2012年苏北四市三模数学试卷

连云港市2012届高三年级模拟考试数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.设集合2{0,1,3},{1,2}A B a a==++，若{1}A B =I ，则实数a 的值是________. 2.已知复数z 满足(1)1i z +=+(i 是虚数单位)，则||z =________.3.某校高一、高二、高三学生共有3200名，其中高三800名，如果通过分层抽样的方法从全体学生中抽取一个160人的样本，那么应从高三的学生中抽取的人数是________.4.箱中有号码分别为1，2，3，4，5的五张卡片，从中一次随机抽取两张，则两张号码之和为3的倍数的概率是________.5.右图是求函数值的程序框图，当输出y 值为1时， 则输入的x 值为________.6.已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中， P ，M 分别为线段1BD ，11B C 上的点，若112BP PD =， 则三棱锥M PBC -的体积为________.7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点、右焦点分别为A ，F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为________.8.如图，已知A ，B 是函数3sin(2)y x θ=+的图像与x 轴两相邻交点，C 是图像上A ，B 之间的最低点，则AB AC ⋅=uu u r uuu r_________.9.设直线y=a 分别与曲线2y x =和xy e =交于点M ，N ________.10.定义区间[,]a b 的长度为b a -.用[]x 表示不超过x 的()1g x x =-，则02012x ≤≤时，不等式()()f x g x ≤11.已知集合2{|(1),}A x x a a x a =+≤+∈R ，若集合A __________.12.已知等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若7453n n S n T n +=+，且2n nab 是整数，则n 的值为__________.13.在平面直角坐标系中，已知点(1,2),(4,0),(,1),(1,1)A B P a N a -+，则当四边形P ABN 的周长最小时，过三点A ，P ，N 的圆的圆心坐标是__________.14.已知ABC ∆的三边长a ，b ，c 成等差数列，且22284a b c ++=，则实数b 的取值范围是__________. 二、解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题．．卡指定的区域内作答．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明，求证过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分)已知函数()sin()sin()cos ()44f x x x x x x ππ=+-+∈R . （1）求(6f π的值；（2）在ABC ∆中，若(12A f =，求sin sinBC +的最大值.16.(本小题满分14分)如图，已知正方形ABCD 和直角梯形BDEF 所在平面互相垂直，1,2BF BD EF BF BD ⊥==. （1）求证：DE ∥平面ACF ； （2）求证：BE ⊥平面ACF .A BCDEF如图，在C 城周边已有两条公路12,l l 在点O 处交汇，且它们的夹角为75.已知)OC =+km ，OC 与公路1l 的夹角为45 .现规划在公路12,l l 上分别选择A ，B 两处为交汇点(异于点O )直接修建一条公路通过C 城.设OA x =km ，OB y =km. （1）求y 关于x 的函数关系式并指出它的定义域； （2）试确定点A ，B 的位置，使OAB ∆的面积最小.18.(本小题满分16分)如图，已知椭圆C 的方程为2214x y +=，A ，B 是四条直线2,1x y =±=±所围成的矩形的两个顶点.（1）设P 是椭圆C 上任意一点，若OP mOA nOB =+uu u r uu r uu u r，求证：动点(,)Q m n 在定圆上运动，并求出定圆的方程；（2）若M ，N 是椭圆上两个动点，且直线OM ，ON 的斜率之积等于直线OA ，OB 的斜率之积，试探求OMN ∆的面积是否为定值，并说明理由.1l 2若函数()f x 在(0,)+∞上恒有'()()xf x f x >成立(其中'()f x 为函数()f x 的导函数)，则称这类函数为A 型函数.（1）若函数2()1g x x =-，判断()g x 是否为A 型函数，并说明理由； （2）若函数1()3ln ah x ax x x-=---是A 型函数，求函数()h x 的单调区间； （3）若函数()f x 是A 型函数，当120,0x x >>时，证明1212()()()f x f x f x x +<+.20.(本小题满分16分)已知各项均为正整数的数列{}n a 满足1n n a a +<，且存在正整数(1)k k >，使得1212k k a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，*()n k n a k a n +=+∈N . （1）当1233,6k a a a =⋅⋅=时，求数列{}n a 的前36项的和36S ； （2）求数列{}n a 的通项n a ； （3）若数列{}n b 满足81121()2n a n n b b -+=-⋅，且1192b =，其前n 项积为n T ，试问n 为何值时，n T 取得最大值？连云港市2012届高三年级模拟考试数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，直线AB 经过O e 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，O e 圆O 交直线OB 于E ，D ，连接EC ，CD ，若1tan ,2CED O ∠=e 的半径为3，求OA 的长.B ．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知二阶矩阵M 有特征值λ＝3及对应的一个特征向量111e ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，并且矩阵M 对应的变换将点（－1，2）变换成（9，15），求矩阵M ．C ．选修4-2：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos ,(3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩参数）的左焦点且与直线1,(42x t t y t =+⎧⎨=-+⎩为参数）垂直的直线的普通方程．D ．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）对于任意实数(0)a a ≠和b ，不等式|||2|||(|1||2|)a b a b a x x ++-≥-+-恒成立，试求实数x 的取值范围．_ E_ O_ D_ B_ A【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AB 的中点，点P 在平面A 1B 1C 1D 1内，D 1P ⊥平面PCE ．试求： （1）线段D 1P 的长；（2）直线DE 与平面PCE 所成角的正弦值．23．（本小题满分10分）已知*(1()nn a n N =∈．（1）若,)n a a a b Z =+∈，求证：a 是奇数；（2）求证：对于任意*n N ∈，都存在正整数k，使得n a =_ 1_ A _ 1_ C_连云港市2012届高三年级第二次模拟考试数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．0； 23．40； 4．0.4； 5．1； 6．32； 71； 8．28π；9．2； 10．2011； 11．[)8,7； 12．15； 13．93,8⎛⎫- ⎪⎝⎭； 14．．8.用向量投影；9.用a 表示MN ，再求导；10.分解因式；11.分解因式；12.由单调性、值域可知无其它解；13.先用距离公式，然后转化为直线上点到异侧两点距离之和；14.设b-d ，b ，b+d ，两边之和大于第三边.二、解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分． 15．⑴ππ()sin()sin()cos 44f x x x x x =+-1cos 222x x =…………………………………………………2分 πsin(26x =+， ……………………………………………………………4分所以π(6f =1． ……………………………………………………………6分⑵由(12A f =，有π()sin()126A f A =+=，因为0πA <<，所以ππ62A +=，即π3A =. …………………………………………8分2πsin sin sin sin()3B C B B +=+-=3πsin )26B B B +=+. ………12分 因为2π03B <<，所以ππ5π666B <+<，1πsin()126B <+≤，所以sin sin B C +…………………14分 16．⑴设AC BD O =I ，连结FO ．因为ABCD 是正方形，所以O 是BD 的中点，因为2BD EF =，所以DO EF∥，所以四边形DOFE 是平行四边形，所以DE OF P ．……5分因为DE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面AFC ，所以DE 平面ACF ． …………………7分 ⑵因为ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥，因为平面ABCD ⊥平面BDEF ， 平面ABCD I 平面BDEF BD =，所以AC ⊥平面BDEF ，因为BE ⊂平面BDEF ，所以BE ⊥AC ． ……………………………………………10分第16题图ABCDEFO因为12BF BD =，所以BF BO =， 所以四边形BOEF 是正方形，所以BE OF ⊥． …………………………………12分 因为OF AC O =I ，,OF AC ⊂平面ACF ，所以BE ⊥平面ACF ．…………………14分 17．⑴因为AOC △的面积与BOC △的面积之和等于AOB △的面积，所以11145sin 75222x y xy += ，……………………………4分12x y xy +=，所以2)y x =>． ……………………………6分 ⑵AOB △的面积1sin 75S xy ==22x x-………………………8分424)2x x -++-81)=．…………………12分当且仅当4x =时取等号，此时y =故4OA km =，OB =时，AOB △面积21)km ． …………………………14分 18．⑴易求(21)A ，，(21)B -，. ……………………………………2分 设00()P x y ，，则220014x y +=.由OP mOA nOB =+u u u r u u r u u u r ，得002(),,x m n y m n =-⎧⎨=+⎩ 所以224()()14m n m n -++=，即2212m n +=.故点()Q m n ，在定圆2212x y +=上. ……………………………………8分⑵设11()M x y ，，22()N x y ，，则121214y y x x =-.平方得22222212121216(4)(4)x x y y x x ==--，即22124x x +=. ……………………………10分 因为直线MN 的方程为21211221()()0x x y y y x x y x y ---+-=，所以O 到直线MN 的距离为d =……………………………12分所以OMN △的面积122111||22S MN d x y x y==-=1. 故OMN △的面积为定值1. …………………………………16分19．⑴因为()2g x x '=，所以222()()2(1)10xg x g x x x x '-=--=+>在(0,)+∞上恒成立， 即()()xg x g x '>在(0,)+∞上恒成立，所以2()1g x x =-是A 型函数． …………………………………………2分 ⑵211()(0)ah x a x x x -'=-+>，由()()xh x h x '>，得 1113ln ---+>---a aax ax x x x， 因为0>x ，所以可化为2(1)2ln -<+a x x x ．令()2ln p x x x x =+，()3ln p x x '=+，令()0p x '=，得3e -=x ， 当3(0,e )-∈x 时，()0p x '<，()p x 是减函数； 当3(e ,)-∈+∞x 时，()0p x '>，()p x 是增函数，所以33min ()(e )e p x p --==-，所以32(1)e --<-a ，311e 2a -<-． ………………4分 ①当0=a 时，由21()0xh x x-'=>，得1<x ，所以增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞； ②当0<a 时，由21(1)()0a a x x a h x x---'=>，得01x <<， 所以增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞；③当102a <<时，得1x <，或1a x a->， 所以增区间为(0,1)1(,)a a -+∞，减区间为1(,1)aa-；④当12a =时，()0h x '≥，所以，函数增区间为(0,)+∞；⑤3111e 22a -<<-时，由21()(1)()0a a x x a h x x ---'=>，得1x >，或1a x a -<， 所以增区间为(1,)+∞，1(0,)a a -，减区间为1(,1)aa-． ……………………………10分⑶函数()f x 是(0,)+∞上的每一点处都有导数，且()()xf x f x '>在(0,)+∞上恒成立，设()()f x F x x =，2()()()0xf x f x F x x'-'=>在(0,)+∞时恒成立， 所以函数()()f x F x x=在(0,)+∞上是增函数， ………………………………………12分 因为120,0x x >>，所以1211220,0x x x x x x +>>+>>， 所以121122()(),()()F x x F x F x x F x +>+>，即121122121122()()()(),f x x f x f x x f x x x x x x x ++>>++， ………………………………………14分 所以112212121212()()(),()x f x x x f x x f x f x x x x x ++<<++，两式相加，得1212()()()f x f x f x x +<+． …………………………………………16分 第19题（2）是否为A 型函数与单调性无关？ 20．⑴当3k =，1236a a a =时，1236a a a ++=．设32313n n n n c a a a --=++，由33n n a a +=+，得19n n c c +=+，所以数列{}n c 是公差为9的等差数列，故361212121112696662S c c c ⨯=+++=⨯+⨯=L ． ………………………………4分 ⑵若2k =，1212a a a a +=⋅，又12a a <，所以1212a a a a +=⋅22a <，所以11a =，此时221a a +=，矛盾． ………………………………6分 若3k =，123123a a a a a a ++=⋅⋅，所以12333a a a a ⋅⋅<，123a a ⋅<，所以1231,2,3a a a ===，满足题意． ………………………………8分 若4k ≥，1212k k a a a a a a +++=⋅⋅⋅L L ，所以12k k a a a ka ⋅⋅⋅<L ，即121k a a a k -⋅⋅⋅<L ， 又因为12112(1)22k a a a k k k -⋅⋅⋅>⨯⨯⨯-->≥L L ，所以4k ≥不满足题意．……10分 所以11a =，22a =，33a =，且33n n a a +=+，所以3213(1)32n a a n n -=+-=-，3123(1)31n a a n n -=+-=-，333(1)3n a a n n =+-=，故n a n =． …………………………………12分 ⑶因81121(2n a n n b b -+⋅=-⋅，所以1812121()2n a n n b b +-++⋅=-⋅，所以212n n b b +=，所以{}{}221,n n b b -都是以12为公比的等比数列， 所以16212132(, 1,2114(, 2,2n n nn n b n n --⎧⋅⋅⎪⎪=⎨⎪-⋅⎪⎩≥为奇数,≥为偶数. ………………………………………14分 令11n n b b +⋅<，即8121(12n --⋅<，811()221n -<，所以13n ≥， n 为奇数时有，12341112131415161,11,1,1b b b b b b b b b b ⋅>⋅>⋅>⋅<⋅<，，L ， 从而24121214,T T T T T <<<>>L L ，n 为偶数时，有23451213141516171,1,,1,1,1b b b b b b b b b b ⋅>⋅>⋅>⋅<⋅<L ，从而13131315,T T T T T <<<>>L L ，注意到12130,0T T >>，且131********T b T T T =⋅=>，所以数列{}n b 的前n 项积n T 最大时n 的值为13．………………………………………16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．如图，连接OC ，因为,OA OB CA CB ==，所以OC AB ⊥． 因为OC 是圆的半径，所以AB 是圆的切线．……………………3分 因为ED 是直径，所以90ECD ︒∠=，所以90E EDC ︒∠+∠=， 又90,BCD OCD OCD ODC ︒∠+∠=∠=∠， 所以BCD E ∠=∠，又因为CBD EBC ∠=∠， 所以BCD ∆∽BEC ∆，所以2BC BDBC BD BE BE BC=⇒=⋅， ……………………5分 21tan ==∠EC CD CED ，BCD ∆∽BEC ∆，21==EC CD BC BD ． ……………………7分 设BD x =，则2BC x =，因为2BC BD BE =⋅，ABCDEO第21—A 题图所以2(2)(6)x x x =+，所以2BD =． ………………………………9分 所以235OA OB BD OD ==+=+=． ………………………………10分B ．设a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，则1133113a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故3,3a b c d =⎧⎨=⎩++． ………………………4分 19215a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故29,215a b c d -=⎧⎨-=⎩++． …………………………………7分 联立以上两方程组解得1,4,3,6a b c d =-==-=，故M =1436-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦． ………………10分 C ．椭圆的普通方程为221259x y +=，左焦点为(4,0)-， ………………………………4分直线1,42x t y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）的普通方程为260x y --=，……………………………8分所求直线方程为1(4)2y x =-+，即240x y ++=．…………………………………10分 D ．原式等价于212||a b||a b||x ||x |a |++--+-≥，设t ab =，则原式变为|1||21||1||2|t t x x ++--+-≥对任意t 恒成立． ………………………2分 因为13,,21|1||21|2,1,23,1,t t t t t t t t ⎧⎪⎪⎪++-=-+-<<⎨⎪--⎪⎪⎩≥≤最小值为21=t 时取到，其最小值为23． ………………………………………………6分 所以有232,3121122321x ,x x x ,x ,x,x -⎧⎪-+-=<<⎨⎪-⎩．≥≥≤解得39[,]44x ∈． …………………………10分22．⑴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(002)D ，，，(210)E ，，，(020)C ，，．设(2)P x y ，，，则1(0)D P x y =，，uuu r， (212)EP x y =--，，uu r ，(210)EC =-，，uu u r ． ………2分 因为1D P ⊥平面PCE ，所以1D P EP ⊥，1D P EC ⊥，所以10D P EP =uuu r uu r g ，10D P EC =uuu r uu u rg ，第22题图故(2)(1)020x x y y x y -+-=⎧⎨-+=⎩，．解得0,0x y =⎧⎨=⎩．(舍去)或4585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，．……………………………4分即48(,2)55P ，，所以148(,0)55D P =，uuu r，所以1D P ==． ………………6分 ⑵由⑴知，1148(2,1,0),(,,0),55DE D P D P ==⊥uuu r uuu r uuu r 平面PEC ，设DE 与平面PEC 所成角为θ，1D P uuu r 与DE uuu r所成角为α，则11164sin cos 5D P DED P DEθα⋅====uuu r uuu r ， 所以直线DE 与平面PEC 所成角的正弦值为45． ………………………………………10分 23．⑴由二项式定理，得02233C C C C C n nn n n n n a =++++L ，所以02244224C C C 12C 2C n n n n n a =+++=+++L L ，因为2242C 2C n n ++L 为偶数，所以a 是奇数． ………………………………………4分⑵由⑴设(1)n n a a a b Z ==+∈，，则(1n a -=-…………………5分所以222((1(1(12)n n n a b a a -=+-==-，………………………6分 当n 为偶数时，2221a b =+，存在2k a =，使得n a a =+= …………………………………………8分 当n 为奇数时，2221a b =-，存在22k b =，使得n a a =+= …………………………………………9分 综上，对于任意n N *∈，都存在正整数k，使得n a = …………………10分。