传输线方程解析解求解方法的探讨
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传输线方程及解
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
电流波解：
特征导纳Yc
反射电压波与反射电流波在相位上相差180º
传输线纵向V(z)、I(z)分布与终端负载阻抗ZL有关
不同的ZL
有耗传输线方程的解
传输线有损耗，即R’=0，G’=0
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：
无耗传输线方程的解
如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
dV/dz=-jL’I, dI/dz=-jC’V
d 2V dz2
2L'C'V
k 2V
d 2V dz2
k 2V
0
该方程的解为：
无耗传输线方程的解I
定义本征阻抗和导纳：
电流为 注意：这里得到的电压、电流波均为复数形式！
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为
方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
传输线方程解析解求解方法的探讨
均匀传输线方程还存在一些难以解决的问题，因此对传输线方程通过拉氏变换在复频域内求解成为了一个研究方向。
为了便于计算，假设线上电压、电流都为零初始条件，则对方程（１）、（２）两端分别取拉氏变换可得如下的形式一一ｄＵ＿（ｘ，ｓ）：（风＋ｓＬｏ）Ｉ（ｘ，ｓ）（６）ａ，ｘ—ａ—Ｉ（＿ｘ，ｓ）：（Ｇ。
＋ｓＣｏ）Ｕ（ｘ，ｓ）（７）ａｘ其中Ｕ（ｘ，Ｊ）和舡声）分别为ｕ（ｘ，０和如，ｆ）的象函数。
联立方程（６）、（７）可解得线上电压电流的复频域通解为ｕ（ｘ，Ｊ）＝Ｆｓ（ｓ）ｅ一７‘’ｎ＋Ｅ０）Ｐ＋７‘。
ｎ（８）ｍ，班赤ｋ∽州小一哪矿巾¨】（９）上两式中ｒ（ｓ）为均匀传输线的传播常数，其定义为ｙ（ｓ）＝．，／—（Ｒｏ＋ＳＬ—ｏ）（Ｇｏ＋—ｓＣ—ｏ）（１０）ｚ。
（ｓ）为均匀传输线的特性阻抗，其定义为Ｚｃ（ｓ）＝Ｆ１０）、Ｆ２（ｓ）均为。
的定。
在式（８）、（９）中，分别令ｘ－－－－Ｏ并分别代２，至ｔＪ式（１２）、（ｔ３）ｔ扣，可得关于Ｆｌ（ｓ）、，２０）的方程组Ｅ（Ｊ）＋Ｒ（ｓ）＝ｕ，（ｓ）一丽１ｍ）一删ｍ）（１４’Ｆｌ（ｓ）ｅ‘７‘５’。
＋Ｅ（Ｊ）ｅ７‘’’‘。
去ｋ∽ｅ州叫一哪矽∽７ｍ）（１５）联立方程０４）、（１５）将求解所得的Ｆｌ（ｓ）、Ｆ２（ｓ）分别代入式（８）、（９）可得均匀传输线在给定边界条件下吣，）和Ｊ０，ｓ）的解为Ｕ（ｘ∽＝筹箫琊ｍ），ｓ）２≥而≤老嚣Ｆ七（ｓ）（，ｓ（５）（１６）怖）＝蒂鞴ｋ（Ｓ）Ｕｓ∽如印２亩‘蒜黹而。
’（１７）其中ｎ。
（Ｊ）、ｎ２０）分别为传输线始端和终端的反ｏＦ＝＝ｉ＝；ｒ。
图１长度为ｌ传输线的复频域模型图１所示为一段均匀传输线的复频域模型，该传输线的长度为，，假设其始端接有内阻为ｚｏ（ｓ）的电压源己‘Ｏ），终端接入一任意负载Ｚ施），则始端和终端边界条件的复频域形式分别为ｕ（ｏ，ｓ）＝Ｕｓ（ｓ）一Ｉ（ｏ，ｓ）ｚｏ（ｓ）（１２）ｕ（１，５）＝，（，，ｓ）ＺＬ（ｓ）（１３）０８）州加揣∽，㈣＝丽ｚ丽Ａｓ）而（２０）如果给出激励源“Ｏ）的具体形式．那么对式（ｔ４）、（１５）分别求取拉氏反变换则可获得线上电压、电流在给定边界条件下的解析解，但是从现有的文献州中还找不到可以描述线上行波多次反射过程的拉氏变换对，因此只能求取某些特定情形下的解析解。
第二讲 传输线方程及解
复习要点
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔 霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与
特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波
由时谐量与复数表示的对应关系，可得到：
无耗解的初步解释
讨论电压波情况： 传播常数
入射波 入射波的相速：vi = dz/dt = /k
反射波 (+z方向)
反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向） 传播速度就是填充介质中的光速 无损耗传输线上波的传播速度为：
v p 1/ L'C ' 1 /
传输线方程为：
有耗线的传播常数和特征阻抗 解 注意：Zc, k 均为复数!!
有耗传输线方程的解I
传播常数k为 方程的解：
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。 传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。 从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
第二讲
传输线方程及解
传输线方程推出
基尔霍夫定理： V=0，I=0
传输线方程推出I
V ( z, t ) z
V (z z, t) V (z, t) z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
(优选)第二讲传输线方程及解
（优选）第二讲传输线方程 及解
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：无耗传来自线方程的解如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔
霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与 特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波 与电流反射波相位相差180°。
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
复习要点
入射波
反射波
入射波的相速：vi = dz/dt = /k (+z方向) 反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向）
无损耗传传输播线速上度波就的是传填播充速介度质为中：的光速
v p1/ L'C' 1/
无耗解的初步解释I
波长： 2
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
传输线方程推出I
V (z,t) V (z z,t) V (z,t)
z
z
这就是传输线上电压、电流要满足的方程－传输线方程
方程的复数形式
时谐量与其复数形式的关系是： 把它们代入方程中，即
得到方程的复数形式：无耗传来自线方程的解如果传输线无损耗
R’＝0，G’＝0
传输线方程简化为：
将传输线分成N段后，只要每一段长度l << ，基尔
霍夫定理仍适用。
传输线方程及其解：传输线的特征参数为传播常数k与 特征阻抗Zc（或特征导纳Yc = 1/Zc）。k的实部kr表示 波的传播，虚部ki表示波的衰减，传输线上电压、电 流与位置z有关，可分解为入射波与反射波之和。电压 入射波与电流入射波之比为特征阻抗Zc，电压反射波 与电流反射波相位相差180°。
传输线上衰减波
把复数传播常数代入，得到：
有耗传输线方程的解II
传播常数的虚部ki>0, 称为波的衰减因 子或衰减常数，表示波的衰减。
传播常数的实部kr>0, 称为相位常数， 表示波的传播。
从解V, I 表达式中可知：传输线上电压、 电流波的传播可唯一地由两个特征参数 k, Zc（或Yc）。
复习要点
入射波
反射波
入射波的相速：vi = dz/dt = /k (+z方向) 反射波的相速：vr = dz/dt = -/k （-z方向）
无损耗传传输播线速上度波就的是传填播充速介度质为中：的光速
v p1/ L'C' 1/
无耗解的初步解释I
波长： 2
k 特征阻抗为入射电压波与入射电流波之比：
Zc V i I i 1/ Yc
第二节传输线方程及其解
回路 节点
(2-1a)
应用泰勒公式：
u(z dz,t) u(z,t) u(z,t) dz z
i(z dz,t) i(z,t) i(z,t) dz z
且有： u(z dz,t) u(z,t) 2u(z,t) dz
t
t
z t
得时变传输线方程 ( 分布参数电路微分方程 )：
用微分和极限概念
Z0
Ui (z) Ii (z)
Ur (z) Ir ( z)
R0 jwL0 G0 jwC0
L0 1
C0 pC0
(2 10)
( ) Z0表征了传输线固有的特性。 （无耗线） vp 1 L0C0
1) 平行双线的特性阻抗计算：
Z0
1
ln D 120 ln D r r r
(2 6b)
2) 同轴线的特性阻抗计算：
ch
z
I2 Z 0
sh
I( z )
U 2
sh
Z0
z
I2
ch
z
z
w vp
1 L0C0
(2 9b)
(2 4b)
群速？
均匀双导线中导行波的相速
将均匀双导线的L0、C0代入得
L0
ln
D r
C0
ln D
r
vp
1
c
r
r
1,
c
1 0 0
(2 9c)
其他双导体传输线？
2) 相波长 lp
lp ：行波在一个周期内等相位面沿传输方向移动的距离。
且有：
Z0
Ui (z) Ii (z)
Ur (z) Ir (z)
R0 jw L0 G0 jw C0
(2) 入射波与反射波
传输线方程及其解
对于无耗传输线 ， 0 ，此时 j
LC
无耗传输线传播常数为纯虚数 对于损耗很小的传输线 R L G C ，其传播常数为
( R jL) /(G jC ) j LC (1 R / jL)(1 G / jC )
j LC (1 R / 2 jL)(1 G / 2 jC ) j LC (1 R / 2 jL G / 2 jC R C G L R G j LC j LC 2 L 2 C 2 Z 0 2Y0 R G 2 Z 0 2Y0
d 2U ( z ) 2U ( z ) 0 2 2 ZY dz 其中 d 2 I ( z) ( R jL)(G jC ) 2 I ( z) 0 dz 2
入射波 反射波
通解
U z A1ez A2 e z U U I z A1e A2 e
什么叫色散？均匀无耗传输线上的导行波为无色散波，
有耗线的波为色散波，为何？重点掌握四个物理量的意义
微波工程基础
17
微波工程基础
10
第一章 均匀传输线理论之•均匀传输线方程及其解
i ( z, t ) u ( z z, t ) u ( z, t ) Rzi ( z, t ) Lz t u ( z z, t ) i( z z, t ) i ( z, t ) Gzu ( z z, t ) Cz t 将上式整理，并忽略高阶小量，可得： u ( z, t ) i( z, t ) Ri( z, t ) L z t i( z, t ) u ( z, t ) Gu ( z, t ) C z t 对于角频率为 的正弦电源，传输线方程 为
第2讲 传输线方程及其解
如果我们着重研究时谐(正弦或余弦)的变化情况，有
u ( z, t ) Re U ( z )e jt jt i ( z, t ) Re I ( z )e
式中，U(z)、I(z)只与z有关，表示在传输线z处的电 压或电流的复值。
dU ( R j L) I ZI dz dI (G jC )U YU dz
当典型Δz→0时，有 i( z, t ) u ( z z, t ) u ( z, t ) Ri ( z , t ) L t z i ( z z , t ) i ( z , t ) Gu ( z , t ) C u ( z , t ) z t 式(2-3)是均匀传输线方程或电报方程。
J 传 输 空 间
D
H S E
d
J
二 长线与分布参数电路
1. 长线与短线 L 时，传输线为长线 L 时，传输线为短线
例： 电源与负载间的铜导线长1.5CM L 1 短线 若 f1 1MHZ，则 1 94.86m 若 f 2 10GHZ，则 2 0.949cm L 1.52 长线
Z 0 Zl j 2 l A1 e A2 0 Z 0 Zl
构成线性方程组
A1 A2 g Eg Z 0 Z0 0
其中 g 最后得到
Z g Z0 Z g Z0
, l
很易得到
C j z j z I ( z) ( A1e A2e ) ( A1e j z A2e j z ) L L
1 j z j z ( A1e A2e ) z0
其中，特性阻抗 Z
0
传输线方程推导
传输线方程推导一、引言在电磁场理论中，传输线方程是一个非常重要的概念，它描述了电磁波在传输线上的传播规律。
本文将介绍传输线方程的推导过程，希望能够对读者加深对该概念的理解。
二、传输线模型在推导传输线方程之前，我们需要先了解传输线模型。
一般情况下，我们可以把一根导体上的电磁波看成是在两个无限大平面之间来回反射的波。
这两个平面可以是两根金属导线、金属板、或者其他形式的导体。
三、传输线方程推导（一）微元法我们可以通过微元法来推导出传输线方程。
假设有一段长度为dx的微小元，在这段微小元内有一个电阻R和一个电感L，并且这段微小元内没有任何外部源。
当电磁波通过这段微小元时，会产生一个交变电流i和一个交变电压v。
根据欧姆定律和基尔霍夫定律，我们可以得到以下方程组：v = Ri + L(di/dt)di/dx = (d/dx)(v/L - Ri)（二）傅里叶变换法除了使用微元法，我们还可以使用傅里叶变换法来推导传输线方程。
假设有一段长度为dx的微小元，在这段微小元内有一个电阻R和一个电感L，并且这段微小元内没有任何外部源。
当电磁波通过这段微小元时，会产生一个交变电流i和一个交变电压v。
我们可以对i和v进行傅里叶变换，得到以下方程组：V(f) = I(f) * Z(f)Z(f) = R + j2πfL其中，V(f)和I(f)分别表示电压和电流在频域中的表达式，Z(f)表示传输线的特性阻抗。
（三）传输线方程将微元法和傅里叶变换法结合起来，我们可以得到传输线方程：(d/dx)(V(x, f)) = -j2πfL(x)V(x, f) + R(x)dI(x, f)/dx(d/dx)(I(x, f)) = -j2πfC(x)I(x, f) + G(x)dV(x, f)/dx其中，V(x,f)和I(x,f)分别表示电压和电流在时域和频域中的表达式，L(x)，C(x)，R(x)，G(x)分别表示传输线在不同位置处的感应、容纳、阻抗、导纳。
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抗， 别由 （ ） （ ） 分 式（ ， 决定。 １ １ ０ １ 为了 （ ） 获得式 ３ 的拉氏 变换． 将该式 ０ 反 需 变换
为
要杏１ 、 ：） （ｘｘ ，知 丢 ・ ２） ＋－ ＋ ・
＋ｗ２ － ｅ
Ｕ ｘｓ （，）
（－ Ｌ＋ ｔ ２ ，） ＇ ｅ｝ 一 从Ｎ２ 生＋ ２ｘ （＇ ） ， ｘ－ ｒ
畸变传输线方程的解析解。
其 ：Ｌ＝０ｖ￣ ＝ 线 行 中－０Ｃ， ＝ １ 李为 上
Ｒ Ｇ Ｌ ０ ０ ０ Ｖ ｏ Ｃ
卢ｒ
５ 无限长传输线的冲激响应电压
这里要考虑的另外一种特定情形为无限长的有 损耗均匀传输线， 便于分析， 为了 假设其始端接入
波的传播速度， Ｑ ０ 为 输 的 减 ＝ ＇ 传 线 衰 常 ７ Ｒ０ Ｃ
Ｚ （ ＋ （） ｏ Ｚ ｓ ｓ ｃ ）
（８ １）
Ｆ（． ） ，）Ｆ（均为！ ｓ ２ ｓ 的函数， 由传输线的边界条件确
Ｚ （ 一 ｃ ， Ｚ （ ｓ ） ｓ ） ｎ（ ＝ ２ ｓ ） Ｚ （ ＋ ｓ Ｌ Ｚ （ Ｓ ｃ ） ）
Ｚ（） Ｏ Ｓ
（９ １）
Ｚ（ Ｌ） ｓ
Ｕ（ ，） ｓ
０ 停＝不＝＝犷ｘ
乙ｃ ｌ ） ｓ
（５ １）
联立方程（ ） （ 将求解所得的Ｆ（． ） ４． ） １ １ ５ ，） Ｆ（ ｓ ２ ｓ 分别代入式（， （ （可得均匀传输线在 边界 ８ ９ ） ） 给定 条 Ｕｘ ） ｓ ＇ 凡（ｅ（ Ｕｘ） （ｓ （ｓ Ｆ ） （ ＋ Ｓ ＋＇ ， ， ＇ ＝ ｅ （ ） ｘ ）ｒｘ ） （ ８ ） 件下 （ｓ ｘ） ，和Ｉ ，的解为
② 文献［ 给出了 中 ８ ］ 波动方程的 但是该 解， 结
果也不是完全解析的，其中包含了贝塞尔函数的 积分项和微分项，并且其物理含义不明 确，在工 程上也不适用； ③ 一阶偏微分方程组的边界条件和初始条 件是依据实际工程需要所列出的，不能够把它们 转换为二阶偏微分方程的边界条件和初始条件。
图 １ 长度为１ 传输线的复频域模型 图１ 所示为一段均匀传输线的复频域模型， 该 传输线的长度为ｌ假设其始端接有内阻为Ｚ ｓ ， ｏ） （的
Ｚ（ ｃ ｓ ） ｋｓ ＝ （ ） Ｚ （ ＋ （ ｏ Ｚ ｓ ｓ ｃ ） ）
（０ ２）
如果给出 源 ＵＳ 具体形式． 对式 激励 ．） （的 那么 （ ）（ ） １ ， 分别求取拉氏反变换则可获得线上电 ４ １ ５ 压、
鲤 气
一、 ＝ｕ ＧＣ ＯＯ ＋ 鲁
＝ 入。 ＋ 儿内— 王
’ａ ｒ
３ ．传输线方程的复频域求解方法
复频域方法是分析线性动态电路的一种常用 的方法， 它能够将微分方程转换为代数方程使得计 算过程变得更加简洁。 于在时域内 由 直接求解有损
（ｚ）
均匀传输线方程还存在一些难以解决的问题， 因此 对传输线方程通过拉氏变换在复频域内求解成为 了 一个研究方向。为了便于计算， 假设线上电 压、
Ｏ 杂Ｌ ＋ Ｌ ＋ 一Ｏ （‘Ｏ Ｒｕ Ｏ Ｒ Ｇ） Ｏ Ｃ Ｏ Ｏ鲁 Ｇ 余 Ｃ ，
为了 对方程（进行求解， 便于 ３ ） 需要作一 个如
下的变量替换，令
（ ３ ）
ｕｔ。 ”（ （ 一ｉ）ｘ ｘ 一 ｔ， ， ‘ｕ ｔ ） 二 ，）
（） ４
１ ．引言 近十年来． 随着超大规模集成电路的快速发展 及电力输电 系统规模的不断扩大， 传输线暂态响 应 的研究受到了 众多学者的关注， 国内外期刊上发表
Ｋ ｒ ） ） Ｕ（ （ ｓ ２ ６
数。
无畸变线的 特性阻抗与， 无关， 是一个纯电 阻，
可以表示为
内 零的单 阻为 位冲激电 压源ｓ） 负载阻 （， ｒ 抗接在无 穷远处。 － ｏ时， 当１ ｏ 关于Ｆ（， ） 方程组 ＋ － ，） Ｆ（的 ｓ ２ ｓ （）（ ） １ ， 则简化为 ４ １ ５ 月（ ＋ ｓ二 ｓ 凡（ ） ）
电流在给定边界条件下的解析解， 但是从现有的 文 献阴 中还找不到可以 描述线上行波多次反射过程 的拉氏 变换对， 因此只能求取某些特定情形下的解
析解。
电 源Ｕ 终 接入一 负 Ｌ） 则 端 压 ．， 端 （ Ｓ ） 任意 载Ｚｓ 始 （，
和终端边界条件的复频域形式分别为
Ｕ ０ ） Ｕ （ 一 （ ｓ ｏ ） （ ） （ ｓ＝ Ｓ Ｉ ， Ｚ（ ， ｓ ０ ） Ｓ ） １ ２
Ｒ ＋ ｏ ｏ ｓ Ｌ Ｚ（ ＝ ｃ ｓ ） Ｇ ＋Ｃ ｏ ｏ ｓ
定。
（） １ ０
（） １ ７
其中ｎ ｓ、ｎ（ 分 传输 始端 端的 ， ２ 别为 线 和终 反 （ ） ｓ ）
射系数，且 （１ １）
Ｚ（ 一 ｃ ｏ ） Ｚ（ ｓ ｓ ） ｎ ｓ” ， （ ）
联立求解方程组（ ） （ ） ２ ， 可得凡（ 二 ８ ２ ９ ｓ ０、 ）
数ｎｓ、ｎ（ 和ｋ ） 成 与ｓ 关 常 ， ２ 。 都 为 无 的 数， （ ） ｓ ）
可表示为
只（ ＝ 并 别 入 （， 得 限 传 ｓ １ 分 代 式８ （可 无 长 输 ） ， ）９ ）
线的复频域解， 由于待求的电 压电 流响应为单位冲 ｎ （ ） Ｎ， 一芝 一 二 ， ＝ ｓ ＝ ‘ － 乙 （３ ２） 激响应， 因此该复频域解也为电压电 流响应的网络 Ｒ＋ ， Ｓ Ｒ 函数
Ｒ。 ， 一Ｒ ．
ｎ（ ＝ Ｚ 一凡 ２ Ｎ ＝ ｓ ）
凡
一ｃ Ｒ 十 凡
（） ２ ４
Ｈ （ｓ＝ ｘ ） ｒ＝ （ ＝ ＋ ｘ ） Ｕ ， ｅ（ ， ｓ －） （） ３ ０
ｋｓ 二 （ Ｋ ）
Ｒ ｃ Ｒ Ｒ ＋ 一！— 一丫 匕． ． Ｕ 。 。 一一 ：
ＬＣ ａ＇ ＯＯ ｘ
ａ｀ ｝ ） ｔ ２
气） 〕
下面 种情况对方程（进行讨论： 分２ ｓ ） １ａ６ 那么传输线是 ） ， ＝ 无损线或无畸变线， 现有文
献上已 给出了该方程的通解：
２ａ 那么 ） Ａ， 传输线是 有损的， 对方程 ｓ 用 此时 （可 ） 数学物理的 方法求 解或由Ｍ ｐ 等 计算软 ａ ｅ 符号 ｌ 件
其中Ｕ ，和Ｉ， （ｓ （ｓ ｘ） ｘ） 分别为“ ， ， 的 数。 （１ ｔ 象函 ｘ） ） 和＊ 联立方程（ ，７ ６ （可解得线上电 ） ） 压电流的复频域
通解为
只ｓ ＇ｌ凡（ｅ， （ｅ ＋ ｓ ｒｔ ）（ ， ） ）（ ）
七从［）（ Ｆ））（ Ｆ ｅ） ２ ｋｓ ，－ 一（ｒ ， （ ｒ ｓ（ ） ｓ ＋ ｅ， ‘ ，
传输线方程解析解求解方法的探讨
１ 重庆大学 电气工程学院，重庆 ． ４０４； 重庆大学通信工程学院，重庆 ００４ ２ ．
孙 韬 ’ 刘宗行２
摘要： 本文分别从时域和复频域两方面对传输线方 程的求解方法进行了探讨． 在时域内求解传输线方 程， 就是将传输线方程消去一个变量后变换为波动 方 然后利用数学物理的方法求解； 程， 在复频域内 求解传输线方程首建立传输线的复频域模型， 然后 求解出 线上电 电 压、 流在给定激励和给定边界条件 下 的复频域解， 最后通过求解复频域解的拉氏反变 换以获得时域解。 关键词：解析解，时域法，复频域法
（５ ２）
（ ） Ｈ， ） ｘｓ＝ 一一・ （， Ｉ ， 一 。！ ｘ ＝ ） 二 ， ｓ （ Ｚ（ ） ｃ ｓ
（１ ３）
将式 １（ 分别 ２｝２） 代入式 １ ， 可得无畸变 （ －５ （ ）（ ） ６ １ ７
传输线在给定边界条件下线上电压电流的复频域
解为
ｅ ‘ ，
其中ｙ ） ｃ ） 传 线的 播 数 特 阻 （ 和Ｚ（ 为 输 传 常 和 性 ｓ ｓ
ＩＳ （） Ｆ）（ Ｆ）（ （ ｘ＝牛［ ｅ＇ ２ｅ）９ ， ， 一 （＇ｘ ） （ ｒ ｓｒ１ ｓ ， ＇
／ｃｔ ） ‘
ｅ Ｘ－ ＋ ２） （ ｙ ２ ） （ｅ， ， ｘ （ ｔ ｎ ｓｒｘ ） Ｕ ｘＳ ＝ （， ） ｋｓ ， ） （Ｕ （ ） ｓ ｅ （ 一 ， （ ２ ） ｎ ｓ ２ ｒ‘ （ｎ ｓ ， ） ）
２ ．传输线方程的时域求解方法
对式（ ， ） １ （ 描述的 ） ２ 传输线方程， 将式（ 的两 ２ ） 端分别对时间ｒ 求偏导， 以及将式（ 的两端分别对 １ ） 距离ｘ求 偏导， 经消元后可得一个式（描 仅 ３ 述的 ） 含有电 压变量的二阶偏微分方程。 （ｌ） ＿＿ ＿ ａ ｉ
（６ １）
＿ 式中Ｙ ） 均匀 ｔ 两 （ 为 传输线的 Ｓ 传播常 其定义 数，
为
Ｉ，＝ （Ｓ Ｓ）
ｅ 一 ， （ ｃ ｌ ２） ｎ８ ２ ｔ ｒ‘ （ｎ ｓ ｓ （ ， ） ）
ｅ）’ｎｓ 二丁ｋｓ ， ｒ‘一（ （一 ２ｅ （） （ ，） ） （ ２ Ｕｓ ）
ｒ－－ （）
ｙ ） ，Ｒ ＋ Ｌ） ． ． （ ＝ Ｊ ．Ｇ ＋ Ｃ） ｓ （ ｓ （ ｓ Ｚ （ 为 匀 输 特 抗， 义为 Ｃ 均 传 线的 性阻 其定 ｓ ）
（２ 税
Ｚ＝ 得 （ ｃ ＝ ２ （ｃ ２ ｓ＝ ） Ｒ 擂 ）
为了 便于计算， 假设电 源内阻和负载阻抗都为
凡（ｅ，＝ 凡（ｅ，Ｚ （ ｓ ｒ（ 一 ｓ ｒｉＬ ）（ ） ）（ Ｓ ） ） Ｚ（ ｃ ｓ ）
（２ 夕
纯电 阻，即 Ｚｓ Ｒ， ） Ｒ－ ０） ｓ Ｚ（＝ Ｌ 则此时反射系 （＝ Ｌ ｓ
在式（ ， 中，分别令Ｘ。并分别代入到式 ） （ （ ８ ９ ） －
（ ） （ ） 可 关于Ｆ（． ） 方 １ ， 中， 得 ２ １ ３ ｓ ＦＳ 程组 ） ２的 （
汽（ ＋ Ｓ＝ ， ３ 凡（ Ｕ （ ） ） Ｓ ） １ 。， 。，， 、（ ） 。 、 、 ，， １ ４
一二， 下 Ｌ ，ｓ 一ｒ １１ ０ 二 万ｒ ｉ） ２ｓ１ Ｍ － １
求出 其通解， 但存在如下几个问 题： ① 通常二阶偏微分方程的 解不是唯一的， 利 用符号计算软件求解时，如采用不同的方法可能 会给出不同的结果：
为
要杏１ 、 ：） （ｘｘ ，知 丢 ・ ２） ＋－ ＋ ・
＋ｗ２ － ｅ
Ｕ ｘｓ （，）
（－ Ｌ＋ ｔ ２ ，） ＇ ｅ｝ 一 从Ｎ２ 生＋ ２ｘ （＇ ） ， ｘ－ ｒ
畸变传输线方程的解析解。
其 ：Ｌ＝０ｖ￣ ＝ 线 行 中－０Ｃ， ＝ １ 李为 上
Ｒ Ｇ Ｌ ０ ０ ０ Ｖ ｏ Ｃ
卢ｒ
５ 无限长传输线的冲激响应电压
这里要考虑的另外一种特定情形为无限长的有 损耗均匀传输线， 便于分析， 为了 假设其始端接入
波的传播速度， Ｑ ０ 为 输 的 减 ＝ ＇ 传 线 衰 常 ７ Ｒ０ Ｃ
Ｚ （ ＋ （） ｏ Ｚ ｓ ｓ ｃ ）
（８ １）
Ｆ（． ） ，）Ｆ（均为！ ｓ ２ ｓ 的函数， 由传输线的边界条件确
Ｚ （ 一 ｃ ， Ｚ （ ｓ ） ｓ ） ｎ（ ＝ ２ ｓ ） Ｚ （ ＋ ｓ Ｌ Ｚ （ Ｓ ｃ ） ）
Ｚ（） Ｏ Ｓ
（９ １）
Ｚ（ Ｌ） ｓ
Ｕ（ ，） ｓ
０ 停＝不＝＝犷ｘ
乙ｃ ｌ ） ｓ
（５ １）
联立方程（ ） （ 将求解所得的Ｆ（． ） ４． ） １ １ ５ ，） Ｆ（ ｓ ２ ｓ 分别代入式（， （ （可得均匀传输线在 边界 ８ ９ ） ） 给定 条 Ｕｘ ） ｓ ＇ 凡（ｅ（ Ｕｘ） （ｓ （ｓ Ｆ ） （ ＋ Ｓ ＋＇ ， ， ＇ ＝ ｅ （ ） ｘ ）ｒｘ ） （ ８ ） 件下 （ｓ ｘ） ，和Ｉ ，的解为
② 文献［ 给出了 中 ８ ］ 波动方程的 但是该 解， 结
果也不是完全解析的，其中包含了贝塞尔函数的 积分项和微分项，并且其物理含义不明 确，在工 程上也不适用； ③ 一阶偏微分方程组的边界条件和初始条 件是依据实际工程需要所列出的，不能够把它们 转换为二阶偏微分方程的边界条件和初始条件。
图 １ 长度为１ 传输线的复频域模型 图１ 所示为一段均匀传输线的复频域模型， 该 传输线的长度为ｌ假设其始端接有内阻为Ｚ ｓ ， ｏ） （的
Ｚ（ ｃ ｓ ） ｋｓ ＝ （ ） Ｚ （ ＋ （ ｏ Ｚ ｓ ｓ ｃ ） ）
（０ ２）
如果给出 源 ＵＳ 具体形式． 对式 激励 ．） （的 那么 （ ）（ ） １ ， 分别求取拉氏反变换则可获得线上电 ４ １ ５ 压、
鲤 气
一、 ＝ｕ ＧＣ ＯＯ ＋ 鲁
＝ 入。 ＋ 儿内— 王
’ａ ｒ
３ ．传输线方程的复频域求解方法
复频域方法是分析线性动态电路的一种常用 的方法， 它能够将微分方程转换为代数方程使得计 算过程变得更加简洁。 于在时域内 由 直接求解有损
（ｚ）
均匀传输线方程还存在一些难以解决的问题， 因此 对传输线方程通过拉氏变换在复频域内求解成为 了 一个研究方向。为了便于计算， 假设线上电 压、
Ｏ 杂Ｌ ＋ Ｌ ＋ 一Ｏ （‘Ｏ Ｒｕ Ｏ Ｒ Ｇ） Ｏ Ｃ Ｏ Ｏ鲁 Ｇ 余 Ｃ ，
为了 对方程（进行求解， 便于 ３ ） 需要作一 个如
下的变量替换，令
（ ３ ）
ｕｔ。 ”（ （ 一ｉ）ｘ ｘ 一 ｔ， ， ‘ｕ ｔ ） 二 ，）
（） ４
１ ．引言 近十年来． 随着超大规模集成电路的快速发展 及电力输电 系统规模的不断扩大， 传输线暂态响 应 的研究受到了 众多学者的关注， 国内外期刊上发表
Ｋ ｒ ） ） Ｕ（ （ ｓ ２ ６
数。
无畸变线的 特性阻抗与， 无关， 是一个纯电 阻，
可以表示为
内 零的单 阻为 位冲激电 压源ｓ） 负载阻 （， ｒ 抗接在无 穷远处。 － ｏ时， 当１ ｏ 关于Ｆ（， ） 方程组 ＋ － ，） Ｆ（的 ｓ ２ ｓ （）（ ） １ ， 则简化为 ４ １ ５ 月（ ＋ ｓ二 ｓ 凡（ ） ）
电流在给定边界条件下的解析解， 但是从现有的 文 献阴 中还找不到可以 描述线上行波多次反射过程 的拉氏 变换对， 因此只能求取某些特定情形下的解
析解。
电 源Ｕ 终 接入一 负 Ｌ） 则 端 压 ．， 端 （ Ｓ ） 任意 载Ｚｓ 始 （，
和终端边界条件的复频域形式分别为
Ｕ ０ ） Ｕ （ 一 （ ｓ ｏ ） （ ） （ ｓ＝ Ｓ Ｉ ， Ｚ（ ， ｓ ０ ） Ｓ ） １ ２
Ｒ ＋ ｏ ｏ ｓ Ｌ Ｚ（ ＝ ｃ ｓ ） Ｇ ＋Ｃ ｏ ｏ ｓ
定。
（） １ ０
（） １ ７
其中ｎ ｓ、ｎ（ 分 传输 始端 端的 ， ２ 别为 线 和终 反 （ ） ｓ ）
射系数，且 （１ １）
Ｚ（ 一 ｃ ｏ ） Ｚ（ ｓ ｓ ） ｎ ｓ” ， （ ）
联立求解方程组（ ） （ ） ２ ， 可得凡（ 二 ８ ２ ９ ｓ ０、 ）
数ｎｓ、ｎ（ 和ｋ ） 成 与ｓ 关 常 ， ２ 。 都 为 无 的 数， （ ） ｓ ）
可表示为
只（ ＝ 并 别 入 （， 得 限 传 ｓ １ 分 代 式８ （可 无 长 输 ） ， ）９ ）
线的复频域解， 由于待求的电 压电 流响应为单位冲 ｎ （ ） Ｎ， 一芝 一 二 ， ＝ ｓ ＝ ‘ － 乙 （３ ２） 激响应， 因此该复频域解也为电压电 流响应的网络 Ｒ＋ ， Ｓ Ｒ 函数
Ｒ。 ， 一Ｒ ．
ｎ（ ＝ Ｚ 一凡 ２ Ｎ ＝ ｓ ）
凡
一ｃ Ｒ 十 凡
（） ２ ４
Ｈ （ｓ＝ ｘ ） ｒ＝ （ ＝ ＋ ｘ ） Ｕ ， ｅ（ ， ｓ －） （） ３ ０
ｋｓ 二 （ Ｋ ）
Ｒ ｃ Ｒ Ｒ ＋ 一！— 一丫 匕． ． Ｕ 。 。 一一 ：
ＬＣ ａ＇ ＯＯ ｘ
ａ｀ ｝ ） ｔ ２
气） 〕
下面 种情况对方程（进行讨论： 分２ ｓ ） １ａ６ 那么传输线是 ） ， ＝ 无损线或无畸变线， 现有文
献上已 给出了该方程的通解：
２ａ 那么 ） Ａ， 传输线是 有损的， 对方程 ｓ 用 此时 （可 ） 数学物理的 方法求 解或由Ｍ ｐ 等 计算软 ａ ｅ 符号 ｌ 件
其中Ｕ ，和Ｉ， （ｓ （ｓ ｘ） ｘ） 分别为“ ， ， 的 数。 （１ ｔ 象函 ｘ） ） 和＊ 联立方程（ ，７ ６ （可解得线上电 ） ） 压电流的复频域
通解为
只ｓ ＇ｌ凡（ｅ， （ｅ ＋ ｓ ｒｔ ）（ ， ） ）（ ）
七从［）（ Ｆ））（ Ｆ ｅ） ２ ｋｓ ，－ 一（ｒ ， （ ｒ ｓ（ ） ｓ ＋ ｅ， ‘ ，
传输线方程解析解求解方法的探讨
１ 重庆大学 电气工程学院，重庆 ． ４０４； 重庆大学通信工程学院，重庆 ００４ ２ ．
孙 韬 ’ 刘宗行２
摘要： 本文分别从时域和复频域两方面对传输线方 程的求解方法进行了探讨． 在时域内求解传输线方 程， 就是将传输线方程消去一个变量后变换为波动 方 然后利用数学物理的方法求解； 程， 在复频域内 求解传输线方程首建立传输线的复频域模型， 然后 求解出 线上电 电 压、 流在给定激励和给定边界条件 下 的复频域解， 最后通过求解复频域解的拉氏反变 换以获得时域解。 关键词：解析解，时域法，复频域法
（５ ２）
（ ） Ｈ， ） ｘｓ＝ 一一・ （， Ｉ ， 一 。！ ｘ ＝ ） 二 ， ｓ （ Ｚ（ ） ｃ ｓ
（１ ３）
将式 １（ 分别 ２｝２） 代入式 １ ， 可得无畸变 （ －５ （ ）（ ） ６ １ ７
传输线在给定边界条件下线上电压电流的复频域
解为
ｅ ‘ ，
其中ｙ ） ｃ ） 传 线的 播 数 特 阻 （ 和Ｚ（ 为 输 传 常 和 性 ｓ ｓ
ＩＳ （） Ｆ）（ Ｆ）（ （ ｘ＝牛［ ｅ＇ ２ｅ）９ ， ， 一 （＇ｘ ） （ ｒ ｓｒ１ ｓ ， ＇
／ｃｔ ） ‘
ｅ Ｘ－ ＋ ２） （ ｙ ２ ） （ｅ， ， ｘ （ ｔ ｎ ｓｒｘ ） Ｕ ｘＳ ＝ （， ） ｋｓ ， ） （Ｕ （ ） ｓ ｅ （ 一 ， （ ２ ） ｎ ｓ ２ ｒ‘ （ｎ ｓ ， ） ）
２ ．传输线方程的时域求解方法
对式（ ， ） １ （ 描述的 ） ２ 传输线方程， 将式（ 的两 ２ ） 端分别对时间ｒ 求偏导， 以及将式（ 的两端分别对 １ ） 距离ｘ求 偏导， 经消元后可得一个式（描 仅 ３ 述的 ） 含有电 压变量的二阶偏微分方程。 （ｌ） ＿＿ ＿ ａ ｉ
（６ １）
＿ 式中Ｙ ） 均匀 ｔ 两 （ 为 传输线的 Ｓ 传播常 其定义 数，
为
Ｉ，＝ （Ｓ Ｓ）
ｅ 一 ， （ ｃ ｌ ２） ｎ８ ２ ｔ ｒ‘ （ｎ ｓ ｓ （ ， ） ）
ｅ）’ｎｓ 二丁ｋｓ ， ｒ‘一（ （一 ２ｅ （） （ ，） ） （ ２ Ｕｓ ）
ｒ－－ （）
ｙ ） ，Ｒ ＋ Ｌ） ． ． （ ＝ Ｊ ．Ｇ ＋ Ｃ） ｓ （ ｓ （ ｓ Ｚ （ 为 匀 输 特 抗， 义为 Ｃ 均 传 线的 性阻 其定 ｓ ）
（２ 税
Ｚ＝ 得 （ ｃ ＝ ２ （ｃ ２ ｓ＝ ） Ｒ 擂 ）
为了 便于计算， 假设电 源内阻和负载阻抗都为
凡（ｅ，＝ 凡（ｅ，Ｚ （ ｓ ｒ（ 一 ｓ ｒｉＬ ）（ ） ）（ Ｓ ） ） Ｚ（ ｃ ｓ ）
（２ 夕
纯电 阻，即 Ｚｓ Ｒ， ） Ｒ－ ０） ｓ Ｚ（＝ Ｌ 则此时反射系 （＝ Ｌ ｓ
在式（ ， 中，分别令Ｘ。并分别代入到式 ） （ （ ８ ９ ） －
（ ） （ ） 可 关于Ｆ（． ） 方 １ ， 中， 得 ２ １ ３ ｓ ＦＳ 程组 ） ２的 （
汽（ ＋ Ｓ＝ ， ３ 凡（ Ｕ （ ） ） Ｓ ） １ 。， 。，， 、（ ） 。 、 、 ，， １ ４
一二， 下 Ｌ ，ｓ 一ｒ １１ ０ 二 万ｒ ｉ） ２ｓ１ Ｍ － １
求出 其通解， 但存在如下几个问 题： ① 通常二阶偏微分方程的 解不是唯一的， 利 用符号计算软件求解时，如采用不同的方法可能 会给出不同的结果：