吉林省九校联合体2014年春学期高三第二次摸底考试数学试卷(理科,有答案)
[套卷]吉林省吉林市2014届高三开学摸底考试 数学理 Word版
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吉林省吉林市2014届高三开学摸底考试 数学理 Word 版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1．已知{}{}|24,|3A x x B x x =-<<=>，则A B = A. {}|24x x -<< B. {}|3x x > C. {}|34x x <<D. {}|23x x -<<2. 复数ii-+13等于 A. i 21-B. i 21+C. i -2D. i +23. ()tan sin 1f x x x =++，若2)(=b f ，则=-)(b fA. 0B. 3C. -1D. -24. 如图. 程序输出的结果s=132 , 则判断框中应填A. i ≥10?B. i ≥11?C. i ≤11?D. i ≥12?5. 某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为 A. 600B. 288C. 480D. 5046. 设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，有下列四个命题： ① 若αβαβ⊥⊥⊂m m 则,,；② 若βαβα//,,//m m 则⊂； ③ 若βαβα⊥⊥⊥⊥m m n n 则,,,；④ 若//,//,//m m αβαβ则其中正确命题的序号是 A. ①③B. ①②C. ③④D. ②③7. 平行四边形ABCD 中，AB =（1，0），AC =（2，2），则AD BD ⋅等于A ．4B ．-4C ．2D ．-28. 已知关于x 的二项式nxa x )(3+展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为 A. 1 B. ±1C. 2D. ±29. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A ．8B ．8+C ．8D ．32310. 已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωφωφωφ=++><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递减函数11. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F ，直线c a x 2=与其渐近线交于A ，B两点，且△ABF 为钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 A. （∞+，3）B. （1，3）C. （∞+，2）D. （1，2）12. 已知定义在R 上的函数()y f x =对任意的x 都满足(1)()f x f x +=-，当11x -≤＜ 时，3()f x x =，若函数()()log a g x f x x =-至少6个零点，则a 的取值范围是A. 10,5,5+∞ （]（）B. 10,[5,5+∞ （）） C. 11,]5,775（（）D. 11,[5,775（））第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒．则b =14. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥+-07202201y x y x y x ，则y x z +=的最大值是15. 下列说法：① “R x ∈∃，使x2>3”的否定是“R x ∈∀，使≤x23”； ② 函数s i n (2)3y x π=+的最小正周期是π；③ “在ABC ∆中，若sin sin A B >，则A B >”的逆命题是真命题；④ “1m =-”是“直线(21)10mx m y +-+=和直线320x my ++=垂直”的充要条件；其中正确的说法是 （只填序号）.16. 四面体ABCD 中，共顶点A 的三条棱两两相互垂直，且其长别分为1、6、3，若四面体ABCD 的四个项点同在一个球面上，则这个球的表面积为 。
吉林省九校联合体2014年春学期高三第二次摸底考试理综试卷(有答案)
吉林省九校联合体2014年春学期高三第二次摸底考试理综试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
共16页，考试时间150分钟，共300分。
考生注意：1．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
第Ⅱ卷用蓝黑钢笔或圆珠笔在答题纸上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
．．．．．．．．．．．．．2．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后5位。
以下数据可供解题时参考。
可能用到的相对原子质量：H—1，C—12，N—14，O—16，F—19，Al—27，S—32, Cl—35.5，K—39， Ca—40，Fe—56，Cu—64，I—127，Ba—137第Ⅰ卷必考题（21题，共126分）一．选择题（本题包括13小题，每小题6分，共78分。
每小题有一个选项符合题意。
）1．下列关于人体细胞结构和功能的叙述，正确的是A．溶酶体的存在使水解反应局限在一定部位，不会破坏整个细胞B．核糖体是蛋白质合成和加工的场所C．线粒体内膜蛋白质和脂质的比值小于外膜D．高尔基体与有丝分裂过程中细胞板的形成有关2．图甲表示水稻的叶肉细胞在光照强度分别为a、b、c、d时，单位时间内CO2释放量和O2产生总量的变化。
图乙表示水稻CO2吸收速率与光照强度的关系。
有关说法正确的是A.图甲中，光照强度为b时，光合作用速率等于呼吸作用速率B.图甲中，光照强度为d时，单位时间内细胞从周围吸收2个单位的CO2C.图甲中的c点和图乙中的h点对应D.图乙中，限制e、f、g点光合作用速率的因素主要是光照强度3．以下关于生物变异和生物进化的叙述，不正确的是A．因为种群基因频率改变，所以生物一定会进化B．不同物种之间、生物与环境之间共同进化导致生物多样性C．抗生素的使用使病原体产生了适应性的变异D．有性生殖的出现实现了基因重组，明显加快了生物进化的速度4．下图是某生态系统物质和能量流向示意图。
2014级高三二诊数学(理)参考答案及评分意见
( 一㊁ 选择题 : 每小题 ５ 分 , 共６ ０ 分) １． D; ２． A; ３． B; ４． A; ５． D; ; ; ; ; ７． B ８． C ９． D １ ０． C １ １． D; ) 第 Ⅱ 卷( 非选择题 , 共９ 分 ０ ( 二㊁ 填空题 : 每小题 ５ 分 , 共２ ０ 分) ２ n １ ３． ㊀㊀１ ４． ３ ２． ８; ㊀㊀１ ５． ４; ㊀㊀１ ６． ． －２; n ＋１ ( 三㊁ 解答题 : 共７ ０ 分) B E C E ( 解: 在 әB 据正弦定理 , 有 １ ７． Ⅰ) E C 中, ． ＝ s i n øB C E s i n B ２ π , ȵ øB ＝ B E ＝１, C E＝ ７, ３ ３ B E ������s i n B ２ ２ １ ʑ s i n øB C E＝ ． ＝ ＝ C E １ ４ ７ ( 由平面几何知识 , 可知 øD Ⅱ) E A ＝ øB C E． π 在R t әA E D中, ȵ øA ＝ , A E ＝５, ２ ３ ５７ ２ ʑc o s øD E A ＝ １－s i n øD E A ＝ １－ ＝ ． ２ ８ １ ４ 第 Ⅰ 卷( 选择题 , 共６ ０ 分) ６． C; １ ２． A．
ɡ ɡ ɡ
C D２ ＝ C E２ ＋D E２ －２ C E������D E������ c o s øC E D ＝ ７＋２ ８－２ˑ ７ ˑ２ ７ ˑ ( －
当 x ＝５ ７ ０时, ３ˑ５ ７ ０＋４ ３ ３． ２＝６ ０ ４． ２． y ＝０．
������������������������１ ０分
高三数学 ( 理科 ) 二诊测试参考答案第 ㊀ 共 ５页) １ 页(
������������������������１ 特征量 y 的估计值为 ６ ʑ 当 x ＝５ ７ ０时, ０ ４． ２． ２分 ( 解: 如图 , 作 GM ʊ C 交B 连接 MF ． １ ９． Ⅰ) D, C 于点 M , 作 BH ʊ AD , 交 GM 于 N , 交D C 于H． ȵE F ʊC D ,ʑGM ʊ E F． ʑGN ＝A B ＝３, HC ＝９． ȵA B ʊ GM ʊ D C, NM BM A G ２ ʑ ＝ ＝ ＝ ． HC B C AD ３ ʑNM ＝６． ʑGM ＝GN ＋ NM ＝９． ������������������������４ 分 ʑGM ������E F． ʑ 四边形 GMF E 为平行四边形 ． ʑG E ʊ MF ． 又 MF ⊂ 平面 B C F, G E ⊄ 平面 B C F, ������������������������６ 分 ʑG E ʊ 平面 B C F． ( Ⅱ )ȵ 平面 AD E ʅ 平面 C D E F, AD ʅ D E, AD ⊂ 平面 AD E, ʑAD ʅ 平面 C D E F． 以 D 为坐标原点 , D C 为x 轴 , D E 为y 轴 , DA 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标 系D x z． y ʑ E (０, ４, ０) , F (９, ４, ０) , C (１ ２, ０, ０) , B (３, ０, ４ ３) ． ң ң , , , ( ) ʑE F ＝ ９００ E B ＝ (３, ４ ３) ． －４, 设平面 E B F 的法向量n１ ＝ (x１ , z１ ) ． y１ , ң x１ ＝０ n ������E F ＝０, ９ 由 １ 得 ． ң ３ x１ －４ z１ ＝０ ������ y１ ＋４ ３ n１ E B ＝０ ������������������������８ 分 取 y１ ＝ ３ , 得 n１ ＝ (０,３, １) ． ң ң 同理 , F C ＝ (３, ０) , F B ＝ ( －６, －４, ４ ３) ． －４, , ) 设平面 B C F 的法向量n２ ＝ ( x２ , z ． y２ ２ ң ３ x ４ ������ － ＝０ ２ ２ y n F C ＝０, 由 ２ 得 ． ң x２ －４ z２ ＝０ －６ y２ ＋４ ３ n２ ������F B ＝０ ������������������������１ 取 x２ ＝４, 得 n２ ＝ (４, ０分 ３, ３ ３) ． n１ ������ n２ ０ˑ４＋ ３ ˑ３＋１ˑ３ ３ ６３ ３ ３ ９ ʑ c o s＜ n１ , n２ ＞＝ ． ＝ ＝ ＝ n１ | n２ | ２ ６ | | ２ˑ １ ６＋９＋２ ７ ２ˑ２ １ ３ ������������������������１ １分 ȵ 二面角 E －B F －C 为钝二面角 ,
吉林省吉林市2014届高三下学期第二次模拟考试 理综(2014吉林二模) Word版含答案.pdf
吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测 理科综合能力测试 注意：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分300分，考试时间150分钟。
相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 F 19 Mg 24 Al 27 K 39 Mn 55 Cu 64 第I卷（共126分） 一、选择题：本题包括13个小题，每小题6分，每小题只有一个选项符合题意。
1. 下列关于人体的体温调节和水盐调节说法正确的有A．食物过咸时，抗利尿激素分泌减少，尿量减少B．饮水过多，细胞外液渗透压会升高 C．D．人体产热主要是指肝脏和. 下列有关生物研究方法的叙述，正确的是： A．探究温度对酶活性的影响可用过氧化氢和过氧化氢酶进行实验 B. 在鉴定还原糖时，为避免样液本身颜色的干扰，可选用接近白色的甘蔗提取液 C. 可运用对比实验法探究酵母菌的呼吸方式 D. 摩尔根运用类比推理法证明了果蝇眼色基因在X染色体上 3. 下图为生物体内3种有机分子的结构，其中①仅存在于植物细胞中，不正确的是 A．①最可能存在于叶肉细胞叶绿体类囊体薄膜上，主要吸收蓝紫光和红光 B．②的分布主要在细胞质中，吡罗红可使其呈现红色， C. ③的合成总是伴随着有机物的氧化分解 D．②和③的分子组成上都含有核糖 4． 甲、乙、丙三种植物激素及NAA的作用模式如图所示，图中“＋”表示促进作用，“－”表示抑制作用，下列叙述错误的是A．甲、乙、丙B．甲C．促进果实D．NAA作用5. 下图表示真核细胞细胞核内某种遗传信息流动过程， 相关叙述正确的是： A. 细胞分裂间期一定有该过程发生，衰老细胞中 不再发生该过程 B. 图示能表示成熟的水稻叶肉细胞某基因的基因 表达全过程 C. 图中的4代表核糖体，细胞中的3一般有20种 D. 细胞的分裂和分化过程中都一定会发生图示过程 6．对下图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四幅图的描述，正确的是： A．图I显示出该植物细胞正处于光合速率小于细胞呼吸速率的状态 B．图Ⅱ虚线表示酶促反应中提高底物浓度后的变化曲线 C．图Ⅲ中Y曲线出现K值，是受食物、空间、气候、天敌等因素的限制 D．图Ⅳ曲线表明肝脏中肝糖原在a点时含量最多 7. 设NA表示阿伏加德罗常数的值，下列叙述正确的是 A. 1L 0.1 mol·L—1的CH3COONa溶液中CH3COO—的总数是0.1NA B．常温常压下，1.6g O2 和O3 混合气体中质子总数为0.8 NA C. 一定条件下，2mol SO2 和 1mol O2 发生反应，转移的电子总数一定是NA D. 1L 0.1mol·L—1的葡萄糖溶液中分子总数为0.1 NA. 下列叙述的是 A. B. 乙醇和汽油都是可再生能源，所以要大力发展“乙醇汽油” C. 用水可区分苯溴苯用新制的 9. 下列说法中，正确的是 A. 甲烷与乙烯共1mol，完全燃烧后生成的H2O为2mol B. 光照下，异丁烷与Cl2发生取代反应生成的一氯代物有三种 C. 在酸性条件下，CH3CO18OC2H5的水解产物是CH3CO18OH和C2H5OH B. 装饰材料中的甲醛、芳香烃及氡等会造成居室污染 C. 用催化氧化法处理汽车尾气中的CO和NO：CO＋NO C＋NO2 D. 向污水中投放明矾，利用生成的胶体净水：Al3+＋3H2O Al(OH)3(胶体)＋3H+ 11. 电化学与现代人的生活密切相关，具备一定的电化学知识对于方便生产生活有很重要的意义。
2014年吉林省长春市高考数学二模试卷(理科)
2014年吉林省长春市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合M={x|x＜2}，集合N={x|0＜x＜1}，则下列关系中正确的是（）A.M∪N=RB.M∪∁R N=RC.N∪∁R M=RD.M∩N=M【答案】B【解析】解：A、∵集合M={x|x＜2}，集合N={x|0＜x＜1}，∴M∪N={x|x＜2}≠R，故错误；B、∵集合N={x|0＜x＜1}，全集为R，∴C R N={x|x≤0或x≥1}，又集合M={x|x＜2}，则M∪C R N=R，本选项正确；C、∵集合M={x|x＜2}，全集为R，∴C R M={x|x≥2}，又集合N={x|0＜x＜1}，则N∪C R M={x|0＜x＜1或x≥2}≠R，故错误；D、∵集合M={x|x＜2}，集合N={x|0＜x＜1}，∴M∩N={x|0＜x＜1}≠M，故错误，故选BA、由集合M与N，根据并集的定义：属于集合M又属于集合N的元素组成的集合为M与N的并集，确定出并集即可做出判断；B、先由全集R，及集合N，根据补集的定义，在R中找出不属于N的部分，确定出N 的补集，然后找出补集与M的公共元素即可确定出所求，做出判断；C、同理由全集R和集合M求出M的补集，然后求出补集与N的并集，即可做出判断；D、由集合M和N，找出两集合的公共元素，确定出两集合的交集，做出判断．此题考查了交集、并集及补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，学生在求补集时注意全集的范围．2.设i是虚数单位，则|（1-i）-|等于（）A.0B.4C.2D.【答案】D【解析】解：∵1-i-=1-i+2i=1+i，∴|1+i|=，故选：D．根据复数的四则运算进行化简即可．本题主要考查复数的四则运算以及复数模长的计算，比较基础．3.已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4）．若λ为实数，（+λ）⊥，则λ=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由题意可知：=（1，0）+λ（1，2）=（1+λ，2λ）由（）⊥可得：3（1+λ）+4×2λ=0，解之可得λ=故选A由向量的运算可得的坐标，由向量的垂直可得关于λ的方程，解之可得答案．本题考查平面向量数量积的运算以及向量的垂直与数量积的关系，属中档题．4.已知命题p：函数y=2-a x+1恒过（1，2）点；命题q：若函数f（x-1）为偶函数，则f （x）的图象关于直线x=1对称，则下列命题为真命题的是（）A.p∧qB.￢p∧￢qC.￢p∧qD.p∧￢q【答案】B【解析】解：函数y=2-a x+1的图象可看作把y=a x的图象先沿轴反折，再左移1各单位，最后向上平移2各单位得到，而y=a x的图象恒过（0，1），所以函数y=2-a x+1恒过（-1，1）点，所以命题p假，则￢p真．函数f（x-1）为偶函数，则其对称轴为x=0，而函数f（x）的图象是把y=f（x-1）向左平移了1各单位，所以f（x）的图象关于直线x=-1对称，所以命题q假，则命题￢q 真．综上可知，命题￢p∧￢q为真命题．故选B复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．复合命题的真值表：5.运行如图框图输出的S是254，则①应为（）A.n≤5B.n≤6C.n≤7D.n≤8【答案】C【解析】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．∵S=2+22+…+26+27=254，故①中应填n≤7．故选C．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值，并输出满足循环的条件．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．6.以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0），若ξ位于区域（0，1）内的概率为0.4，则ξ位于区域（0，2）内的概率为0.8；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大．其中真命题的序号为（）A.①④B.②④C.①③D.②③【答案】D【解析】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统（等距）抽样，不是分层抽样，∴①是假命题；②∵线性相关系数r的绝对值越接近1，两变量间线性关系越密切，∴“两个变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1”是真命题；③∵变量ξ～N（1，σ2），∴P（0＜ξ＜2）=2P（0＜ξ＜1）=0.8，∴③是真命题；④∵随机变量K2的观测值k越大，判断“X与Y有关系”的把握越大，∴④是假命题．∴以上真命题的序号是②③；故选：D．①根据系统抽样与分层抽样的特征，可以判定命题是否正确；②由线性相关系数r的特征，可以判定命题是否正确；③由变量ξ～N（1，σ2），求出P（0＜ξ＜2）的值，判定命题是否正确；④由随机变量K2与观测值k之间的关系，判断命题是否正确．本题通过命题真假的判定，考查了统计学中有关的特征量问题，解题时应明确这些特征量的意义是什么，是易错题．7.已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A. B.2 C. D.3【答案】B【解析】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=-1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x-3y+6=0的距离d1=则d1+d2=a2+1=当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故选B设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．此题考查学生灵活运用抛物线的简单性质解决实际问题，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题8.计划将排球、篮球、乒乓球3项目的比赛安排在4不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2的安排方案共有（）A.60种B.42种C.36种D.24种【答案】A【解析】解：根据题意，分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，则安排方案共有A43=24种，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有C32A42=36种；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有24+36=60种；故选：A．根据题意，分分2种情况讨论：①、若3个项目分别安排在不同的场馆，②、若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，由组合数公式可得每种情况下的安排方案数目，由分类计数原理计算可得答案．本题考查计数原理的应用，解题时注意正确理解题意，确定分类讨论的依据，分类讨论注意做到不重不漏．9.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2，∴母线长为，圆锥的表面积S=S底面+S侧面=×π×12+×2×2+×π×=2+．故选A．由三视图知几何体为半个圆锥，且圆锥的底面圆半径为1，高为2，求出圆锥的母线长，圆锥的表面积等于底面半圆面积+侧面三角形面积+圆锥侧面积的一半．本题考查了由三视图求几何体的表面积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．10.已知函数f（x）=x2+2x+1-2x，则y=f（x）的图象大致为（）A. B. C.D.【答案】A【解析】解：f（x）=x2+2x+1-2x=（x+1）2-2x，令g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，则f（x）=g（x）-h（x），在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现g（x）与h（x）共有三个交点，横坐标从小到大依次令为x1，x2，x3，在（-∞，x1）区间上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；在区间（x1，x2）有g（x）＜h （x），即f（x）＜0；在区间（x2，x3）上有g（x）＞h（x），即f（x）＞0；在区间（x3，+∞）有有g（x）＜h（x），即f（x）＜0．故选：A．由题设，可构造两个函数g（x）=（x+1）2，h（x）=2x，作出它们的图象，根据两者的位置关系研究函数f（x）的图象的位置关系，从而得出正确选项．本题考查函数图象特征与函数值正负的对应，确定出对应区间上函数值的符号是解答的关键．11.已知直线l与双曲线C于A，B两点（A，B在同一支上），F1，F2为双曲线的两个焦点，则F1，F2在（）A.以A，B为焦点的椭圆上或线段AB的垂直平分线上B.以A，B为焦点的双曲线上或线段AB的垂直平分线上C.以AB为直径的圆上或线段AB的垂直平分线上D.以上说法均不正确【答案】B【解析】解：当直线l垂直于实轴时，F1，F2在AB的垂直平分线上；当直线l不垂直于实轴时，设双曲线焦点在x轴，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，且A、B都在右支上，由双曲线定义：|AF1|-|AF2|=2a，|BF1|-|BF2|=2a，则|AF2|-|BF2|=|AF|-|BF1|＜|AB|，由双曲线定义知F1，F2在以A、B为焦点的双曲线上，故选：B．当直线l垂直于实轴时，F1，F2在AB的垂直平分线上；当直线l不垂直于实轴时，由双曲线定义推导出|AF2|-|BF2|=|AF|-|BF1|＜|AB|，由此能求出结果．本题考查双曲线的简单性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．12.设函数f（x）是定义在（-∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有2f（x）+xf′（x）＞x2，则不等式（x+2014）2f（x+2014）-4f（-2）＞0的解集为（）A.（-∞，-2012） B.（-2012，0）C.（-∞，-2016）D.（-2016，0）【答案】C【解析】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0），得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3，即[x2f（x）]′＜x3＜0，令F（x）=x2f（x），则当x＜0时，得F′（x）＜0，即F（x）在（-∞，0）上是减函数，∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（-2）=4f（-2），即不等式等价为F（x+2014）-F（-2）＞0，∵F（x）在（-∞，0）是减函数，∴由F（x+2014）＞F（-2）得，x+2014＜-2，即x＜-2016，故选：C．根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C-sin2B=sin A sin C，则B= ______ ．【答案】【解析】解：在△ABC中，∵sin2A+sin2C-sin2B=sin A sin C，∴利用正弦定理得：a2+c2-b2=ac，∴cos B==，∴B=，故答案为：．由条件利用正弦定理可得a2+c2-b2=ac，由此求得cos B=的值，可得B的值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．14.的展开式中的常数项为a，则直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为______ ．【答案】【解析】解：=，则（1+x3）3的展开式的通项公式为，当k=1时，展开式的常数项a=，即a=3，此时直线y=ax=3x，由得x2=3x，解得x=0或x=3，则由积分公式得=（）|=，故答案为：；先根据二项式定理求出常数a，然后利用积分的几何意义求区域面积．本题主要考查利用积分求区域面积，利用二项式定理的知识求出常数项a是解决本题的关键．15.用一个边长为4的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为1的鸡蛋（视为球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底面的距离为______ ．【答案】【解析】解：由题意可知折叠后的蛋槽的上顶点在底面的射影如图中红线三角形，蛋槽的底面是正三角形边长为2，∴蛋槽的高为，且折起三个小三角形顶点构成边长为1的等边三角形A′B′C′，O-A′B′C′是列出为1的正四面体，∴球心到面A′B′C′的距离，∴鸡蛋中心与蛋巢底面的距离为．故答案为：．画出图形，判断蛋槽的底面三角形的形状，求出蛋槽的高，判断球心与蛋槽的上底面三棱锥的形状，然后求出棱锥的高即可．本题考查空间想象能力，逻辑推理能力，点到平面距离的求法，考查计算能力．16.已知数列{a n}中，a1=1，a2n=n-a n，a2n+1=a n+1，则a1+a2+a3+…+a100= ______ ．【答案】1306【解析】解：∵a2n=n-a n，a2n+1=a n+1，∴a n=n-a2n，a n=a2n+1-1，∴a2n+1+a2n=n+1，∴a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a98+a99）=1+2+3+…+50=1275，a100=50-a50=50-（25-a25）=25+a12+1=26+（6-a6）=32-（3-a3）=29+（a1+1）=31，∴a1+a2+a3+…+a100=1275+31=1306．故答案为：1306．由已知条件得a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a98+a99）=1+2+3+…+50=1275，a100=50-a50=29+（a1+1）=31，由此能求出a1+a2+a3+…+a100．本题考查数列的前100项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．三、解答题(本大题共8小题，共90.0分)17.已知α为锐角，且tanα=-1，函数f（x）=2xtan2a+sin（2a+），数列{a n}的首项a1=1，a n+1=f（a n）．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）求数列{na n}的前n项和S n．【答案】解：（Ⅰ）∵tanα=-1，∴tan2α===1，又α为锐角，∴2α=，∴sin（2α+）=1，∴f（x）=2x+1；（Ⅱ）∵a n+1=f（a n）=2a n+1，∴a n+1+1=2（a n+1），∵a1=1，∴数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n+1=2•2n-1=2n，∴a n=2n-1，∴na n=n•2n-n，下面先求{n•2n}的前n项和T n：T n=1×2+2×22+3×23+…+（n-1）•2n-1+n•2n，2T n=1×22+2×23+…+（n-1）•2n+n•2n+1，两式相减得：-T n=2+22+23+…+2n-n•2n+1=-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1，∴T n=2+（n-1）•2n+1，∴S n=2+（n-1）•2n+1-．【解析】（Ⅰ）利用二倍角的正切可求得tan2α=1，α为锐角，可求得sin（2α+）=1，于是可知函数f（x）的表达式；（Ⅱ）依题意，可知数列{a n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，于是可求得a n=2n-1，na n=n•2n-n，先用错位相减法求得{n•2n}的前n项和T n，再利用分组求和法求得S n．本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，求得a n=2n-1是关键，也是难点，突出考查错位相减法与分组求和法，属于难题．18.据IEC（国际电工委员会）调查显示，小型风力发电项目投资较少，且开发前景广阔，假设投资A项目的资金为（≥0）万元，投资B项目资金为y（y≥0）万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3．（1）记投资A，B项目的利润分别为ξ和η，试写出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη；（2）某公司计划用不超过100万元的资金投资于A，B项目，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目，根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值．【答案】解：（1）∵投资A项目的资金为x（x≥0）万元，未来一年内，位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6，亏损20%的可能性为0.4，∴A项目投资利润ξ的分布列：∴Eξ=0.18-0.08=0.1．∵投资B项目资金为y（y≥0）万元，未来一年内，位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.1，不赔不赚的可能性是0.3．∴B项目投资利润η的分布列：∴∴η=0.21y-0.01y=0.2y．…（6分），…（9分）（2）由题意知x，y满足的约束条件为，由（1）知，z=Eξ+Eη=0.1x+0.2y，当x=50，y=50，∴z取得最大值15．∴对A、B项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元．…（12分）【解析】（1）由已知条件，利用概率分布列的性质和计算公式能求出能求出随机变量ξ与η的分布列和期望Eξ，Eη．（2）由题意列出x，y满足的约束条件，由此估计一年后两个项目的平均利润之和z=Eξ+Eη的最大值．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的计算，是中档题，在历年高考中都是必考题型．19.如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，O是AB中点，PO⊥平面ABCD，PO=CD=DA=AB=4，M是PA中点．（1）证明：平面PBC∥平面ODM；（2）求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明：∵BC=CD=DA，PO=CD=DA=AB=4，M是PA中点．∴BO=OA=CD=DA=4，∵底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，…（2分）∵CD平行且等于BO，∴四边形OBCD是平行四边形，∴BC∥OD．∵AO=BO，AM=PM，∴OM∥PB，又∵BC∥OD，∴OD∥平面PBC，OM∥平面PBC，∴平面PBC∥平面ODM．…（6分）（2）以O为原点，BA方向为x轴，以平面ABCD内过O点且垂直于AB方向为y轴，以OP方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则P（0，0，4），B（-4，0，0），A（4，0，0），C（-2，-2，0），D（2，-2，0），…（8分）∴=（-4，0，-4），=（2，-2，0），设平面PBC的法向量，，，则，取x=，得，，，又，，，，，，设平面PAD的法向量，，，则，取，得，，，设平面PBC与平面PAD所成锐二面角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=，∴平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值为．…（12分）【解析】（1）由已知条件推导出四边形OBCD是平行四边形，从而得到BC∥OD．进而得到OD∥平面PBC，OM∥平面PBC，由此能够证明平面PBC∥平面ODM．（2）以O为原点，BA方向为x轴，以平面ABCD内过O点且垂直于AB方向为y轴，以OP方向为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出平面PBC与平面PAD所成锐二面角的余弦值．本题考查平面与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上．（1）求椭圆的方程；（2）点M在圆x2+y2=b2上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=b2的切线交椭圆于P，Q两点，问：△PF2Q的周长是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，说明理由．【答案】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上，∴由题意，得，…（2分）解得a=3，b=2…（4分）∴椭圆方程为．…（5分）（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），（|x1|≤3）∴|PF2|2=（x1-1）2+y12=（x1-9）2，∴|PF2|=3-x1，------------------------（8分）连接OM，OP，由相切条件知：|PM|2=|OP|2-|OM|2=x12+y12-8=x12，∴|PM|=x1，∴|PF2|+|PM|=3----------------------------------（11分）同理可求|QF2|+|QM|=3∴|F2P|+|F2Q|+|PQ|=6为定值．…（12分）【解析】（1）由椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点为F2（1，0），点H（2，）在椭圆上，建立方程组，可得a值，进而求出b值后，可得椭圆方程；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），分别求出|F2P|，|F2Q|，结合相切的条件可得|PM|2=|OP|2-|OM|2求出|PQ|，可得结论．本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系，熟练掌握椭圆的性质是解答本题的关键．21.已知函数f（x）=xlnx．（1）求f（x）的单调区间和极值；（2）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），且x1≠x2，证明：＜f′（）．【答案】（1）解：定义域为（0，+∞），f′（x）=lnx+x•=1+lnx，令f′（x）＞0，则lnx＞-1=ln，∴x＞；令f′（x）＜0，则lnx＜-1=ln，∴0＜x＜，∴f（x）的单调增区间是（，+∞），单调减区间是（0，）．f（x）极小值=f（）==-，f（x）无极大值．（2）证明：不妨设x1＜x2，＜′⇔＜ln+1，即＜-+x2-x1，＜，两边同除以x1得，＜ln-1，令=t，则t＞1，即证：tln＜ln+t-1，令g（t）=tln-t+1，g′（t）=ln+t+-1=ln=ln（1+）-，令（x＞0），h（x）=ln（1+x）-x，h′（x）=＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，即ln（1+x）＜x，即g′（t）=ln（1+）-＜0恒成立，∴g（t）在（1，+∞）上是减函数，所以g（t）＜g（1）=0，∴tln＜ln+t-1得证，∴＜′成立．【解析】（1）求导，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得单调区间，有极值点的定义可求极值；（2）不妨设x1＜x2，＜′⇔＜ln+1，即证＜，两边同除以x1得，＜ln-1，令=t，则t＞1，只证：tln＜ln+t-1，令g（t）=tln-t+1，利用导数证明g（t）＜0即可；该题考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查不等式的证明，考查学生的运算推理能力和转化问题的能力．22.如图：AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H．（Ⅰ）求证：C，D，E，F四点共圆；（Ⅱ）若GH=6，GE=4，求EF的长．【答案】证明：（1）连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，在R t△ABD和R t△AFG中，∠ABD=∠AFE，又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE．∴C，D，E，F四点共圆；（2）∵C，D，E，F四点共圆，∴GE•GF=GC•GD．∵GH是⊙O的切线，∴GH2=GC•GD，∴GH2=GE•GF．又因为GH=6，GE=4，所以GF=9．∴EF=GF-GE=9-4=5．【解析】（1）连接DB，利用AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，在R t△ABD和R t△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，进而得到∠ACD=∠AFE 即可证明四点共圆；（2）由C，D，E，F四点共圆，利用共线定理可得GE•GF=GC•GD．由GH是⊙O的切线，利用切割线定理可得GH2=GC•GD，进而得到GH2=GE•GF．即可熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切割线定理、割线定理等是解题的关键．23.已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ-）的公共点，求x+y的取值范围．【答案】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ-），所以ρ2=4ρ（sinθ-cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x-2y=0．…（5分）（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x-2y=0，可得（x+1）2+（y-）2=4所以圆C的圆心是（-1，），半径是2将代入z=x+y得z=-t…（8分）又直线l过C（-1，），圆C的半径是2，由题意有：-2≤t≤2所以-2≤t≤2即x+y的取值范围是[-2，2]．…（10分）【解析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=-t，又直线l过C（-1，），圆C的半径是2，可得结论．本题考查直线的参数方程与圆的极坐标方程与普通方程的互化，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．24.设函数f（x）=|x-2a|，a∈R．（1）若不等式f（x）＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；（2）若存在x∈R，使得f（x）+x＜3成立，求a的取值范围．【答案】解：（1）由于函数f（x）=|x-2a|，由不等式f（x）＜1，可得-1＜x-2a＜1，解得2a-1＜x＜2a+1．再由此不等式的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a-1=1，且2a+1=3，解得a=1．（2）若存在x∈R，使得f（x）+x＜3成立，即不等式|x-2a|＜3-x有解，即x-3＜x-2a ＜3-x有解，即＜＜有解，即＜＜有解，故有a＜，即a的范围为（-∞，）．【解析】（1）解不等式f（x）＜1，可得2a-1＜x＜2a+1．再由此不等式的解集为{x|1＜x＜3}，可得2a-1=1，且2a+1=3，由此解得a的值．（2）由题意可得不等式|x-2a|＜3-x有解，即x-3＜x-2a＜3-x有解，即＜＜有解，即＜＜有解，由此求得a的范围．本题主要考查绝对值不等式额解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．。
2014长春二模理科数学试题及答案
2014长春高三二模 数 学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选填涂在答题卡上）.1．设集合{}2|<=x x M ，集合{}10|<<=x x N ，则下列关系中正确的是A ．M N =RB ．()MN =R R ðC ．()NM =R R ðD ．M N M =2．设i 是虚数单位，则i2i 1--等于 A ．0B ．4C ．2D ．23．已知向量(1,2)=a ,b (1,0)=,c (3,4)=,若λ为实数，()λ⊥b +a c ，则λ的值为A ．311-B ．113- C ．12 D ．354．已知命题p ：函数12+-=x a y 的图象恒过定点)2,1(；命题q ：若函数y =)1(-x f 为偶函数，则函数y =)(x f 的图象关于直线1=x 对称，则下列命题为真命题的是 A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ． p q ⌝∧ D. p q ∨⌝5. 运行如图所示的程序框图，若输出的S 是254，则①应为A ．n ≤5?B ．n ≤6?C ．n ≤7?D ．n ≤8?6．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品 进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1； ③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)N σ(0)σ>，若ξ位于区域(0,1)内的概率为0.4，则ξ位于区域(0,2)内的概率为0.8；④对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大．其中真命题的序号为 A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③7．已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是 A．5B ．2C ．115D ．38．计划将排球、篮球、乒乓球3个项目的比赛安排在4个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有 A ．60种 B ．42种 C ．36种 D ．24种 9．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A．2+2 B．2+2C．(2+π D．2+2第5题图10．已知函数2()212xf x x x =++-，则()y f x =的图象大致为11.已知直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点(A ，B 在同一支上),21,F F 为双曲线的两个焦点,则21,F F 在A ．以A ，B 为焦点的椭圆上或线段AB 的垂直平分线上 B ．以A ，B 为焦点的双曲线上或线段AB 的垂直平分线上C ．以AB 为直径的圆上或线段AB 的垂直平分线上D ．以上说法均不正确12．设函数()f x 是定义在(0)-∞，上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++-->的解集为 A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2014年吉林省长春市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2014年吉林省长春市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．（5分）复数Z＝1﹣i的虚部是（）A．i B．﹣i C．﹣1D．12．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣4x+3＜0}，集合N＝{x|lg（3﹣x）＞0}，则M∩N＝（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．∅3．（5分）函数f（x）＝（sin x+cos x）2的一条对称轴的方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝π4．（5分）抛物线x2＝的焦点到准线的距离是（）A．2B．1C．D．5．（5分）等比数列{a n}中，a3＝9前三项和为S3＝3x2dx，则公比q的值是（）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣6．（5分）定义某种运算S＝a⊗b，运算原理如图所示，则式子的值为（）A．13B．11C．8D．47．（5分）实数x，y满足若目标函数z＝x+y取得最大值4，则实数a的值为（）A．4B．3C．2D．8．（5分）已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β9．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||＝||，则双曲线的离心率值为（）A．B．C．D．10．（5分）一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（）A．B．C．4πD．11．（5分）若函数y＝f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A．f（x）＝e x﹣1B．f（x）＝ln（x+1）C．f（x）＝sin x D．f（x）＝tan x12．（5分）已知函数f（x）＝1+x﹣+﹣+…+，g（x）＝1﹣x+﹣+﹣…﹣，设函数F（x）＝f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8B．9C．10D．11二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．（5分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝2，则．14．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为．15．（5分）已知数列{a n}（n＝1，2，3，…2012），圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y＝0，圆C2：x2+y2﹣2a n x﹣2a2013﹣n y＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则{a n}的所有项的和为．16．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，若f（x）＝sin（x﹣[x]），则下列结论中：正确的序号为①y＝f（x）是奇函数；②y＝f（x）是周期函数，周期为2π；③y＝f（x）的最小值为0，无最大值；④y＝f（x）无最小值，最大值为sin1．三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，S5﹣S2＝27，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S n，2（a n+1+1），S n+2成等比数列，求正整数n的值．18．（12分）已知向量．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a＝1，c＝，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积．19．（12分）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB ＝2AD＝2，点E为AB的中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE；（2）求证：D1E⊥A1D；（3）在线段AB上是否存在点E，使二面角D1﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心为（p，q）．（1）当p+q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）若D（b+1，0），在（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（）.的最小值为，求椭圆的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣，g（x）＝alnx（a∈R）（1）a≥﹣2时，求F（x）＝f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）设h（x）＝f（x）+g（x），且h（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，]，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．四、解答题（共3小题，满分10分）22．（10分）选做题：几何证明选讲如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段BF的长．23．选修4﹣4：坐标系与参数方程选讲．以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点C的极坐标为（），若直线l经过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4．（1）求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程；（2）试判断直线l与圆C有位置关系．24．（选做题）已知f（x）＝|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．2014年吉林省长春市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）. 1．（5分）复数Z＝1﹣i的虚部是（）A．i B．﹣i C．﹣1D．1【解答】解：复数Z＝1﹣i的虚部是﹣1，故选：C．2．（5分）已知集合M＝{x|x2﹣4x+3＜0}，集合N＝{x|lg（3﹣x）＞0}，则M∩N＝（）A．{x|2＜x＜3}B．{x|1＜x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．∅【解答】解：由M中的不等式x2﹣4x+3＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣3）＜0，解得：1＜x＜3，即M＝{x|1＜x＜3}，由N中的不等式变形得：lg（3﹣x）＞0＝lg1，即3﹣x＞1，解得：x＜2，即N＝{x|x＜2}，则M∩N＝{x|1＜x＜2}．故选：C．3．（5分）函数f（x）＝（sin x+cos x）2的一条对称轴的方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝π【解答】解：∵f（x）＝（sin x+cos x）2＝sin2x+2sin x cos x+cos2x＝1+sin2x，由2x＝kπ+（k∈Z）得：x＝+（k∈Z），令k＝0得，x＝，∴函数f（x）＝（sin x+cos x）2的一条对称轴的方程x＝，故选：A．4．（5分）抛物线x2＝的焦点到准线的距离是（）A．2B．1C．D．【解答】解：抛物线x2＝的方程可知：，解得p＝．∴此抛物线的焦点到准线的距离d＝．故选：D．5．（5分）等比数列{a n}中，a3＝9前三项和为S3＝3x2dx，则公比q的值是（）A．1B．﹣C．1或﹣D．﹣1或﹣【解答】解：S3＝＝，即前三项和为S3＝27，∵a3＝9，∴，即，∴＝，即2q2﹣q﹣1＝0，解得q＝1或q＝，故选：C．6．（5分）定义某种运算S＝a⊗b，运算原理如图所示，则式子的值为（）A．13B．11C．8D．4【解答】解：∵运算S＝a⊗b中S的值等于分段函数的函数值，∴＝2ⓧ1+2ⓧ3＝2×（1+1）+（2+1）×3＝13故选：A．7．（5分）实数x，y满足若目标函数z＝x+y取得最大值4，则实数a的值为（）A．4B．3C．2D．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示∵y＝﹣x+z，则z表示直线的纵截距做直线L：x+y＝0，然后把直线L向可行域平移，结合图象可知，平移到C（a，a）时，z最大此时z＝2a＝4∴a＝2故选：C．8．（5分）已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面α，β，下列命题正确的是（）A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥αC．若l⊥n，m⊥n，则l∥mD．若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则α⊥β【解答】解：若m∥n，n⊂α，则m∥α，或m⊂α，或A不正确；若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与α相交或n∥α或n⊂α，故B不正确；若l⊥n，m⊥n，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l⊥α，m⊥β，且l⊥m，则由直线垂直于平面的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故D正确．故选：D．9．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的右顶点、左焦点分别为A、F，点B（0，﹣b），||＝||，则双曲线的离心率值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵||＝||，∴＝0，∴∠ABF＝90°，由射影定理得OB2＝OF×OA，∴b2＝ca，又∵c2＝a2+b2，∴c2＝a2+ca，∴a2+ca﹣c2＝0，∴1+e﹣e2＝0，解得e＝或（舍），∴e＝．故选：B．10．（5分）一个半径为1有球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的表面积为（）A．B．C．4πD．【解答】解：由三视图判断几何体是上半球前后、左右各切割去球体的球，∴几何体的表面积S＝2π×12+6×π×12+×4π×12＝2π+π+π＝π．故选：D．11．（5分）若函数y＝f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|≥|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A．f（x）＝e x﹣1B．f（x）＝ln（x+1）C．f（x）＝sin x D．f（x）＝tan x【解答】解：要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|≥|y|内，分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）＝sin x，故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝1+x﹣+﹣+…+，g（x）＝1﹣x+﹣+﹣…﹣，设函数F（x）＝f（x+3）•g（x﹣4），且函数F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）内，则b﹣a的最小值为（）A．8B．9C．10D．11【解答】解：∵f（x）＝1+x﹣+﹣+…+，∴f′（x）＝（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2012＝（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012当x＝﹣1时，f′（x）＝2×1006+1＝2013＞0，当x≠﹣1时，f′（x）＝（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012＝（1﹣x）•+x2012＝＞0，∴f（x）＝1+x﹣+﹣+…+在R上单调递增；又f（0）＝1，f（﹣1）＝﹣﹣﹣﹣…﹣＜0，∴f（x）＝1+x﹣+﹣+…+在（﹣1，0）上有唯一零点，由﹣1＜x+3＜0得：﹣4＜x＜﹣3，∴f（x+3）在（﹣4，﹣3）上有唯一零点．∵g（x）＝1﹣x+﹣+﹣…﹣，∴g′（x）＝（﹣1+x）+（﹣x2+x3）+…﹣x2012＝﹣[（1﹣x）+（x2﹣x3）+ (x2012)＝﹣f′（x）＜0，∴g（x）在R上单调递减；又g（1）＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＞0，g（2）＝﹣1+（﹣）+（﹣）+…+（﹣），∵n≥2时，﹣＝＜0，∴g（2）＜0．∴g（x）在（1，2）上有唯一零点，由1＜x﹣4＜2得：5＜x＜6，∴g（x﹣4）在（5，6）上有唯一零点．∵函数F（x）＝f（x+3）•g（x﹣4），∴F（x）的零点即为f（x+3）和g（x﹣4）的零点．∴F（x）的零点区间为（﹣4，﹣3）∪（5，6）．又b，a∈Z，∴（b﹣a）min＝6﹣（﹣4）＝10．故选：C．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.13．（5分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝2，则6．【解答】解：由题意可得＝•（+）＝+||•||cos120°＝9+＝6，故答案为：6．14．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球表面积为12π，则该三棱柱的体积为3．【解答】解：设球半径R，上下底面中心设为M，N，由题意，外接球心为MN 的中点，设为O，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝，又AM＝，由勾股定理可知，OM＝1，所以MN＝2，即棱柱的高h＝2，所以该三棱柱的体积为××2＝3．故答案为：3．15．（5分）已知数列{a n}（n＝1，2，3，…2012），圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y＝0，圆C2：x2+y2﹣2a n x﹣2a2013﹣n y＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则{a n}的所有项的和为4024．【解答】解：设圆C1与圆C2交于A，B，则直线AB的方程为：x2+y2﹣4x﹣4y﹣（x2+y2﹣2a n x﹣2a2013﹣n y）＝0，化简得：（a n﹣2）x+（a2013﹣2）y＝0，﹣n∵圆C1：x2+y2﹣4x﹣4y＝0的标准方程为圆（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8，∴圆心C1：（2，2）．又圆C2平分圆C1的周长，则直线AB过C1：（2，2）．，代入AB的方程得：2（a n﹣2）+2（a2013﹣2）＝0，﹣n即a n+a2013﹣n＝4，∴{a n}的所有项的和为a1+a2+…+a2012＝（a1+a2012）+（a2+a2011）+…+（a1006+a1007）＝1006×4＝4024．故答案为：4024．16．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，若f（x）＝sin（x﹣[x]），则下列结论中：正确的序号为③①y＝f（x）是奇函数；②y＝f（x）是周期函数，周期为2π；③y＝f（x）的最小值为0，无最大值；④y＝f（x）无最小值，最大值为sin1．【解答】解：由已知中，f（x）＝sin（x﹣[x]），[x]表示不超过x的最大整数，可得f（1.5）＝sin（1.5﹣[1.5]）＝sin0.5，f（﹣1.5）＝sin（﹣1.5﹣[﹣1.5]）＝sin0.5，f（﹣1.5）＝f（1.5）≠0，故①y＝f（x）是奇函数错误；f（x+1）＝sin（x+1﹣[x+1]）＝sin（x+1﹣[x]﹣1）＝sin（x﹣[x]）＝f（x），1＜2π，故②y＝f（x）是周期函数，周期为2π错误；由g（x）＝x﹣[x]在[k，k+1）（k∈Z）上是单调递增的周期函数，且g（x）∈[0，1），故y＝f（x）＝sin（x﹣[x]）∈[0，sin1），即y＝f（x）的最小值为0，无最大值，故③正确；④错误．综上，正确序号为③．故答案为：③三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝3，S5﹣S2＝27，（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若S n，2（a n+1+1），S n+2成等比数列，求正整数n的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则S5﹣S2＝3a1+9d＝27，又a1＝3，则d＝2，故a n＝2n+1；（2）由（1）可得，由S n，2（a n+1+1），S n+2成等比数列，∴，即n（n+2）2（n+4）＝8（2n+4）2，化简得n2+4n﹣32＝0，解得n＝4或n＝﹣8（舍），∴n的值为4．18．（12分）已知向量．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a＝1，c＝，且f（A）恰是f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵＝（cos x+sin x，﹣）∴（）•＝cos x（cos x+sin x）+＝（1+cos2x）+sin2x+…（2分）∴f（x）＝（1+cos2x）+sin2x+＝sin2x+cos2x+2＝sin（2x+）+2…（5分）．∴f（x）的最小正周期T＝＝π．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（A）＝sin（2A+）+2∵A为锐角，＜2A+＜∴当2A+＝时，即A＝时，f（x）有最大值3，…（8分）由余弦定理，a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴，∴b＝1或b＝2，…（10分）∵△ABC的面积S＝bc sin A∴当b＝1时，S＝×1××sin＝；当当b＝2时，S＝×2××sin ＝．…（12分）综上所述，得A＝，b＝1，S△ABC ＝或A＝，b＝2，S△ABC＝．19．（12分）如图所示，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB ＝2AD＝2，点E为AB的中点．（1）求证：BD1∥平面A1DE；（2）求证：D1E⊥A1D；（3）在线段AB上是否存在点E，使二面角D1﹣EC﹣D的大小为？若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由．【解答】证明：（1）四边形ADD1A1为正方形，O是AD1的中点，点E为AB的中点，连接OE．∴EO为△ABD1的中位线∴EO∥BD1…（2分）又∵EO⊂平面A1DE∴BD1∥平面A1DE…（4分）（2）由已知可得：AE⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1∴AE⊥A1D，又∵A1D⊥AD1，AE∩AD1＝A∴A1D⊥平面AD1E，D1E⊂平面AD1E∴A1D⊥D1E…．（4分）解：（3）由题意可得：D1D⊥平面ABCD，以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），C（0，2，0），A1（1，0，1），D1（0，0，1），设E（1，y0，0）（0≤y0≤2），∵设平面D1EC的法向量为＝（x，y，z）则，得取＝（2﹣y0，1，2）是平面D1EC的一个法向量，而平面ECD的一个法向量为＝（0，0，1），要使二面角D1﹣EC﹣D的大小为，而解得：，当AE＝时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为…（6分）20．（12分）已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦为F，右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，M为椭圆上任意一点，过F，B，A三点的圆的圆心为（p，q）．（1）当p+q≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；（2）若D（b+1，0），在（1）的条件下，当椭圆的离心率最小时，（）.的最小值为，求椭圆的方程．【解答】解：（1）设半焦距为c．由题意AF、AB的中垂线方程分别为，，联立，解得．于是圆心坐标为．由，整理得ab﹣bc+b2﹣ac≤0，即（a+b）（b﹣c）≤0，∴b≤c，于是b2≤c2，即a2＝b2+c2≤2c2．∴，即；（2）当时，，此时椭圆的方程为，设M（x，y），则，∴．当时，上式的最小值为，即，得c＝2；当0＜c＜时，上式的最小值为，即＝，解得，不合题意，舍去．综上所述，椭圆的方程为．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣，g（x）＝alnx（a∈R）（1）a≥﹣2时，求F（x）＝f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）设h（x）＝f（x）+g（x），且h（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，]，求h（x1）﹣h（x2）的最小值．【解答】解：（1）由题意知F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣﹣alnx，其定义域为（0，+∞），则F′（x）＝1+﹣＝，对于m（x）＝x2﹣ax+1，有△＝a2﹣4．①当﹣2≤a≤2时，F′（x）≥0，∴F（x）的单调增区间为（0，+∞）；②当a＞2时，F′（x）＝0的两根为，∴F（x）的单调增区间为和，F（x）的单调减区间为．综上：当﹣2≤a≤2时，F（x）的单调增区间为（0，+∞）；当a＞2时，F（x）的单调增区间为和，F（x）的单调减区间为．（2）由于h（x）＝f（x）+g（x）＝x﹣+alnx，其定义域为（0，+∞），求导得，h′（x）＝1++＝，若h′（x）＝0两根分别为x1，x2，则有x1•x2＝1，x1+x2＝﹣a，∴x2＝，从而有a＝﹣x1﹣，令H（x）＝[x﹣+（﹣x﹣）lnx]﹣[﹣x+（﹣x﹣）ln]＝2[（﹣x﹣）lnx+x ﹣]，则H′（x）＝2（﹣1）lnx＝．当时，H′（x）＜0，∴H（x）在上单调递减，又H（x1）＝h（x1）﹣h（）＝h（x1）﹣h（x2），∴h（x1）﹣h（x2）的最小值为[H（x）]min＝H（）＝5ln2﹣3．四、解答题（共3小题，满分10分）22．（10分）选做题：几何证明选讲如图，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆O交于点F，延长CF交AB于E．（1）求证：E是AB的中点；（2）求线段BF的长．【解答】（1）证明：连接DF，DO，则∠CDO＝∠FDO，因为BC是的切线，且CF是圆D的弦，所以，即∠CDO＝∠BCE，故Rt△CDO≌Rt△BCE，所以．…（5分）所以E是AB的中点．（2）解：连接BF，∵∠BEF＝∠CEB，∠ABC＝∠EFB∴△FEB∽△BEC，得，∵ABCD是边长为a的正方形，所以．…（10分）23．选修4﹣4：坐标系与参数方程选讲．以直角坐标系的原点为极点O，x轴正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，﹣5），点C的极坐标为（），若直线l经过点P，且倾斜角为，圆C的半径为4．（1）求直线l的参数方程及圆C的极坐标方程；（2）试判断直线l与圆C有位置关系．【解答】解：（1）直线l的参数方程，即（t为参数）．由题知C点的直角坐标为（0，4），圆C半径为4，∴圆C方程为x2+（y﹣4）2＝16，将代入，求得圆C极坐标方程ρ＝8sinθ．（2）由题意得，直线l的普通方程为x﹣y﹣5﹣＝0，圆心CC到l的距离为d＝＝＞4，∴直线l与圆C相离．24．（选做题）已知f（x）＝|x+1|+|x﹣1|，不等式f（x）＜4的解集为M．（1）求M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．【解答】（Ⅰ）解：f（x）＝|x+1|+|x﹣1|＝当x＜﹣1时，由﹣2x＜4，得﹣2＜x＜﹣1；当﹣1≤x≤1时，f（x）＝2＜4；当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M＝（﹣2，2）．…（5分）（Ⅱ）证明：当a，b∈M，即﹣2＜a，b＜2，∵4（a+b）2﹣（4+ab）2＝4（a2+2ab+b2）﹣（16+8ab+a2b2）＝（a2﹣4）（4﹣b2）＜0，∴4（a+b）2＜（4+ab）2，∴2|a+b|＜|4+ab|．…（10分）第21页（共21页）。
吉林省吉林市2014届高三下第二次模拟考试[2014吉林二模]及答案
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吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班下学期期中教学质量检测英语本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。
第一卷1至10页，第二卷11至12页。
共150分。
考试时间120分钟。
注意事项：请按照题号顺序在答题纸上各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
第I卷第一部分：听力部分（共两节, 满分30分）第一节（共5小题；每小题1.5分, 满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Where does the conversation probably take place?A. In the street.B. At the drugstore.C. In the cinema.2. How many students are there in the class?A. 46.B. 52.C. 40.3. What is the man going to do this weekend?A. Go to the picnic.B. Work in his garden.C. Go to the company.4. What do you judge from what the man says?A. The man always studies hard.B. The man regrets that he didn’t study ha rd.C. The man doesn’t think he is wrong.5. What can we learn from the conversation?A. The woman wants to clean the room.B. The man’s room is very clean.C. The room hasn’t been cleaned since Linda came.第二节(15小题;每小题1.5分, 满分22.5分)听下面5段对话或独白。
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吉林省九校联合体2014年春学期高三第二次摸底考试数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知{}{},3,21,≤=≤≤-==x x N x x M R U 则()=N M C U （ ） A.{}32≤≤x x B.{}32≤<x x C.{}321≤≤-≤x x x 或 D.{}321≤<-<x x x 或 2．已知复数iiz ++=12,则复数z 在复平面内对应的点在 ( ) A ．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3．在等差数列{}n a 中，,7,8451==+a a a 则=5a （ ） A.11 B.10 C.7 D.34．抛物线()022>=p px y 的准线经过双曲线122=-y x 的左焦点，则=p （ ）A.22B.2C.22D.24 5．将函数x x y 2cos 2sin +=的图象向左平移4π个单位，所得图象的解析式是（ ） A.x x y 2sin 2cos += B. x x y 2sin 2cos -= C.x x y 2cos 2sin -= D.x x y cos sin =6．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为（ ） A.31 B.52 C.51 D.61 7．一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为 ( ) A ．12 B ．32C ．1D ．138．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( ) A.20 B.30 C.40 D.509.一个空间四边形ABCD 的四条边及对角线AC 的长均为2，二面角B AC D --的余弦值为31，则下列论断正确的是（ ） A.四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为π3 B.四边形ABCD 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为π4 C.四边形ABC 的四个顶点在同一球面上且此球的表面积为π33 D.不存在这样的球使得四边形ABCD 的四个顶点在此球面上10．如图，在四面体OABC 中，,13===BC AC 则=⋅（ ） A.8 B.6 C.4 D.311．已知函数()x f y =是定义在R 上的增函数，函数()1-=x f y 的图象关于点()0,1对称。
若对任意的()()08216,,22<-++-∈y y f x x f R y x 恒成立，则当3>x 时，22y x +的取值范围是（ ）A.()7,3 B.()25,9 C.()49,13 D.()49,9 12．若,2 (2)2201421n a a a+++=其中n a a a ,...,,21为两两不等的非负整数，令,tan ,cos ,sin 111∑∑∑======ni i ni i ni i a z a y a x 则z y x ,,的大小关系是（ ）A.z y x <<B.y x z <<C.y z x <<D.x z y << 二、填空题（每小题5分，共20分）13．将某班的60名学生编号为：,60,...,02,01采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是14．设()⎰-=dx x n 23122,则nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2的展开式中含2x 项的系数是15．在ABC ∆中，AB AB C ,3,60=︒=边上的高为34，则=+BC AC 16．若直角坐标平面内A,B 两点满足条件：①点A,B 都在函数()x f 的图象上；②点A,B 关于原点对称，则称()B A ,是函数()x f 的一个“姊妹点对”（ ()B A ,与()A B ,可看作同一点对）。
已知()⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,20,22x e x x x x f x，则()x f 的“姊妹点对”有_____个三．解答题：（本大题共6小题，共60分） 17. ( 本小题满分12分) 已知α为锐角，且12tan -=α，函数)42s i n (2t a n 2)(παα++=x x f ，数列{}n a 的首项11=a ，)(1n n a f a =+.（1）求函数)(x f 的表达式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18. ( 本小题满分12分) 如图，四棱锥BCDE A -中，ABC ∆是正三角形，四边形BCDE 是矩形，且平面⊥ABC 平面BCDE ，2=AB ，4=AD ．(1)若点G 是AE 的中点，求证：//AC 平面BDG （2）试问点F 在线段AB 上什么位置时，二面角F CE B --的余弦值为13133. 19．( 本小题满分12分) 某批发市场对某种商品的日销售量（单位：t ）进行统计，最近50天的统计结果如下：（1）求表中的b a ,的值；（2）若以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立.求: ① 5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5t 的概率;② 已知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两天销售利润的和(单位:千元)求ξ的分布列和期望.20．( 本小题满分12分) 已知点()1,0F ，直线,1:-=y l P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q,且.⋅=⋅ （1） 求动点P 的轨迹C 的方程；（2） 已知圆M 过定点()2,0D ，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A,B 两点，设,,21l DB l DA ==求1221l l l l +的最大值。
21．( 本小题满分12分) 已知函数),()(2R n m nx mxx f ∈+=在1=x 处取得极值2. （1）求)(x f 的表达式；（2）设函数x ax x g ln )(-=.若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,211x ，总存在唯一的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x 1,122，使得)()(12x f x g =，求实数a 的取值范围. 选考题：（本小题满分10分）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．已知A 、B 、C 、D 为圆O 上的四点，直线DE 为圆O 的切线，AC∥DE，AC 与BD 相交于H 点（1）求证：BD 平分∠ABC（2）若AB ＝4，AD ＝6，BD ＝8，求AH 的长23. 已知某圆的极坐标方程为064cos 242=+⎪⎭⎫⎝⎛--πθρρ （1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （2）若点()y x P ,在该圆上，求y x +的最大值和最小值． 24. 已知关于x 的不等式()011>≥-+-a a ax ax （1）当1=a 时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为R ，求实数a 的取值范围．吉林省九校联合体2014届第二次摸底考试数学试题（理科）参考答案一、DDBCB AABAC CB二、13、16,28,40,52 14、40 15、11 16、2 三、17、（Ⅰ）由1)12(1)12(2tan 1tan 22tan 22=---=-=ααa ，---------2分 α 是锐角，42πα=∴------------4分1)42sin(=+∴πα 12)(+=∴x x f ----------------6分（Ⅱ）)(,111n n a f a a ==+ ，121+=∴+n n a a ，----------------8分)1(211+=+∴+n n a a ,2111=+++n n a a , {}1+∴n a 是首项为211==a ,公比2=q 的等比数列,12-=∴nn a - --------------10分n n S n n n --=---=+2212)12(21 -------------12分18、（1）证明：连接CE BD 、，设CE BD O ⋂=，连接OG ， 由三角形的中位线定理可得：AC OG //,-------------2分 ∵AC ⊄平面BDG ，OG ⊂平面BDG ，∴//AC 平面BDG ． -------------4分 （2）建立如图空间直角坐标系，在Rt ACD ∆中，斜边4,2A D A C ==,得CD =，所以，(1,0,0),1,0,0),(1,23,0)B C -. 设BF BA λ=，得(1)F λ-.设平面CEF 的一个法向量(,,)n x y z = ，由00n CE n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得20(2)0x x z λ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取x =21,1)n λ=-- . -------------8分而平面B C E 的法向量0(0,0,1)n = ，所以由题意00||||n nn n ⋅=-⋅，即21-=解得1λ=-（舍去）或12λ=，所以，当点F 在线段AB 的中点时，二面角F CE B --的余弦值为13133. -------------12分 19、（1）由题意知：3.0,5.0==b a -------------2分（2）①依题意，随机选取一天，销售量为1.5t 的概率5.0=p ，设5天中该种商品有X 天的销售量为 1.5t ，则)5.0,5(~B X ，3125.0)5.01(5.0)2(3225=-⨯⨯==C X P -------------5分②ξ的可能取值为8,7,6,5,4，则：2.05.02.02)5(,04.02.0)4(2=⨯⨯=====ξξP P37.03.02.025.0)6(2=⨯⨯+==ξP ，3.05.03.02)7(=⨯⨯==ξP 09.03.0)8(2===ξP ，ξ∴的分布列为：-------------10分 所以：2.609.083.0737.062.0504.04=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE -------------12分20、设()(),1,,,-x Q y x P ()()(),1,0,1,,2,+=-=-=∴y y x x 代入已知可得，轨迹C 的轨迹方程为.42y x = -------------4分（2）设(),,b a M 则,42b a =(),22222-+==b a r MD∴圆M 的方程为()()().22222-+=-+-b a b y a x ---------6分令,0=y 则().2,44422±=-∴=+-=-a x b a a x不妨设()()()(),42,42,0,2,0,22221++=+-=∴+-a l a l a B a A()648264162422422122211221++=++=+=+∴a a a a l l l l l l l l -----------10分 0=a 时，,21221=+∴l l l l 0≠a 时，,22821612641612221221=⨯+≤++=+aa l l l l 当且仅当22±=a 时等号成立。