）=skpk k k11-∞=∑，令s ↑1，得EX==∑∞=1k kkpp ′(1)。
（2）同理可证DX=p 〞(1)+ p ′(1) —[p ′(1)] 23.设X 服从B(n,p),求X 的特征函数g(t)及EX,EX 2,DX. 解：X 的分布列为P(X=k)=1k k n nC p q -,q=1-p ,k=0,1,2,...n,()00k n n n itk k k n k k it n k it g t e C p q C pe q pe q n nk k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--===+∑∑== 由性质得()()np itdtdi i EX t n q ep g=-=-==+0,()()()p nq e p dtdg i EX npq iti t n 2222"220+=-===+-()npq DX EX EX=-=224． 设X~N(0,1),求特征函数g(t). 解dx xt g eitx ⎰∞+∞--=2221)(π由于e exx xix itx 2222=-，且〈+∞⎰∞+∞--dx xeitx 2221π，故由积分号下求导公式有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==-∞+∞-∞+∞--⎰⎰de e ixeg x i dx xt ixt itx 22'22221)(ππdx xt xi eeitx itx ⎰⎰∞+∞--∞+∞-∞+∞---=222222ππ)(t tg -=于是得微分方程g ’(t)+tg(t)=0 解得方程的通解为e Ctt g +-=22)(由于g(0)=1,所以C=0， 于是得X 的特征函数为ett g 22)(-=5． 设随机变量Y~N(μ，σ2)，求Y 的特征函数是g Y (t). 解：设X~N(0,1),则由例1.3知X 的特征函数ett g 22)(-=令Y=μσ+X ,则Y~N(μ，σ2)，由前面的命题知Y 的特征函数是()()eg e g tt t t i Xxi Y222σσμμ-==，6． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且X i ~b(n i ,p),i=1,2,…n,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==n i i ni i p b Y n X 11,~证 因为X i ~b(n i ,p),所以其特征函数为()(),,...2,1,n i it nt X q e p g ii==+由特征函数的性质知，∑==ni i x Y 1的特征函数为()()()(),111∏++∏==∑====ni ni Yq e p q e p g g it n it nt X t ni iii再有唯一性定理知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∑==ni i ni i p b Y n X 11,~7． 设X 1,X 2…X n 是相互独立的随机变量，且(),,...2,1,~n i iiX=λπ则⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ证 因为(),~λπii X 所以其特征函数为()n i e t Xe g itii,...2,1,1==⎪⎭⎫⎝⎛-λ有特征函数的性质知，∑==ni i X Y 1的特征函数为()()e eg g ni iti iti ie e t X t ni n i Y∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∏∏11111λλ 再由唯一性定理知⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n i i ni i X Y 11~λπ。
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随机过程部分习题答案
1设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、
均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，
b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([
22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=
所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为
),(,21);(2
22)(+∞-∞∈=
--
x e
t
t x f t b x π，),0(+∞∈t
均值函数 b t X E t m X ==)]([)(
相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][22b btV bsV stV E +++= 2
b st +=
2设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt
e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一
维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解 对于任意0>t ，Yt
e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分
布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t
Y ≤-=≤=≤=-
)ln (1}ln {1}ln {t
x
F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-
≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度
xt
t x f t x f Y 1
)ln ();(-
=，0>t 均值函数 ⎰
∞
+--===0
)(][)]([)(dy y f e e E t X E t m yt t
Y X
相关函数
⎰+∞
+-+---====0
)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X
3若从0=t 开始每隔1秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程
c o s (),()2,
t t X t t t π⎧=⎨
⎩时刻抛得反面时刻抛得正面
试求：（1）)(t X 的一维分布函数(1,)(2,)F x F x 和； （2）)(t X 的二维分布函数12(1,2;,)F x x ； （3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(2
2X X t σσ。
解 （1）1t =时，(1)X 的分布列为
一维分布函数 0,11(1,),
1221,
2
x F x x x <⎧⎪⎪
=≤<⎨⎪≥⎪⎩－－ 2t =时，(2)X 的分布列为
一维分布函数 0,21(1,),
2421,
4
x F x x x <⎧⎪⎪
=≤<⎨⎪≥⎪⎩ （2）由于(1)(2)X X 与相互独立，所以((1),(2))X X 的分布列为
二维分布函数 1212121212120,121,12,24
4
(1,2;,)1,12,42,2421,2,4
x x x x F x x x x x x x x <<⎧⎪⎪≤<≤<⎪=⎨
⎪≤<≥≥≤<⎪⎪≥≥⎩
－或－－或
（3）t t t t t m X +=⋅+=
)cos(21
221)cos(21)(ππ 2
1
)1(=X m
22
2222])c o s (2
1[)2(21)(c o s 21)]([)]([)(t t t t t EX t X E t X +-+=-=π
πσ )cos()(cos 412)(cos 212
222t t t t t t πππ---+=
)cos()(cos 412
2t t t t ππ-+=
2
])cos(21[t t -=π
4
9)1(2
=X σ
4已知随机游动的转移概率矩阵为
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=5.005.05.05.0005.05.0P
求三步转移概率矩阵)
3(P
及当初始分布为
1}3{,0}2{}1{000======X P X P X P 时，经三步转移后处于状态3的概率。
解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5.005.05.05.0005.05.0P
(2)
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5.005.05.05.0005.05.0⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=25.025.05.05.025.025.025.05.025.0 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=25.025.05.05.025.025.025.05.025.0P )
3(⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5.005.05.05.0005.05.0⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=25.0375.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0 ()()25.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0100)3(P T =⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=
所以，25.0)3(3=p
5设有随机过程)cos()(Θ+=t A t X ω，其中A 是服从瑞利分布的随机变量，其概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>-=0,00},2exp{
)(22
2x x x x x f σ
σ Θ是在)2,0(π上服从均匀分布且与A 相互独立的随机变量，ω为常数，问)(t X 是否为平
稳过程。
解 先求出瑞利分布A 的数学期望和2
A 的数学期望，
⎰⎰∞+∞
+---=-⋅=022222220
)2(}2exp{}2exp{σ
σσσx d x x dx x x
x EA
⎰
∞
+--=0
22
}2exp{σ
x xd
⎰∞+∞+-+--=022
022}2exp{}2exp{dx x x x σ
σ
⎰
⎰∞+∞
--
∞+∞-=-=
dx e
dx x x 222
22
2122}2exp{21σσ
πσ
πσ
σπ
σπ2
22==
⎰⎰
∞+∞
+-=-⋅=0222222
2
2220
2
2
)2(}2exp{22}2exp{σσσσσσx d x x dx x x
x EA
20
22
2
222σσσ==
⎰
∞
+-dy ye x y y 令
)][cos()]cos([)]([Θ+⋅=Θ+=t E EA t A E t X E ωω
021
)
cos(2
20
=+⋅=
⎰π
θπ
θωσπ
d t )]cos()cos([)]()([),(Θ++Θ+=+=+ωτωωττt A t A E t X t X E t t R X
)]cos()[cos(2Θ++Θ+⋅=ωτωωt A t E EA
)]22cos()[cos(21
22Θ+++⋅=ωτωωτσt E
⎰+++=πθπ
θωτωτωσ20221)]22cos()[cos(d t
)cos(2ωτσ= 与t 无关
∞<==22
)0()(σX R t X E
所以，)(t X 是平稳过程。