第十章 向量与空间解析几何 2
向量代数与空间解析几何ppt课件
模：||a||=| |·||a||
0
>0: 与a相同
方向：
a
a=
<0: 与a相反
=0: a=0
运算律：
(1) (a)=()a= (a) 结合律
(2) (+)a=a+a (a+b)=a+ b
(3) 1·a=a, (–1)a= – a
分配律
2a 1a
2
定理1 b//a R , 使 b= a.
a 0，设 a°与a方向相同的一个单位向量，
R1 M1
P
P1 O
Q1
P2
M2 Q
N
y
Q2
P1P2 Q1Q2 R1R2 x
称 P1P2,Q1Q2,R1R2 为 M1M2 在Ox,Oy,Oz轴上的分向量 .
z
M 1 M 2P 1P 2Q 1 Q 2R 1R 2
R2
R
令 i, j, k 分别为沿Ox, Oy,
第 7章
向量代数与空间解析几何
§1 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
空间直角坐标系 Oxyz
z
坐标原点 O
坐标轴 Ox , Oy , Oz
坐标平面
O
y
•
xOy , yOz , xOz x
右手系
卦限
III z
II
VII
IV
x
VIII
I
o
y
VI
V
2. 点的投影 空间一点M在直线(或轴上)的投影
M•
d |M 1 M 2 | ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2
由勾股定理
z
feedid_42_向量代数与空间解析几何讲义
a, f , W 或向量 a, f, W 等.
B
A
图 1
如果两个向量 a 和 b 的大小相等，且方向相同，就说 a 和 b 是相等的向量， 记作 a b .这就是说，经过平行移动后能完全重合的向量是相等的. 注意, 在数学中我们只考虑向量的大小和方向， 而不论它的起点在什么地方. 即 向量可以自由地平行移动,且平移前后都代表相等的向量(同一个向量). 由于向 量起点的任意性，数学上称这种向量为自由向量. 我们只讨论自由向量. 向量的大小叫做向量的模或长度.向量 AB, a 的模依次记作| AB |与| a |.模 是 1 的向量叫做单位向量. 模是 0 的向量叫做零向量， 记作 0 或 0 .注意,零向量 的起点和终点重合，零向量的方向可以看作是任意的. 如果两个非零向量 a 和 b 的方向相同或者相反，就称两个向量共线也叫平 行，记为 a //b (共线或平行).由于零向量的方向是任意的，因此认为零向量与任
a a = a + ( a ) = 0 .
3
由三角形两边之和大于第三边的原理，有
a +b a b 及 a-b a b
其中等号在 a 与 b 同向或反向时成立. 2.2 数乘向量法 规定实数 乘向量 a 是一个向量,记为 a .它的模是 a a .它的方向当
0 时与 a 相同，当 0 时与 a 相反.
上式称为向量 a = r 的坐标分解式， xi 、 yj 、 zk 称为向量 r 沿三个坐标轴方向 的分向量. z
特别地， 当 0 时， a 0 ，即 a 为零向量，这时它的方向是任意的. 当 1 时,
1a = a, ( 1)a = a .
数乘向量满足下列性质： (1)结合律
向量与空间解析几何习题及详细解答
解：设动点为 M(x, y, z)
M0M {x 1, y 1, z 1}
因 M0M n ,故 M0M n 0 .
即 2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0 整理得：2x+3y-4z-1=0 即为动点 M 的轨迹方程. 14. 求满足下列各组条件的直线方程： (1) 经过点 (2，－3, 4), 且与平面 3x－y＋2z－4＝0 垂直； (2) 过点 (0，2，4) ，且与两平面 x＋2z＝1和 y－3z＝2 平行；
解：设四顶点依次取为 A, B, C, D.
AB {0,1, 2}, AD {2, 2,1}
则由 A，B，D 三点所确定三角形的面积为
1 1
35
S1 2 | AB AD | 2 | 5i 4 j 2k | 2 .
同理可求其他三个三角形的面积依次为 1 , 2, 3 . 2
故四面体的表面积 S 1
A. xOz 平面上曲线 (z a)2 x2 绕 y 轴旋转所得曲面 B. xOz 平面上直线 z a x 绕 z 轴旋转所得曲面 C. yOz 平面上直线 z a y 绕 y 轴旋转所得曲面
D. yOz 平面上直线 (z a)2 y2 绕 X 轴旋转所得曲面
(5)下列方程所对应的曲面为双曲抛物面的是（ D ）
ijk s n1 n2 1 0 2 {2,3,1}
0 1 3
故过点（0，2，4）的直线方程为
x y2 z4 2 3 1
（3）所求直线与已知直线平行，故其方向向量可取为 s={2，-1，3}
故过点（-1，2，1）的直线方程为
x 1 y 2 z 1. 2 1 3
15. 试确定出下列各题中直线与平面间的关系：
k 12i 20 j 8k
空间解析几何与向量代数13175共26页文档
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
9
3.两个向量的平行关系
定 理 设 向 a 量 0， 向 b 平 量行 a 的 于充
分必要条件 一是 的： 实 ，存 数 b 使 在 a . 唯
10
三、空间直角坐标系
1.坐标轴：给定一个点和单位向量就确
定了一个坐标轴。
o i P
x
x1
连接点 O 与 点 P 得向量 OP , OP x1i
11
2.空间直角坐标系： 原点 O ,
三个两两垂直的坐标轴, 坐标轴正方向符合右手法则.
z竖轴
k
定点 o•
j
y纵轴
i
横轴 x
以i , j , k 分别表示 x, y, z轴正向的单位向量.
12
3.空间直角坐标系共有八个卦限
Ⅲ
uuuur 则向量 OM = ( x, y, z) 的模为 uuuur OM x2 y2 z2 .
20
20
例1
求平行于向量a
6i
7
j
6k 的单位向
量.
21
例1
求平行于向量a
6i
7
j
6k 的单位向
量. 解:所求向量有两个，一个与 ar 同向，一个与 ar 反向.
|a |6 2 7 2 ( 6 ) 2 11,
d OM x2y2z2.
19
19
小结：
设 M1= x1，y1，z1 ，M2= x2，y2，z2 为空间两点
uuuuuur
则向量 M1M2= x2 x1，y2 y1，z2 z1 的模为
uuuuuur M1M2
x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2 .
向量与空间解析几何
向量与空间解析几何向量与空间解析几何是高等数学中的重要分支，它们是研究空间中点、直线、平面等几何对象的数学工具。
向量是空间中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量，同时也可以用来描述空间中的几何对象。
空间解析几何则是利用向量的概念，通过坐标系和代数方法来研究空间中的几何问题。
本文将从向量的定义、运算、坐标表示以及空间解析几何的基本概念和应用等方面进行详细介绍。
一、向量的定义和运算向量是空间中的一个重要概念，它可以用来表示空间中的位移、速度、加速度等物理量，同时也可以用来描述空间中的几何对象。
向量的定义如下：定义1：向量是具有大小和方向的量，用一个有向线段来表示。
向量的大小称为向量的模，用符号 a 表示，方向则由有向线段的方向确定。
向量的起点和终点分别称为向量的始点和终点，用符号a和b表示。
向量的表示方法有多种，如箭头表示法、坐标表示法、分量表示法等。
向量的运算包括加法、减法、数乘和点乘等。
其中，向量的加法和减法定义如下：定义2：向量的加法：设向量a和b的始点相同，则向量a+b的终点为向量a的终点和向量b的终点的连线的终点。
定义3：向量的减法：设向量a和b的始点相同，则向量a-b的终点为向量a 的终点和向量-b的终点的连线的终点。
向量的数乘定义如下：定义4：向量的数乘：设k为实数，则向量ka的模为k · a ，方向与向量a 的方向相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
向量的点乘定义如下：定义5：向量的点乘：设向量a=(a1,a2,a3)和向量b=(b1,b2,b3)，则向量a·b=a1b1+a2b2+a3b3。
向量的点乘有很多重要的性质，如交换律、分配律、结合律等，这些性质在空间解析几何中有着重要的应用。
二、向量的坐标表示向量的坐标表示是空间解析几何中的重要概念，它将向量与坐标系联系起来，使得向量的运算可以通过代数方法来进行。
在三维空间中，我们通常采用右手坐标系来表示向量，其中x轴、y轴和z轴分别垂直于彼此，并且满足右手定则。
10.1向量及其运算(1-30)
数乘运算的性质 :
例 设 AD , BE ,CF 是三角形 ABC 的中线 ,
求 解
AD BE CF
1 AD ( AC AB) 2
F A E
B
因为
D
C
1 BE ( BA BC ) 2 1 CF (CB CA) 2
1 AD BE CF ( AC AB BA BC CB CA) 2 1 ( AC AB AB BC BC AC ) 0 2
(5)
(b )a
a b cos (a ,ˆ b ) b cos (a ,ˆ b ) a
1 ab b a b a a a
ba (b )a
(6)
ab cos (a ,ˆ b ) ab
(5) 外积与混合积
外积: 两个向量 a 与 b 的外积 a b 是一个向量,
它的长度为
a b a b sin(a ,ˆ b )
b , a b ) 形成 右手系 . 若 a , b 中有一是零向量 , 则外积规定为
例 设 M 点是三角形 ABC 的重心 , 证明 : 对
任意一点 O , M 点相对于 O 的位置向量
1 OM (OA OB OC ) 3
F A E
O
C
B
M
D
解 由于 OM OA AM
OM OB BM OM OC CM
将三式相加得
3OM OA OB OC AM BM CM
OC OB (OA OB ) BC BA ( ) AB
空间向量与解析几何
空间向量与解析几何空间向量和解析几何是高等数学中的两个重要概念。
本文将介绍空间向量和解析几何的基本概念和相关性质，并探讨它们在几何问题中的应用。
一、空间向量的定义和性质空间向量是指具有大小和方向的有向线段，通常用箭头表示。
空间中的向量通常用字母加箭头标记，如A B⃗，其中A和B表示向量的起点和终点。
1.1 向量的表示空间向量可以用坐标表示，也可以用点和方向向量表示。
设A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)是空间中两点，则向量AB的坐标表示为A B⃗=(x2 - x1) i⃗ +(y2 - y1) j⃗ +(z2 - z1) k⃗，其中i⃗、j⃗和k⃗分别是x、y、z轴的单位向量。
1.2 向量的运算空间向量可以进行加法、减法和数乘运算。
1.2.1 向量加法若有向量A B⃗和向量C D⃗，则它们的和为A B⃗ + C D⃗ = A C⃗。
1.2.2 向量减法向量减法与向量加法类似，即A B⃗ - C D⃗ = A B⃗ + (- C D⃗)。
1.2.3 数乘运算若有向量A B⃗，实数k，则kA B⃗ = A B⃗ + A B⃗ + ... + A B⃗ (k个A B⃗)。
1.3 向量的数量积和向量积空间向量的数量积和向量积是两个重要的向量运算。
1.3.1 向量的数量积设有两个向量A B⃗和C D⃗，它们的数量积定义为A B⃗・ C D⃗ = |A B⃗| |C D⃗ | cosθ，其中θ为A B⃗和C D⃗的夹角，|A B⃗|和|C D⃗|分别为向量的模。
1.3.2 向量的向量积设有两个向量A B⃗和C D⃗，它们的向量积定义为A B⃗ × C D⃗ = |A B⃗| |C D⃗ | sinθ n⃗，其中θ为A B⃗和C D⃗的夹角，n⃗为与A B⃗和C D⃗都垂直且符合右手定则的单位向量。
二、解析几何的基本概念和性质解析几何是将几何问题转化为代数问题进行研究的数学分支，它主要运用代数方法研究空间中的几何问题。
空间解析几何与向量代数ppt课件
n m
该平行四边形的对角线的长度各为 3, 11
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OM OA(O BOM ) A
得
OM 1 1 (O A OB
B
即
(x,y,z)1
1
( x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,z 1 z 2 ) M
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说明: 由
(x,y,z)1
1
( x 1 x 2 ,y 1 y 2 ,z 1 z 2 )
得定比分点公式:
解: abAC2MC2MA
D
C
baBD2MD2MB b
M A 1 2(ab) MB 1 2(ba)A M C 1 2(ab) M D 1 2(ba)
M aB
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三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 o ,由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
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例4. 求证以 M 1 ( 4 , 3 , 1 ) , M 2 ( 7 , 1 , 2 ) , M 3 ( 5 , 2 , 3 ) 为顶点
的三角形是等腰三角形 .
证:
M1M2 (7 4)2 (13)2(21)2 14
M2M3 (57)2(21)2 (32)2 6
备用题
41k.设, 求m 向 量3 i a 5 4 jm 8 k 3 n , n p 2 在i x 4 轴 j 上 的7 k 投,影p 及5 在i y j
轴上的分向量.
解: 因
a 4 m 3 n p
向量代数与空间解析几何—空间解析几何(高等数学课件)
2 + 2 + 2 + 2 = 0 .
方程组（1）我们称之为直线的一般式方程。
(1)
2.空间直线的点向式方程
1.二元极限定义
与直线平行（共线）的非零向量称为直线的方向向量．
设已知直线 L 过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 )，其方向向
（1）过点 A(1, 2,3) ， B(1,1, 1) 的直线方程；
x 1 y 1 z 2
（2）过点 M (0, 2,3) ，且与直线 L1 :
平行的直线方程；
3
2
1
（3）过点 P(2,1,3) ，且与平面 π : 3x 2 y z 1 0 垂直的直线方程．
例题
一点.因为向量 ⊥平面，0 ⊂平面，所以 ⊥ 0 .
由向量垂直的充要条件可知 ⋅ 0 = 0，
而0 = − 0 , − 0 , − 0 ，根据向量数量积的坐标表达式有：
− 0 + − 0 + − 0 = 0
此方程是由平面上一个点的坐标和平面的法向量确定的，因此，我们称之为平面的
出了平面平行或垂
直的判定方法。
空间上点到平面
的距离公式。
思考题
求满足下列条件的平面方程：
(1)过原点且法向量 = 1,2,3 ；
一元函数，但在自然科学和工程两
(2)在, , 轴上的截距分别是2, −3,4
空间直线及其方程
知识点讲解
1.空间直线的一般式方
程
2.空间直线的点向式方程
3.空间直线的参数方程
1.空间直线的一般方程式
向量与空间解析几何知识点总结
向量与空间解析几何知识点总结一、向量。
1. 向量的概念。
- 既有大小又有方向的量称为向量。
在空间直角坐标系中，向量可以用坐标表示，如→a=(a_x,a_y,a_z)，其中a_x、a_y、a_z分别是向量在x、y、z轴上的投影。
- 向量的模（长度）：对于向量→a=(a_x,a_y,a_z)，其模|→a|=√(a_x^2)+a_y^{2+a_z^2}。
2. 向量的运算。
- 加法。
- 几何方法：平行四边形法则或三角形法则。
- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a+→b=(a_x + b_x,a_y + b_y,a_z + b_z)。
- 减法。
- 几何方法：三角形法则。
- 坐标运算：→a-→b=(a_x - b_x,a_y - b_y,a_z - b_z)。
- 数乘向量。
- 设λ为实数，→a=(a_x,a_y,a_z)，则λ→a=(λ a_x,λ a_y,λ a_z)。
- 数乘向量的模|λ→a|=|λ||→a|，方向当λ>0时与→a相同，当λ < 0时与→a 相反。
- 向量的数量积（点积）- 定义：→a·→b=|→a||→b|cosθ，其中θ为→a与→b的夹角。
- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a·→b=a_xb_x + a_yb_y+a_zb_z。
- 向量垂直的充要条件：→a⊥→bLeftrightarrow→a·→b=0。
- 向量的向量积（叉积）- 定义：→a×→b是一个向量，其模|→a×→b|=|→a||→b|sinθ，方向遵循右手螺旋法则。
- 坐标运算：若→a=(a_x,a_y,a_z)，→b=(b_x,b_y,b_z)，则→a×→b=<=ftbegin{array}{ccc}→i→j→k a_xa_ya_z b_xb_yb_zend{array}right=(a_yb_z - a_zb_y)→i+(a_zb_x - a_xb_z)→j+(a_xb_y - a_yb_x)→k。
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r r a⋅b r r (3) cos(a , b ) = r r | a || b |
1 × 1 + 1 × ( −2) + 4 × 2 7 , = 2 2 = 2 2 2 2 9 2 1 + 1 + 4 1 + ( −2) + 2
7 r r 而 ( a , b ) = arccos . 9 2
14
r r0 4 故 f1 = 4a = { 2,9,6}, 11 r r r0 3 r0 f 2 = 3b = { −6,2,9}, f 3 = 7c = {0,7,0}, 11 r r r r 1 F = f1 + f 2 + f 3 = { −10, 119, 51}, 11
AB = {−2,1,1}, − r 1 190 . 所以 W = F ⋅ AB = { −10, 119, 51} ⋅ { −2,1,1} = 11 11
两点距离 设有空间两点
A = (a1 , a2 , a3 ), B = (b1 , b2 , b3 )
因为 AB = {b1 − a1 , b2 − a2 , b2 − a3 },
d 故 =| AB|= (b −a1)2 +(b2 −a2)2 +(b3 −a3)2 . 1
10
r r (3) 向量a在向量b 上的投影
x
r r r 三个基本向量 i , j , k . r 空间的任一向量 a , 都可用向径 OA表示 , r 且 a = OA = OP + PQ + QA , z
A M
y
Q
4
反之, 给定有序三元组(a1 , a2 , a3 ), 可确定唯一的向量
r r r r a = a1i + a2 j + a3 k , r r r r 故向量 a = a1i + a2 j + a3 k , r 也可记为: 也可记为 a = {a1 , a2 , a3 }.
= {λ a1 , λ a 2 , λ a 3 }. r r 加法 : 给定两向量 a = {a1 , a2 , a3 }, b = {b1 , b2 , b3 } r r r r r r r r 则 : a + b = (a1i + a2 j + a3 k ) + (b1i + b2 j + b3 k ) r r r = (a1 + b1 )i + (a 2 + b2 ) j + ( a3 + b3 )k
r r r a ⋅ b a b + a2b2 + a3b3 ra = r = 1 1 Pr jb . 2 2 2 | b| b + b2 + b3 1
(4)两向量之间的夹角 两向量之间的夹角
r r a⋅ b a1b + a2b2 + a3b3 rr 1 cos(a,b) = r r = , 2 2 2 2 2 | a || b | a1 + a2 + a3 b2 + b2 + b3 1
8
B. 向量的内积
r r 给定两向量 a = {a1 , a2 , a3 }, b = {b1 , b2 , b3 }, r r r r r r r r 则 a ⋅ b = (a1i + a2 j + a3 k ) ⋅ (b1i + b2 j + b3 k ) r r r r r r = a1b1i ⋅ i + a1b2 i ⋅ j + a1b3 i ⋅ k r r r r r r + a 2b1 j ⋅ i + a 2 b2 j ⋅ j + a 2b3 j ⋅ k r r r r r r + a3b1k ⋅ i + a3b2 k ⋅ j + a3b3 k ⋅ k
15
r r r r 例3. 设向量 a = {1,1,4}, b = {1,−2,2}, 求(1)b 在 a 上的投影 ; r r r r r r ( 2)b 在a上的投影向量; ( 3)a与b 的夹角(a , b ). r a 1 1 4 r0 , , }, 解: a = r = { |a | 18 18 18 r r r r r0 r (1) b 在a上的投影 Pr ja b = b ⋅ a 1 1 4 7 , , }= = {1,−2,2} ⋅ { , 18 18 18 18 r r ( 2) b 在 a上的投影向量为 : r r0 r0 7 1 1 4 (b ⋅ a )a = { , , }, 18 18 18 18
3
z z p
O
y y
x x
10.2.2 向量沿坐标轴的分解
= OP + OM + ON r r r r r r r r r N = ( a ⋅ i )i + ( a ⋅ j ) j + ( a ⋅ k )k , r r r r r 记为 : a = a1i + a2 j + a3 k . k O r r r 称为向量 a 沿坐标轴的分解 . j P i 分解式是唯一的 .
= a1b + a2b2 + a3b3. 1
9
r r 设向量 a = {a1 , a2 , a3 }, b = {b1 , b2 , b3 }
(1) 向量的模
r 2 r r 2 2 2 因为 | a | = a ⋅ a = a1 + a2 + a3 , r 2 2 2 故 | a |= a1 + a2 + a3 .
r r a⋅i a1 r r cosα = cos(a , i ) = r r = , 2 2 2 | a || i | a1 + a2 + a4 r r a⋅ j a2 r r cos β = cos(a , j ) = r r = , 2 2 2 | a || j | a1 + a2 + a3 r r a⋅k a3 r r cos γ = cos( a , k ) = r r = , 2 2 2 | a || k | a1 + a 2 + a 2
10.2 空间直角坐标系与向量代数 10.2.1 空间直角坐标系
三个坐标轴的正方向符合右手系 三个坐标轴的正方向符合右手系. 右手系
z 竖轴
即以右手握住 z 轴， 当右手的四个手指
度转向正向 y 轴 时，大拇指的指向 轴的正向. 就是 z 轴的正向
π 从正向 x 轴以 角 2
定点 o 横轴 x
•
y 纵轴
r r r a = { 2,9,6}, b = { −6,2,9}, c = {0,1,0} 同向 此三力 同向,
同时作用于同一点 , 使该质点从点 A( 3,2,−1)位移到点 B(1,3,0)(单位为 ), 求此三力的合力所作的 功. 单位为m r 1 r0 1 r0 a 解: a = r = {2,9,6}, b = {−6,2,9}, | a | 11 11 r0 c = {0,1,0},
再由两向量相互垂直的充分必要条件得: 再由两向量相互垂直的充分必要条件得
A
2( x − 2) − 2( y − 1) + 4( z − 3) = 0,
化简为 : x − y + 2 z − 7 = 0.
C M(x,y,z)
B
19
C. 向量的外积
r r 给定两向量 a = {a1 , a2 , a3 }, b = {b1 , b2 , b3 }, 则 r r r r r r r r r r r r 由 i × j = k , j × k = i , k × i = j , j × i = −k , r r r r r r r r r r r r r r r i × k = − j , k × j = − i , i × i = 0, j × j = 0, k × k = 0. r r r r r r r r 得 a × b = ( a1i + a 2 j + a 3 k ) × ( b1i + b2 j + b3 k ) r r r r r r = a1b1i × i + a1b2 i × j + a1b3 i × k r r r r r r + a2 b1 j × i + a2 b2 j × j + a2 b3 j × k r r r r r r + a3 b1k × i + a 3b2 k × j + a 3b3 k × k
化简为 : x − y + 2 z − 7 = 0,
是线段AB的中垂面。 是线段 的中垂面。 的中垂面
18
解法二: 先求出线段AB中点 的坐标为: 中点C的坐标为 解法二 先求出线段 中点 的坐标为 C(2, 1, 3),
由几何知识知 : CM ⊥ AB ,
MC = { x − 2, y − 1, z − 3}, AB = { 2,−2,4},
a1 , ={ 2 2 2 a1 + a2 + a3
a2 , 2 2 2 a1 + a2 + a3
a3 }. 2 2 2 a1 + a2 + a3
12
(8)向量的方向角与方向余弦 向量的方向角与方向余弦
r 非零向量 a = {a1 , a2 , a3 }与三个坐标轴的夹角称 为 r 向量a 的方向角 , 分别记为 α , β , γ . 向量
空间直角坐标系
1
Ⅲ
z
zox 面
Ⅱ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
x
空间直角坐标系共有八个卦限 空间直角坐标系共有八个卦限