09第三章-3函数的单调性

(,0] 上单调递增．其中正确结论的个数为
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（
）
11． （2013 年闵行一模 17） 已知函数 f ( x ) | arctan( x 1) | ，若存在 x1 , x2 [ a, b] ，且 x1 x2 ，使 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立，则以下 对实数 a 、 b 的描述正确的是 （A） a 1 （B） a 1 （C） b 1 （D） b 1 （ ）
3 3
.
6． （2014 年杨浦一模 14） 已知函数 f x a 2
x
f x , x 0 1a 0 ， 定义函数 F x 给出下列命题： ① F x f x ； f x , x 0
②函数 F x 是奇函数；③当 a 0 时，若 mn 0, m n 0 ，总有 F m F n 0 成立，其中所有正确 命题的序号是 ．
『热身预习』
1．下列函数中： （1） y x 2 x 3 ；
2
x 1, x 0 1 ； （3） y ； （4） y lg x ； x x 1, x 0 1 2 3 （5） y x arctan x ； （6） y x ； （7） y x ； （8） y 2 ln x ； x 3 1
7． （2014 年浦东一模 14） 若 y f ( x), x N , y N ， 对任意 n N 都有 f [ f ( n )] 3n ， 且 f ( x ) 是增函数， 则 f (3)
* *
*
．
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2
『双基达标』
1．已知函数 f(x)在定义域内是递减函数，且 f x 0 恒成立，给出下列函数： ① y 5 f x ；② y
f x ；③ y 5
1 f x
；④ y f
2
x ；
其中在其定义域内单调递增的函数的序号是
.
2．已知定义在 R 上的偶函数满足：对于任意的 x1 , x 2 ,0 ， x1 x 2 ， 都有 x 2 x1 f x 2 f x1 0 ，则当 n N * 时，有 （A） f n f n 1 f n 1 （C） f n 1 f n f n 1 （B） f n 1 f n f n 1 （D） f n 1 f n 1 f n （ ）
a 在区间 0,2 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 x
.
5．若函数 f x 4 x
.
6．若函数 f x
ax 1 在 2,2 为增函数，则实数 a 的取值范围是 x2
.
7．函数 f ( x) x cos x ， x 2 , 2 的值域是
f ( x1 ) f ( x 2 ) 0 成立， x1 x 2
.
那么实数 a 的取值范围是
2
4．若 f x x 2a 1x 2 在区间 ,4 上是减函数，则实数 a 的范围为 5．函数 f x
2x 8
1 的值域为 log 3 x
.
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8． （2013 年徐汇、松江、金山二模 16）
1, x 0 2 已知函数 f x 0, x 0 ，设 F ( x ) x f ( x) ，则 F ( x ) 是 1, x 0
A.奇函数，在 ( , ) 上单调递减 C.偶函数，在 , 0 上递减，在 0, 上递增 B.奇函数，在 ( , ) 上单调递增
3． （2013 年松江一模 11） 已知下列四个函数：○ 1 f ( x) x
1 x x 3 ，○ 2 g ( x ) 3 3 ，○ 3 u ( x ) x ，○ 4 v( x ) sin x . x
____．
其中对任意实数 x 及任意正数 m ，都有 f ( x ) f ( x ) 0 及 f ( x m) f ( x ) 的函数为___
例 2．已知函数 f x x
a ，若 f x 在 x 2, 上为增函数，求 a 的取值范围． x
[变式] 已知函数 f x x
2
a ，若 f x 在 x 2, 上为增函数，求 a 的取值范围． x
3x a 为定义在 R 上的奇函数 例 3．已知函数 f x x 1 3 b
（2） y . .
（9） y log 3 2 x 5 ，其中在定义域内为单调函数的有 2．函数 f x log 1 x 4 x 3 的单调递增区间为
2
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3．已知函数 f ( x)
(2 a) x 1 , x 1 a
x
, x 1
.
满足：对任意 x1 x 2 ，都有
（
）
10． （2013 年黄浦一模 17） 若 f ( x ) 是 R 上的奇函数，且 f ( x) 在 [0, ) 上单调递增，则下列结论：○ 1 y | f ( x) | 是偶函数； 2 对任意的 x R 都有 f ( x) | f ( x) | 0 ； ○ 3 y f ( x) 在 (,0] 上单调递增； ○ 4 y f ( x) f ( x) 在 ○
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『能力提升』
1． （2014 年虹口一模 6）
已知 y f ( x) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0,
) 上单调递增，则满足 f (m) f (1) 的实数
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第三章 函数的基本性质
【第 3 课时 函数的单调性】
『知识回顾』
（1）定义：若任取 x1 , x 2 I ，且 x1 x 2 ，都有 f x1 f x 2 ，则称 f x 单调递增 若任取 x1 , x 2 I ，且 x1 x 2 ，都有 f x1 f x 2 ，则称 f x 单调递减 （2）判断： ○ 1 定义（通法） ：根据单调性的定义判断函数的单调性； 函数的 单调性 2 图像（作图） ：作函数的图像，判断函数单调性； ○ 3 运算（不易作图） ：利用函数的运算，判断复合函数的单调性． ○ （3）应用： ○ 1 解不等式：指数不等式、对数不等式、抽象不等式； 2 求函数值域； ○ 3 判断反函数和零点． ○
10．已知 f x
x 2 2x a , x 0,2 ，其中 a 0 x
（1）当 a 4 时，判断并证明 f x 的单调性； （2）求函数 f x 的最小值
11．已知函数 f ( x ) log a
1 x (0 a 1) . 1 x
（1）用定义证明函数 f ( x ) 在 D 上是增函数； （2）如果当 x (t , a ) 时，函数 f ( x ) 的值域是 ,1 ，求 a 与 t 的值.
2


.
x 3 8．偶函数 f x 当 x 0 时为 f x 单调函数，则方程 f x f x 4 所有解之和为
.
9．定义在 R 上的函数 f x 的图像过点 M 6,2 , N 2,6 ，且对任意正实数 k ，都有 f x k f x 成 立，则当不等式 f x t 2 4 的解集为 4,4 时，实数 t .
6．已知 f x 为定义在 R 上的奇函数，在 ,0 单调递减，且 f 2 0 ，则不等式 x f x 0 的解集 为 .
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（1）求函数 f x 的解析式，并证明函数 y f x 在 R 上是减函数； （2）若不等式 f t 2t 3 f k 1 0 对任意 t R 恒成立，求实数 k 的取值范围．
2


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例 4．已知函数 f x 2
1 1 2 a a x
（1）设 mn 0 ，判断函数 f x 在 m, n 上的单调性，并说明理由； （2）设 0 m n 且 a 0 时， f x 的定义域和值域都是 m, n ，求 n m 的最大值； （3）若不等式 a f x 2 x 对于 x 1 恒成立，求 a 的取值范围．
m 的范围是
．
2． （2013 年杨浦一模 9） 已知下列五个函数：○ 1 f ( x ) 3 ；○ 2 f ( x) x ；○ 3 f ( x) ln
3
x
1 x ；○ 4 f ( x ) cos ； x 2
____．
2 5 f ( x) x 1 中,既是偶函数，又是在区间 0, 上单调递减函数为___ ○
（
）
D.偶函数，在 , 0 上递增，在 0, 上递减
9． （2013 年徐汇一模 17） 若函数 f ( x) (A) a 0
ax 2 1 在 0, 上单调递增，那么实数 a 的取值范围是 x
(B) a 0 (C) a 0 (D) a 0
『精解例题』
例 1．讨论下列函数的单调区间，并给予证明 （ 1） f x x x 1 ；