高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章拓展资料：定积分与曲边梯形的面积

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高中数学第四章定积分教案北师大版选修2

定积分一、教学目标：1、理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、体会运用分割、近似代替、求和、取极限的思想过程；3、掌握定积分的计算方法；4、利用定积分的几何意义会解决问题。

二、学法指导：1、重点理解定积分的定义及几何意义，理解定积分的性质，了解微积分的基本定理，并且熟练计算一些函数的积分；2、定积分的概念是运用分割、近似代替、求和、取极限的思想；3、重点掌握定积分的计算方法。

三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法；难点：利用定积分的几何意义解决问题。

四、教学方法：探究归纳，讲练结合五、教学过程（一）、知识闪烁1、解决面积、路程、做功问题3个问题一般通过对自变量的区间得到过剩估计值和不足估计值，分割的，估计值就也接近精确值；当分割成的小区间的长度趋于时，过剩估计值和不足估计值都趋于；误差趋于。

2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; 3 、()1limniin i f x ξ→∞=∆∑= ；其中⎰叫做a 叫做b 叫做 ()f x 叫 ;4、()baf x dx ⎰的几何意义；在x 轴上方的面积取，在x 轴下方的面积取()baf x dx ⎰的几何意义；()baf x dx ⎰的几何意义；()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰的关系；计算()baf x dx ⎰时，若在],a b ⎡⎣上()0f x ≥则()baf x dx ⎰= 若在],a b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰= 若在],a c ⎡⎣上()0f x ≥，],c b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰=5、定积分的性质：1b adx ⎰= ()bakf x dx ⎰= ()()ba f x g x dx ±⎡⎤⎣⎦⎰=（定积分对积分区间的可加性）()baf x dx ⎰=6、如果连续函数()f x 是函数()F x 的导函数，即()f x = ，则有()baf x dx ⎰=它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨公式，()F x 是()f x 的 7、计算定积分()baf x dx ⎰= =()()F b F a -8、若()f x 在[],a a -上连续，且是偶函数，则有()aaf x dx -=⎰若()f x 在[],a a -上连续，且是奇函数，()aaf x dx -=⎰（二）、方法点拨：1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分。

高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章同步检测：定积分的背景—面积和路程问题

定积分背景-面积和路程问题
1. 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度是v（t）=-t2+5，（单位：km/h），试计算这辆汽车在0≤t≤2（单位：h）这段时间内汽车行驶的路程S（单位：km），并写出估计值的误差。

2. 用分割、近似代替和逼近的方法求图中直线1
,2=
x所围图
=x
y和4
-
=x
形的面积。

（1）将区间[2，4]分成10等份；
（2）将区间[2，4]分成100等份。

3. 一辆汽车在司机猛踩刹车后5秒内停下，在这一刹车过程中，各秒的速度值被记录下来：
刹车踩下后的时间（s）0 1 2 3 4 5
5速度（m/s）7 18 12 7 3 0
求刹车踩下后汽车滑过的距离的不足近似值和过剩近似值。

参考答案
1. 将区间[0，2]分成10等份，不足估计值：[]
)8.1()6.1()4.0()2.0()0(222221v v v v v S +++++=Λ 过剩估计值为：[]
)2()8.1()4.0()2.0(22222v v v v S ++++=Λ 估计值的误差为：12S S -。

（计算过程略），将区间分的越细，误差越小。

2. 略。

3. 略。

[推荐学习]高中数学第四章定积分教案北师大版选修2_2

三、重点与难点：重点：理解并且掌握定积分算法；难点：利用定积分的几何意义解决问题。

2、定积分的定义思想：（1） (2) (3) (4) ; 3 、()1limniin i f x ξ→∞=∆∑= ；其中⎰叫做a 叫做b 叫做 ()f x 叫 ;4、()baf x dx ⎰的几何意义；在x 轴上方的面积取，在x 轴下方的面积取()baf x dx ⎰的几何意义；()baf x dx ⎰的几何意义；()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰，()baf x dx ⎰的关系；计算()baf x d x ⎰时，若在],a b ⎡⎣上()0f x ≥则()baf x dx ⎰= 若在],a b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰= 若在],a c ⎡⎣上()0f x ≥，],c b ⎡⎣上()0f x <()baf x dx ⎰=5、定积分的性质：1b adx ⎰= ()bakf x dx ⎰= ()()ba f x g x dx ±⎡⎤⎣⎦⎰=（定积分对积分区间的可加性）()baf x dx ⎰=6、如果连续函数()f x 是函数()F x 的导函数，即()f x = ，则有()baf x dx ⎰=它叫做微积分基本定理，也称牛顿—莱布尼茨公式，()F x 是()f x 的 7、计算定积分()baf x dx ⎰= =()()F b F a -8、若()f x 在[],a a -上连续，且是偶函数，则有()aaf x dx -=⎰若()f x 在[],a a -上连续，且是奇函数，()aaf x dx -=⎰（二）、方法点拨：1、求由两条曲线围城的平面图形的面积的解题步骤：（1）、画出图形；（2）确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，为定积分的上下界；（3）确定被积函数函数，特别分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式；（5）运用微积分公式求出定积分。

高中数学北师大版选修2-2教案-1.1定积分背景——面积和路程问题_教学设计_教案

教学准备
1. 教学目标
1、知识与技能目标：了解求曲边梯形面积的过程和解决有关汽车行驶路程问题的过程的共同点；感受在其过程中渗透的思想方法：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）。

2、过程与方法：通过与求曲边梯形的面积进行类比，求汽车行驶的路程有关问题，再一次体会“以直代曲“的思想。

3、情感态度与价值观：在体会微积分思想的过程中，体会人类智慧的力量，培养世界是可知的等唯物主义的世界观。

2. 教学重点/难点
重点：掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、逼近（取极限）
难点：过程的理解
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
四、教学过程
（一）、创设情景
复习：1．连续函数的概念；2．求曲边梯形面积的基本思想和步骤；
利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度”的问题．反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？
（二）、新课探析
的近似值，最后让n趋紧于无穷大就得到s（单位：km）的精确值．（思想：用化归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法求出匀变速直线运动的路程）．
解：（1）．分割
分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解．
解：将物体用常力F沿力的方向移动距离x，则所作的功为．
1．分割
（四）、课堂小结：求汽车行驶的路程有关问题的过程。

（五）作业：
五、教学后记。

高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章平面图形的面积参考教案

平面图形的面积一、教学目标：1、进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法；2、让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理；3、初步掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法。

二、教学重难点：曲边梯形面积的求法及应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程1、复习：（1）、求曲边梯形的思想方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？2、定积分的应用（一）利用定积分求平面图形的面积例1．计算由两条抛物线2y x =和2y x =所围成的图形的面积.【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：201y xx x y x⎧=⎪⇒==⎨=⎪⎩及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1120xdx x dx =-⎰⎰，所以⎰120S =(x -x )dx 32130233x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦=13【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤：1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

巩固练习计算由曲线36y x x =-和2y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S.2xy =y xABC D O分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-与曲线2y x =的交点的横坐标，直线4y x =-与 x 轴的交点．解：作出直线4y x =-，曲线2y x =的草图，所求面积为图1. 7一2 阴影部分的面积．解方程组2,4y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得直线4y x =-与曲线2y x =的交点的坐标为（8,4) .直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S 2488442[2(4)]xdx xdx x dx =+--⎰⎰⎰334828220442222140||(4)|23x x x =+-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．例3.求曲线],[sin 320π∈=x x y 与直线,,320π==x x x 轴所围成的图形面积。

高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章平面图形的面积习题课参考教案

平面图形的面积一、教学目标：1、了解定积分的几何意义及微积分的基本定理；2、掌握利用定积分求曲边图形的面积。

二、教学重点与难点： 1、定积分的概念及几何意义； 2、定积分的基本性质及运算的应用三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）练习1．若11(2)ax x+⎰d x = 3 + ln 2，则a 的值为（ D ） A ．6B ．4C ．3D ．22．设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩，则1()a f x ⎰d x 等于（C ）A ．34B ．45C ．56D ．不存在3．求函数dx a ax x a f )46()(1022⎰++=的最小值解：∵102231022)22()46(x a ax x dx a ax x++=++⎰2232212(64)(22)|22x ax a dx x a a x a a ++=++=++⎰． ∴22()22(1)1f a a a a =++=++． ∴当a = – 1时f (a )有最小值1．4．求定分3-⎰x ．5．怎样用定积分表示：x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？31)(102101⎰⎰===dx x dx x f S6．你能说说定积分的几何意义吗？例如⎰badx x f )(的几何意义是什么?表示x 轴，曲线)(x f y =及直线a x =，b x =之间的各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正，在x 轴下方的面积取负。

（二）、新课探析例1．讲解教材例题例2．求曲线y=sinx ,x ]32,0[π∈与直线x=0 ,32π=x ,x 轴所围成图形的面积。

练习：1．如右图，阴影部分面积为（ B ） A ．[()()]ba f x g x -⎰d xB ．[()()][()()]cba c g x f x dx f x g x -+-⎰⎰d x C ．[()()][()()]bba c f x g x dx g x f x -+-⎰⎰d xD ．[()()]b a g x f x +⎰d x2．求抛物线y = – x 2 + 4x – 3及其在点A （1，0）和点B （3，0）处的切线（三）、归纳总结：1、求曲边梯形面积的方法：⑴画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。

高中数学4.1.2定积分学案 (北师大选修2-2)

4。

1.2 定积分一、学习目标：1、通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；2、能用定积分的定义求简单的定积分；3、了解定积分的几何意义；二、重点难点：学习重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义学习难点:定积分的概念、定积分的几何意义三、学习过程:（一)、复习回顾1.用“四步曲”: 求得曲边梯形的面积S=_________________________2.用四步曲求得变速运动的路程S=_____________________________.（二）、定积分的概念阅读教材P.45-46，完成下列问题问题1：函数)(x f在区间[]b a,上连续，如同曲边梯形面积的“四步曲"求法写出其运算过程。

问题2：当n→∞时，上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数)(x f 在区间[]b a ,上的定积分,记做⎰∑=∞→-=ba n i i n f n ab dx x f 1(lim )(ξ）,其中a 与b 分别叫做与，区间[,]a b叫做，函数()f x 叫做 ,x 叫做，()f x dx 叫做。

(三）、定积分的几何意义阅读教材P.46,完成下面问题问题3：定积分的几何意义是：______________________________ 。

例1：利用定积分的定义，计算⎰103dx x 的值。

(4)1(2122333+=+++n n n )练习1：利用定积分的几何意义说明dx x ⎰-1021的大小.练习2：利用定积分的定义，证明a b dx ba-=⎰1,其中b a ,均为常数且b a <.（四）、定积分的运算性质问题4：定积分的运算性质有以下3条，分别为：性质1:性质2：性质3：（五）、课堂小结1、定积分的概念；2、根据定积分的定义求简单的定积分；3、定积分的几何意义．四、学习反思。

高中数学(北师大版)选修2-2教案：第4章拓展资料：高考中的定积分

高考中的定积分定积分是微积分基本概念之一，应掌握其概念、几何意义、微积分基本定理以及简单应用．下面例析在高考中的考查方式．一、计算型是指给出定积分表达式，求其值，通常解法有：定义法，几何意义法，基本定理法及性质法等．例1计算以下定积分： ⑴2211(2)x dx x -⎰；⑵30(sin sin 2)x x dx π-⎰．分析：直接运用定义，找到一个原函数．解：⑴函数y ＝212x x -的一个原函数是y ＝32ln 3x x -．所以2211(2)x dx x -⎰＝3212(ln )|3x x -＝162ln 233--＝14ln 23-． ⑵函数y ＝sin x －sin2x 的一个原函数为y ＝－cos x ＋12cos2x ．所以30(sin sin 2)x x dx π-⎰＝(－cos x ＋12cos2x )30|π＝(－12－14)－(－1＋12)＝－14．评注：利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数．对于被积函数是绝对值或分段函数时，应充分利用性质()()()bc ba a c f x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰，根据定义域，将积分区间分成若干部分，分别求出积分值，再相加．练习：计算以下定积分：⑴322dx ⎰；⑵21|32|x dx -⎰． (答案：⑴39ln22+；⑵12)．二、逆向型主要已知定积分的值，求定积分中参数．例2设函数2()(0)f x ax c a =+≠，若100()()f x dx f x =⎰，001x ≤≤，则0x 的值为．分析：本题是逆向思维题，可用求积分的一般方法来解决．解：112310001()()()3f x dx ax c dx ax cx =+=+⎰⎰ 203a c ax c =+=+．03x =∴．评注：常用方程思想加以解决．练习：已知a ＞0，且2a a x dx -∙⎰＝18，求a 的值． (答案：3)三、应用型主要指求围成的平面图形的面积及旋转体的体积．例3由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（） A ．154 B ．174 C ．1ln 22D ．2ln 2 分析：可先画出图象，找出范围，用积分表示，再求积分即．解：如图，面积22112211ln |ln 2ln 2ln 22S x x ===-=⎰，故选(D)．评注：用积分求围成面积，常常分四步：①画草图；②解方程组求出交点；③确定积分的上下限；④计算．练习：求由曲线y 2＝x ， y ＝x 2所转成的面积．(答案：13)．。

北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》定积分的概念

2
练习：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线 y=x+3所围成的图形面积
x + 3 dx - x
3 3 0 0
2
- x + 3 dx
-x
3 0
2
+ 3x dx
14
（四）、小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．２．定积分的思想和方法：
分割求和取逼近化整为零
S S 1 S 2 f ( x )dx g ( x )dx
a a b b
S1 y f ( x ) d x g( )
a
b
S2

b
g ( x ) dx
a
O
a a
b x
10
性质1.
（三）、定积分的基本性质
b b

a
kf ( x )dx k f ( x )dx
北师大版高中数学选修2-2第四章《定积分》
1
一、教学目标：1.通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分定义求简单的定积分；3.理解掌握定积分的几何意义．二、教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．教学难点：定积分的概念、定积分的几何意义．三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程
b
(x )d x f f (x x f c f )d x x(x 。 a f(xf )d x (x )da)dx(x)dfx(x(xa)df。 )d x c a
a a c
b
c
c
b
b b

高中数学：4.1.2 定积分(一) 教案 (北师大选修2-2)

4.1.2 定积分1.复习不定积分的概念. 2.讲授新课 2.1两个引例引例1 曲边梯形的面积由连续曲线)(x f y =（()0≥x f ）和b x a x ==,及0=y 围成的平面图形AabB 称为曲边梯形（如图5-1）．由于曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间[]b a ,上是不断变化的，因而它的面积不能由公式A =底×高求得.为了计算曲边梯形的面积，我们可以先将它分割成若干个小曲边梯形，在小曲边梯形中)(x f 的变化很小，可以用相应的小矩形近似代替，用所有小矩形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积.显然，分割的越细，近似程度就越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值.根据以上分析，我们按下面的方法求曲边梯形的面积.设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，且()0≥x f . 在],[b a 上任取1-n 个内分点：b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ，将区间[]b a ,分割为n 个小区间: 图101121[,],[,],,[,]n n x x x x x x -K ，记每一小区间长度为1--=∆i i i x x x ，过分点(1,2,,)i x i n =⋅⋅⋅作x 轴的垂线，将曲边梯形AabB 分割为n 个小曲边梯形；设i A ∆表示第i 个小曲边梯形的面积，则曲边梯形AabB AabB 的面积为1ni k A A ==∆∑.在每个小区间[]1,+i i x x 上任意取一点i ξ，以i x ∆为底边，)(i f ξ为高作小矩形，则小矩形的面积为()i i f x ξ∆，当i x ∆很小时，有()i i i A f x ξ∆≈∆(1,2,,i n =L )若分点越多，i x ∆就越小，上式的近似程度就越高，小矩形的面积总和也就越接近于曲边梯形AabB 的面积.即()1ni i i A f x ξ=≈∆∑，此为曲边梯形面积的近似值．若用}{max 1i ai x ∆=≤≤λ来表示所有小区间中的最大区间长度，当分点数无限增大且λ趋于零时，该近似值就趋近于曲边梯形AabB 的面积A ，即1ni k A A ==∆∑()01lim ni i i f x λξ→==∆∑.我们把极限()01limniii f xλξ→=∆∑称之为曲边梯形的面积．引例2 变速直线运动的路程设质点运动的速度函数()t v v =是连续变化的且大于零，考虑从时刻a 到时刻b 所走过的路程s ．我们仍然采用分割的方法：（1）用分点：b t t t t t a n n =<<<<<=-1210Λ将时间区间],[b a 分成n 个小区间:[]1,i i t t -),,2,1(n i Λ=，每个小区间的长度记为i t ∆1--=i i t t ),,2,1(n i Λ=．（2）近似代替：在每一时间区间内任取一时刻i ξ，则质点在该时间区间走过的路程近似为()i i i s v t ξ∆≈∆，),,2,1(n i Λ=（3）求和：将每个时间区间上质点所通过的路程的近似值累加起来，就得到时间区间],[b a 上质点所通过的路程s 的近似值，即()11nni i i i i s s v t ξ===∆≈∆∑∑（4）取极限：当分点无限增加时，记小区间最大的一个长度为}{max 1i ai t ∆=≤≤λ，当0→λ时，则和式()∑=∆ni iitv 1ξ的极限就是质点从时刻a 到时刻b 的路程，即()01lim ni i i s v t λξ→==∆∑定积分的定义以上两个例子的实际意义不同，但处理问题的思想方法是相同的，最后所得到的结果都归结为求和式的极限.数学上将这类和式的极限称作为定积分.定义1 设函数)(x f 在],[b a 上有定义，任取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ将],[b a 分成n 个小区间][,1i i x x -).,,2,1(n i Λ=，记1--=∆i i i x x x ).,,2,1(n i Λ=为区间长度，}{max 1i ai x ∆=≤≤λ，并在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，得出乘积ii x f ∆)(ξ的和式1()niii f x ξ=∆∑若0→λ时，和式的极限存在，且此极限值与区间[b a ,]的分法及点i ξ的取法无关，则称这个极限值为函数)(x f 在],[b a 上的定积分，记为⎰badx x f )(，即⎰badx x f )(01lim ()ni i i f x λξ→==∆∑. (1)这里)(x f 称为被积函数，)(x f dx 称为被积表达式，x 叫积分变量，],[b a 叫积分区间，a 称为积分下限，b 称为积分上限.若)(x f 在[],a b 上的定积分存在，则说)(x f 在],[b a 上可积.根据定义，在上述例中的曲边梯形的面积用定积分可以表示为⎰=b adx x f A )(；变速直线运动的质点的路程可以表为：()b as v t dt =⎰.关于定积分的定义，有以下说明：(1)定积分的值只与被积函数、积分区间有关，与积分变量的符号无关.即()()()b b baaaf x dx f t dt f u du ==⎰⎰⎰.(2)定义中要求a b <，若a b >、a b =时有如下规定：当a b >时，()()baabf x f x =-⎰⎰，即互换定积分的上、下限，定积分要变号.当a b =时，0)(=⎰a adx x f .在怎样的条件下，()f x 在[],a b 上的定积分一定存在呢？有下面的定理：定理1 如果()f x 在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可积.定理2 如果()f x 在[],a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[],a b 上可积. 由此可知，初等函数在其定义区间内都是可积的. 定积分的几何意义在讨论曲边梯形面积时，假定()0f x >，曲边梯形的图形在x 轴的上方，则积分值是正的，即0)(>=⎰A dx x f b a；若()0<x f ，图形在x 轴的下方，则积分值是负的，即A dx x f b a-=⎰)(；1lim ()ni i i f x λξ→==∆∑若()x f 在],[b a 上有正有负时，则积分值就表示曲线()y f x =在x 轴上方和x 轴下方的面积的代数和.如图2所示 .例1 用定积分表示图中阴影部分的面积.解 (1)221A x dx =⎰；(2)1211A x dx -=-⎰.例2 利用定积分的几何意义，说明22xdx =⎰的成立．解20xdx ⎰的几何意义是由曲线x y =，2x =，0y =围成的图形的面积S ，如图5-5所示，求得面积为2S =，故202xdx =⎰．定积分的性质设()x f 、()x g 在[]b a ,区间上可积，则根据定义可推证定积分有以下的性质：性质1a b dx dx bab a-==⎰⎰1.性质2 常数因子可直接提到积分符号前面.()()b baakf x dx k f x dx =⎰⎰.性质3 代数和的积分等于积分的代数和，即⎰⎰⎰±=±bababadx x g dx x f dx x g x f )()(]()([）.这一结论可以推广到有限多个函数代数和的情况.性质4 对任意的点c ，有图4图3图5图2图2⎰⎰⎰+=bcc ab adx x f dx x f dx x f )()()(.这一性质称为定积分的可加性，无论[],c a b ∈还是[],c a b ∉，性质均成立性质5 如果在[],a b 上有()()x g x f ≥，则⎰⎰≥babadx x g dx x f )()(.特别地，当()0≥x f 时，0)(≥⎰b adx x f .性质 6 （估值定理）若函数()x f 在区间[]b a ,上的最大值与最小值分别为M 和m ，则)()()(a b M dx x f a b m ba-≤≤-⎰.这是因为M x f m ≤≤)(，由性质5得⎰⎰⎰≤≤b ababaMdx dx x f dx m )(，再由性质1和性质2即可得结论.性质7(积分中值定理) 设()f x 在闭区间[]b a ,上连续，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()b af x dx f b a ξ=-⎰.其几何意义是：设()0≥x f ，则由曲线)(x f y =，直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形面积等于以区间],[b a 为底，以)(ξf 为高的矩形abcd 的面积(如图6所示). 我们称⎰-=ba dx x f ab f )(1)(ξ为()x f 在[]b a ,上的平均值.例3 比较下列各对积分值的大小： (1)12x dx ⎰与⎰；(2)110xdx ⎰与15x dx ⎰.解 (1)因为在[]0,1上2x ≤120x dx ≤⎰⎰.(2)因为在[]0,1上105xx≥，所以11105x x dx ≥⎰⎰.例4 估计定积分⎰31dx e x 的值．解因xe xf =)(是指数函数，由指数函数的性质知，)(x f 在]3,1[上的最大值为3e ，最)(x f y =图6小值为e ，由性质６有331(31)(31x e e dx e -≤≤-⎰），即 33122x e e dx e ≤≤⎰.小结定积分的概念（1）定积分的实际背景是解决已知变量的变化率，求它在某范围内的累积问题．通过“分割，局部以不变代变得微量近似，求和得总量近似，取极限得精确总量”的一般解决过程，最后抽象得到定积分的概念．即．⎰badx x f )(01lim ()ni i i f x λξ→==∆∑（2）据定积分的定义，在[a ，b ]上连续非负函数的定积分总表示由y =f (x )，x =a ，x =b 与x 轴围成的单曲边梯形的面积，得到定积分⎰ba dx x f )(的几何意义是由y =f (x )，x =a ，x =b与x 轴围成区域的代数面积．（3）定积分是一个数，不定积分是一个函数的原函数的全体．因此，定积分和不定积分是两个完全不同的概念． 4．布置作业（略）。

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定积分与曲边梯形的面积
我们知道定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[a,b]上恒为正时，定积分()b a
f x dx ⎰
的几何意义是以曲线()f x 为曲边梯形的面积.一般情况下，定积分()b a
f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图象以及直线x=a 、x=b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号.所以求曲边梯形的面积是定积分在几何中的重要应用，把求平面图形的面积问题转化为求定积分问题，充分体现了数形结合的数学思想．求解此类题常常用到以下技巧．
一、巧选积分变量
求平面图形面积时，要注意选择积分变量，以使计算简便．
例1 求抛物线22y x =与直线4y x =-围成的平面图形的面积．
解析：如图1，解方程组224y x y x ⎧=⎨=-⎩，，
得两曲线的交点为
(22)-，、(84)，．
方法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分
的面积应该是两部分之和，即
8
02244)S dx =++⎰⎰
332828
8
22022214182x x x =-+=．
方法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积可据公式求得，即
2423422114418226y S y y dy y y --⎛⎫⎛⎫=+-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．
点评：从上述两种解法可以看出，对y 积分比对x 积分计算简捷．因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的．但同时也要注意对y 积分时，积分函数应是()x y ϕ=，本题须将条件中的曲线方程、直线方程化为212x y =、4x y =+的形式，然后求得积分．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变．
二、巧用对称性
在求平面图形面积时，利用函数所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段．
例2 求由三条曲线2y x =，24y x =，1y =所围图形的面积．
解析：如图2，因为2y x =，24y x =是偶
函数，根据对称性，只算出y 轴右边的图形的
面积再两倍即可．
解方程组21y x y ⎧=⎨=⎩，，和241y x y ⎧=⎨=⎩，，
得交点坐标(11)-，、(11)，、(21)-，、(21)，．
方法一：选择x 为积分变量，则22122012144x x S x dx dx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎣⎦⎰⎰ 3123201111424123x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎣⎦．方法二：可以选择y 为积分变量，求解过程请同学们自己完成．
点评：对称性的应用和积分变量的选取都影响着计算过程的繁简程度．
三、分割计算
例3 求由抛物线243y x x =-+-及其在点(03)M -，
和点(30)N ，处两条切线所围成的图形的面积．
解析：由243y x x =-+-，得24y x '=-+， ∴04x y ='=，过M 点的切线方程为43y x =-；
32x y ='=-，过N 点的切线方程为26y x =-+．又可求得两切线交点的横坐标为32x =
，故所求面积 3
3222
3029[(43)(43)][(26)(43)]4
S x x x dx x x x dx =---+-+-+--+-=
⎰⎰．
点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点
作x轴的垂线，将图形分割成两部分，分别用定积分求解．同学们应注意掌握这种分割的处理方法．。

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