第3章同余

第三章同余同余的概念在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一个固定的数去除所得的余数。

例如我们问现在是几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数，又如问今天是星期几，就是问用７去除某一个总的天数所得的余数，于是就在数学中产生了同余的概念。

在本部分中我们先介绍同余的概念及基本性质。

同余的定义给定一个正整数，把它叫做模。

如果用去除任意两个整数与所得的余数相同，我们就说与对模同余，记为≡（）。

如果余数不同，我们就说与对模不同余，记为（）。

例如，=6，则7≡13（6），810（6）。

这是因为7和13除以6的余数均为1，而8和10除以6的余数分别为2和4。

同余的基本性质利用同余的定义，我们可以得到同余的若干基本性质。

性质1为正整数，，，为任意整数，则①≡（）；②若≡（），则≡（）；③若≡（），≡（），则≡（）。

由定义知性质１是显然的，请读者自己给出证明。

性质２整数，对模同余的充要条件是｜－，即＝+，是整数。

证设。

若≡（），则，因此，即｜－。

反之，若｜－，则，因此，但，故，即≡（）。

注在很多问题中，我们常用性质２来判断、是否对模同余，有时用性质２比用定义要方便些。

性质３①若，则②若＋=（），则≡－（）。

证由性质２有，因，故，①获证。

由①有，这就是②的结论性质４若，则。

证明由性质２，，所以。

故。

将性质４、性质３结合起来一般有性质５若，则。

特别地，若，，则。

性质6若，则。

证由性质２，｜－，但，又（，）＝１，故，即。

性质７①若≡（），＞０，则≡（）。

②若≡（），是，及的任一公因数，则。

利用性质２即可证明性质７，请大家作为练习自己给出证明。

性质８若，则。

证由性质２，，则由最小公倍数的性质有，故由性质２即得。

性质９若≡（），｜，＞０，则≡（）。

证由性质２，｜－，又｜，由整除的性质知｜－，故≡（）性质10若≡（），则（，）＝（，），因而若能整除及，二数之一，则能整除，中的另一个。

证由性质２，＝＋，由最大公因数的性质得（，）＝（，）。

以上的每一条性质都很简单，但是都非常重要，今后会经常使用，请大家认真学好每一条性质。

同余的简单应用A一个整数能被３（或９）整除的充要条件是它的十进位数码的和能被３（或９）整除。

证可只对正整数证明，将写成十进位数的形式：因10≡1（３），故由性质５得，再由性质10即知３｜当且仅当。

同理可证９｜当且仅当Ｂ设正整数，其中。

则７（或11，或13）整除的充要条件是７（或11，或13）整除。

证因为。

故。

所以７｜（或11｜，或13｜）当且仅当7（或11，或13）整除。

Ｃ计算高次幂的个位数。

例求的十进位表示中的个位数字。

解本题实质上就是求10除的余数，即求中的，。

因为，所以，因此，所以，即的个位数是9。

剩余类及完全剩余系有了同余的概念，对于一个给定的模，我们就可以把对模同余的所有数放在一起，即把除以后有相同余数的数放在一起，这就产生了剩余类的概念。

剩余类及完全剩余系的定义在给出定义之前，我们先证明一个重要结果。

定理1设是一个给定的正整数，则全部整数可以分成个集合，记作，其中是由一切形如的整数所组成的，这些集合具有下列性质：（i）每一整数必包含在而且仅包含在上述的一个集合里面；（ii）两个整数同在一个集合的充要条件是这两个整数对模同余。

证明（i）设是任一整数，由带余数除法得。

故在内。

又由带余数除法知，由唯一确定，故只能在内。

（ii）设，是两个整数，并且都在内，则。

故≡（），反之若≡（），则由同余的定义知，同在某个一个内。

定义我们把定理１中的叫做模的剩余类。

若是个整数，并且其中任何两个都不在同一个剩余类里，则称为模的一个完全余剩余系。

由定理１和上面的定义，可得推论个整数作成模的一个完全剩余系的充分必要条件是这个数两两对模不同余。

例：设为正整数，则；；；都是模的完全剩余系。

完全剩余系的性质定理２设是正整数，（，）＝１，是任一整数，若通过模的一个完全剩余系，则＋也通过模的一个完全剩余系，也就是说，若是模的一个完全剩余系，则也就是模的一个完全剩余系。

证由推论，只须证明个整数两两对模不同余就够了。

假设。

则由同余的性质得，又由同余性质及（，）＝１得，这与是模的一个完全剩余系矛盾，定理获证。

定理３若是两个互质的正整数，而分别通过模的完全剩余系，则通过模的一个完全剩余系。

证由假设分别通过个整数，因此通过个整数，由推论，只须证明这个整数两两对模不同余即可。

假定（１）其中是所通过的完全剩余系中的整数，而是所通过的完全剩余系中的整数，由同余的性质得又由同余的性质及即得，。

由推论得。

这表明如果与不全相同时，（１）式即不成立，因此定理获证。

在本部分最后，我们给出几个今后要用到的特殊名词。

定义这个整数叫模的最小非负完全剩余系；当为偶数时，或叫模的绝对最小完全剩余系；当为奇数时，叫模的绝对最小完全剩余系。

简化剩余系与欧拉函数在上一节里我们讨论了完全剩余系的基本性质，这一节我们要进一步讨论完全剩余系中与模互质的整数，这需要引进简化剩余系的概念。

在讨论简化剩余系的过程中，需要用到数论上一个很重要的函数——欧拉（Euler）函数。

欧拉函数的定义欧拉函数是定义在正整数上的函数，它在正整数上的值等于序列0,1,2,…－1中与互质的数的个数。

例如。

简化剩余系如果模的一个剩余类里面的数与互质，就把它叫做一个与模互质的剩余类。

在与模互质的全部剩余类中，从每一类中各任取一数所作成的数组，叫做模的一个简化剩余系。

定理１模的一个剩余类与模互质的充要条件是此类中有一数与互质。

因此与模互质的剩余类的个数是，的每一简化剩余系是由与互质的个两两对模不同余的整数组成的。

证设是模的全部剩余类。

若是一个与模互质的剩余类，则（，）＝１。

反之若有，则由剩余类的定义及同余的性质知中的每个整数都与互质，因而是与模互质的剩余类。

由于为与模互质的剩余类当且仅当（，）＝１，因此由欧拉函数的定义及模的简化剩余系的定义即得定理结论成立。

定理２若是个与互质的整数，并且两两对模不同余，则是模的一个简化剩余系。

证由定理１及简化剩余系的定义知结论成立。

定理３若（，）＝１，通过模的简化剩余系，则通过模的简化剩余系。

证通过个整数，由于（，）＝１，（，）＝１，故（，）＝１。

若，则由同余的性质有，这与原假设矛盾。

故由定理２知，定理３成立。

定理４若是两个互质的正整数，分别通过模的简化剩余系，则通过模的简化剩余系。

证由定理１知，简化剩余系是一个完全剩余系中一切与模互质的整数作成的。

因此只须证明：若分别通过模的一个简化剩余系时，则通过模的一个完全剩余系中一切与模互质的整数。

由完全剩余系的性质知，若分别通过模的完全剩余系时，则通过模的一个完全剩余系。

又若，则由即得，于是，故。

反之，若，则。

所以又，所以。

定理证毕。

推论若是两个互质的正整数，则。

证由定理４立即可得。

欧拉函数值的计算利用上面的推论及标准分解式我们可以得出欧拉函数值的计算方法，这可由下面的定理５给出。

定理５设为的标准分解式，则。

证（i）由推论得。

（ii）下证。

由定义知等于从减去中与不互质的数的个数．由于为质数，故等于从中减去中被整除的数的个数。

由函数［］的性质知中被整除的数的个数是，故。

（iii）由（i），（ii）即得。

欧拉定理·费尔马定理在这一节我们应用简化剩余系的性质证明数论中两个著名的定理，并说明它们在研究循环小数时的用处。

欧拉定理设是大于１的整数，（，）＝１，则。

证设是模的简化剩余系，则由简化剩余系的性质知也是模的一个简化剩余系。

故，即，但，因此，由同余性质得。

费尔马定理若是素数，则。

证若（，）＝１，则由欧拉定理得。

由欧拉函数值的计算公式有。

所以，故。

若（，）≠１，则｜，从而，所以。

对循环小数的应用欧拉定理及费尔马定理在数论里是很有用的，下面我们介绍它们在研究分数与小数互化时的用处，由于任何一个有理数都可以写成分数的形式，即。

由带余数除法知：＝＋，０≤＜，即，因此我们只讨论０与１间的分数与小数互化的问题。

定义１设是一个不大于９的非负整数（＝1,2,3…），如果在中任取一个，一定存在一个大于ｊ的正整数，使得，则称为一个无限小数，否则，叫做有限小数。

如1/22=0.3181818…，5/7=0.714285714285…为无限小数，而1/5=0.2，1/2=0.5为有限小数。

定理１设０＜＜，（，）＝１，则可化为有限小数的充要条件是，(，但不同时为零），并且当时，令，则可化为位有限小数。

证必要性：设，两边乘以得。

因（，）＝１，故，于是。

若，则，这是不可能的。

所以。

充分性：设，可设，于是，但。

所以可令，显然，否则有２｜与（，）＝１矛盾。

故化为位小数；同理在时，可化为位小数，于是当时，可化为为小数，当然可化为有限小数。

例如：1/2=0.5，1/4=0.25，1/10=0.1，1/20=0.05。

定义２如果对于无限小数能找到两个整数≥０，＞０使得我们就称它为循环小数，并记为。

若存在的是满足条件的中最小的，就称为循环节，称为循环节的长度，若最小的＝０，就称该循环小数为纯循环小数，否则叫混循环小数。

定理２设０＜＜，（，）＝１，则能表成纯循环小数的充要条件是（，10）＝１。

证设，两边乘以得：。

其中。

所以，即。

因为（，）＝１，故，所以（，10）＝１。

反之，若（，10）＝１，则由欧拉定理知有一正整数使得。

即。

进一步有，故存在整数使得，即，并且，当然还有＞０。

所以，令，因，故不全为零，也不全为９，于是，故。

注当（，10）＝１时，若是使的最小正整数，则可表成循环节长为的纯循环小数。

例如。

类似于定理２可证明下面的定理３定理３设0＜＜，（，）＝１，，不全为零，则可表成混循环小数，其中不循环的位数，而循环节的长是使的最小正整数，反之亦成立。

注由定理１，定理２，定理３知，０与１之间的有理数要么为有限小数，要么为循环小数，由此可知无限不循环小数为无理数。