2018年中考复习：相似三角形学案
【教学设计】相似三角形中考复习精品教案
相似三角形中考复习教学设计
一.教学目标
1.掌握并能运用相似三角形判定与性质
2.能了解和解决相似三角形基本题型
3.用动态观解相似三角形题目
二.教学重点
培养学生对相似三角形基本图形的感觉,能正确找到对应角和对应边三.教学难点
找对应角和对应边,尤其是动态题.
四.学情分析
相似三角形在初中数学中属于知识较难掌握的一章,题目在中考中往往偏难,学生就算是会做,也容易想错或算错数.在广州市近几年的中考试题中,相似三角形多数是难题,分值不固定,一般是3到10分之间.预测20**年要重视复习基础图形,注意对知识的理解.在此基础上,适当加强对探索题,动态题的研究与训练,培养数学能力.所以本节课题目都来自于平时的学习资料中,学生平时起码看过想过,又或者是广州中考的原题即学生比较感兴趣的题目.在解题讲题的过程中尽量将基本的,典型的,容易的题目讲得的透彻一些,太容易的,或者太难的少讲.
五.教学过程。
相似三角形(章)学案
课时一 相似三角形的判定（一）学习目标：1．经历“有两个角对应相等的两个三角形相似”及其推论的探索过程. 2．能运用“有两个角对应相等”及其推论的判定两个三角形相似. 3．发展同学们合情推理与数学说理能力。
学习过程：一、创设情境，引入新课：问题：如果两个三角形的对应边 ，对应角 ，那么这两个三角形相似。
结合我们学习全等三角形的判定，是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？如果有，包括哪几种情况？写下来：二、合作交流，探究新知： 探究一：相似三角形的判定方法1（1）请同学们观察你与同伴的直角三角尺，同样角度的三角尺是否相似？你能提出什么猜想？（2）由此我们发现：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么 。
（3）如果两个三角形的两对角分别对应相等，这两个三角形是否相似？为什么？归纳：由此我们得到判定两个三角形相似的方法1： 。
∴ 如图，∵∠A ＝∠A ′,∠B ＝∠B ′∴△ABC ∽△A ′B ′C ′（4）独立思考：如果两个三角形仅有一对角对应相等，它们是否一定相似？举反例说明。
探究二：如图甲与图乙，若DE ∥BC,则△ADE 与△ABC 有什么关系，你能写出证明过程吗？归纳：由此我们得到判定两个三角形相似的方法1的推论： 平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．∵AC ∥DB ∴△ADE ∽△ABC 探究三：ABCA ′B ′C ′A BC D E 图甲AB CDE图乙除了以上常见的基本图形外，能利用本节判定方法的基本图形如下 （1）如图1,若∠AED ＝∠B,则△ADE ∽△ACB ； （2）如图2,若∠ACD ＝∠B,则△ACD ∽△ABC ；（3）如图3,若∠BAC ＝90°,AD ⊥BC,则△ABC ∽△DBA ∽△DAC. 重要方法：1、有一个锐角相等的两个直角三角形相似；2、识别三角形相似的常用思路：（1）当条件中有平行线时，找两对对应角相等；（2）当条件中有一对相等的角（对顶角或公共角）时，可考虑再找一对相等的角； （3）两个等腰三角形，可以找顶角相等或找一对底角相等. 三：应用新知，体验成功：例1、已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BDC.例题2．如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，D 、E 分别在线段BC ，AC 上运动，在运动过程中始终保持∠ADE ＝60°，求证：△ABD ∽△DCE.练习．如图，在矩形ABCD 中，以对角线BD 为一边构造一个矩形BDEF ，使得另一边EF 过原矩形的顶点C.(1)设Rt △CBD 的面积为S 1，Rt △BFC 的面积为S 2，Rt △DCE 的面积为S 3，则S 1＝S 2＋S 3；(用“＞”“＝”或“＜”填空)A B C DE 图1A BC D图2A B CD 图3(2)写出图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．例3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
(西南专版)2018届九年级数学下册27.2相似三角形教案(新版)新人教版
27．2 相似三角形27．2.1 相似三角形的判定 第1课时 平行线分线段成比例知识与技能使学生在理解的基础上掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用． 过程与方法通过学习定理再次锻炼类比的数学思想，能把一个稍复杂的图形分成几个基本图形，通过应用锻炼识图能力和推理论证能力．情感、态度与价值观通过定理的学习知道认识事物的一般规律是从特殊到一般，并能欣赏数学图形的对称美，激发学习数学的兴趣．重点平行线分线段成比例定理和推论及其应用． 难点平行线分线段成比例定理的正确性的说明及推论应用．一、复习导入师：什么是相似多边形？生：对应角分别相等，对应边成比例的两个多边形． 教师用多媒体展示：如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，∠C ＝∠C ′，AB A ′B ′＝BC B ′C ′＝ACA ′C ′＝k.师：这样的两个三角形有什么关系呢？ 生：△ABC 和△A ′B ′C ′相似．师：对，两个三角形相似记作△ABC ∽△A ′B ′C ′，“∽”读作“相似于”． 师：上面的两个三角形的相似比为k ，假如k ＝1，这两个三角形有怎样的关系？ 生：当k ＝1时，AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，AC ＝A ′C ′，△ABC ≌△A ′B ′C ′. 师：所以全等是相似的特殊情况．师：既然全等有很多种判定方法，我们可以类比全等的判定方法找到两个三角形相似的方法吗？在这之前，我们先来探究下面的问题．二、共同探究，获取新知师：我们知道两条平行线之间的距离是相等的．如果有三条直线l 3∥l 4∥l 5，任意两直线l 1和l 2与它们相交且截得的线段AB ＝BC.我们会得到DE ＝EF ，即AB BC ＝DEEF＝1. 你们知道为什么吗？生：学生思考、讨论，得出结论．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等．师：如果AB BC ≠1，那么DE EF 和ABBC还相等吗？师：引导学生按要求画图，测量． 生：操作后，讨论．可以发现，当l 3∥l 4∥l 5时，总有AB BC ＝DE EF ，BC AB ＝EF DE ，BC AC ＝EFDF等．一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．师：把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现什么样的情况呢？ 生：思考、画图．图(1)中把l 4看成平行于△ABC 的边BC 的直线，图(2)中把l 3看成平行于△ABC 的边BC 的直线，可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例． 三、例题讲解例 如图，在△ABC 中，E ，F 分别是AB 和AC 上的点，且EF ∥BC.(1)如果AE ＝7，EB ＝5，FC ＝4，那么AF 的长是多少？ (2)如果AB ＝10，AE ＝6，AF ＝5，那么FC 的长是多少？ 解：(1)∵EF ∥BC ， ∴AE EB ＝AF FC. ∵AE ＝7，EB ＝5，FC ＝4，∴AF ＝AE ·FC EB ＝7×45＝285.(2)∵EF ∥ BC ， ∴AE AB ＝AF AC.∵AB ＝10，AE ＝6，AF ＝5，∴AC ＝AB ·AF AE ＝10×56＝253，∴FC ＝AC －AF ＝253－5＝103.四、巩固练习1．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是( )A .AD DF ＝BC CEB .BC CE ＝DF ADC .CD EF ＝BC BE D .CD EF ＝AD AF 答案 A2．如图，DE ∥BC ，AB ∶DB ＝3∶1，则AE ∶AC ＝________．答案 2∶3 五、课堂小结师：今天你学习了哪些定理？ 学生口述定理．在思考中，学生总结出当求证的两个比例式的线段不在同一基本型的时候应该怎样解题，并且掌握中间比的找法．对于添加辅助线的证明比例式问题，需要“透析”题目中的条件和证明方法．从课堂练习和作业反馈上体现出学生对知识的接受还比较理想，这堂课还是比较成功的．第2课时 相似三角形的判定(1)知识与技能掌握“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”的判定方法；能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．过程与方法经历两个三角形相似的探索过程，进一步发展学生的探究、交流能力． 情感、态度与价值观培养学生敢于实践、勇于发现、大胆探索、合作创新的精神．重点三角形相似的判定方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．难点三角形相似的判定方法1的运用．一、创设情境，引入新课师：根据相似三角形的定义，三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形．那么，两个三角形至少要满足哪些条件就相似呢？能否类比两个三角形全等的条件寻找判定两个三角形相似的条件呢？今天这节课我们就一起来探索三角形相似的条件．二、探究新知问题 平行于三角形一边的直线与其他两边相交所构成的三角形，与原三角形相似吗？ 师生活动：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且DE 分别交AB ，AC 于点D ，E ，△ADE 与△ABC 有什么关系？直觉告诉我们，△ADE 与△ABC 相似，我们通过相似的定义证明它，即证明∠A ＝∠A ，∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，AD AB ＝AE AC ＝DE BC .由前面的结论可得，AD AB ＝AE AC .而DEBC中的DE 不在△ABC 的边BC 上，不能直接利用前面的结论．但从要证的AE AC ＝DEBC可以看出，除DE 外，AE ，AC ，BC 都在△ABC 的边上，因此只需将DE 平移到BC 边上去，使得BF ＝DE ，再证明AE AC ＝BFBC就可以了．只要过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F ，BF 就是平移DE 所得的线段．先证明两个三角形的角分别相等． 如图，在△ADE 与△ABC 中，∠A ＝∠A.∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C. 再证明两个三角形的边成比例． 过点E 作EF ∥AB ，交BC 于点F. ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ， ∴AD AB ＝AE AC ，BF BC ＝AE AC. ∵四边形DBFE 是平行四边形， ∴DE ＝BF ， ∴DE BC ＝AE AC，∴AD AB ＝AE AC ＝DE BC .这样，我们证明了△ADE 和△ABC 的角分别相等，边成比例，所以△ADE ∽△ABC ，因此，我们有如下判定三角形相似的定理．三角形相似的判定方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．(定理的证明由学生独立完成)三、例题讲解例 如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC ，AB ＝7，AD ＝5，DE ＝10，求BC 的长．解：∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴AD AB ＝DE BC， ∴BC ＝AB ·DE AD ＝7×105＝14.四、课堂小结 本节课学习了：三角形相似的判定方法1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．本节课主要是探究相似三角形的判定方法1，本课教学力求使探究途径多元化，把学生利用刻度尺、量角器等作图工具做静态探究与应用“几何画板”等计算机软件做动态探究有机结合起来，让学生充分感受探究的全面性，丰富探究的内涵．另外小组合作学习的开展不仅提高了数学实验的效率，而且培养了学生的合作能力．第3课时 相似三角形的判定(2)知识与技能理解并掌握相似三角形的判定方法2，3. 过程与方法培养学生的观察、发现、比较、归纳的能力，感受两个三角形全等的两种判定方法SSS 和SAS 与三角形相似定理的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系．情感、态度与价值观让学生经历从试验探究到归纳证明的过程，发展学生合理的推理能力．重点两个三角形相似的判定方法2，3及其应用． 难点探究两个三角形相似的判定方法2，3的过程．一、问题引入1．我们学习过哪些判定三角形相似的方法？(三角形相似的定理 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似)2．全等三角形与相似三角形有怎样的关系？ (全等三角形是特殊的相似三角形，相似比k ＝1)3．如果要判定△ABC 与△A ′B ′C ′相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？(不需要) 二、新课教授由三角形全等的SSS 判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？探究1：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论．学生动手画图、测量，独立研究后再小组讨论．三角形相似的判定方法2：三边成比例的两个三角形相似． 探究2：利用刻度尺和量角器画△ABC 和△A ′B ′C ′，使∠A ＝∠A ′，AB A ′B ′和ACA ′C ′都等于给定的值k ，量出它们的第三组对应边BC 和B ′C ′的长，它们的比等于k 吗？另外两组对应角∠B 与∠B ′，∠C 与∠C ′是否相等？改变∠A 或k 值的大小，再试一试，是否有同样的结论？ 学生动手画图、测量，独立研究．三角形相似的判定方法3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 三、例题讲解例1 根据下列条件，判断△ABC 与△A 1B 1C 1是否相似，并说明理由．(1)∠A ＝120°，AB ＝7 cm ，AC ＝14 cm ，∠A 1＝120°，A 1B 1＝3 cm ，A 1C 1＝6 cm ； (2)∠B ＝120°，AB ＝2 cm ，AC ＝6 cm ，∠B 1＝120°，A 1B 1＝8 cm ，A 1C 1＝24 cm .解：(1)AB A 1B 1＝AC A 1C 1＝73，∠A＝∠A 1＝120°⇒△ABC ∽△A 1B 1C 1；(2)AB A 1B 1＝AC A 1C 1＝14，∠B＝∠B 1＝120°，但∠B 与∠B 1不是AB 与AC ，A 1B 1与A 1C 1的夹角，所以△ABC 与△A 1B 1C 1不相似．例2 如图，在△ABC 和△ADE 中，AB AD ＝BC DE ＝ACAE，∠BAD ＝20°，求∠CAE 的度数．解：∵AB AD ＝BC DE ＝AC AE，∴△ABC ∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似)， ∴∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.∵∠BAD＝20°，∴∠CAE＝20°.四、巩固练习1．根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由．(1)∠A＝40°，AB＝8 cm，AC＝15 cm，∠A′＝40°，A′B′＝16 cm，A′C′＝30 cm；(2)AB＝10 cm，BC＝8 cm，AC＝16 cm，A′B′＝20 cm，B′C′＝16 cm，A′C′＝32 cm.答案(1)相似，两组对应边的比相等，且夹角相等．(2)相似，三组对应边的比相等．2．图中的两个三角形是否相似？答案(1)相似．(2)不相似．五、课堂小结师：通过本节课的学习，同学们有什么体会与收获？可以与大家分享一下吗？学生发言，说说自己的体会与收获，教师根据学生的发言予以点评．本节课主要是探究相似三角形的判定方法2和判定方法3，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定方法1，而本节课内容在探究方法上与上节课又具有一定的相似性，因此本课教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移．此外，由于判定方法3的条件“相应的夹角相等”在应用中容易被学生忽视，所以教学中教师要强调，以加深学生的印象．第4课时相似三角形的判定(3)知识与技能使学生了解三角形相似的判定方法4及直角三角形相似定理的证明方法并会运用．过程与方法1．类比证明三角形全等的方法(AAS，ASA，HL)，继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解．2．通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．情感、态度与价值观通过学习培养学生类比的意识，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．重点两个判定定理的应用难点了解两个判定定理的证明方法与思路一、复习引入师：判定两个三角形全等的方法有哪几种？生：SAS，ASA(AAS)，SSS，HL师：三角形相似的判定方法2和3是类比三角形全等的判定方法“SAS”，“SSS”得出的，那我们能否类比“ASA(AAS)”，“HL”用同样的方法得出新的三角形相似的判定方法呢？二、共同探究，获取新知 推理证明 探究1：师：由于“ASA (AAS )”中只有一条边，是不能写出对应边的比的，那么就剩下两个角了，即两角分别相等的两个三角形相似吗？教师用多媒体出示：如图，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A ＝∠A ′，∠B ＝∠B ′，判断△ABC 和△A ′B ′C ′是否相似，为什么？教师引导学生在稿纸上按要求画图． 学生动手画图、测量、独立研究．三角形相似的判定方法4：两角分别相等的两个三角形相似． 探究2：师：判定两个直角三角形是否全等时，除了用那些一般的方法外还可以用“HL ”的方法，那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢？教师多媒体课件出示：如图，在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AB A ′B ′＝ACA ′C ′.判断Rt △ABC 与Rt △A ′B ′C ′是否相似，为什么？师：已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例，你能判断这两个直角三角形是否相似吗？学生思考、讨论后回答．生：设AB A ′B ′＝ACA ′C ′＝k ，则AB ＝kA ′B ′，AC ＝kA ′C ′，根据勾股定理BC 可以用含AB ，AC 的式子表示，进而可以用含A ′B ′，A ′C ′的式子表示，再用勾股定理就得到BC ＝kB ′C ′，所以就得到了三边对应成比例，这两个三角形相似．师：你回答得太好了！现在请同学们写出具体的步骤，然后与课本上的对照，将不完善的地方改正．学生证明并修改．证明：设AB A ′B ′＝ACA ′C ′＝k ，则AB ＝kA ′B ′，AC ＝kA ′C ′.∵BC ＝AB 2－AC 2＝k 2A ′B ′2－k 2A ′C ′2＝k A ′B ′2－A ′C ′2＝kB ′C ′，∴AB A ′B ′＝AC A ′C ′＝BC B ′C ′＝k ， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.师：所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．三、练习新知1．如图，锐角△ABC 的边AB ，AC 上的高CE ，BF 相交于点D ，请写出图中的两对相似三角形．生甲：△ABF 和△ACE. 生乙：△EDB 和△FDC.2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是边AB 上的高，求证：(1)CD 2＝AD ·BD ； (2)BC 2＝AB ·BD ，AC 2＝AB ·AD.证明：(1)∵△ADC 和△ACB 是直角三角形， ∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∠BCD ＋∠ACD ＝90°， ∴∠A ＝∠BCD ，又∠ADC ＝∠CDB ＝90°， ∴△ADC ∽△CDB. ∴CD BD ＝AD CD . ∴CD 2＝AD ·BD. (2)∵∠B ＝∠B ， ∠ACB ＝∠CDB ， ∴△ABC ∽△CBD. ∴BC AB ＝BD BC . ∴BC 2＝AB ·BD.同理可证△ABC ∽△ACD. ∴AC AD ＝AB AC . ∴AC 2＝AB ·AD. 四、课堂小结本节课主要学习了三角形相似的另一个判定定理：两角对应相等的两个三角形相似．除了前面讲过的针对任意三角形相似的判定方法外，还有斜边和直角边分别对应成比例的两个直角三角形相似这一判定定理．在做题时要灵活运用，选取合适的方法．前面已经学习了几种三角形相似的判定方法，所以这节课以学生为主导，教师加以提示、纠正、鼓励学生自己探索，讨论得出新的判定定理，培养学生的动手能力，勇于探索的精神．27．2.2 相似三角形的性质 第1课时 相似三角形的性质(1)知识与技能理解并掌握相似三角形的对应线段(高、中线、角平分线)之间的关系，掌握定理的证明方法，并能灵活运用相似三角形的判定定理和性质，提高分析和推理能力．过程与方法在对性质定理的探究中，学生经历“观察—猜想—论证—归纳”的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度，并在其中体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的数学品质，提高分析问题和解决问题的能力．情感、态度与价值观1．在学习和探讨的过程中，体验特殊到一般的认知规律．2．通过学生之间的合作交流使学生体验到成功的喜悦，树立学好数学的自信心．重点相似三角形性质定理的探究及应用．难点综合应用相似三角形的性质与判定定理，探索相似三角形中对应线段之间的关系．一、复习回顾师：相似三角形的判定方法有哪些？学生回答．师：相似三角形有哪些性质？生：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．师：三角形有哪些相关的线段？生：中线、高和角平分线．二、共同探究，获取新知教师多媒体课件出示：已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为k，AD，A′D′是对应高．求证：AD A′D′＝ABA′B′＝k.师：这个题目中已知了哪些条件？生：△ABC和△A′B′C′相似，这两个三角形的相似比是k，AD，A′D′分别是它们的高．师：我们要证的是什么？生：它们的高的比等于它们对应边的比，等于这两个三角形的相似比．师：你是怎样证明的呢？生：证明△ABD和△A′B′D′相似，然后由相似三角形的对应边成比例得到ADA′D′＝ABA′B′.师：你怎样证明△ABD和△A′B′D′相似呢？学生思考后回答：因为△ABC 和△A ′B ′C ′相似，由相似三角形的对应角相等，所以∠B ＝∠B ′，∠ADB ＝∠A ′D ′B ′＝90°.根据两角对应相等的两个三角形相似得到△ABD 和△A ′B ′D ′相似．学生写出证明过程．活动1.已知：如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的相似比为k ，AD ，A ′D ′是对应的中线．求证：AD A ′D ′＝ABA ′B ′＝k.证明：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴∠B ＝∠B ′，AB A ′B ′＝BCB ′C ′＝k.又∵AD 和A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的中线，∴BD ＝12BC ，B ′D ′＝12B ′C ′，BD B ′D ′＝12BC 12B ′C ′＝BCB ′C ′＝k ，∴△ABD ∽△A ′B ′D ′(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)，∴AD A ′D ′＝AB A ′B ′＝k. 活动2.已知：如图，△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的相似比为k ，AD ，A ′D ′分别是∠BAC 和∠B ′A ′C ′的平分线．求证：AD A ′D ′＝ABA ′B ′＝k.证明：∵△ABC ∽△A ′B ′C ′，∴∠B ＝∠B ′，∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.又∵AD 和A ′D ′分别是∠BAC 和∠B ′A ′C ′的平分线，∴∠BAD ＝12∠BAC ，∠B ′A ′D ′＝12∠B ′A ′C ′，∠BAD ＝∠B ′A ′D ′，∴△BAD ∽△B ′A ′D ′(两角对应相等的两个三角形相似)，∴AD A ′D ′＝AB A ′B ′＝k. 师：于是我们就得到了相似三角形的一个性质定理．定理1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 三、例题讲解，应用新知例 如图，AD 是△ABC 的高，AD ＝h ，点R 在AC 边上，点S 在AB 边上，SR ⊥AD ，垂足为E.当SR ＝12BC 时，求DE 的长．如果SR ＝13BC 呢？解：∵SR ⊥AD ，BC ⊥AD ， ∴SR ∥BC ，∴∠ASR ＝∠B ，∠ARS ＝∠C ，∴△ASR ∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)， ∴AE AD ＝SRBC (相似三角形对应高的比等于相似比)， 即AD －DE AD ＝SR BC .当SR ＝12BC 时，得h －DE h ＝12，解得DE ＝12h.当SR ＝13BC 时，得h －DE h ＝13，解得DE ＝23h.四、课堂小结师：今天你又学习了什么内容？ 学生回答．在本节课的教学过程中，先让学生回顾了相似三角形的性质即对应角相等，对应边成比例，为后面的证明做了铺垫．在已有知识的基础上用类比化归的思想去探究新知，让学生充分体会数学知识之间的内在联系，以此激发学生的学习兴趣，能够使整个课堂气氛由沉闷变得活跃，尤其是让学生板演使学生有机会展示他们的学习所得，做到了将课堂回归给学生，学生的主体地位得到了很好的体现．第2课时 相似三角形的性质(2)知识与技能理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，并能用来解决简单的问题．过程与方法探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，体验化归思想． 情感、态度与价值观经历探索相似三角形性质的过程，并在探究过程中发展学生积极的情感、态度与价值观，体验解决问题策略的多样性．重点理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方． 难点探索相似多边形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方．一、复习引入1．回顾相似三角形的概念及判定方法．2．复习相似多边形的定义及相似多边形的对应边、对应角的性质． 二、新课教授探究1：如果两个三角形相似，它们的周长之间是什么关系？如果是两个相似多边形呢？ 学生小组自由讨论、交流，达成共识． 设△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k ，那么AB A 1B 1＝BC B 1C 1＝CA C 1A 1＝k⇒AB ＝kA 1B 1，BC ＝kB 1C 1，CA ＝kC 1A 1⇒AB ＋BC ＋CA A 1B 1＋B 1C 1＋C 1A 1＝kA 1B 1＋kB 1C 1＋kC 1A 1A 1B 1＋B 1C 1＋C 1A 1＝k.由此我们可以得到：相似三角形的性质2：相似三角形周长的比等于相似比． 用类似的方法，还可以得出：相似多边形的性质1：相似多边形周长的比等于相似比． 探究2：(1)如图(1)，△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k 1，它们的对应高的比是多少？它们的面积比是多少？通过上节课的学习，我们得到了相似三角形的性质1：相似三角形对应高的比等于相似比．∴AD A 1D 1＝AB A 1B 1＝k 1. 由上述结论，我们有：S △ABC S △A 1B 1C 1＝12BC ×AD 12B 1C 1×A 1D 1＝12k 1B 1C 1×k 1A 1D 112B 1C 1×A 1D 1＝k 12.相似三角形的性质3：相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)如图(2)，四边形ABCD 相似于四边形A 1B 1C 1D 1，相似比为k 2，它们的面积比是多少？分析：∵S △ABC S △A 1B 1C 1＝S △ACD S △A 1C 1D 1＝k 22，∴S 四边形ABCD S 四边形A 1B 1C 1D 1＝S △ABC ＋S △ACD S △A 1B 1C 1＋S △A 1C 1D 1＝k 22. 相似多边形的性质2：相似多边形面积的比等于相似比的平方． 三、例题讲解例 如图，在△ABC 和△DEF 中，AB ＝2DE ，AC ＝2DF ，∠A ＝∠D ，△ABC 的周长是24，面积是125，求△DEF 的周长和面积．解：△ABC 和△DEF 中， ∵AB ＝2DE ，AC ＝2DF ， ∴DE AB ＝DF AC ＝12. 又∵∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，相似比为12.∴△DEF 的周长＝12×24＝12，面积＝(12)2×125＝3 5.四、巩固练习 填空：(1)如果两个相似三角形对应边的比为3∶5，那么它们的相似比为________，周长的比为________，面积的比为________；(2)如果两个相似三角形面积的比为3∶5，那么它们的相似比为________，周长的比为________；(3)连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于________，面积比等于________；(4)两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm ，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm ，面积为________cm 2.答案 (1)35 35 925 (2)35 35(3)12 14 (4)14 43五、课堂小结相似三角形的性质：性质2.相似三角形周长的比等于相似比．性质3.相似三角形面积的比等于相似比的平方．相似多边形的性质1：相似多边形周长的比等于相似比．相似多边形的性质2：相似多边形面积的比等于相似比的平方．本节课主要是让学生理解并掌握相似三角形周长的比等于相似比、面积比等于相似比的平方，通过探索相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方让学生体验化归思想，学会应用相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方来解决简单的问题．因此本课的教学设计突出了“相似比⇒相似三角形周长的比⇒相似多边形周长的比”，“相似比⇒相似三角形面积的比⇒相似多边形面积的比”等一系列从特殊到一般的过程，让学生深刻体验到有限数学归纳法的魅力．27.2.3 相似三角形应用举例知识与技能进一步巩固相似三角形的知识；能够运用三角形相似的知识解决不能直接测量的物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等一些实际问题．过程与方法通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．情感、态度与价值观体会数学在生活中的作用，增强学习数学的兴趣，树立学好数学的信心．重点运用三角形相似的知识计算不能直接测量的物体的长度和高度． 难点灵活运用三角形相似的知识解决实际问题，即如何把实际问题抽象为数学问题．一、新课教授例1 (测量金字塔高度的问题)根据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形来测量金字塔的高度．如图，木杆EF 长2 m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201 m ，求金字塔的高度．分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定定理和性质，根据已知条件求出金字塔的高度．解法一：∵BA ∥DE ， ∴∠BAO ＝∠EDF.又∵∠AOB ＝∠DFE ＝90°， ∴△ABO ∽△DEF ， ∴BO EF ＝AO DF， ∴BO ＝AO ·EF DF ＝201×23＝134.答：此金字塔的高度为134 m .问：你还可以用什么方法来测量金字塔的高度？(如用身高等)解法二：用镜面反射．(如图，点A 是个小镜子，根据光的反射定律：由入射角等于反射角构造相似三角形，解法略)例2 (测量河宽的问题)如图，为了估算河的宽度，我们可在河对岸选定一个目标点P ，在近岸处取点Q 和S ，使点P ，Q ，S 共线且直线PS 与岸垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直于PS 的直线b 交于点R ，测得QS ＝45 m ，ST ＝90 m ，QR ＝60 m ．求河的宽度PQ.分析：设河宽PQ 长为x m ，由于此种测量方法构造了三角形中的平行截线，故可得到相似三角形，因此有PQ PS ＝QR ST ，即x x ＋45＝6090.再解x 的方程可求出河宽．解法一：∵∠PQR ＝∠PST ＝90°，∠P ＝∠P ， ∴△PQR ∽△PST ， ∴PQ PS ＝QR ST ， 即PQ PQ ＋QS ＝QR ST ，即PQ PQ ＋45＝6090， ∴PQ ×90＝(PQ ＋45) ×60， 解得PQ ＝90，因此河的宽度PQ 为90 m .问：你还可以用什么方法来测量河的宽度？ 解法二：如图，构造相似三角形．(解法略)例3 (盲区问题)如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB ＝8 m 和CD ＝12 m ，两树根部的距离BD ＝5 m ．一个身高1.6 m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直线l 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C?解：如图所示，假设观察者从左向右走到点E 时，他的眼睛的位置点F 与两棵树的顶端点A ，C 恰好在一条直线上．由题意可知，AB ⊥l ，CD ⊥l ， ∴AB ∥CD ，△AFH ∽△CFK ， ∴FH FK ＝AH CK ， 即FH FH ＋5＝8－1.612－1.6＝6.410.4， 解得FH ＝8.由此可知，如果观察者继续前进，即他与左边的树的距离小于8 m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在观察者的盲区之内，观察者看不到它．二、巩固练习1．如图，身高1.6 m的小华站在距路灯杆5 m的C点处，测得她在灯光下的影长CD为2.5 m，则路灯的高度AB为________．答案 4.8 m2．在同一时刻，物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？答案36 m三、课堂小结本节课主要让学生了解：利用三角形的相似可以解决一些不能直接测量的物体的高度和长度的问题．指导思想是利用相似三角形对应边的比相等，如果四条对应边中已知三条，则可求得第四条，具体研究了如何测量金字塔高度的问题、测量河宽的问题、盲区问题．通过具体事例加强有关相似三角形知识的应用．本节课主要是让学生学会运用两个三角形相似的知识解决实际问题，在解决实际问题的过程中经历从实际问题到建立数学模型的过程，培养学生的抽象概括能力．因此在教学设计中突出了“审题⇒画示意图⇒明确数量关系⇒解决问题”的数学建模过程，学生可以从中锻炼把生活中的实际问题转化为数学问题的能力．。
初中相似三角形教案
初中相似三角形教案教案标题：初中相似三角形教案教案目标：1. 理解相似三角形的概念和性质。
2. 能够判断两个三角形是否相似。
3. 掌握相似三角形的比例关系和性质。
4. 能够应用相似三角形的性质解决相关问题。
教案步骤：引入：1. 引导学生回顾并复习三角形的基本概念和性质。
2. 引导学生思考，什么是相似三角形？相似三角形有哪些性质？探究：3. 提供一组具有相似关系的三角形，让学生观察并发现相似三角形的特点。
4. 引导学生总结相似三角形的判定条件，并通过几个例子进行讲解和练习。
巩固：5. 给出一些练习题，让学生判断是否相似，并解释判断的依据。
6. 引导学生探究相似三角形的比例关系，例如边长比例、角度比例等，并进行相关练习。
拓展：7. 引导学生应用相似三角形的性质解决实际问题，例如计算高度、距离等。
8. 提供一些挑战性问题，让学生运用相似三角形的知识进行推理和解决。
总结：9. 对本节课的内容进行总结，强调相似三角形的重要性和应用价值。
10. 鼓励学生在日常生活中多加观察和思考，发现更多的相似三角形的应用。
教案评估：11. 通过课堂练习、小组合作等形式进行教学评估，检查学生对相似三角形的理解和应用能力。
12. 针对学生的不同水平，提供个性化的辅导和指导。
教学资源：1. 相似三角形的示例图片或幻灯片。
2. 相似三角形的练习题和解答。
3. 相关的实际问题和挑战性问题。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习和探究，通过互动讨论、小组合作等形式拓展相似三角形的应用。
2. 引导学生进行实地观察和测量，寻找并记录相似三角形的实际例子。
3. 鼓励学生利用数学软件或绘图工具绘制相似三角形，并探索其性质和关系。
教案反思：1. 教学过程中要注重启发式教学，引导学生主动思考和发现相似三角形的性质。
2. 针对学生的不同学习需求，提供个性化的教学辅导和指导。
3. 教学过程中要注重培养学生的实际应用能力，让他们能够将所学知识应用到实际问题中。
相似三角形复习课学案
相似形复习课学案 总编号：NO. 22命题人：陈光双 审核人：初二数学组学习目标：1.熟练掌握相似三角形的基础知识 2.灵活应用相似三角形的知识解决数学问题重点、难点：相似三角形知识的应用课前复习：比例的性质 比例的基本性质 和比性质 等比性质定义相似三角形对应中线，对应高，对应角平分线的比等于 相似三角形 性质 相似三角形周长的比等于 相似三角形面积的比等于1. ，两三角形相似2. ，两三角形相似 判定3. ，两三角形相似直角三角形的判定方法是课中探究：一．基础巩固（易错点）：1. △ ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且∠AED= ∠ B ， 那么△ AED ∽ △ ABC ，从而AD ( ) =DEBC2.如图，DE ∥BC, AD:DB=2:3, 则S △ AED:S △ ABC =＿＿＿.DACB ABCDEA BCDE第1题第2题第5题3. 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙的最大边为10cm ， 则三角形乙的最短边为______cm.4.等腰三角形ABC 的腰长为18cm ，底边长为6cm,在腰AC 上取点D, 使△ABC ∽ △BDC, 则DC=______.5． 如图，D 是△ABC 一边BC上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA 的条件是（ ）.A.AC:BC=AD:BDB. AC:BC=AB:ADC. AB 2=CD·BCD.AB 2=BD·BC 二·基础巩固（易漏点）6·D 、E 分别为△ABC 的AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，∠DCB= ∠ A ，把每两个相似的三角形称为一组，那 么图中共有相似三角形_______组。
7·已知菱形ABCD 的边长为8，点E 在直线AD 上，DE 等于4，连接BE 与对角线AC 相交于点N ，则 NC:AN=三．跟踪检测：第6题 8．如图，△ADE ∽ △ACB, 则DE:BC=_____ 第8题 9．·如图若∠1=∠2=∠3，则图中相似的三角形有（ ）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对 第9题10、如图：DE ∥BC, AD:DB=3:4, △ADE 与 △ ABC 的周长比为 ， △ABC 与四边形DBCE 的面积的比为A BEDC A C BD E 2733图6A四·重点知识应用：11..如图，AB ∥CD ，AO=OB ，DF=FB ，DF 交AC 于E ， 求证：ED 2=EO · EC探究：12.已知：如图，△ABC 中，P 是AB 边上的一点，连结CP ．满足什么条件时△ ACP ∽△ABC ．13.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似三角形吗？如有，把它们一 一写出来.ABCDEFOA P BC 1 24课后延伸：（用相似知识解决实际问题）14.如图：A , B 两个工厂合用一个变压器，两厂位于高压输电线的同一侧，A 厂据高压线30千米，B 厂据高压线40千米，D ，C 两点之间的距离为80千米，试问变压器装在何处，所用电线最短？ABD E GBD。
2018年华师版九年级数学 23.3.1相似三角形__导学案
23.3.1相似三角形 导学案学习目标：1、通过一些具体的情境和应用，深化对相似三角形的理解和认识。
2、进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认识特殊与一般之间的辩证关系。
重点：认识相似三角形，掌握相似三角形的本质属性。
难点：相似三角形性质的应用。
学习时间：一课时 学习过程： （一）复习回顾1、相似多边形： 、 的两个多边形叫做相似多边形。
相似多边形对应角 、对应边 。
2、五边形ABCDE ∽五边形E D C B A '''''，且5=AB ，15=''B A ，7=BC ，050=∠D ，则=''C B ，='∠D ，五边形ABCDE 与五边形E D C B A '''''相似比为 。
（二）新知探究阅读课本127P “三角对应相等……”至129P “……图中有互相平行的线段吗？” 一、自主学习1、相似三角形的定义：如图，如果ABC ∆与DEF ∆中，D A ∠=∠，E B ∠=∠，F C ∠=∠，FDCAEF BC DE AB ==， 那么我们说ABC ∆与DEF ∆是 三角形，记为ABC ∆ DEF ∆，读作：ABC ∆ DEF ∆由上例可知：相似三角形的定义是：三角 ，三边 的两个三角形叫做相似三角形。
2、相似三角形的性质：（1）因为三角形也是多边形，因而相似多边形具有的性质相似三角形同样具备：相似三角形对应角 ，对应边 。
例：如图ABC ∆∽DEF ∆，则A ∠、B ∠、C ∠的对应角分别是 、 、AB 、BC 、CA 的对应边分别是 、 、由相似三角形的性质可得： ∵ABC ∆∽DEF ∆∴A ∠＝ B ∠＝ C ∠＝DE AB ＝()()＝()()（2）小巩固：如上题图ABC ∆∽DEF ∆，①若A ∠＝040、B ∠＝060则D ∠＝ E ∠＝ F ∠＝②若32=DE AB ，则=EFBC()()，=DFAC ()()． ③若5=AB ，7=DE ，10=BC ，则=EF二、小组交流（先自主学习，再小组交流）1、如图，若ABC ∆≌DEF ∆，由全等三角形对应边相等，对应角相等可得：A ∠＝B ∠＝C ∠＝ AB ＝ BC ＝ CA ＝ ，∴=DEAB()=BC()=CA，所以ABC ∆与DEF ∆ （填“相似”或“不相似”）因而我们可得结论：两个全等三角形一定 （填“相似”或“不相似”） （反过来，两个相似三角形一定全等吗？ ）2、（1）如图，ABC ∆与DEF ∆均为直角三角形，通过度量可得：A ∠＝ 0B ∠＝ 0C ∠＝ 0D ∠＝ 0E ∠＝ 0F ∠＝ 0=DEAB()() ，=EFBC ()()，=FDCA ()()它们三角对应相等吗？ 三边对应成比例吗？因而我们可得结论：两个直角三角形 （填“一定”或“不一定”）相似 （2）如图，ABC ∆与DEF ∆均为等腰直角三角形，通过度量可得：A ∠＝ 0B ∠＝ 0C ∠＝ 0D ∠＝ 0E ∠＝ 0F ∠＝ 0=DEAB()()，=EFBC ()()，=FDCA ()()它们三角对应相等吗？ 三边对应成比例吗？对于任意两个等腰直角三角形，是否都有类似的结论？ （用字母代替刚才的数字算一算就可以得到答案哟）因而我们可得结论：两个等腰直角三角形 （填“一定”或“不一定”）相似 3、用上面的方法自己探索可得：两个等腰三角形 相似，两个等边三角形 相似。
2018年中考数学专项复习学案：第五章基本图形二第28讲图形的相似第1课时相似形
第28讲 图形的相似第1课时课时 相似形相似形1．比例线段．比例线段考试内容考试内容考试考试要求要求比例比例 线段线段定义定义在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．比，那么这四条线段叫做成比例线段．a基本基本 性质性质若a b ＝c d，则ad ad＝＝bc.bc.当当b ＝c 时，时，b b 2＝ad ad，那么，那么b 是a 、d 的比例中项．比例中项．黄金黄金 分割分割 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC(AC>BC)BC(AC>BC)，如果，如果AC 是线段AB 和BC 的比例中项，且AC AB ＝BC AC ＝5－12≈0.6180.618，，那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点．割点．2.2.平行线分线段成比例平行线分线段成比例平行线分线段成比例考试内容考试内容考试考试要求要求基本基本 事实事实两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段． c推论推论平行于三角形一边的直线截其他两边平行于三角形一边的直线截其他两边((或两边的延长线或两边的延长线))，所得的对应线段成比例．成比例．3.3.相似图形的有关概念相似图形的有关概念相似图形的有关概念考试内容考试内容考试考试要求要求相似图形________________________________________相同的图形称为相似图形．相同的图形称为相似图形．相同的图形称为相似图形．a相似多相似多边形边形两个边数相同的多边形，如果它们的角分别如果它们的角分别 ，边 ，那么这两个多边形叫做相似多边形．多边形叫做相似多边形．相似多边形对应相似多边形对应 的比叫做相似比．的比叫做相似比．(1)(1)相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比； (2)(2)相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方相似多边形面积的比等于相似比的平方相似三相似三 角形角形 两个三角形的三个角分别两个三角形的三个角分别_ _ ，三条边，三条边 ，则这两个三角形相似．当相似比等于1时，这两个三角形时，这两个三角形 ． 4.4.相似三角形的判定相似三角形的判定相似三角形的判定考试内容考试内容考试考试要求要求判定1________________________________________于三角形一边的直线和其他两边相交，于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．三角形与原三角形相似．a 判定2 三边三边 的两个三角形相似．的两个三角形相似．判定3 两边两边 且夹角且夹角 的两个三角形相似．的两个三角形相似． 判定4 两角分别两角分别 的两个三角形相似．的两个三角形相似．判定5满足斜边和一条直角边满足斜边和一条直角边 的两个直角三角形相似．的两个直角三角形相似．拓展拓展直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．两个三角形都与原三角形相似．5.5.相似三角形的性质相似三角形的性质相似三角形的性质考试内容考试内容考试考试要求要求性质性质1.1.相似三角形的对应角相似三角形的对应角相似三角形的对应角 ，对应边对应边． a2.2.相似三角形对应高的比、相似三角形对应高的比、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应中线的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的对应角平分线的比和周长的比都等于比都等于．3.3.相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的相似三角形面积的比等于相似比的____________________. ____________________.三角形三角形 的重心的重心 三角形三条中线的交点叫做重心．三角形三条中线的交点叫做重心．三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段．拓展拓展如图，△ABC 中，∠中，∠ACB ACB ACB＝＝9090°，°，CD 是斜边AB 上的高，则有下列结论．则有下列结论．①AC 2＝AD·AB；＝AD·AB；②BC 2＝BD·AB；＝BD·AB；③CD 2＝AD·BD；＝AD·BD；④AB AB··CD CD＝AC·BC.＝AC·BC.＝AC·BC.考试内容考试内容考试考试要求要求基本基本 思想思想转化思想：证角相等，证比例线段往往转化为证相似三角形；测量问题，往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决．往往构建相似三角形，即实际问题转化为相似三角形问题来解决．b1．(2017·杭州．(2017·杭州))如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB AB，，AC 上，DE DE∥∥BC BC，，若BD BD＝＝2AD 2AD，，则( ( )A .AD AB ＝12 B .AE EC ＝12 C .AD EC ＝12 D .DE BC ＝12 2．(2015·嘉兴．(2015·嘉兴))如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 分别交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 分别交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F.AC 与DF 相交于点H ，且AH AH＝＝2，HB HB＝＝1，BC BC＝＝5，则DEEF的值为的值为( ( ( )A .12B ．2C .25D .35 3．(2015·嘉兴．(2015·嘉兴))如图是百度地图的一部分如图是百度地图的一部分((比例尺1∶4000000)．按图可估测杭州在嘉兴的南偏西偏西_______________________________________度方向上，杭州到嘉兴的图上距离约2cm ，则杭州到嘉兴的实际距离约为________________________________________．．【问题】如图，点D 在△ABC 的边AC 上．上．(1)(1)要判断△ADB 要判断△ADB 与△ABC 相似，添加一个条件是相似，添加一个条件是____________________________________________________________；； (2)若△ADB∽△ABC，若△ADB∽△ABC，AB AB AB＝＝4，AD AD＝＝2，则AC AC＝＝________________；； (3)(3)通过通过通过(1)(1)(1)、、(2)(2)解答，你能说出相似三角形哪些知识？解答，你能说出相似三角形哪些知识？解答，你能说出相似三角形哪些知识？【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理比例、相似多边形有关概念，相似三角形性质、判定．类型一 比例性质、黄金分割等相关概念例1 (1)(2016·山西(1)(2016·山西))宽与长的比是5－12(约0.618)0.618)的矩形叫做黄金矩形，的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ABCD，，分别取AD AD、、BC 的中点E 、F ，连结EF EF；以点；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH⊥AD，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是，则图中下列矩形是黄金矩形的是( ( ( )A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH【解后感悟】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF 的长，再根据DF DF＝＝GF 求得CG 的长，最后根据CG 与CD 的比值为黄金比，判断矩形DCGH 为黄金矩形．为黄金矩形．(2)(2) 已知x 3＝y 4＝z 6≠0，求x ＋y －z x －y ＋z 的值．的值．【解后感悟】这类题我们一般是设辅助未知数k ，即比值为k ，把所有字母都用含有k 的式子表示出来，从而达到计算或化简的目的．示出来，从而达到计算或化简的目的．1．在中华经典美文阅读中，在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．宽与长之比为黄金比．已知这本书的已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为，则它的宽约为( ( ( )A ．12.36cmB ．13.6cmC ．32.36cmD ．7.64cm 2．(2015·扬州．(2015·扬州))如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A 、B 、C 都在横格线上，若线段AB AB＝＝4cm ，则线段BC BC＝＝cm .类型二 相似多边形例2 已知矩形ABCD 中，中，AB AB AB＝＝1，在BC 上取一点E ，沿AE 将△ABE 向上折叠，使B 点落在AD 上的F 点，若四边形EFDC 与矩形ADCB 相似，则AD AD＝＝( ( )A .5－12B .5＋12C .3D ．2 【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：对应边的比等于相似比．【解后感悟】解题关键是根据相似多边形的性质：对应边的比等于相似比．3．(2015·葫芦岛．(2015·葫芦岛))如图，在矩形ABCD 中，中，AD AD AD＝＝2，CD CD＝＝1，连结AC AC，以对角线，以对角线AC 为边，按逆时针方向作矩形ABCD 的相似矩形AB 1C 1C ，再连结AC 1，以对角线AC 1为边作矩形AB 1C 1C 的相似矩形AB 2C 2C 1，…，按此规律继续下去，则矩形AB n C n C n －1的面积为的面积为____________________________________________________________．．类型三 相似三角形的判定与性质例3 (2016·南充(2016·南充))已知正方形ABCD 的边长为1，点P 为正方形内一动点，若点M 在AB 上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP 交AD 于点N ，连结CM.(1)(1)如图如图1，若点M 在线段AB 上，求证：AP⊥BN；上，求证：AP⊥BN；AM AM AM＝＝AN AN；；(2)①如图2，在点P 运动过程中，满足△PBC∽△PAM 的点M 在AB 的延长线上时，的延长线上时，AP AP AP⊥⊥BN 和AM ＝AN 是否成立？是否成立？((不需说明理由不需说明理由) )②是否存在满足条件的点P ，使得PC PC＝＝12？请说明理由．？请说明理由．【解后感悟】本题考查相似三角形的性质、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题．应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题．4．(1)(1)如图，在△ABC 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB AB，，AC 上，且AE AB ＝AD AC ＝12，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为( ( )A ．1∶3B ．1∶2C ．1∶3D ．1∶4(2)(2) (2016·河北(2016·河北))如图，△如图，△ABC ABC 中，∠中，∠A A ＝7878°，°，°，AB AB AB＝＝4，AC AC＝＝6.6.将△ABC 将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是的是( ( ( )5．(1)(2015·自贡)将一副三角板按图叠放，则△AOB 与△DOC 的面积之比等于 .(2)(2015·无锡市南长区模拟(2)(2015·无锡市南长区模拟))如图，△如图，△ABC ABC 中，中，AB AB AB＝＝5，BC BC＝＝3，CA CA＝＝4，D 为AB的中点，过点D 的直线与BC 所在直线交于点E ，若直线DE 截△ABC 所得的三角形与△ABC 相似，则DE DE＝＝ .类型四 与相似三角形相关的问题例4 如图，点A ，B ，C ，D 为⊙O 上的四个点，上的四个点，AC AC 平分∠BAD，平分∠BAD，AC AC 交BD 于点E ，CE CE＝＝4，CD CD＝＝6，则AE 的长为的长为( ( ( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解后感悟】本题运用圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD ＝∠CDB，证明△ACD∽△DCE.＝∠CDB，证明△ACD∽△DCE.6．(1)(1)已知：在△ABC 已知：在△ABC 中，中，BC BC BC＝＝1010，，BC 边上的高h ＝5，点E 在边AB 上，过点E 作EF∥BC，交AC 边于点F.F.点点D 为BC 上一点，连结DE DE、、DF.DF.设点设点E 到BC 的距离为x ，则△DEF 的面积S 关于x 的函数图象大致为函数图象大致为( ( ( )(2)(2015·杭州模拟(2)(2015·杭州模拟))在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新的三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．则新矩形与原矩形不相似．对于两人的观点，下列说法正确的是对于两人的观点，下列说法正确的是( ( ( ) )A ．两人都对．两人都对B ．两人都不对．两人都不对C ．甲对，乙不对．甲对，乙不对D ．甲不对，乙对．甲不对，乙对(3)(3) (2015·滨州(2015·滨州))如图，在x 轴的上方，直角∠BOA 绕原点O 按顺时针方向旋转，若∠BOA 的两边分别与函数y ＝－1x 、y ＝2x的图象交于B 、A 两点，则∠OAB 的大小的变化趋势为的大小的变化趋势为( ( ( ) )A ．逐渐变小．逐渐变小B ．逐渐变大．逐渐变大C ．时大时小．时大时小D ．保持不变．保持不变7．(2016·龙东．(2016·龙东))已知，在平行四边形ABCD 中，点E 在直线AD 上，上，AE AE AE＝＝13AD AD，连结，连结CE 交BD 于点F ，则EF∶FC 的值是的值是 .【课本改变题】教材母题－－浙教版教材九上第149页第5题课本中有一道作业题：课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ABC，它的边，它的边BC BC＝＝120mm ，高AD AD＝＝80mm .要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB AB，，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm?小颖解得此题的答案为48mm ，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm ？请你计算．？请你计算．(2)(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．【方法与对策】本题是课本改变题，试题设置上主要是三角形和矩形的组合，通过基本图形是相似三角形，揭示对应边成比例的关系式来解决问题，再深入探究，规律性较强，这种题型是中考常用的命题方式．常用的命题方式．【找不准相似三角形中的对应边】【找不准相似三角形中的对应边】如图，△如图，△ABC ABC 中，点D 在线段BC 上，且△ABC∽△D 上，且△ABC∽△DBA BA BA，则下列结论一定正确的是，则下列结论一定正确的是，则下列结论一定正确的是( ( ( )A ．AB 2＝BC·BD ＝BC·BD B ．AB 2＝AC·BD ＝AC·BDC ．AB AB··AD AD＝BD·BC ＝BD·BC ＝BD·BC D ．AB AB··AD AD＝AD·CD ＝AD·CD ＝AD·CD参考答案 第28讲 图形的相似 第1课时 相似形【考点概要】【考点概要】2．成比例成比例 3.形状形状 相等相等 成比例成比例 边 相等相等 成比例成比例 全等全等 4.平行平行 成比例成比例 成比例成比例 相等 相等相等 成比例成比例 5.相等相等 成比例成比例 相似比相似比 平方平方【考题体验】【考题体验】1．B 2.D 3.45 80km 【知识引擎】【知识引擎】【解析】(1)添加条件是∠ABD ＝∠C 或∠ADB ＝∠ABC 或者AD AB ＝AB AC ； (2)由△ADB ∽△ABC ，得AD AB ＝ABAC，得AC ＝8； (3)相似三角形知识：性质、判定等．相似三角形知识：性质、判定等． 【例题精析】【例题精析】例1 (1)(1)设正方形的边长为设正方形的边长为2，则CD CD＝＝2，CF CF＝＝1.1.在直角三角形在直角三角形DCF 中，中，DF DF DF＝＝12＋22＝5，∴FG FG＝＝5，∴CG CG＝＝5－1，∴CG CD ＝5－12，∴矩形DCGH 为黄金矩形．故选D . . (2)(2)(2)设设x 3＝y 4＝z 6＝k(k≠0)，根据题意，得x ＝3k 3k，，y ＝4k 4k，，z ＝6k 6k，所以，所以x ＋y －z x －y ＋z ＝3k 3k＋＋4k 4k－－6k 3k 3k－－4k 4k＋＋6k ＝k 5k ＝15. .例2 B 例3(1)(1)如图如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AB＝＝BC BC＝＝CD CD＝＝AD AD，，∠DAB DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝909090°，°，∵△∵△PBC PBC PBC∽△∽△∽△PAM PAM PAM，∴∠，∴∠，∴∠PAM PAM PAM＝∠PBC，＝∠PBC，PM PC ＝AM BC ＝PA PB，∵∠，∵∠PBC PBC PBC＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠PAM PAM PAM＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，°，∴∠∴∠APB APB APB＝＝9090°，∴°，∴°，∴AP AP AP⊥⊥BN BN，∵∠，∵∠，∵∠ABP ABP ABP＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠APB APB APB＝∠＝∠＝∠BAN BAN BAN＝＝9090°，∴△°，∴△°，∴△BAP BAP BAP∽△∽△∽△BNA BNA BNA，∴，∴PA PB PB＝＝ANAB AB，，∴AN AB ＝AM BC，∵AB AB＝＝BC BC，，∴AN AN＝＝AM. AM. (2)①仍然成立，(2)①仍然成立，AP AP⊥⊥BN 和AM AM＝＝AN.AN.理由如图理由如图2中，∵四边形ABCD 是正方形，∴是正方形，∴AB AB AB＝＝BC BC＝＝CD CD＝＝AD AD，∠，∠，∠DAB DAB DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝909090°，∵△°，∵△°，∵△PBC PBC PBC∽△∽△∽△PAM PAM PAM，∴∠，∴∠，∴∠PAM PAM PAM＝＝∠PBC，PM PC ＝AM BC ＝PA PB，∵∠，∵∠PBC PBC PBC＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠PAM PAM PAM＋∠PBA＝＋∠PBA＝＋∠PBA＝909090°，∴∠°，∴∠°，∴∠APB APB APB＝＝9090°，∴°，∴°，∴AP AP AP⊥⊥BN BN，，∵∠∵∠ABP ABP ABP＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠＝∠ABN，∠APB APB APB＝∠BAN＝＝∠BAN＝＝∠BAN＝909090°，∴△°，∴△°，∴△BAP BAP BAP∽△∽△∽△BNA BNA BNA，∴，∴PA PB ＝AN AB ，∴AN AB ＝AM BC，∵，∵AB AB AB＝＝BC BC，∴，∴，∴AN AN ＝AM. AM. ②这样的点P 不存在．理由：假设PC PC＝＝12，如图3中，以点C 为圆心12为半径画圆，以AB为直径画圆，为直径画圆，CO CO CO＝＝BC 2＋BO 2＝52＞12＋12，∴两个圆外离，∴∠，∴两个圆外离，∴∠APB APB APB＜＜9090°，这与°，这与AP⊥PB 矛盾，∴假设不可能成立，∴满足PC PC＝＝12的点P 不存在．不存在． 例4 设AE AE＝＝x ，则AC AC＝＝x ＋4，∵，∵AC AC 平分∠BAD，∴∠平分∠BAD，∴∠BAC BAC BAC＝∠CAD，∵∠＝∠CAD，∵∠＝∠CAD，∵∠CDB CDB CDB＝∠BAC(圆周角定＝∠BAC(圆周角定理)，∴∠，∴∠CAD CAD CAD＝∠CDB，∵∠＝∠CDB，∵∠＝∠CDB，∵∠ACD ACD ACD＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴＝∠DCE，∴△ACD∽△DCE，∴CD CE ＝AC DC ，即64＝x ＋46，解得：，解得：x x ＝5.故选B .【变式拓展】【变式拓展】1．A 2.12 2.12 3.3.5n 22n 2n－－1 4.(1)C (2)C 5.(1)1∶35.(1)1∶3 (2)2或103 6.(1)D (2)A (3)D 7.23或43 【热点题型】【热点题型】【分析与解】【分析与解】(1)(1)(1)设矩形的边长设矩形的边长PN PN＝＝2y mm ，则PQ PQ＝＝y mm ，由条件可得△APN∽△ABC，∴PN BC BC＝＝AEAD AD，，即2y 120＝8080－－y 80，解得y ＝2407，∴PN PN＝＝2407×2＝4807(mm )，答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807mm ； (2)(2)设设PN PN＝＝x mm ，由条件可得△APN∽△ABC，由条件可得△APN∽△ABC，∴∴PN BC ＝AE AD ，即x 120＝8080－－PQ 80，解得PQ PQ＝＝8080－－23x.∴S ＝PN·PQ＝＝PN·PQ＝x(80x(80x(80－－23x)x)＝－＝－23x 2＋80x 80x＝－＝－23(x (x－－60)2＋24002400，∴，∴，∴S S 的最大值为2400mm 2，此时PN PN＝＝60mm ，PQ PQ＝＝8080－－23×6060＝＝40(mm )． 【错误警示】A ．∵△．∵△ABC ABC ABC∽△∽△∽△DBA DBA DBA，∴，∴AB BD ＝BC AB ，∴，∴AB AB 2＝BD·BC.＝BD·BC.。
人教版数学九年级中考复习课《相似三角形》教学设计
5.写作任务：结合本节课所学内容，撰写一篇关于相似三角形在实际生活中的应用的小论文，要求不少于500字，以提高学生的写作能力和几何应用意识。
注意事项：
1.作业布置要注意分层设计，使不同层次的学生都能得到适当的锻炼和提高；
2.鼓励学生独立思考，遇到问题时积极寻求解决方法，培养自主学习能力；
2.逻辑思维能力：运用相似三角形的性质和判定方法解决具体问题，培养学生的逻辑思维；
3.团队合作能力：分组讨论，共同探究相似三角形的性质和应用，培养学生的团队协作精神；
4.解决问题能力：将相似三角形的知识应用于解决实际生活中的问题，提高学生解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.积极主动：鼓励学生积极参与课堂讨论，主动探究相似三角形的性质和应用；
c.相似三角形在实际问题中如何应用？
2.汇报交流：各小组汇报讨论成果，分享解题思路和方法，教师进行点评和指导。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的习题，让学生当堂完成，巩固所学知识。
2.练习题包括：
a.判断两个三角形是否相似，并说明理由；
b.利用相似三角形的知识解决实际问题；
c.证明相似三角形的性质。
3.相似三角形的判定方法：讲解AA、SAS、SSS等判定方法，结合实例进行解释，使学生理解并掌握。
4.相似三角形的应用：介绍相似三角形在实际问题中的应用，如测量物体的高度、计算图形的面积等。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成若干小组，针对以下问题进行讨论：
a.相似三角形的性质有哪些？
b.如何判断两个三角形是否相似？
（2）终结性评价：通过课后作业、测试等形式，评价学生对相似三角形知识的掌握程度；
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课题：相似三角形
姓名： 班级： 小组：
复习内容：相似三角形
学习目标：建立相似三角形知识框架，了解中考试题中相似知识的常见考点和试题呈现方式，会运用相似知识灵活解题；
学习重点：运用相似知识熟练掌握解题方法和技巧；
学习过程：
一、课前热身：（4分钟）
1.某一时刻，测得一根高1.8米的竹竿的影长为3m ，同时测得一栋楼的影长为90m ，这栋楼的高度是多少？
2.如图，测得BD ＝120米，DC ＝60米，EC ＝50米，
求河宽AB ＝ 米.
二、由实际问题导入新课
（一）.建立知识框架：（2分钟）
（二）知识要点梳理：（6分钟）
三、考情分析（2分钟）
相似三角形的性质与判定是泸州市中考必考知识点，近8年命题均涉及相似三角形，且出现在填空或选择的较难题和圆综合题第2问中，预测2018年泸州市中考以填空（或选择）1个考题，相似三角形出现在圆综合题第2问中可能性更大.
四、相似基本模型和考点题型针对练习：
► 考点一 比例线段
1．（2017长春）如图，直线a ∥b ∥c ，直线l 1，l 2与这三条平行
线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．若AB ：BC =1：2，DE =3，则
EF 的长为 ．
► 考点二 相似三角形的性质
1.（2016平凉）如果两个相似三角形的面积比为1：4，那么它们的周长比是（ ）
A.1:16
B.1:4
C.1:6
D.1:2
2.(2015自贡) 一副三角板叠放如图，则△AOB 与△DOC 的面积之比
为 。
► 考点三 相似三角形的判定
1.（2016年盐城）如图，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交
DA 的延长线于点E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三
角形有（ ）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
► 考点四 相似三角形的性质和判定的综合
1.如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且DE//AC ，若S △BDE ：S △CDE =1:3，则S △DOE ：
S △AOC 的值为（ ）
（2017泸州）11.如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，AE ⊥BD,垂足为F ，则tan ∠BDE 的值是 （ ）
A ．42
B ．41
C ．31
D ．3
2
► 考点五 相似三角形与圆
24．（2016泸州）如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线相交于点E ，且∠A =∠EB C ．
（1）求证：BE 是⊙O 的切线；
（2）已知CG ∥EB ，且CG 与BD 、BA 分别相交于点F 、G ，若BG •BA =48，FG =2，DF =2BF ，
求AH 的值．
四、作业设计：完成优化指导练习本第41－42页内容（其中1－10题必做，42页的题选做）
知识点梳理：（完成下列知识点填空，并阅读!）
1.比例的基本性质：
在比例里，两项之积等于两项之积。
a：b=c：d= .
特别地：a：b=b：c等价于b2=ac
2.相似多边形：
（1）相似图形：形状相同的图形叫相似图形.
（2）相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的多边形叫做相似多边形.
（3）相似多边形的性质：
①对应角，对应边的比；
②相似多边形周长的比等于；面积的比等于.
3.相似三角形的判定
（1）定义：对应角，对应边的两个三角形相似.
（2）定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形.
（3）角对应相等的两个三角形相似.
（4）两边对应成比例，且相等的两个三角形相似.
（5）对应成比例，两个三角形相似.
（6）和一直角边对应成比例的两直角三角形相似.
4.相似三角形的性质
（1）相似三角形对应角.对应边.
（2）相似三角形的周长之比等于.面积之比等于.
（5）相似三角形的对应高线、中线、角平分线之比等于.
5．位似图形
如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
位似图形一定是相似图形，相似图形不一定是位似图形。