【2019年整理】函数的单调性与极值3理
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函数的单调性与极值理
(1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上严格单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上严格单调减少. •说明
1、判别法中的开区间可换成其他各种区间. 2、判别法中如果f(x)严格增大(减小)，只能得出 f (x)≥0 (≤0)
如： 函数f(x)=x3在(, )上严格单调增加 但 f (0) =0
•函数单调性的判别法 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导.
(1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上严格单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上严格单调减少.
（1）两类点定义的出发点不同。
极值点是指函数在这一点处的函数值大于或小于该点 邻域内任何其它点的函数值；
驻点是指导数为零的点
因此极值点可以是可导点也可以是不可导点，而驻点 一定是可导点。
（2）极值点成为驻点的条件：若函数在区间内可导， 则函数的极值点一定是驻点，反之不成立；
（3）驻点成为极值点的条件：若f (x)在驻点左右邻域 内符号相反，则此驻点一定为极值点
y=2x39x212x3
例 例3 4. . 讨 论 函 数 y = 3 x 2 的 单 调 性 . 解 函数的定义域为(, ). y = 2 ( x 0 ) , 函 数 在 x = 0 处 不 可 导 . 3 3 x 因为x<0时, y<0, 所以函数在(, 0] 上单调减少
因为x>0时, y>0, 所以函数在[0, )上单调增加.
故函数f(x) 在x=0处取 得极小值f(0)=0.
y = 3 x2
•说明
1、判别法中的开区间可换成其他各种区间. 2、判别法中如果f(x)严格增大(减小)，只能得出 f (x)≥0 (≤0)
如： 函数f(x)=x3在(, )上严格单调增加 但 f (0) =0
•函数单调性的判别法 设函数f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导.
(1)如果在(a, b)内f (x)>0, 则f(x)在[a, b]上严格单调增加 (2)如果在(a, b)内f (x)<0, 则f(x)在[a, b]上严格单调减少.
（1）两类点定义的出发点不同。
极值点是指函数在这一点处的函数值大于或小于该点 邻域内任何其它点的函数值；
驻点是指导数为零的点
因此极值点可以是可导点也可以是不可导点，而驻点 一定是可导点。
（2）极值点成为驻点的条件：若函数在区间内可导， 则函数的极值点一定是驻点，反之不成立；
（3）驻点成为极值点的条件：若f (x)在驻点左右邻域 内符号相反，则此驻点一定为极值点
y=2x39x212x3
例 例3 4. . 讨 论 函 数 y = 3 x 2 的 单 调 性 . 解 函数的定义域为(, ). y = 2 ( x 0 ) , 函 数 在 x = 0 处 不 可 导 . 3 3 x 因为x<0时, y<0, 所以函数在(, 0] 上单调减少
因为x>0时, y>0, 所以函数在[0, )上单调增加.
故函数f(x) 在x=0处取 得极小值f(0)=0.
y = 3 x2
•说明
函数的单调性与极值3理
所以,函数 f ( x)在x0 处取得极大值
例2 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
解
f
(
x)
2
(
x
1
2) 3
( x 2)
3
当x 2时, f ( x)不存在. 但函数f ( x)在该点连续.
当x 2时，f ( x) 0;
M
当x 2时，f ( x) 0.
f (2) 1为f ( x)的极大值.
五、小结
单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的 重要应用. 定理中的区间换成其它有限或无限区间， 结论仍然成立. 应用：利用函数的单调性可以确定某些方 程实根的个数和证明不等式.
当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
单减区间为_____________.
二、 确定下列函数的单调区间：
1、
y
4x3
10 9x2
；
6x
2、 y 3 (2 x a)(a x)2 (a 0)；
3、 y x sin 2x .
三、证明下列不等式： 1、当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 2、当 x 4时，2 x x 2 ； 3、若 x 0，则sin x x 1 x 3. 64 Βιβλιοθήκη 1)02
第三节函数的单调性与极值
f ( x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调增加 .
若在(a , b)内， f x2 ) f ( x1 ). y f ( x )在[a , b]上单调减少.
例1 解
判断函数 y ln x的单调性. 函数的定义域为 0,.
f ( x 0 x ) f ( x 0 ) ( 1 ) 证 0, f ( x0 ) lim
x 0
x
故f ( x0 x ) f ( x0 )与x异号，
当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0, 当x 0时， 有f ( x0 x ) f ( x0 ) 0,
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.
函数 f ( x) 2 x 3 9 x 2 12x 3
有极大值 f (1) 2和 极 小 值 f ( 2) 1, 点x 1, x 2是 函 数 f ( x )的 极 值 点 。
注1：极值是函数的局部性概念，与最值不同；
M
f ( 2) 1为f ( x )的极大值.
得驻点x1 1, x2 0, x3 1. (2)令 f ( x) 0， 2 2 (3) f ( x) 6( x 1)(5 x 1)
(4) f (0) 6 0 故极小值 f (0) 0
5 f ( 1 ) f ( 1 ) 0 , 第二充分条件失效。
(4) 求出各极值点处的函数 值.
例6 求函数 f ( x) x 3 3 x 2 9 x 5 的极值 . 解 (1) f ( x) 3 x 2 6 x 9 3( x 1)( x 3)
高等数学§3-3函数的单调性与极值-精品文档
当 x0 时 ,导数不存在 .
y 3 x2
当 x 0 时， f ( x ) 0 , 在 ( ,0 ] 上单调减少；
当 0 x 时， f ( x ) 0 , 在 [0 , )上单调增加；
, ). 单调区间为 ( ,0] ， [0
x 0 时 , 试证 x ln( 1 x ) 成立 . 例3 当
x 则 f(x ) . f ( x ) x ln( 1 x ), 证 设 1 x
f ( x ) 在 [ 0 , ) 上连续 , 且 ( 0 , ) 可导 f ( x ) 0 ,
f ( 0 ) 0 , 在 [0 , )上单调增加；
x ln( 1 x ) 0 ,即 当 x 0 时， x ln( 1 x ).
0 在 ( 0 , ) 内 , y ,
函数单调增加 .
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法:
(x (x 用 方f 程 )0 的 根f 及 )不 存 在 的 点 数的符 . 号
来划分函 f(x ) 数 的 定 义, 区 然间 后判断区间
O x
y x3
定理2（极值存在的一阶充分条件）
在该邻域（x0可除外）可导， 设f (x)在x0的某邻域内连续，
x0为f (x)的驻点或使f (x) 不存在的点。
(i) 若当x < x0 时，f (x) > 0；当x > x0 时，f (x) < 0，
则 f (x0) 是f (x)的极大值；
f ( x ) f ( x ). 2 1
y f( x ) 在 [ a ,b ] 上单调减少 .
y 3 x2
当 x 0 时， f ( x ) 0 , 在 ( ,0 ] 上单调减少；
当 0 x 时， f ( x ) 0 , 在 [0 , )上单调增加；
, ). 单调区间为 ( ,0] ， [0
x 0 时 , 试证 x ln( 1 x ) 成立 . 例3 当
x 则 f(x ) . f ( x ) x ln( 1 x ), 证 设 1 x
f ( x ) 在 [ 0 , ) 上连续 , 且 ( 0 , ) 可导 f ( x ) 0 ,
f ( 0 ) 0 , 在 [0 , )上单调增加；
x ln( 1 x ) 0 ,即 当 x 0 时， x ln( 1 x ).
0 在 ( 0 , ) 内 , y ,
函数单调增加 .
定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间.
导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法:
(x (x 用 方f 程 )0 的 根f 及 )不 存 在 的 点 数的符 . 号
来划分函 f(x ) 数 的 定 义, 区 然间 后判断区间
O x
y x3
定理2（极值存在的一阶充分条件）
在该邻域（x0可除外）可导， 设f (x)在x0的某邻域内连续，
x0为f (x)的驻点或使f (x) 不存在的点。
(i) 若当x < x0 时，f (x) > 0；当x > x0 时，f (x) < 0，
则 f (x0) 是f (x)的极大值；
f ( x ) f ( x ). 2 1
y f( x ) 在 [ a ,b ] 上单调减少 .
3.2.1+函数的单调性与最值课件+2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区
间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
新知探究
角度4 求函数的最值
2
例6 已知函数f(x)＝ (x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
x−1
解析：∀x1，x2∈[2，6]，且x1<x2，则
2
f(x1)－f(x2)＝
4
新知探究
角度2
解不等式
例4 f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取
值范围是(
)
3
A．m＞0
B．0＜m＜
C．－1＜m＜3
2
1
3
D．－ ＜m＜
2
2
答案：B
−2 < m − 1 < 2，
3
解析：由题意知 −2 < 2m − 1 < 2， 解得0<m< .故选B.
（增）函数的差是增（减）函数；
新知探究
归纳总结
（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）
函数；
（4）如果y = f u 和u = g x 单调性相同，那么y = f[g(x)]是增函数，
如果y = f u 和u = g x 单调性相反，那么y = f[g(x)]是减函数.
2
m − 1 < 2m − 1，
新知探究
角度3
利用函数的单调性求参数的取值范围
2m
例5 若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝ 在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范
x+1
围是(
)
A．(－∞，0)∪ 0，1 B. −1，0 ∪ 0，1
间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
新知探究
角度4 求函数的最值
2
例6 已知函数f(x)＝ (x∈[2，6])，求函数的最大值和最小值．
x−1
解析：∀x1，x2∈[2，6]，且x1<x2，则
2
f(x1)－f(x2)＝
4
新知探究
角度2
解不等式
例4 f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，若f(m－1)＞f(2m－1)，则实数m的取
值范围是(
)
3
A．m＞0
B．0＜m＜
C．－1＜m＜3
2
1
3
D．－ ＜m＜
2
2
答案：B
−2 < m − 1 < 2，
3
解析：由题意知 −2 < 2m − 1 < 2， 解得0<m< .故选B.
（增）函数的差是增（减）函数；
新知探究
归纳总结
（3）如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一子区间上也是增（减）
函数；
（4）如果y = f u 和u = g x 单调性相同，那么y = f[g(x)]是增函数，
如果y = f u 和u = g x 单调性相反，那么y = f[g(x)]是减函数.
2
m − 1 < 2m − 1，
新知探究
角度3
利用函数的单调性求参数的取值范围
2m
例5 若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝ 在区间[2，4]上都是减函数，则m的取值范
x+1
围是(
)
A．(－∞，0)∪ 0，1 B. −1，0 ∪ 0，1
高等数学-函数的单调性与极值
单调递增.
（2）如果在(, )内 ′ () < 0，那么函数()在[, ]上
单调递减.
3
01 函数单调性的判别法
注 （1）如果在(, )内, ′ () ≡ 0,由3.1节的推论1
可知，()在(, )内是一个常数函数；
（2）该定理中的闭区间换成开区间（包括无穷区间）
的内部取得，在区间的端点处不能取得极值.
12
02
函数的极值及其求法
极值的求法
定理3.7 （必要条件）设函数()在点0 可导，且在点
0 取得极值，那么 ′ (0 ) = 0.
注 （1）可导函数的极值点必定是驻点，但
y
驻点不一定是极值点，如3 点；
y =f ( x )
（2）连续函数的极值点还可能是使导数
不存在的点，如5 点；
（3）驻点和一阶导数不存在的点为可能
a x1
O x2 x3
x4
x5 x6 b
x
的极值点﹒
13
02
函数的极值及其求法
定理3.8 （极值存在的第一充分条件）设函数()在
∘
点0 处连续，且在0 的某去心邻域(0 , )内可导.
（1）如果当 ∈ (0 − , 0 )时 ′ () > 0，当 ∈ 0 , 0 +
01 函数单调性的判别法
02 函数的极值及其求法
9
02
函数的极值及其求法
定义3.1
设函数()在0的任意，
（1）若() < (0 )，那么(0 )是()的一个极大值，
点 = 0 是()的一个极大值点；
（2）若() > (0 )，那么(0 )是()的一个极小值，
时 ′ () < 0，那么(0 )是函数()的极大值.
3.2 函数的单调性及其极值
函数值比较而言，并不意味着它在函数的整个定义区间内最大或最小，所以，
极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值，上图中,极大值可能比极小
值还要小；
(2)由极值的定义知，函数的极值只能在区间内部取得，不能在区
间的端点处取得。
极值存在的必要条件与充分条件：
问题:哪些点处有可能取得极值呢？ 由图可见：在极值点处如果有切线的话，切线是
y y = f (x)
a x1 O x2
x3 x4
x5 b x
定理 (极值存在的第一充分条件)
设函数 y = f (x) 在 x0 的某个邻域内可导(在 x0 处可以不可导，但必须连续)，则有
(1) 当 x x0 时 ， f ( x) 0 ， 当 x x0 时 ， f ( x) 0 ，
(, 1), 1, 7 , 7 , 2, (2, ). 5 5
(3)列单调极值表如下：
x (-, 1) 1
f (x) +
0
极大
f (x)
值点
1, 7 5
7 5
7 , 2 5
2
-0
+0
极小 值点
非极 值点
(2, + ) +
例 5 求函数 f (x) = (x - 1)2 (x - 2)3 的极值. 解 (1) 定义域为 (- ,+ )
(2) f (x) = (x - 1) (x - 2)2 (5x - 7) 令f (x) = 0 得 f (x) 的驻点：x 1, x 7 , x 2,
5
该函数在定义区间内无不可导的点， 上述驻点将定义区间分为四个子区间
例 1 试求函数 f (x) = 3x4 -16x3 + 30x2 – 24x + 4 在区间[0,3]上的最大值和最小值.
函数的单调性与极值79749
所以 f (x) 的单调增加区间是 (,1和) (1,；) 单
调递减区间是 (1,1)
例3
确定函数
f
(x)
3
5
x3
3
3
x 2的单调区间。
52
解 f (x)的定义域是 (, )
2019/5/18
f
( x)
2
x3
1
x3
x 1
3x
令 f (x) 0，得 x 1，又 x 0 处导数不存在，
数值相比较，其中最大的就是函数 f (x在) a,b上 的 最大值，最小的就是函数 f (x)在 a,b上的最小值。
注意下述三种情况：
（1）如果 f (x)在 a,b上是单调函数；
2019/5/18
（2）如果连续函数 f (x)在某区间内只有一个极大 （小）值，而无极小（大）值；
（3）在实际问题中，由问题的实际意义可知，确 实存在最大值或最小值，又若函数在所讨论的区间内
（1）如果在 (x0 , x0 )内 f (x) 0，在 (x0 , x0 ) 内 f (x) 0，则函数 f (x)在点 x0处取极大值 f (x0；)
（2）如果在 (x0 , x0 )内 f (x) 0，在 (x0 , x0 ) 内 f (x) 0，则函数 f (x)在点 x处0 取极小值 f (x0 ；)
f (x) 在 x 1 处取得极小值 f (x) 1。
2
函数
f
(x)
x
3
2
x3
1的图形如图
2
f (0) ，1
2019/5/18
y 1
1 2
0
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例2 确定函数 f ( x) 2x 3 9x 2
12x 3的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少；
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极大值;
如果存在着点x0的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x0外, f ( x) f ( x0 )均成立,就称 f ( x0 )是函数f ( x)的一个极小值.
当0 x 时， f ( x) 0, 在[0,)上单调增加；
单调区间为 (,0]， [0,).
注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加. 例4 当x 0时,试证x ln(1 x)成立. 证 设f ( x) x ln(1 x), 则 f ( x) x .
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可
导（. 1）如果在(a, b)内f ( x) 0，那末函数 y f ( x)
在[a, b]上单调增加；(2) 如果在(a, b)内 f ( x) 0，
那末函数 y f ( x)在[a, b]上单调减少.
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极小值.
(3)如果当 x ( x0 , x0 )及 x ( x0 , x0 )时, f '( x)
符号相同,则 f ( x) 在x0 处无极值.
y
y
o
x0
xo
x0
x (是极值点情形)
y
y
o
x0
xo
求极值的步骤:
x0
x
(不是极值点情形)
二、单调区间求法
问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的， 但在各个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调 的，则该区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间 的分界点． 方法:用方程 f ( x) 0的根及 f ( x)不存在的点 来划分函数 f ( x)的定义区间,然后判断区间内导 数的符号.
当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导，f ( x) 0, 在(,0]上单调减少；
第三节 函数的单调性及极值
Function monotony and extreme value
• 一、单调性的判别法 • 二、单调区间求法 • 三、函数极值的定义 • 四、函数极值的求法 • 五、小结 思考题
一、单调性的判别法
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
但函数的驻点却不一定是极值点. 例如, y x3, y x0 0, 但x 0不是极值点.
定理2(第一充分条件)
(1)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 ),
有 f '( x) 0，则 f ( x)在x0 处取得极大值.
(2)如果 x ( x0 , x0 ),有 f '( x) 0;而 x ( x0 , x0 )
证 x1, x2 (a,b), 且 x1 x2 , 应用拉氏定理,得
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1 ) ( x1 x2 )
x2 x1 0,
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调增加.
若在(a,b)内，f ( x) 0, 则 f ( ) 0,
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
例1 讨论函数y ex x 1的单调性.
解 y e x 1.又 D : (,).
在(,0)内, y 0,
函数单调减少； 在(0,)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用 导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一 点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
(1) 求导数 f ( x);
(2) 求驻点，即方程 f ( x) 0的根; (3) 检查 f ( x) 在驻点左右的正负号,判断极值点;
(4) 求极值.
例1 求出函数 f ( x) x3 3x2 9x 5 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 9 3( x 1)(x 3) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 1, x2 3. 列表讨论
x (,1) 1 (1,3) 3 (3,)
函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点.
四、函数极值的求法
定理1(必要条件) 设 f ( x)在点x0 处具有导数,且 在 x0处取得极值,那末必定 f '( x0 ) 0. 定义 使导数为零的点(即方程 f ( x) 0 的实根)叫 做函数 f ( x) 的驻点. 注意: 可导函数 f ( x) 的极值点必定是它的驻点,
1 x f ( x)在[0,)上连续,且(0,)可导，f ( x) 0,
在[0,)上单调增加； f (0) 0,
当x 0时，x ln(1 x) 0, 即 x ln(1 x).
三、函数极值的定义
y
y f (x)
a o x1
x2 x3
x4
b x5 x6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义 设函数f ( x)在区间(a,b)内有定义, x0是 (a , b)内 的 一 个 点,