中考数学复习第4章图形的认识与三角形第16讲解直角三角形课件
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中考数学复习 第4章 图形的初步认识与三角形 第16讲 三角形课件
B ∵AF⊥BF，D是AB边上的中点(zhōnɡ diǎn)，∴DF＝BD＝ AB＝5.∴∠DBF ＝∠DFB.∵BF平分∠ABC，∴∠DBF＝∠CBF＝∠BFD.∴DE∥BC，故DE是 △ABC的中位线．∴DE＝ BC＝8.∴EF＝DE－DF＝8－5＝3.
第十页，共十九页。
六年真题全练 命题(mìng tí)点1 三角形边和角的关系
技法点拨►已知一个中点考虑三角形中线的性质，已知两个或多 个中点考虑三角形中位线的性质．
第九页，共十九页。
变式运用►2.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于 点F，D为AB的中点，连接DF并延长(yáncháng)交AC于点E.若 AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
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内容 总结 (nèiróng)
第四章 图形的初步认识与三角形。C ∵CE是∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠DCE＝ ∠ACE＝60°.∴∠ACD＝120°.又∵∠ACD＝∠B＋∠A，∠B＝35°，∴∠A＝120°－35°＝85°.。PA、PB的 长度随点P的移动(yídòng)而变化，∴△PAB的周长会随点P的移动(yídòng)而变化。∠APB的大小随 点P的移动(yídòng)而变化．综上所述，会随点P的移动(yídòng)而变化的是②⑤.
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第十二页，共十九页。
命题(mìng tí)点2 三角形角的关系
2．[2014·河北，4,2分]如图，平面上直线a，b分别过线段(xiànduàn)OK两
端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是ห้องสมุดไป่ตู้ )
A．20°
B．30°
C．70°
D．80°
B 设直线(zhíxiàn)a，b相交于点M，如图所示，100°角是△KOM的一个外
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六年真题全练 命题(mìng tí)点1 三角形边和角的关系
技法点拨►已知一个中点考虑三角形中线的性质，已知两个或多 个中点考虑三角形中位线的性质．
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变式运用►2.如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于 点F，D为AB的中点，连接DF并延长(yáncháng)交AC于点E.若 AB＝10，BC＝16，则线段EF的长为( ) A．2 B．3 C．4 D．5
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内容 总结 (nèiróng)
第四章 图形的初步认识与三角形。C ∵CE是∠ACD的平分线，∠ACE＝60°，∴∠DCE＝ ∠ACE＝60°.∴∠ACD＝120°.又∵∠ACD＝∠B＋∠A，∠B＝35°，∴∠A＝120°－35°＝85°.。PA、PB的 长度随点P的移动(yídòng)而变化，∴△PAB的周长会随点P的移动(yídòng)而变化。∠APB的大小随 点P的移动(yídòng)而变化．综上所述，会随点P的移动(yídòng)而变化的是②⑤.
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命题(mìng tí)点2 三角形角的关系
2．[2014·河北，4,2分]如图，平面上直线a，b分别过线段(xiànduàn)OK两
端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是ห้องสมุดไป่ตู้ )
A．20°
B．30°
C．70°
D．80°
B 设直线(zhíxiàn)a，b相交于点M，如图所示，100°角是△KOM的一个外
中考数学复习 第4章 图形的认识与三角形 第16讲 解直角三角形课件
2021/12/8
第二十五页，共二十七页。
解：(1)在Rt△ALR中，AR＝6km，∠ARL＝42.4°，
由cos∠ARL＝LR ，得LR＝AR·cos∠ARL＝
AR
6×cos42.4°≈4.44(km)．
故发射台与雷达站之间的距离LR为4.44km. (2)在Rt△BLR中，LR＝4.44km，∠BRL＝45.5°，∵tan∠BRL＝
提示►①如果实际问题
的图示中，没有直角三角形
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，的，要根据已知和所求的问
转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的 题构造相应的直角三角形；
特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角 ②选择恰当的三角函数关系
形，得到数学问题的答案；(3)结合题意，写出 计算，尽可能地使用原始数
实际问题的答案
据，减小误差；③若解直角
三角形条件不充分，往往需
要设未知数列方程
2021/12/8
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典型(diǎnxíng)例题运用
类型1 由角的一个(yī ɡè)三角函数值求其他三角函数值
【例1】 [2017·曹县质检(zhìjiǎn)]在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝
值为( A )
2.特殊(tèshū)角的三角函数值
提示(tíshì)►(1)同角三角函数之间的关系：sin2A＋cos2A＝1，tanA
＝ sin A .(2)互余两角三角函数之间的关系：若∠A＋∠B＝90°， cos A
2021则/12有/8sinA＝cosB，sinB＝cosA.
第三页，共二十七页。
考点(kǎo diǎn)2 解直角三角形 在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，a，b为两直角(zhíjiǎo)边
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
解直角三角形ppt课件
经济学中的复利计算
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。
在经济学中，经常需要进行复利计算。虽然复利计算本身与解直角三角形没有直接关系， 但是可以通过构造类似直角三角形的数学模型并求解，得到复利计算的精确结果。
06
解直角三角形的拓展与延伸
斜三角形的解法探讨
斜三角形的定义与性质
斜三角形是指一个三角形中不包含直角的情况。其性质包 括三角形的内角和为180度，以及三边关系等。
工程问题中的解直角三角形
土木工程中的坡度计算
在土木工程中，经常需要计算坡度，即斜坡的倾斜程度。 通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的坡度值。
机械工程中的力学分析
在机械工程中，经常需要对物体进行力学分析。通过构造 直角三角形并利用三角函数求解，可以得到物体受到的力 的大小和方向。
电气工程中的相位差计算
在电气工程中，经常需要计算两个交流信号之间的相位差 。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的相位差值 。
其他实际问题中的解直角三角形
航海问题中的航向和航程计算
在航海问题中，经常需要计算航向和航程。通过构造直角三角形并求解，可以得到精确的 航向和航程值。
物理学中的矢量合成与分解
在物理学中，经常需要对矢量进行合成与分解。通过构造直角三角形并利用三角函数求解 ，可以得到合成或分解后的矢量的大小和方向。
在直角三角形中，已知任意两边长，可以利用勾股定理求出 第三边长。
已知角度和一边求另一边
在直角三角形中，已知一个锐角和一条边长，可以利用三角 函数和勾股定理求出另一条边长。
勾股定理在实际问题中的应用
测量问题
在测量问题中，可以利用 勾股定理解决距离、高度 等测量问题。
工程问题
在工程问题中，可以利用 勾股定理解决角度、长度 等计算问题。
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
中考数学总复习第四章第16课时图形的基本认识课件
2.若α，β互为余角，则α＋β＝__9_0___°.若α，β互为补角，则 α＋β＝__1_8_0___°.若α，β互为对顶角，则_α__＝__β__.1°＝___6_0____′
＝__3__6_0_0__″. 3.两直线平行，_同__位__角___相等.两直线平行，_内__错__角___相等.两
直线平行，___同__旁__内__角____互补.同位角相等，两直线平行.内错角
答案：20
11.(2023·台州)用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若 ∠1＝20°，则∠2 的度数为__________.
答案：140°
12.(2021·云南)如图是某几何体的三视图(其中主视图也称正 视图，左视图也称侧视图).已知主视图和左视图是两个全等的矩形. 若主视图的相邻两边长分别为 2 和 3，俯视图是直径等于 2 的圆， 则这个几何体的体积为__________.
图1
图2
(2)将点 P 移到 AB，CD 内部，如图 2 所示，(1)中②的结论是 否成立？若成立，不需说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B， ∠D 之间有何数量关系？并说明你的理由.
解：(1)①如图，过点 P 作 PE∥AB，
∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD， ∴∠D＝∠DPE＝15°，∠B＝∠BPE. ∵∠BPD＝30°， ∴∠B＝∠BPE＝∠BPD＋∠DPE＝30°＋15°＝45°. ②当∠P＝x°，∠D＝y°时，∠B＝(x＋y)°.
∴∠EAD＝45°，∴l DE ＝45×18π0×4＝π， ∴圆锥底面周长为 C＝2πr＝π，解得 r＝12， ∴该圆锥的底面圆的半径是21.
14.(2022·武汉)如图所示，在四边形 ABCD 中，AD∥BC， ∠B＝80°.
(1)求∠BAD 的度数. (2)AE平分∠BAD交BC于点E，∠BCD＝50°.求证：AE∥DC.
解直角三角形(共30张)PPT课件
比例性质应用
利用相似三角形中对应边 之间的比例关系进行计算。
实际应用举例
测量问题
利用相似三角形原理解决 测量中的实际问题，如测 量建筑物高度、河宽等。
航海问题
在航海中，利用相似三角 形原理解决船只定位、航 向确定等问题。
物理问题
在物理实验中，利用相似 三角形原理解决光学、力 学等问题，如光的折射、 力的合成与分解等。
利用相似三角形求边长
通过已知边长和相似比，可以求出未知边长。
利用相似三角形求角度
通过已知角度和相似关系，可以求出未知角度。
利用相似三角形求面积
通过已知面积和相似比，可以求出未知面积。
相似比计算方法和技巧
01
02
03
直接计算法
根据已知条件直接计算相 似比。
间接计算法
通过引入辅助线或构造特 殊图形来计算相似比。
解直角三角形(共30张)PPT课 件
目录
• 直角三角形基本概念与性质 • 解直角三角形方法论述 • 三角函数在解直角三角形中应用 • 相似三角形在解直角三角形中作用
目录
• 复杂图形中解直角三角形策略探讨 • 拓展延伸：非直角三角形解法探讨
01
直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及特点
有一个角为90度的三角形称为直角三角形。
案例三
在三角形中解直角三角形问题。 通过作高线构造直角三角形，并
结合相似性质进行求解。
总结归纳与提高建议
总结归纳
在复杂图形中解直角三角形的关键在于构造直角三角形并利用 已知条件进行推理和计算。通过添加辅助线、利用相似性质和 三角函数关系等方法，可以有效地解决这类问题。
提高建议
为了更好地掌握解直角三角形的技巧和方法，建议多做相关练 习题并总结归纳经验。同时，也可以学习一些高级的数学知识 和技巧，如三角函数恒等式、极坐标等，以便更好地应对复杂 的数学问题。
中考数学复习 第4章 图形的初步认识与三角形 第16讲 等腰三角形与直角三角形课件
No 三角形三个顶点的距离相等，称为三角形的外心。(2)三角形三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边
的距离相等，称为三角形的内心。(2)判定：角的内部到角两边(liǎngbiān)距离相等的点在角的⑥ 平分线 上
Image
12/8/2021
第十八页，共十八页。
(1)定义：① 垂直 于一条线段且② 平分 这条
线段的直线叫做线段的垂直平分线；
线段的垂直 (2)性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
平分线 ③ 相等 ；
(3)判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段
的④ 垂直平分线 上
(1)性质：角平分线上的点到这个角两边的距离⑤
角的平分线
相等 ； (2)判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的⑥
技法点拨►等腰三角形常见的分类有：(1)对于解决已知某角求另外两角度数
的问题时，要分所给的角是底角还是顶角，看顶角是锐角、钝角，还是直角， 同时在确定角后注意三角形的内角和等于180°；(2)对于解决已知某条边求另 外两条边或周长的问题时，要分这条边是底边还是腰，同时在确定底边和腰后， 要根据三角形的三边关系判断能否够成三角形；(3)解决有关三角形的高或边 的垂直平分线时，按等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
对等边 ”
(1)等边三角形的每个内角都⑪ 相等 ，都等于⑫
等边三 角形
性质
60 °； (2)等边三角形是⑬
轴
对称图形，它有⑭
称轴
(1)有三个角相等的三角形是等边三角形；
3
条对
2021/12/8
判定 (2)有一个角是⑮ 60 °的⑯ 等腰 三角形是等边
三角形
第二页，共十八页。
考点(kǎo diǎn)2 线段的垂直平分线和角的平分线 6年2考
的距离相等，称为三角形的内心。(2)判定：角的内部到角两边(liǎngbiān)距离相等的点在角的⑥ 平分线 上
Image
12/8/2021
第十八页，共十八页。
(1)定义：① 垂直 于一条线段且② 平分 这条
线段的直线叫做线段的垂直平分线；
线段的垂直 (2)性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离
平分线 ③ 相等 ；
(3)判定：到一条线段两端距离相等的点在这条线段
的④ 垂直平分线 上
(1)性质：角平分线上的点到这个角两边的距离⑤
角的平分线
相等 ； (2)判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的⑥
技法点拨►等腰三角形常见的分类有：(1)对于解决已知某角求另外两角度数
的问题时，要分所给的角是底角还是顶角，看顶角是锐角、钝角，还是直角， 同时在确定角后注意三角形的内角和等于180°；(2)对于解决已知某条边求另 外两条边或周长的问题时，要分这条边是底边还是腰，同时在确定底边和腰后， 要根据三角形的三边关系判断能否够成三角形；(3)解决有关三角形的高或边 的垂直平分线时，按等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论．
对等边 ”
(1)等边三角形的每个内角都⑪ 相等 ，都等于⑫
等边三 角形
性质
60 °； (2)等边三角形是⑬
轴
对称图形，它有⑭
称轴
(1)有三个角相等的三角形是等边三角形；
3
条对
2021/12/8
判定 (2)有一个角是⑮ 60 °的⑯ 等腰 三角形是等边
三角形
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考点(kǎo diǎn)2 线段的垂直平分线和角的平分线 6年2考
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第四章
图形的认识与三角形
第 16 讲
解直角三角形
考点梳理过关
考点1 锐角三角函数 6年1考 1．锐角三角函数概念 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC的一个锐角.
2.特殊角的三角函数值
提示►(1)同角三角函数之间的关系：sin2A＋cos2A＝1，tanA
sin A ＝ .(2)互余两角三角函数之间的关系：若∠A＋∠B＝90°， cos A
12 Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ 13.求cosA，
类型2
锐角三角函数在几何图形中的应用
【例2】 [2017·淄博模拟]阅读下面材料： 小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D 3 ＝60°，AB＝43 ，BC＝ ，求AD的长． 小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能 够使问题得到解决(如图2)． (1)请回答：AD的长为________． (2)参考小红思考问题的方法，解决问题：
1．解直角三角形的应用中的相关名词术语
仰角和俯角
方向角：一般是指从正 坡角和坡度：α为斜坡 北或正南方向到目标方 AB的坡角；坡度i＝ 向所形成的小于90°的 角．如图，OB在点O的南 a tanα＝ 偏西45°方向(或西南方 b 向)，OA在点O的北偏西 65°方向等
2．解直角三角形在实际问题中的应用 提示►①如果实际问题 的图示中，没有直角三角 形的，要根据已知和所求 (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形， 的问题构造相应的直角三 转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的 角形；②选择恰当的三角 特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角 函数关系计算，尽可能地 形，得到数学问题的答案；(3)结合题意，写 使用原始数据，减小误差； 出实际问题的答案 ③若解直角三角形条件不 充分，往往需要设未知数 列方程
解：延长CB交PQ于点D. ∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ. ∵自动扶梯AB的坡度为1∶2.4，
BD 1 5 ∴ AD 2.4 12
.
设BD＝5k米，AD＝12k米，则AB＝13k米． ∵AB＝13米，∴k＝1. ∴BD＝5米，AD＝12米． 在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝42°， ∴CD＝AD·tan∠CAD≈12×0.90≈10.8(米)． ∴BC＝CD－BD≈10.8－5≈5.8(米)． 答：二楼的层高BC约为5.8米.
【自主解答】 (1)由题意知，∠EAD＝45°，∠FBD＝30°. ∴∠EAC＝∠EAD＋∠DAC＝45°＋15°＝60°. ∵AE∥BF∥CD， ∴∠FBC＝∠EAC＝60°. ∴∠DBC＝30°. 又∵∠DBC＝∠DAB＋∠ADB， ∴∠ADB＝15°. ∴∠DAB＝∠ADB. ∴BD＝AB＝2km. 即B，D之间的距离为2km.
解：(1)如图，在Rt△BCE中，
∵sinα＝ CE ，∴BC＝ CE ＝ BC sin ∵矩形ABCD中，∠BCD＝90°. ∴∠BCE＋∠FCD＝90°. 又∵在Rt△BCE中， ∠EBC＋∠BCE＝90°， ∴∠FCD＝∠CBE. FC 在Rt△FCD中，∵cos∠FCD＝ ∴CD＝
2 0 .6 0 .8
六年真题全练
命题点1 1．[2013·德州] 锐角三角函数
6 2cos30°的值是____ 2 ．
命题点2
解直角三角形的实际应用
1 如图3，在四边形ABCD中，tanA＝ 2
，∠B＝∠C＝135°，AB＝9，CD＝3，
求BC和AD的长．
变式运用► [2017·东营模拟]如图，现有一张宽为12cm练习纸，相 邻两条格线间的距离均为0.6cm.调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一 3 个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上，已知sinα＝ 5 . (1)求一个矩形卡通图案的面积； (2)若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印，最多能印几个 完整的图案？
CD
0.6 ＝1. 0 .6
＝ ，
4 5
＝1.5.
∴卡通图案的面积为1.5cm2.
(2)如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH＝∠CBE.
AD ∵cos∠DAH＝ AH
∴AH＝
Байду номын сангаас
1 0 .8
4 ＝ 5
，
＝1.25.
在Rt△CGH中，∠GCH＝∠CBE. GH 3 ∵tan∠GCH＝ ＝ ，∴GH＝0.45. CG 4 又∵10×1.25＋0.45>12，9×1.25＋0.45<12， ∴最多能印9个完整的图案．
典型例题运用
3 【例1】 [2017·曹县质检]在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，那么 4 sinA的值为( A )
类型1 由角的一个三角函数值求其他三角函数值
变式运用►
5 [2018·预测]已知α为锐角，且sinα＝ 13 ，那么α
12 的余弦值为____． 13
变式运用► sinB，tanB的值．
则有sinA＝cosB，sinB＝cosA.
考点2
解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，a，b为两直角边
提示►关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外， 只要再知道两个元素(其中至少有一条边)，这个三角形的形状、大小就可以确 定下来．
考点3
解直角三角形的应用 6年4考
变式运用► [2018·原创]如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯， 图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4，AB的长度是13米， MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点， BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC.(精 确到0.1米) (参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)
类型3 【例3】
解直角三角形的实际应用
如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其 与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C.经测量花卉世界D位于点A的北偏 东45°方向、位于点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°. (1)求B，D之间的距离； (2)求C，D之间的距离．
图形的认识与三角形
第 16 讲
解直角三角形
考点梳理过关
考点1 锐角三角函数 6年1考 1．锐角三角函数概念 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A为△ABC的一个锐角.
2.特殊角的三角函数值
提示►(1)同角三角函数之间的关系：sin2A＋cos2A＝1，tanA
sin A ＝ .(2)互余两角三角函数之间的关系：若∠A＋∠B＝90°， cos A
12 Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ 13.求cosA，
类型2
锐角三角函数在几何图形中的应用
【例2】 [2017·淄博模拟]阅读下面材料： 小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D 3 ＝60°，AB＝43 ，BC＝ ，求AD的长． 小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能 够使问题得到解决(如图2)． (1)请回答：AD的长为________． (2)参考小红思考问题的方法，解决问题：
1．解直角三角形的应用中的相关名词术语
仰角和俯角
方向角：一般是指从正 坡角和坡度：α为斜坡 北或正南方向到目标方 AB的坡角；坡度i＝ 向所形成的小于90°的 角．如图，OB在点O的南 a tanα＝ 偏西45°方向(或西南方 b 向)，OA在点O的北偏西 65°方向等
2．解直角三角形在实际问题中的应用 提示►①如果实际问题 的图示中，没有直角三角 形的，要根据已知和所求 (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形， 的问题构造相应的直角三 转化为解直角三角形的问题)；(2)根据条件的 角形；②选择恰当的三角 特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角 函数关系计算，尽可能地 形，得到数学问题的答案；(3)结合题意，写 使用原始数据，减小误差； 出实际问题的答案 ③若解直角三角形条件不 充分，往往需要设未知数 列方程
解：延长CB交PQ于点D. ∵MN∥PQ，BC⊥MN，∴BC⊥PQ. ∵自动扶梯AB的坡度为1∶2.4，
BD 1 5 ∴ AD 2.4 12
.
设BD＝5k米，AD＝12k米，则AB＝13k米． ∵AB＝13米，∴k＝1. ∴BD＝5米，AD＝12米． 在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝42°， ∴CD＝AD·tan∠CAD≈12×0.90≈10.8(米)． ∴BC＝CD－BD≈10.8－5≈5.8(米)． 答：二楼的层高BC约为5.8米.
【自主解答】 (1)由题意知，∠EAD＝45°，∠FBD＝30°. ∴∠EAC＝∠EAD＋∠DAC＝45°＋15°＝60°. ∵AE∥BF∥CD， ∴∠FBC＝∠EAC＝60°. ∴∠DBC＝30°. 又∵∠DBC＝∠DAB＋∠ADB， ∴∠ADB＝15°. ∴∠DAB＝∠ADB. ∴BD＝AB＝2km. 即B，D之间的距离为2km.
解：(1)如图，在Rt△BCE中，
∵sinα＝ CE ，∴BC＝ CE ＝ BC sin ∵矩形ABCD中，∠BCD＝90°. ∴∠BCE＋∠FCD＝90°. 又∵在Rt△BCE中， ∠EBC＋∠BCE＝90°， ∴∠FCD＝∠CBE. FC 在Rt△FCD中，∵cos∠FCD＝ ∴CD＝
2 0 .6 0 .8
六年真题全练
命题点1 1．[2013·德州] 锐角三角函数
6 2cos30°的值是____ 2 ．
命题点2
解直角三角形的实际应用
1 如图3，在四边形ABCD中，tanA＝ 2
，∠B＝∠C＝135°，AB＝9，CD＝3，
求BC和AD的长．
变式运用► [2017·东营模拟]如图，现有一张宽为12cm练习纸，相 邻两条格线间的距离均为0.6cm.调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一 3 个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上，已知sinα＝ 5 . (1)求一个矩形卡通图案的面积； (2)若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印，最多能印几个 完整的图案？
CD
0.6 ＝1. 0 .6
＝ ，
4 5
＝1.5.
∴卡通图案的面积为1.5cm2.
(2)如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH＝∠CBE.
AD ∵cos∠DAH＝ AH
∴AH＝
Байду номын сангаас
1 0 .8
4 ＝ 5
，
＝1.25.
在Rt△CGH中，∠GCH＝∠CBE. GH 3 ∵tan∠GCH＝ ＝ ，∴GH＝0.45. CG 4 又∵10×1.25＋0.45>12，9×1.25＋0.45<12， ∴最多能印9个完整的图案．
典型例题运用
3 【例1】 [2017·曹县质检]在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，那么 4 sinA的值为( A )
类型1 由角的一个三角函数值求其他三角函数值
变式运用►
5 [2018·预测]已知α为锐角，且sinα＝ 13 ，那么α
12 的余弦值为____． 13
变式运用► sinB，tanB的值．
则有sinA＝cosB，sinB＝cosA.
考点2
解直角三角形
在Rt△ABC中，∠C＝90°，c为斜边，a，b为两直角边
提示►关于直角三角形的可解条件，在直角三角形的六个元素中，除直角外， 只要再知道两个元素(其中至少有一条边)，这个三角形的形状、大小就可以确 定下来．
考点3
解直角三角形的应用 6年4考
变式运用► [2018·原创]如图1，某超市从底楼到二楼有一自动扶梯， 图2是侧面示意图．已知自动扶梯AB的坡度为1∶2.4，AB的长度是13米， MN是二楼楼顶，MN∥PQ，C是MN上处在自动扶梯顶端B点正上方的一点， BC⊥MN，在自动扶梯底端A处测得C点的仰角为42°，求二楼的层高BC.(精 确到0.1米) (参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)
类型3 【例3】
解直角三角形的实际应用
如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其 与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C.经测量花卉世界D位于点A的北偏 东45°方向、位于点B的北偏东30°方向上，AB＝2km，∠DAC＝15°. (1)求B，D之间的距离； (2)求C，D之间的距离．