2020年内蒙古高考数学一模试卷(二)(有答案解析)
2020年内蒙古高考数学一模试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z满足（1-i）z=-1+2i，则||=（）A. B. C. D.2.设集合A={-2，-1，0，1，2}，B={-1，0，1}，C={（x，y）|≤1，x∈A，y∈B}，则集合C中元素的个数为（）A. 11B. 9C. 6D. 43.已知单位向量，的夹角为，若向量=2，=4-，且⊥，则||=（）A. -2B. 2C. 4D. 64.已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A1、A2，点P是双曲线C上与A1、A2不重合的动点，若K K=3，则双曲线的离心率为（）A. B. C. 4 D. 25.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若a tan B=2b sin（B+C）．则角B的大小为（）A. B. C. D.6.如图所示的茎叶图（图1）为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图（图2）中输入的a1，a2，a3，…，a50为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）A. m=38，n=12B. m=26，n=12C. m=12，n=12D. m=24，n=107.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例（百分比）为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁衰分得100，60，36，21.6个单位，递减的比例为40%，今共有粮m（m＞0）石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为（）A. 20% 369B. 80% 369C. 40% 360D. 60% 3658.函数y=（-π≤x≤π）的大致图象为（）A. B. C. D.9.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A. AC⊥BEB. EF∥平面ABCDC. 三棱锥A-BEF的体积为定值D. 异面直线AE，BF所成的角为定值10.记忆能力x46810识图能力y3568由表中数据，求得线性回归方程为=x+，若某中学生的记忆能力为14，则该中学生的识图能力为（）A. 7B. 9.5C. 11.1D. 1211.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（）A. -B. -1C.D.12.已知函数f（x）=（x＞2），若f（x）恒成立，则整数k的最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知角α的终边过点（3m，-2），若tan（π+α）=，则m=______．14.设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为______．15.“雾霾治理”“延迟退休”“里约奧运”“量子卫星”“神舟十一号”成为现在社会关注的5个热点．小王想利用暑假时间调查一下社会公众对这些热点的关注度．若小王准备按照顺序分别调査其中的4个热点，则“量子卫星”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点的种数为______．16.如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，AC⊥CB，已知AC=2，，则当PA+AB最大时，三棱锥P-ABC的体积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等比数列{a n}的各项均为正数，a1=1，公比为q；等差数列{b n}中，b1=3，且{b n}的前n项和为S n，a3+S3=27，q=．（Ⅰ）求{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n=，求{c n}的前n项和T n．18.在某外国语学校举行的HIMCM（高中生数学建模大赛）中，参与大赛的女生与男生人数之比为1：3，且成绩分布在[40，100]，分数在80以上（含80）的同学获奖．按女生、男生用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求a的值，并计算所抽取样木的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）填写下面的2×2列联表，并判断在犯错误的概率不超过0.05的前提下能否认为“获奖与女生、男生有关”．女生男生总计获奖5不获奖总计200附表及公式：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828其中K2=，n=a+b+c+d．19.已知点B（0，-2）和椭圆M：．直线l：y=kx+1与椭圆M交于不同两点P，Q．（Ⅰ）求椭圆M的离心率；（Ⅱ）若，求△PBQ的面积；（Ⅲ）设直线PB与椭圆M的另一个交点为C，当C为PB中点时，求k的值．20.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE是矩形，且平面ACE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）当二面角C-BF-D的平面角的余弦值为，求这个六面体ABCDEF体积．21.已知函数f（x）=2ax+bx-1-2ln x（a∈R）．（Ⅰ）当b=0时，讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞y＞e-1时，求证：e x ln（y+1）＞e y ln（x+1）．22.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（a为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（1）求椭圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）过点M（-1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积．23.设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：由（1-i）z=-1+2i，得z=，∴．故选：C．2.答案：A解析：解：根据条件得：x从-1，0，1任选一个，y从而-1，0，1任选一个，有9种选法；x=-2或2时，y=0，有两种选法，共11种选法；∴C中元素有11个．故选：A．由题意可得出：x从-1，0，1任选一个，y从而-1，0，1任选一个，有9种选法；x从-2，2任选一个，y只能为0，有2种选法，共有11种选法，从而得出集合C中元素个数为11．考查列举法、描述法的定义，以及组合的知识．3.答案：C解析：解：单位向量，的夹角为，∴==-．∵向量=2，=4-，且⊥，∴•=2•（4-）=8-2λ=0，∴8-2λ×=0，解得λ=-4．则||==4．故选：C．单位向量，的夹角为，可得==-．由向量=2，=4-，且⊥，可得•=2•（4-）=0，解得λ．进而得出．本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解析：解：设P（x0，y0），A1（-a，0），A2（a，0），∵k k=3，∴•=3，即y02=3x02-3a2，①又-=1，②，由①②可得（b2-3a2）x02=a2（b2-3a2），∵x0≠±a，∴b2-3a2=0，∴b2=3a2=c2-a2，∴c=2a，即e=2，故选：D．设P（x0，y0），A1（-a，0），A2（a，0），根据k k=3可得y02=3x02-3a2，①，再根据又-=1，②，由①②可得（b2-3a2）x02=a2（b2-3a2），可得c=2a，即可求出离心率．本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，属于基础题和易错题．5.答案：A解析：解：∵a tan B=2b sin（B+C）=2b sin A，∴由正弦定理可得：sin A tan B=2sin B sin A，∵sin A＞0，∴tan B=2sin B，∵B∈（0，π），sin B＞0，∴cos B=，∴B=．故选：A．由正弦定理化简已知等式可得sin A tan B=2sin B sin A，结合sin A＞0，可得tan B=2sin B，结合范围B∈（0，π），可得sin B＞0，可得cos B=，即可得解B的值．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.答案：B解析：解：由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n=12，由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50-12-12=26，故m=26算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，根据茎叶图可得本题借助茎叶图考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键7.答案：A解析：解：设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意得，解得b=125，a=20%，m=369．故选：A．设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意列出方程组，由此能求出结果．本题考查等比数列在生产生活中的实际应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．8.答案：A解析：解：f（-x）==-=-f（x），y=x是奇函数，函数f（x）（x∈[-π，π]）是奇函数，所以C、D不正确，f（π）==πe，所以f（x）经过（π，πe）点，故排除B，故选：A．通过奇偶性以及函数在y=x的单调性，即可判断选项本题考查函数的奇偶性与函数的单调性的综合应用，函数的图象的判断，考查分析问题解决问题的能力．9.答案：D解析：【分析】本题考查了异面直线所成的角及求法，考查了线面垂直、面面平行的性质，考查了学生的空间想象能力及作图分析能力．属于中档题.根据线面垂直的性质，可判断A正确；根据正方体中上下面平行，由面面平行的性质可证，线面平行，从而判断B正确；根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关，高也与EF的位置无关，可判断C正确；即可得出.【解答】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A 正确；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确；∵EF=，∴△BEF的面积为定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A-BEF的高，∴三棱锥A-BEF的体积为定值，故C正确；故选：D．10.答案：C解析：解：x的平均数=（4+6+8+10）==7，y的平均数=（3+5+6+8）===5.5，即回归方程过点（，），即（7，5.5）则5.5=0.8×7+得=-0.1，则=0.8x-0.1，则当x=14时，y=0.8×14-0.1=11.2-0.1=11.1，即该中学生的识图能力为11.1，故选：C．根据数据求出样本中心（，），代入求出=-0.1，然后令x=14进行求解即可．本题主要考查回归方程的应用，根据回归方程必过样本中心（，）的性质求出样本中心（，）是解决本题的关键．11.答案：B解析：解：如图，不妨设椭圆的方程为(a＞b＞0)，焦半径为c,椭圆与圆的四个交点为A,B,C,D,由题意知∠F1AF2=90°,∠AF2F1=60°.所以|AF2|=c,|AF1|=2c·sin60°=c.所以|AF1|+|AF2|=2a=(+1)c.所以e==-1.故选：B．设椭圆的两个焦点为F1，F2，圆与椭圆交于A，B，C，D四个不同的点，设|F1F2|=2c，所以|AF2|=c,|AF1|=2c·sin60°=c．由椭圆的定义和离心率公式可得答案.本题主要考查了椭圆的简单性质．特别是椭圆定义的应用．12.答案：B解析：【分析】本题考查了特值排除法、利用导数研究函数的最值．属中档题．先排除k=5，k=4，然后当k=3时，证明不等式恒成立，说明答案是k=3．【解答】解：当k=5，x=3时，f（x）=f（3）==1+ln2，==，∴f（x）＜，故k=5不成立；当k=4，x=3时，f（x）=f（3）=1+ln2＜=2，所以k=4也不成立；当k=3时，f（x）＞（x＞2）⇔1+ln（x-1）-（1-）×3＞0，令g（x）=1+ln（x-1）-3+，x＞2，则=-=，∴2＜x＜4时，＜0；x＞4时，＞0，∴g（x）在（2，4）上递减，在（4，+∞）上递增，∴g（x）min=g（4）=ln3-1＞0，∴k=3时，f（x）＞在（2，+∞）上恒成立，符合题意．故整数k的最大值为3．故选：B．13.答案：-2解析：解：∵角α的终边过点（3m，-2），∴tanα==-，若tan（π+α）==tanα，则-=，∴m=-2，故答案为：-2．由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得m的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．14.答案：解析：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=．故答案为：．先根据条件画出可行域，设z=ax+by，再利用几何意义求最值，将最大值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=ax+by，过可行域内的点（4，6）时取得最大值，从而得到一个关于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．15.答案：72解析：解：根据题意，分2步进行分析：①，小王准备把“量子卫星”作为其中的一个调查热点，但不作为第一个调查热点，则“量子卫星”可以安排在后面的三个位置，有3种安排方法，②，在剩下的4个热点中任选3个，安排在剩下的3个位置，有A43=24种安排方法，则有3×24=72种不同的安排方法；故答案为：72根据题意，分2步进行分析：①，由题目的限制条件分析易得“量子卫星”有3种安排方法，②，在剩下的4个热点中任选3个，安排在剩下的3个位置，本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素，属于基础题．16.答案：4解析：【分析】本题考查线面垂直的性质定理，直角三角形的勾股定理以及基本不等式的运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．由线面垂直的性质和三角形的勾股定理，设PA=x，AB=y，求得x，y的关系式，由基本不等式可得x+y的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求值．【解答】解：PC⊥平面ABC，可得PC⊥AC，PC⊥BC，设PA=x，AB=y，在直角三角形PAC中，可得：PC2=PA2-AC2=x2-4，在直角三角形ABC中，可得：BC2=BA2-AC2=y2-4，在直角三角形PBC中，可得：PB2=PC2+BC2，即为24=x2-4+y2-4，即有x2+y2=32，由≥（）2，则x+y≤==8，当且仅当x=y=4时，取得等号，即取得最大值8，此时PC==2，BC==2，则三棱锥P-ABC的体积为V===4．故答案为：4．17.答案：解：（1）设数列{b n}的公差为d，∵，∴q2+3d=18，6+d=q2，q=3，d=3•…（4分），b n=3n，•…（6分）（2）由题意得：，•…（12分）．解析：（1）利用等差数列与等比数列的关系式，列出方程，即可求出通项公式．（2）表示出c n，利用裂项求和，求解即可．本题考查数列的通项公式以及求和的方法的应用，考查计算能力．18.答案：解：（Ⅰ）a=×[1-（0.01+0.015+0.03+0.015+0.005）×10]=0.025，=45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.3+85×0.15+95×0.05=69．（Ⅱ）由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40，不获奖的人数为160，2×2列联表如下：女生男生总计获奖53540不获奖45115160总计50150200因为K2=≈4.167＞3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下能认为“获奖与女生，男生有关．”解析：（Ⅰ）根据概率的性质知所有矩形的面积之和等于1列式可解得；（Ⅱ）由频率分布直方图知样本中获奖的人数为40，不获奖的人数为160，从而可得2×2列联表，再计算出K2，与临界值比较可得．本题考查了独立性检验，属中档题．19.答案：解：（Ⅰ）因为a2=4，b2=2，所以，所以离心率．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），若，则直线l的方程为，由，得3x2+4x-4=0，解得，设A（0，1），则．（Ⅲ）法一：设点C（x3，y3），因为P（x1，y1），B（0，-2），所以，又点P（x1，y1），C（x3，y3）都在椭圆上，所以，解得或，所以或．法二：设C（x3，y3），显然直线PB有斜率，设直线PB的方程为y=k1x-2，由，得，所以，又，解得或，所以或，所以或．解析：（Ⅰ）利用已知条件求出a，c，然后求解椭圆的离心率即可．（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l的方程为，与椭圆联立，求出坐标，然后求解三角形的面积．（Ⅲ）法一：设点C（x3，y3），P（x1，y1），B（0，-2），结合椭圆方程求出P（x1，y1），然后求解斜率．法二：设C（x3，y3），显然直线PB有斜率，设直线PB的方程为y=k1x-2，与椭圆联立，利用韦达定理求出P的坐标，求解斜率即可．本题考查椭圆的简单性质以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．20.答案：解：（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=CB，∴∠BAD=∠ABC=60°，∴∠ADC=∠BCD=120°，∵AD=DC=1，∴∠CAD=∠ACD=30°，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∵平面ACEF⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，∴BC⊥平面ACFE．解：（Ⅱ）在△ADC中，AC2=AD2+DC2-2AD•DC•cos∠ADC=3，∴AC=，分别以CA，CB，CF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设CF=h，则C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），D（，-，0），F（0，0，h），则=（，-，0），=（0，-1，h），设平面BDF的法向量=（x，y，z），则，即，取z=1，得=（），平面BCF的一个法向量=（1，0，0），∵二面角C-BF-D的平面角的余弦值为，∴cos＜＞===，解得h=，即CF=，∴六面体ABCDEF体积为：V ABCDEF=V B-ACFE+V D-ACFE=+==．解析：（Ⅰ）推导出∠BAD=∠ABC=60°，∠ADC=∠BCD=120°，∠CAD=∠ACD=30°，∠ACB=90°，从而BC⊥AC，由此能证明BC⊥平面ACFE．（Ⅱ）分别以CA，CB，CF为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出CF=，六面体ABCDEF体积为：V ABCDEF=V B-ACFE+V D-ACFE，由此能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查六面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：（Ⅰ）当b=0时，f′（x）=2a-=，（x＞0），当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立．∴函数f（x）在（0，+∞）单调递减；当a＞0时，由f′（x）＜0得0＜x＜，由f′（x）＞0得x＞，∴f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞），综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间，当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）．（II）证明：∵x＞y＞e-1，∴x+1＞y+1＞e，即ln（x+1）＞ln（y+l）＞1，欲证e x ln（y+1）＞e y ln（x+1）．即证明＞，令g（x）=，则g′（x）=，显然函数h（x）=ln（x+1）-在（e-1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞l-＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（e-l，+∞）上单调递增，∴x＞y＞e-1时，g（x）＞g（y），即＞，∴当x＞y＞e-1时，e x ln（y+1）＞e y ln（x+1）成立．解析：（Ⅰ）求函数的导数，结合函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（Ⅱ）将不等式进行等价转化为＞，构造函数g（x）=，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的单调性证明g（x）＞g（y）即可．本题主要考查导数的综合应用，结合函数的单调性和导数之间的关系，以及利用构造函数，将不等式进行转化是解决本题的关键．22.答案：解：（1）曲线C：（a为参数），化为普通方程为：，由，得ρcosθ-ρsinθ=-2，所以直线l的直角坐标方程为x-y+2=0．（2）直线l1的参数方程为（t为参数），代入，化简得：，得t1t2=-1，∴|MA|•|MB|=|t1t2|=1．解析：本题考查三种方程的转化，考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，属于中档题．（1）利用三种方程的转化方法，求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）利用参数的几何意义，即可求点M到A，B两点的距离之积．23.答案：解：（1）当a=1时，f（x）=5-|x+1|-|x-2|=．当x≤-1时，f（x）=2x+4≥0，解得-2≤x≤-1，当-1＜x＜2时，f（x）=2≥0恒成立，即-1＜x＜2，当x≥2时，f（x）=-2x+6≥0，解得2≤x≤3，综上所述不等式f（x）≥0的解集为[-2，3]，（2）∵f（x）≤1，∴5-|x+a|-|x-2|≤1，∴|x+a|+|x-2|≥4，∴|x+a|+|x-2|=|x+a|+|2-x|≥|x+a+2-x|=|a+2|，∴|a+2|≥4，解得a≤-6或a≥2，故a的取值范围（-∞，-6]∪[2，+∞）．解析：本题考查了绝对值的不等式和绝对值的几何意义，属于中档题. （1）去绝对值，化为分段函数，求出不等式的解集即可；（2）由题意可得|x+a|+|x-2|≥4，根据据绝对值的几何意义即可求出.。
内蒙古呼伦贝尔市海拉尔区2020年高考一模理科数学试题(含答案)
7
2
AM 7
18.解（1）由题意得下表：
男
女
合计
冰雪迷
40
20
60
非冰雪迷
20
20
40
合计
60
40
100
理数答案
1
······ 3 分
k 2 的观测值为 100(800 400)2
25
．
2.706
60 40 60 40 9
·······6 分
所以有 90% 的把握认为该校教职工是“冰雪迷”与“性别”有关．
A． 1 3
B． 1 3
C． 1 2
D． 1 2
4.在精准扶贫工作中，有 6 名男干部、5 名女干部，从中选出 2 名男干部、1 名女干部组成一个扶贫小组分
到某村工作，则不同的选法共有
A．60 种
B．70 种
C．75 种
D．150 种
5. 过抛物线 y2＝4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|＝3，则直线 AB 的斜
4
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分. 22.[选修 4－4：极坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程
x y
1 cos sin
(
为参数，0
）．以
O
为极点，x
轴的非
负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线 C 的极坐标方程；
冰雪迷
男女 20
迷”与“性别”有关；
非冰雪迷 20
（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取 6 名，再从这 6 名“冰
2020年内蒙古呼伦贝尔市高考数学模拟试卷2(一) (含答案解析)
2020年内蒙古呼伦贝尔市高考数学模拟试卷2（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={x|3−2x <−1}，B ={x|x(2x −5)≤0}，则A ∪B =( )A. [25,2)B. (2,52]C. [0,+∞)D. [52,+∞)2. 设z =i(25−15i)，则|z|= ( )A. √55B. 2√55C. 15 D. 125 3. 在等差数列{a n }中，a 2=−6，a 8=6，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A. S 4<S 5B. S 4=S 5C. S 6<S 5D. S 6=S 5 4. 已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAC =60°，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2B. 4−2√3C. −2D. 4+2√35. 已知双曲线的方程为x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为√53c(其中c 为双曲线的半焦距长)，则该双曲线的离心率为( )A. 32B. √52 C. 3√52D. 526. 已知函数f(x)={log 3x −1,x ≥012019,x <0，则f(f(2))=( )A. 2019B. 12019 C. 2D. 17. 在正方形内任取一点，则该点在正方形的内切圆内的概率为( )A. π12B. π4C. π3D. π28. 已知函数f(x)=cos(2x −φ)−√3sin(2x −φ)(|φ|<π2)的图象向右平移π12个单位后关于y 轴对称，则f(x)在区间[−π2,0]上的最小值为( )A. −1B. √3C. −√3D. −29. 过抛物线x =14y 2的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 是坐标原点，抛物线的准线与x 轴交于点M ，若|AF|=4，则△AMB 的面积为( )A. 5√33B. 7√33C. 8√33D. 3√310. 函数f (x )=1x +ln |x |的图像大致为( )．A.B.C.D.11. 一个高为2的三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积( )A. 12πB. 9πC. 4√3πD. √3π12. 若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为( )A. 7B. 10C. 12D. 34二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 二项式(x 2−2x )6的展开式中的常数项是_______．14. 已知实数x 、y 满足{x ≥2x +y −6≤02y −x ≥0，则z =y+1x−6的最大值为____．15. 甲、乙、丙、丁四人带着各自的创意作品去参赛，已知一等奖会是他们中1人获得，参赛结果出来之前，对于获得一等奖的作品． 甲说：会是我；乙说：不会是甲； 丙说：不会是丁；丁说：不会是我．若这4人只有1人的说法正确．据此判断，作品获得一等奖的人是________．16. 已知等比数列{a n }的各项都为正数，满足a 1=2，a 7=4a 5，设b n =log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a n ，则数列{1b n}的前2019项和S 2019______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 设△ABC 的内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，且a +b =√3asinC +ccosA ．(Ⅰ)求角C；(Ⅱ)设D为BC的中点，且AD=2，求△ABC面积的最大值．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=3，AC=4，AA1=4．(1)证明：B1C⊥AC1；(2)若BP=1，求二面角P−A1C−A的余弦值．19.已知某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，在收费10元的基础上，每超过1kg(不足1kg，按1kg计算)需再收5元．该快递公司承揽了一个工艺品厂家的全部玻璃工艺品包裹的邮寄事宜，该厂家随机统计了100件这种包裹的两个统计数表如下：表1表2(Ⅰ)估计该快递公司对每件包裹收取快递费的平均值；(Ⅱ)将包裹重量落入各组的频率视为概率，该工艺品厂家承担全部运费，每个包裹只有一件产品，如果客户收到有损坏品的包裹，该快递公司每件按其出厂价的90％赔偿给厂家．现该厂准备给客户邮寄重量在区间(2,3]和(3,4]内的工艺品各1件，求该厂家这两件工艺品获得利润的分布列和期望．20. 已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)左顶点M(−2,0)，离心率为√22． (1)求椭圆Γ的方程；(2)过N(1,0)的直线AB 交椭圆Γ于A 、B 两点，当MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值时，求△MAB 面积．21. 已知函数f(x)=e mx −lnx −2．(1)若m =1，证明：存在唯一实数t ∈(12,1)，使得f′(t)=0； (2)求证：存在0<m <1，使得f(x)>0．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =costy =sin 2t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sinθ−acosθ)=12(a ∈R)． (1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程； (2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同交点，求a 的取值范围．23. 已知函数f(x)=|x +1|+|2x −4|．(Ⅰ)解关于x 的不等式f(x)<9；(Ⅱ)若直线y =m 与函数y =f(x)的图象围成一个三角形，求实数m 的取值范围，并求围成的三角形面积的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：A ={x|3−2x <−1}，B ={x|x(2x −5)≤0}， 即A ={x|x >2},B ={x|0≤x ≤52}， ∴A ∪B =[0,+∞)． 故选：C ．本题主要考查集合的并集，是基础题．解出集合A ，B ，然后根据并集的定义求解即可．2.答案：A解析： 【分析】本题主要考查复数的计算和复数模的计算.先化简复数再求模． 【解答】解： z =15+25i ，则|z |=√(15)2+(25)2=√55．故选A ．3.答案：B解析： 【分析】本题主要考查等差数列的求和，属于一般题． 解析：解：{a 1+d =−6a 1+7d =6⇒{a 1=−8d =2, S 4=4a 1+4×3d =−20, S 5=5a 1+5×42d =−20， S 6=6a 1+6×52d =−18，故S 4=S 5． 综上答案为B ．4.答案：A解析：解：∵在菱形ABCD 中，边长为2，∠BAC =60°， ∴AC =BC =2，∠ACB =60°，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅cos60°=2×2×12=2， 故选：A ．根据菱形的性质和向量的数量积公式计算即可本题考查了菱形的性质和向量的数量积公式，属于基础题5.答案：A解析：解：双曲线的一个焦点为(c,0)，一条渐近线方程为bx −ay =0， 所以焦点到渐近线的方程为22=√53c ，整理得b 2=54a 2，所以c 2=94a 2，即c =32a ， 所以离心率e =32， 故选：A ．确定双曲线的焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，及双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为√53c ，建立方程，即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式，属于中档题．6.答案：B解析：解：∵函数f(x)={log 3x −1,x ≥012019,x <0，∴f(2)=log 32−1，∴f(f(2))=f(log 32−1)=12019． 故选：B ．推导出f(2)=log 32−1，从而f(f(2))=f(log 32−1)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：B解析：解：设圆的半径为r ，则正方形的边长为2r ∴圆的面积为πr 2，正方形的面积为4r 2 以面积为测度，可得点P 落在⊙O 内的概率为πr 24r 2=π4。
2020年内蒙古呼伦贝尔市高考(理科)数学一模测试试卷 解析版
2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．若A＝{0，1，2}，B＝{x＝2a，a∈A}，则A∪B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2，4}D．{1，2，4}2．复数＝（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．在△ABC中，＝，＝2，＝，则λ+μ＝（）A．B．C．D．4．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种5．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则直线AB的斜率为（）A．B．C．2D．6．等比数列{a n}每项都是正数，设其前n项和为S n，若满足q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，则S5＝（）A．31B．36C．42D．487．函数的图象大致是（）A．B．C．D．8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.19．把函数y＝sin（x+）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（0，0）10．在棱长均相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF＝FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1；④异面直线AC1与CD所成角为60°．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．411．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），以点P（b，0）为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MPN＝90°，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．已知，若方程f（x）﹣2ax＝a﹣1有唯一解，则实数a的取值范围是（）A．{﹣8}∪（1，+∞）B．C．D．{﹣32}∪[1，2]∪（4，+∞）二、填空题13．（x+y）（2x﹣y）5的展开式中x3y3的系数为．（用数字填写答案）14．设实数x和y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值为．15．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是，，C（0，1，0），，则该四面体的外接球的体积为．16．数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，满足a1＝2，3S n＝（n+m）a n（n∈N*，m∈R），且a n b n＝n+1．若任意n∈N*，λ≤T2n﹣T n成立，则实数λ的取值范围为．三、解答题17．在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，已知a＝2，c＝2，cos C＝﹣．（1）求A；（2）设M为BC中点，求AM的长．18．万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：男女合计冰雪迷20非冰雪迷20合计（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全2×2列联表；并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望．附表及公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828，n＝a+b+c+d19．在如图所示的四棱锥F﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60°，FC⊥平面ABCD，AC⊥BF，CB＝CD＝1，（1）求证：AC⊥平面BCF；（2）已知二面角F﹣BD﹣C的余弦值为，求直线AF与平面DFB所成角的正弦值．20．已知点M（x0，y0）为椭圆C：+y2＝1上任意一点，直线l：x0x+2y0y＝2与圆（x ﹣1）2+y2＝6交于A，B两点，点F为椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；（Ⅱ）求证：直线l与椭圆C相切；（Ⅲ）判断∠AFB是否为定值，并说明理由．21．已知函数．（1）当a＝1时①求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；②定义其中n∈N*，求S2020；（2）当a≠2时，设t（x）＝f（x）﹣ln（4x﹣x2），g（x）＝xe1﹣x（e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i＝1，2），使得t（x i）＝g（x0）成立，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：极坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若A＝{0，1，2}，B＝{x＝2a，a∈A}，则A∪B＝（）A．{0，1，2}B．{0，1，2，3}C．{0，1，2，4}D．{1，2，4}【分析】求出A，B，由此利用并集的定义能求出A∪B．解：∵A＝{0，1，2}，B＝{x＝2a，a∈A}＝（1，2，4），则A∪B＝（0，1，2，4）故选：C．2．复数＝（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i【分析】将分子分线同乘2+i，整理可得答案．解：＝＝＝i，故选：A．3．在△ABC中，＝，＝2，＝，则λ+μ＝（）A．B．C．D．【分析】由平面向量的基本定理得：P为△ABC的重心，则＝＝（）＝﹣+，所以，，所以，得解．解：由在△ABC中，＝，＝2，则P为△ABC的重心，则＝＝（）＝﹣+，所以，，所以，故选：A．4．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有（）A．60种B．70种C．75种D．150种【分析】根据题意，分别计算“从6名男干部中选出2名男干部”和“从5名女干部中选出1名女干部”的取法数，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，从6名男干部中选出2名男干部，有C62＝15种取法，从5名女干部中选出1名女干部，有C51＝15种取法，则有15×5＝75种不同的选法；故选：C．5．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则直线AB的斜率为（）A．B．C．2D．【分析】根据抛物线的定义，结合|AF|＝3，求出A的坐标，然后求出AF的斜率即可．解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，设A（x，y），则|AF|＝x+1＝3，故x＝2，此时y＝，即A（2，）．则直线AF的斜率k＝．故选：D．6．等比数列{a n}每项都是正数，设其前n项和为S n，若满足q＞1，a3+a5＝20，a2a6＝64，则S5＝（）A．31B．36C．42D．48【分析】利用等比中项的性质求得a3a5＝a2a6，进而根据a3+a5＝20，构造出一元二次方程求得a3和a5，则a1和q可求得，最后利用等比数列的求和公式求得答案．解：a3a5＝a2a6＝64，∵a3+a5＝20，∴a3和a5为方程x2﹣20x+64＝0的两根，∵a n＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5＝16，a3＝4，∴q＝＝＝2，∴a1＝＝＝1，∴S5＝＝31．故选：A．7．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，f（x）→0，排除B，由此得答案．解：由，可知当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，排除A，C；当x→+∞时，由指数爆炸可知e x＞x3，则→0，排除B．故选：D．8．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.1【分析】把已知熟记代入m2﹣m1＝lg，化简后利用对数的运算性质求解．解：设太阳的星等是m1＝﹣26.7，天狼星的星等是m2＝﹣1.45，由题意可得：，∴，则．故选：A．9．把函数y＝sin（x+）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（）A．（，0）B．（，0）C．（，0）D．（0，0）【分析】由条件利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．解：把函数y＝sin（x+）图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得函数y＝sin（x+）的图象；再将图象向右平移个单位，可得y＝sin[（x﹣）+]＝sin x的图象，令x＝kπ，求得x＝2kπ，k∈Z，那么所得图象的对称中心为（2kπ，0）k∈Z，故选：D．10．在棱长均相等的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：①AC1⊥BC；②AF＝FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1；④异面直线AC1与CD所成角为60°．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F是AC1的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线AC1与CD所成角判断④的正误．解：不妨设棱长为：2，对于①连结AB1，则AB1＝AC1＝2，∴∠AC1B1≠90°即AC1与B1C1不垂直，又BC∥B1C1，∴①不正确；对于②，连结AD，DC1，在△ADC1中，AD＝DC1＝，而DF⊥AC1，∴F是AC1的中点，AF＝FC1；∴②正确；对于③由②可知，在△ADC1中，DF＝，连结CF，易知CF＝，而在Rt△CBD中，CD ＝，∴DF2+CF2＝CD2，即DF⊥CF，又DF⊥AC1，∴DF⊥面ACC1A1，∴平面DAC1⊥平面ACC1A1，∴③正确；以A1为坐标原点，平面A1B1C1上过A1点垂直于A1C1的直线为x轴，A1C1所在的直线为y轴，A1A所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系；A1（0，0，0），B1（，1，0），C1（0，2，0），A（0，0，2），C（0，2，2），D （，1，1）；＝（0，2，﹣2），＝（，﹣1，﹣1）；异面直线AC1与CD所成角为θ，cosθ＝＝0，故θ＝90°．④不正确．故选：B．11．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0），以点P（b，0）为圆心，a为半径作圆P，圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，若∠MPN＝90°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用圆P与双曲线C的一条渐近线交于M，N 两点，若∠MPN＝90°，列出方程，求解离心率即可．解：不妨设双曲线C的一条渐近线bx﹣ay＝0与圆P交于M，N，因为∠MPN＝90°，所以圆心P到bx﹣ay＝0的距离为：＝a，即2c2﹣2a2＝ac，e＝＞1，解得e＝．故选：A．12．已知，若方程f（x）﹣2ax＝a﹣1有唯一解，则实数a的取值范围是（）A．{﹣8}∪（1，+∞）B．C．D．{﹣32}∪[1，2]∪（4，+∞）【分析】求出f（x）的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出a的范围即可．解：令﹣1＜x＜0，则0＜x+1＜1，则f（x+1）＝，故f（x）＝，如图示：由f（x）﹣2ax＝a﹣1，得f（x）＝a（2x+1）﹣1，函数y＝a（2x+1）﹣1恒过A（﹣，﹣1），由B（1，），C（0，1），可得k AB＝＝1，k OA＝2，k AC＝＝4，若方程f（x）﹣2ax＝a﹣1有唯一解，则1＜2a≤2或2a＞4，即＜a≤1或a＞2；当2ax+a﹣1＝﹣1即图象相切时，根据△＝0，9a2﹣8a（a﹣2）＝0，解得a＝﹣16（0舍去），则a的范围是{﹣16}∪（，1]∪（2，+∞），故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（x+y）（2x﹣y）5的展开式中x3y3的系数为40．（用数字填写答案）【分析】由二项式定理及分类讨论思想得：（2x﹣y）5的展开式的通项为T r+1＝（2x）5﹣r（﹣y）r，则（x+y）（2x﹣y）5的展开式中x3y3的系数为﹣22+＝40，得解．解：由（2x﹣y）5的展开式的通项为T r+1＝（2x）5﹣r（﹣y）r，则（x+y）（2x﹣y）5的展开式中x3y3的系数为﹣22+＝40，故答案为：40．14．设实数x和y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值为14．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z＝2x+3y对应的直线进行平移，可得当x＝4且y＝2时，z＝2x+3y取得最小值．解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（4，2），B（4，6），C（6，4）设z＝F（x，y）＝2x+3y，将直线l：z＝2x+3y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最小值＝F（4，2）＝14故答案为：1415．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是，，C（0，1，0），，则该四面体的外接球的体积为．【分析】由题意，四面体的外接球就是长方体的外接球，其直径为长方体的对角线OD，求出半径，即可求出四面体的外接球的体积解：由题意，四面体的外接球就是长方体的外接球，其直径为长方体的对角线OD＝＝3，可得四面体的外接球的半径R＝，可得四面体的外接球的体积为V＝π•（）3＝．故答案为：．16．数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}的前n项和为T n，满足a1＝2，3S n＝（n+m）a n（n∈N*，m∈R），且a n b n＝n+1．若任意n∈N*，λ≤T2n﹣T n成立，则实数λ的取值范围为（﹣∞，]．【分析】当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，可得到＝，再用累乘法求出a n，再求出b n，根据定义求出T n，再借助单调性求解．解：当n＝1时，3S1＝（1+m）a1＝3a1，则m＝2，3S n＝（n+2）a n，当n≥2时，3S n﹣1＝（n+1）a n﹣1，∴3a n＝（n+2）a n﹣（n+1）a n﹣1，∴＝，∴a n＝a1••…＝2×××…•＝n（n+1），∴b n＝＝，∴T2n﹣T n＝++…+≥（当且仅当n＝1时等号成立），∴λ≤，故答案为：（﹣∞，]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，已知a＝2，c＝2，cos C＝﹣．（1）求A；（2）设M为BC中点，求AM的长．【分析】（1）直接根据特殊角的三角函数值求出C，结合正弦定理求出A；（2）结合第一问的结论以及余弦定理即可求解．解：（1）∵△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c；a＝2，c＝2，cos C＝﹣，∴C＝120°；∴sin C＝，∵＝⇒sin A＝＝⇒A＝30°；（2）由（1）得：B＝30°，∴AC＝BC＝2；∴CM＝1；∴AM2＝AC2+CM2﹣2AC•CM•cos∠ACM＝22+12﹣2×2×1×cos120°＝7；∴AM＝．18．万众瞩目的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬”）于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图频数分布直方图：男女合计冰雪迷20非冰雪迷20合计（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全2×2列联表；并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，求的ξ分布列与数学期望．附表及公式：P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828，n＝a+b+c+d【分析】（1）根据频率分布直方图补全2×2列联表，求出k2≈2.778＞2.706，从而有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，则抽中男教工：6×＝4人，抽中女教工：6×＝2人，从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解：（1）将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，根据频率分布直方图补全2×2列联表：男女合计冰雪迷402060非冰雪迷202040合计6040100＝≈2.778＞2.706，∴有90%的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关．（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，则抽中男教工：6×＝4人，抽中女教工：6×＝2人，从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座．记其中女职工的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ012P数学期望E（ξ）＝＝．19．在如图所示的四棱锥F﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60°，FC⊥平面ABCD，AC⊥BF，CB＝CD＝1，（1）求证：AC⊥平面BCF；（2）已知二面角F﹣BD﹣C的余弦值为，求直线AF与平面DFB所成角的正弦值．【分析】（1）由已知可得CF⊥AC，结合AC⊥BF，由直线与平面垂直的判定可得AC ⊥平面BCF；（2）由（1）知，AC⊥CB，则CA，CB，CF两两互相垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设F（0，0，a），由二面角F﹣BD﹣C的余弦值为求解a，再由空间向量求解直线AF与平面DFB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵FC⊥平面ABCD，∴CF⊥AC，又AC⊥BF，BF∩CF＝F，∴AC⊥平面BCF；（2）解：由（1）知，AC⊥CB，则CA，CB，CF两两互相垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由CB＝CD＝1，∠ABC＝60°，得C（0，0，0），A（，0，0），B（0，1，0），D（，﹣，0），设F（0，0，a），则，，设平面BDF的一个法向量为，由，取x＝，得．平面BCD的一个法向量为．由cos＜＞＝＝，解得a＝1．∴，又，∴直线AF与平面DFB所成角的正弦值为|cos＜＞|＝＝．20．已知点M（x0，y0）为椭圆C：+y2＝1上任意一点，直线l：x0x+2y0y＝2与圆（x ﹣1）2+y2＝6交于A，B两点，点F为椭圆C的左焦点．（Ⅰ）求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；（Ⅱ）求证：直线l与椭圆C相切；（Ⅲ）判断∠AFB是否为定值，并说明理由．【分析】（Ⅰ）根据椭圆的离心率公式即可求出，（Ⅱ）根据判别式即可证明．（Ⅲ）根据向量的数量积和韦达定理即可证明，需要分类讨论，解：（Ⅰ）由题意可得a＝，b＝1，则c＝＝1，∴椭圆C的离心率e＝＝，左焦点F的坐标（﹣1，0），证明：（Ⅱ）由题意可得+y02＝1，当y0＝0时，直线l的方程为x＝或x＝﹣，直线l与椭圆相切，当y0≠0时，由可得（2y02+x02）x2﹣4x0x+4﹣4y02＝0，即x2﹣2xx0+2﹣2y02＝0，∴△＝（﹣2x0）2﹣4（2﹣2y02）＝4x02+8y02﹣8＝0，故直线l与椭圆C相切．（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），当y0＝0时，x1＝x2，y1＝﹣y2，x1＝±，∴•＝（x1+1）2﹣y12＝（x1+1）2﹣6+（x1﹣1）2＝2x12﹣4＝0，∴⊥，即∠AFB＝90°当y0≠0时，由，（y02+1）x2﹣2（2y02+x0x）x+2﹣10y02＝0，则x1+x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝x1x2﹣（x1+x2）+＝，∴•＝（x1+1，y1）•（x2+1，y2）＝x1x2+x1+x2+1+y1y2＝++＝＝0，∴⊥，即∠AFB＝90°综上所述∠AFB为定值90°．21．已知函数．（1）当a＝1时①求函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程；②定义其中n∈N*，求S2020；（2）当a≠2时，设t（x）＝f（x）﹣ln（4x﹣x2），g（x）＝xe1﹣x（e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i＝1，2），使得t（x i）＝g（x0）成立，求a的取值范围．【分析】（1）①a＝1时，+x﹣1，f′（x）＝，利用导数的几何意义能求出函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程．②由+x﹣1，得f（x）+f（4﹣x）＝2，由此能求出S2020＝f（）+f（）+…+f（）的值．（2）根据若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x i（i＝1，2），使得t（x i）＝g（x0）成立，得到函数t（x）在区间（0，e]上不单调，从而求得a的取值范围．解：（1）①a＝1时，+x﹣1，f′（x）＝+1＝，＝0，f（2）＝ln1+2﹣1＝1，∴函数f（x）在（2，f（2））处的切线方程为y﹣1＝0，即y＝1．②∵，其中n∈N*，∴S2020＝f（）+f（）+…+f（），∵+x﹣1，∴f（x）+f（4﹣x）＝ln+x﹣1+ln+4﹣x﹣1＝2，∴S2020＝f（）+f（）+…+f（）＝2×4039+f（2）＝8078+1＝8079．（2）∵t（x）＝f（x）﹣ln（4x﹣x2）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）＝xe1﹣x，g'（x）＝（1﹣x）e1﹣x，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，又因为g（0）＝0，g（1）＝1，g（e）＝e2﹣e＞0，∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．t′（x）＝2﹣a﹣＝，当x＝时，t′（x）＝0，t（x）在x＝处取得最小值t（）＝a﹣2ln，由题意知，t（x）在（0，e]上不单调，所以0＜，解得a＜，所以对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i＝1，2），使得t（x i）＝g（x0）成立，当且仅当a满足条件t（）≤0且f（e）≥1，∵t（1）＝0，∴t（）恒成立，由t（e）≥1，解得a≤，综上所述，a的取值范围是（﹣∞，）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：极坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数）．以O为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【分析】（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2＝1．把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入化简即可得到此圆的极坐标方程．（II）由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）＝3，射线OM：θ＝．可得普通方程：直线l，射线OM．分别与圆的方程联立解得交点，再利用两点间的距离公式即可得出．解：（I）圆C的参数方程（φ为参数）．消去参数可得：（x﹣1）2+y2＝1．把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入化简得：ρ＝2cosθ，即为此圆的极坐标方程．（II）如图所示，由直线l的极坐标方程是ρ（sinθ+）＝3，射线OM：θ＝．可得普通方程：直线l，射线OM．联立，解得，即Q．联立，解得或．∴P．∴|PQ|＝＝2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）＝|x﹣1|+|x+3|＝，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立．解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）＝|x﹣1|+|x+3|＝，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＝（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）＝（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．。
内蒙古2020年高考文科数学模拟试题及答案(二)
②根据题意得2×2列联表：
满意型
需改进型
合计
女性
15
5
20
男性
5
15
20
合计
20
20
40
由于 ，
查表得 ，
所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关。
20.（1）设 ，则 内，
由余弦定理得 ，化简得 ，解得
故 ，得
所以椭圆 的标准方程为
②“∃x0∈R，使得x －x0>0”的否定是：“∀x∈R，均有x2－x<0”；
③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；
④p：a∈{a，b，c}，q：{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题．其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答。）
三、解答题
17.（1）∵ ，∴ .
∴ ，
∴ .
∵ ，∴ ，∴ ，∴ .
（2）∵ 的面积为 ，∴ ，∴ .
由 ， 及 ，得 ，∴ .
又 ，∴
故其周长为 .
18.（1）证明：在左图中，∵四边形 是菱形， ， 是 的中点，
∴ ，
故在右图中， ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，
所以 .
内蒙古2020年高考文科数学模拟试题及答案
（二）
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
呼和浩特2020届高三一模理数试题及答案解析
迫注意事项：1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号涂写在答题卡上．本试卷满分150分，考试时间120分钟．2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3. 答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回第I卷一、单项选择题（本题共i2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知集合A=lxE Z I O�x�3 f ,B={xl (x+l)(x-2)冬O},则AnB =A.l0,1,2/ • ·• B .!I,2/· C. 国O�x 冬2/ D.国-1冬x:::::;3f 2. 若复数z=cosa +isin a , 则当'lT <a<'lT时复数z在复平面内对应的点在2 A.第一象限 B.第二象限C .第三象限 D.第四象限3.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》问题的调查问卷统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个）由此可知，以下结论错误的是．． A回答该问卷的总人数不可能是100个B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶＂的入数最多书兄牛贮什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类心公益广告＠学校要求＠学校团委会宣传＠垃圾分类运输环节得到改善＠设置分类明确的垃圾桶'c 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少°争D 回答该间卷的受访者中喝；择“公益广告”的人数比选择“学校要求＂的少8个-·---4. 已知I a 1=1, I b 1=2, 向量a ,b的夹角为严＿3，则了国可）＝A.v T-1 B.1 C.2 D. V 了+l 5. 记S n 为数列(a n }的前n 项和，且S n =-2a "+l,则况的值为, '- 6.A 。
2020年内蒙古呼和浩特高三一模数学试卷(理科)
则
．
13
（2）
， 的取值为 ， ，
计算
，
，
所以
，
又
，
，
所以
，
即
．
设
，
，
，
当
时，
，
在 上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减．
且
，
，
所以 的取值大于等于 时采用逐份检验方式好．
20.（ 1 ）
．
（ 2 ）证明见解析；
．
解析:
（ 1 ）由题意
，
设
，则
，
∵
，
∴
，
又
，解得
，
，
∴椭圆 的方程为
．
（ 2 ）设 的方程为
，给出下列四个结论：
①函数 的最小正周期是 ；
②函数 在区间
内是减函数；
③函数 的图象关于直线
对称；
④函数 的图象可由函数
的图象向左平移 个单位得到．
其中所有正确结论的编号是（ ）．
A. ①②
B. ①③
C. ①②③
D. ①③④
8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：已知 且 是整数，则满足能被 除余 且被 除余 的所有 的取值的和为（ ）．
，平面
平面
，
平面
，
，
所以
平面
，
以 为原点，建立空间直角坐标系
如图所示．
在 ∴ 则 设平面
中，求得
，
，
，
，
的法向量
，
，
．
．
则
，即
2020年呼伦贝尔市数学高考第一次模拟试卷含答案
2020 年呼伦贝尔市数学高考第一次模拟试卷含答案一、选择题a(a b)2x的图象是（1．定义运算a b，则函数 f (x) 1）．b(a b)A．B．C．D．2．111 x6x2 的系数为（）x2睁开式中A． 15B．20r C． 30rD．35r r r是（）3．已知平面向量a =（ 1，－ 3），b =（ 4，－ 2），a b与 a 垂直，则A．2B． 1C．－ 2D．－ 14．若知足sin A cosB cosC，则ABC 为（）a b cA．等边三角形B．有一个内角为 30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一个内角为 30°的等腰三角形5．甲、乙、丙三人到三个不一样的景点旅行，每人只去一个景点，设事件 A 为“三个人去的景点各不同样”，事件 B 为“甲单独去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则P(A | B)等于（）4B．21D．1A．9C．3926．数列2,5,11,20x，47 (x)等于（），中的A． 28B．32C． 33D．277．以下各组函数是同一函数的是（）① f x2x3与 f x x 2x ； f x2x 3与y x 2x ② f x x 与g x x2；③ f x0122x 1与 g t2x 与g x0；④ f x x t 2t 1 ．xA．① ②B．① ③C．③ ④D．① ④8．圆 C1： x2+y2＝ 4 与圆 C2： x2+y2﹣ 4x+4y﹣ 12＝ 0 的公共弦的长为（）A．2B．3C．2 2D．3 2 9．甲、乙、丙，丁四位同学一同去问老师咨询成语比赛的成绩。
老师说：你们四人中有两位优异，两位优异，我此刻给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我仍是不知道我的成绩，依据以上信息，则（）A．乙、丁能够知道自己的成绩B．乙能够知道四人的成绩C．乙、丁能够知道对方的成绩10．下表供给了某厂节能降耗技术改造后在生产D．丁能够知道四人的成绩A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，依据表中供给的数据，求出y 对于x 的线性回归方程为y0.7x0.35 ，则以下结论错误的选项是（）x3456 y 2.5t4 4.5A．产品的生产能耗与产量呈正有关B．回归直线必定过（4.5,3.5）C．A产品每多生产 1 吨，则相应的生产能耗约增添0.7 吨D．t的值是 3.15ABC中，AB=2，AC=3uuur uuur1则BC=______11．在△，AB BCA．3B．7C．2D．23 12．在等比数列a n中， a44，则 a2 a6（）A．4B． 16C．8D．32二、填空题13．若三点A( 2,3), B(3,2),C( 1,m) 共线，则m的值为．214．i是虚数单位，若复数 1 2i a i是纯虚数，则实数a的值为.15．若函数f ( x) 1 x3 1 x22ax在 2 ,上存在单一增区间，则实数 a 的取值323范围是 _______.16．等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB ，二面角 C AB D 的余弦值为3， M ，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM ，AN 所成角的余弦值等于．317．如图，长方体ABCD A1B1C1 D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E-BCD 的体积是 _____.18． 在体 9 的斜三棱柱ABC — A 1B 1C 1 中， S 是 C 1C 上的一点， S — ABC 的体 2， 三棱 S — A 1B 1C 1 的体 ___．19． 如 ，已知 P 是半径 2， 心角AB 上一点，uuuv uuuv 的一段 弧 AB 2BC ，uuuv uuuv3PC PA 的最小 _______．20． 等比数列an 足 a +a =10， a +a =5， a a ⋯a 的最大．1 3241 2n三、解答题21． 已知数列 a n 足a12,a n 12a n2 n 1 .（1） b na n，求数列b的通 公式；n2n（2）求数列a n 的前 n 和 S n ；1 nn24n 2 2n（3） c n，求数列c n 的前 n 和 T n .a nan 122． 如 ，在四周体 ABCD 中，△ ABC 是等 三角形，平面 ABC ⊥平面 ABD ，点 M 棱AB 的中点， AB=2， AD = 23 ，∠ BAD =90 °．（Ⅰ ）求 ： AD ⊥ BC ；（Ⅱ ）求异面直 BC 与 MD 所成角的余弦 ；（Ⅲ）求直CD 与平面 ABD 所成角的正弦 ．23．在△ABC 中， a=7， b=8， cosB= –1．7（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．24．跟着挪动互联网的发展，与餐饮美食有关的手机APP软件层见迭出，现从某市使用A 和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100 个商家，对它们的“均匀送到时间”进行统计，获得频次散布直方图以下：(1)已知抽取的钟，现从使用100 个使用A未订餐软件的商家中，甲商家的“均匀送到时间”为18 分A 未订餐软件的商家中“均匀送到时间”不超出20 分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用 A 款订餐软件的商家的“均匀送到时间”的众数及均匀数；(3)假如以“均匀送到时间”的均匀数作为决议依照，从 A 和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？25．某市场研究人员为了认识家产园引进的甲企业先期的经营状况，对该企业2018 年连续六个月的收益进行了统计，并依据获得的数据绘制了相应的折线图，以下图（1）由折线图能够看出，可用线性回归模型拟合月收益y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 对于x 的线性回归方程，并展望该企业2019 年3 月份的收益；（2）甲企业新研制了一款产品，需要采买一批新式资料，现有A, B 两种型号的新式资料可供选择，按规定每种新式资料最多可使用 4 个月，但新资料的不稳固性会致使资料破坏的年限不一样，现对A, B 两种型号的新式资料对应的产品各100件进行科学模拟测试，获得两种新式资料使用寿命的频数统计以下表：使用寿命 / 资料1 个月2 个月3个月 4 个月总计种类A20353510100 B10304020100假如你是甲企业的负责人，你会选择采买哪款新式资料？66参照数据：y i 96x i y i371i 1i 1n n??x i x y i y x i y i nxy参照公式：回归直线方程?i 1=i 1bx?，此中 b n ny a22nx 2x i x x ii 1i 126．以下图，已知正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F分别为 D1C1， C1B1的中点，ACI BD P，A1C1I EF Q .求证：（1）D，B，F，E四点共面；（2）若A1C交平面DBEF于 R 点，则P，Q，R三点共线 .【参照答案】 *** 试卷办理标志，请不要删除一、选择题1．A分析： A【分析】【剖析】【详解】由已知新运算 a b 的意义就是获得a, b 中的最小值，所以函数 f x 1 2x1,x02x , x，0只有选项 A 中的图象切合要求，应选 A.2．C分析： C【分析】【剖析】利用多项式乘法将式子睁开,依据二项式定理睁开式的通项即可求得x2的系数.【详解】依据二项式定理睁开式通项为T r 1 C r n a n r b r111x61 x616 x21 xx2则1x 6睁开式的通项为 T r 1C6r x r则111x62x21C4x4 x2睁开式中x2的项为 Cx266111x6C6415 15 30则x2睁开式中x2的系数为C62应选 :C【点睛】此题考察了二项定理睁开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题 . 3．D分析： D【分析】【详解】rr4, 24,3 2，由 rr r试题剖析： ab, 3ab 与 a 垂直可知r r r4 3 32 01a b ·a 0考点：向量垂直与坐标运算4．C分析： C【分析】【剖析】由正弦定理联合条件可得 tan B tan C 1 ，从而得三角形的三个内角，从而得三角形的形状 .【详解】由正弦定理可知sin A sin B sin C，又sin A cosBcosCa b c ab，c所以 cos B sin B,cos C sin C ，有 tan Btan C1 .所以 BC45o .所以 A 180o 45o 45o 90o .所以 ABC 为等腰直角三角形 .应选 C.【点睛】此题主要考察了正弦定理解三角形，属于基础题.5．C分析： C【分析】【剖析】这是求甲单独去一个景点的前提下，三个人去的景点不一样的概率，求出相应的基本领件的 个数，即可得出结果 . 【详解】甲单独去一个景点，则有 3 个景点可选，乙、丙只好在剩下的两个景点选择，依据分步乘法计数原理可得，对应的基本领件有 3 2 2 12 种；此外，三个人去不一样景点对应的基 本领件有 3 2 1 6种，所以 P (A /B )61，应选C.122【点睛】此题主要考察条件概率，确立相应的基本领件个数是解决此题的重点.6．B分析： B【分析】【剖析】经过察看，得出该数列从第二项起，后一项与前一项的差分别是 3 的倍数，由此可求得x的值 .【详解】由于数列的前几项为 2,5,11,20, x,47 ，此中 52 1 3,11 5 2 3,20 113 3 ，可得 x 20 4 3 ，解得 x32 ，应选 B.【点睛】此题主要考察了数列的观点及其应用，此中解答中依据题意发现数列中数字的排布规律是 解答的重点，侧重考察了剖析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．C分析： C【分析】【剖析】定义域同样，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可 .【详解】①中 fx2x 3 的定义域为,0 ， f x x 2x 的定义域也是 ,0 ，但f x2x 3x 2x 与 f x x2x 对应关系不一致，所以①不是同一函数；②中 fxx 与 g xx 2 定义域都是 R ，但 g xx 2x 与 f xx 对应关系不一致，所以②不是同一函数；③中1xx|0 1f x x与 g x定义域都是 ，且 f x x 1 g x1对x 0，x应关系一致，所以③是同一函数；④中 fxx 2 2x 1与 g t t 2 2t 1定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.应选 C【点睛】此题主要考察同一函数的观点，只要定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.8．C分析： C【分析】【剖析】两圆方程相减，获得公共弦所在的直线方程，而后利用此中一个圆，联合弦长公式求解.【详解】由于圆 C 1： x 2+y 2＝4 与圆 C 2： x 2+y 2﹣ 4x+4y ﹣ 12＝0，两式相减得 x y2 0 ，即公共弦所在的直线方程.圆 C 1 x 2+y 2＝ 4，圆心到公共弦的距离为2 ，d：2所以公共弦长为：l 2 r2d22 2 .应选： C【点睛】此题主要考察直线与圆，圆与圆的地点关系，还考察了运算求解的能力，属于基础题. 9．A分析： A【分析】【剖析】依据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优异、一位优异，再联合简单的合情推理逐一剖析可得出结果.【详解】由于甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优异、两位优异，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的建立，即可推出乙、丙的成绩中一位优异、一位优异，又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩能够推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优异、一位优异，则丁由甲的成绩能够推出自己的成绩.所以，乙、丁知道自己的成绩，应选： A.【点睛】此题考察简单的合情推理，解题时要依据已知的状况逐个剖析，必需时可采纳分类议论的思想进行推理，考察逻辑推理能力，属于中等题.10．D分析： D【分析】由题意， x =34 5 6=4.5，4∵y? =0.7x+0.35，∴y =0.7×4.5+0.35=3.5，∴t=4 ×3.5﹣ 2.5﹣4﹣ 4.5=3，应选 D．11．A分析： A【分析】【剖析】【详解】uuur uuur1( AB2BC 2 Q AB BC|AB||BC|cos B2|BC|=3应选： A【评论】此题考察平面向量的数目积运算、余弦定理等知识AC2)4 BC2921.考察运算能力，考察数形联合思想、等价转变思想等数学思想方法.12．B分析： B【分析】等比数列的性质可知a2 a6a4216 ,应选B.二、填空题13．【分析】试题剖析：依题意有即解得考点：三点共线分析：12【分析】试题剖析：依题意有 k AB k AC，即5m 3，解得 m1.51222考点：三点共线．14．【分析】试题剖析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算分析：2【分析】试题剖析：由复数的运算可知， 1 2i a i 是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.考点：复数的运算.15．【分析】【剖析】【详解】试题剖析：当时的最大值为令解得所以 a 的取值范围是考点：利用导数判断函数的单一性1分析：(,)【分析】【剖析】【详解】121 2 ，试题剖析： f ( x)x2x2ax2a ．当 x时， f ( x) 的243最大值为f22a 2，令 2a20 ，解得 a1，所以 a 的取值范围是 1 ,．39999考点：利用导数判断函数的单一性．16．【分析】【剖析】【详解】设 AB=2作 CO⊥面 ABDEOH⊥AB则CH⊥AB∠CHO 为二面角 C- AB- D的平面角 CH=3√OH=CHcos∠CHO=1联合等边三角形 ABC与正方形 ABDE 可知此四棱锥为分析：1 6【分析】【剖析】【详解】设 AB=2,作 CO ⊥面 ABDEOH ⊥ AB ，则 CH ⊥AB ，∠ CHO 为二面角 C- AB- D 的平面角， CH=3√， OH=CH cos ∠ CHO =1，联合等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，AN EM CH uuur3, AN 1 uuur uuur uuuur 1 uuur uuur 2 ( AC AB), EM 2 AC AEuuur uuuur 1 AN EM 211 ， 故 EM,AN 所成角的余弦值23 3617．【分析】【剖析】由题意联合几何体的特点和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】由于长方体的体积为 120 所以由于为的中点所以由长方体的性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】此题蕴分析： 【分析】【剖析】由题意联合几何体的特点和所给几何体的性质可得三棱锥的体积 .【详解】由于长方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 的体积为 120，所以 AB BC CC 1120 ，由于 E 为 CC 1 的中点，所以 CE1 CC 1 ，2由长方体的性质知 CC 1 底面 ABCD ，所以 CE 是三棱锥 E BCD 的底面 BCD 上的高， 所以三棱锥 E BCD 的体积V1 1AB BC CE 1 1AB BC 1CC 11 120 10 .3 23 2212【点睛】此题包含 “整体和局部 ”的对峙一致规律 .在几何风光积或体积的计算问题中，常常需要注意理清整体和局部的关系，灵巧利用“割 ”与 “补 ”的方法解题 .18．【分析】【剖析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得 S 到下底面距离与棱柱高的关系进一步获得 S 到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设究竟面的距离为则得所以则到上底面的距离为所分析： 1【分析】【剖析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得 S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步获得S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．【详解】设三棱柱 ABC A 1B 1C 1 的底面积为 S ' ，高为 h ， 则 S ' h 9， S'9，h再设 S 究竟面 ABC 的距离为 h '，则1S' h ' 2 ，得 19h ' 2 ，3 3 h所以 h ' 2 ，h 3则 S 到上底面 A 1B 1C 1 的距离为1h ，3所以三棱锥 SA 1B 1C 11 11 的体积为 S ' h9 1 ．3 39故答案为 1．【点睛】此题考察棱柱、棱锥体积的求法，考察空间想象能力、思想能力与计算能力，考察数形结合思想，三棱锥体积为V1 S 底 n h ，此题是中档题．319．5﹣【分析】【剖析】设圆心为 OAB 中点为 D 先求出再求 PM 的最小值得解【详解】设圆心为 OAB 中点为 D 由题得取 AC 中点 M 由题得双方程平方相减得要使取最小值就是 PM 最小当圆弧 AB 的圆心与点 PM 共线时 PM 最分析： 5﹣ 2 13 【分析】【剖析】uuur uuur uuuur 2 1 uuur 2 uuuur 2 9，再求 PM 的最小设圆心为 O,AB 中点为 D,先求出 PC PA PM 4 AC PM 4值得解 .【详解】设圆心为 O,AB 中点为 D,由题得 AB2 2 sin2, AC 3 .6 uuuv uuuvuuuuv取 AC 中点 M ，由题得PA PC2PM,uuuv uuuv uuuv PC PA ACuuur uuur uuuur 2 1 uuur 2 uuuur 2 9， 双方程平方相减得 PC PAPM AC PM4uuur uuur4PM 最小，要使 PCPA 取最小值，就是当圆弧 AB 的圆心与点 P 、 M 共线时， PM 最小 .此时 DM= 1, DM ( 1 )2 3 13 ,2222所以 PM 有最小值为 2﹣13 ，uuur uuur213 ．代入求得 PC PA 的最小值为 5﹣ 2故答案为 5﹣ 2 13【点睛】此题主要考察直线和圆的地点关系，考察平面向量的数目积及其最值，意在考察学生对这 些知识的理解掌握水平易剖析推理能力.20．【分析】试题剖析：设等比数列的公比为由得解得所以于是当或时获得最大值考点：等比数列及其应用 分析： 64【分析】试题剖析：设等比数列的公比为a 1 a 3 10 a 1(1 q 2 ) 10a 1 8 q ，由 {a 45得， {2) 5，解得 {1 .所a 2 a 1q(1 q q2以a 1a 2 L a na 1n q 1 2 L ( n 1)8n( 1)2获得最大值 26 64 . 考点：等比数列及其应用n( n 1)1 n 27 n3 或4 时， a 1a 2 L a n22 22，于是当 n三、解答题2n41n 121．（ 1）b n n （2）S n n 1 2n 1 2 （3）3 n 1 2n 13【分析】【剖析】【详解】（1）由a n 12a n2n 1得 b n 1b n 1 ，得 b n n ；（2）易得a n2n1 212 22L n 2n, 2S n 1 223n 1, ng， S n 2 2 L n 2错位相减得S n2122L2n n2n1212n n2n112所以其前 n 项和S n n 1 2n 12；n4n 2 2n n4n 2nn 2 n 1 n（3）c n 1 n2 1 n2 1 n2n·2n ?n 1 2n 1n?n 1 2n1n? n 1 2n 11n1111n n1n 1n1，2n11n?2n n 1 ?2n 122n?2n n 1 ?2n11121n112231n n 1T n1L11L1 22221?212?22?23?23n?2n n 1 ?2n 1 21n n 12n4n1111362n 1 ?2n 1或写成3 3 n 1 ?2n 1.点睛：用错位相减法乞降应注意的问题(1)要擅长辨别题目种类，特别是等比数列公比为负数的情况； (2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步正确写出“S n qS n”的表达式；(3)在应用错位相减法乞降时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种状况求解 .22． (Ⅰ )证明看法析； (Ⅱ ) 13；(Ⅲ) 3 ．264【分析】剖析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面 ABC ，则 AD ⊥BC．（Ⅱ）取棱 AC 的中点 N，连结 MN ， ND ．由几何关系可知∠ DMN （或其补角）为异面直线 BC 与 MD 所成的角．计算可得1MN13 ．则异面直线BC与MD所DMN2cos DM26成角的余弦值为13 ．26（Ⅲ）连结CM ．由题意可知CM ⊥平面 ABD ．则∠ CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角．计算可得 sin CDMCM 3．即直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为3 ．CD44详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC ⊥平面 ABD ，平面 ABC ∩平面 ABD =AB ， AD ⊥ AB ，可得AD ⊥平面 ABC ，故 AD ⊥ BC ．（Ⅱ）取棱 AC 的中点 N ，连结 MN ， ND ．又由于 M 为棱 AB 的中点，故 MN ∥ BC ．所以∠DMN （或其补角）为异面直线BC 与 MD 所成的角．在 Rt △DAM 中， AM=1 ，故 DM = AD 2AM 2= 13 ．由于 AD ⊥平面 ABC ，故 AD ⊥ AC ．在 Rt △DAN 中， AN=1，故 DN= 2213．ADAN=在等腰三角形DMN 中， MN=1，可得1MN13 ． DMN2cosDM26所以，异面直线BC 与 MD 所成角的余弦值为13 ．26（Ⅲ）连结 CM ．由于△ ABC 为等边三角形， M 为边 AB 的中点，故 CM ⊥AB ，CM= 3 ．又由于平面ABC ⊥平面 ABD ，而 CM平面 ABC ，故 CM ⊥平面 ABD ．所以，∠CDM 为直线 CD 与平面 ABD 所成的角．在 Rt △CAD 中， CD =AC2AD 2=4．在 Rt △CMD 中， sin CDMCM 3 ．CD4所以，直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为3 ．4点睛：本小题主要考察异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考察空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．23． (1) ∠ A=π(2) AC 边上的高为3 332【分析】剖析：（ 1）先依据平方关系求 sinB ,再依据正弦定理求 sinA ，即得 A ；（ 2）依据三角形面积公式两种表示形式列方程1absinC1hb ，再利用引诱公式以及两角和正弦公式22求 sinC ，解得 AC 边上的高．详解：解：（ 1）在△ ABC 中，∵ cosB=–1 ，∴ B ∈（π， π），∴7 2ab 8sinB= 1 cos 2B4 3 7．由正弦定理得sinB= 4 3 ，∴7sin AsinA7sinA=3．∵ B ∈（π， π），∴ A ∈（ 0，π），∴∠ A=π．22 23（ 2）在 △ABC 中，∵ sinC=sin （ A+B ）3 1 14 3 3 3．=sinAcosB+sinBcosA=72=1427以下图，在△ ABC 中，∵ sinC=h ，∴ h= BC sinC = 73 3 3 3，∴ AC 边上的高BC14 2为3 3．2点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要依据正、余弦定理联合已知条件 灵巧转变边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的 .24． （1） 1； （ 2） 40； （3）选 B 款订餐软件 .2【分析】【剖析】⑴运用列举法给出全部状况，求出结果⑵由众数联合题意求出均匀数 ⑶分别计算出使用 A 款订餐、使用 B 款订餐的均匀数进行比较，从而判断【详解】（1）使用 A 款订餐软件的商家中“均匀送到时间”不超出20 分钟的商家共有100 0.006 10 6 个，分别记为甲， a,b, c, d, e,从中随机抽取 3 个商家的状况以下：共20 种 .甲， a, b , 甲， a, c , 甲， a, d , 甲， a,e , 甲， b, c , 甲， b, d , 甲， b, e ,甲， c, d 甲， c,e , 甲， d, e ,a,b, c , a, b,d , a, b, e , a, c, d , a, c, e ,a,d , e , b,c, d , b, c, e , b, d, e , c, d, e .甲商家被抽到的状况以下：共 10 种．甲， a, b甲， c, d ,,甲， a, c甲， c, e, 甲， a, d , 甲， a,e , 甲， b, c , 甲， b, d , 甲， b, e ,, 甲， d ,e记事件 A 为甲商家被抽到，则10 1P A.20 2（2）依题意可得，使用A 款订餐软件的商家中“均匀送到时间”的众数为 55，均匀数为15 0.06 25 0.34 350.12 45 0.04 55 0.4 65 0.04 40 .（3）使用 B 款订餐软件的商家中“均匀送到时间”的均匀数为15 0.04 25 0.235 0.56 450.14 55 0.04 65 0.02 35 40所以选 B 款订餐软件．【点睛】此题主要考察了频次散布直方图，均匀数和众数，古典概率等基础知识，考察了数据办理能力以及运算求解能力和应意图识，属于基础题．25． (1) ? 2x 9 , 31百万元； (2) B 型新资料 .y【分析】 【剖析】(1) 依据所给的数据，做出变量x, y 的均匀数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数 b ,再依据样本中心点必定在线性回归方程上，求出 a 的值，写出线性回归方程；将 x 11 代入所求线性回归方程，求出对应的 y 的值即可得结果； (2)求出 A 型新材料对应产品的使用寿命的均匀数与 B 型新资料对应产品的使用寿命的均匀数，比较其大小即可得结果 .【详解】（1）由折线图可知统计数据x, y 共有 6 组，即 (1,11) ， (2,13) ， (3,16) ， (4,15) ， (5,20) ， (6,21) ，计算可得 x1 2 34 5 663.5 ，1 6 y i 1 9 16 6 i 16n?i 1xiy i nxy371 6 3.5 162 ，所以 bn2i 1x i2n x17.5a? y? ?16 2 3.5 9 ，bx所以月度收益 y 与月份代码 x 之间的线性回归方程为y? 2 x 9 .当 x?211 931 .11时， y 故估计甲企业 2019 年 3 月份的收益为 31百万元 .（2） A 型新资料对应产品的使用寿命的均匀数为 x 1 2.35， B 型新资料对应的产品的使用寿命的均匀数为 x 22.7 ，Q x 1 x 2 ， 应当采买 B 型新资料 .【点睛】此题主要考察线性回归方程的求解与应用，属于中档题 .求回归直线方程的步骤：①依照样本数据确立两个变量拥有线性有关关系；②计算x, y 的值；③计算回归系数? ? ；④写出a, b回归直线方程为y? ?a?； 回归直线过样本点中心x, y 是一条重要性质，利用线性回bx归方程能够估计整体，帮助我们剖析两个变量的变化趋向. 26．（ 1）证明看法析；（2）证明看法析 .【分析】【剖析】（1）由中位线定理可知EF //BD ，故四点共面（2）PQ是平面AAC C与平面DBFE1 1的交线，可证 R 是两平面公共点，故PQ 过R，得证.【详解】证明：（1）Q EF是D1B1C1的中位线，EF / /B1D1.在正方体 AC1中，B1D1/ / BD，EF //BD.EF , BD 确立一个平面，即D，B，F，E四点共面.（2）正方体 AC1中，设 A1 ACC1确立的平面为，又设平面 BDEF为 .Q Q AC1,Q.1又 Q EF ，Q，则 Q 是与的公共点，a PQ .又1R,R 1AC AC .R a ，且R，则 R PQ ，故 P，Q，R三点共线.【点睛】此题主要考察了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基天性质解决，属于中档题.。
2020年内蒙古呼伦贝尔市高考数学一模试卷(文科)
2020年内蒙古呼伦贝尔市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x（x﹣2）＜0}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{1，2}C．{0，1}D．{1}2．（5分）复数＝（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i3．（5分）下列函数中，值域为R的偶函数是（）A．y＝x2+1B．y＝e x﹣e﹣x C．y＝lg|x|D．4．（5分）已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10＝（）A．100B．210C．380D．4005．（5分）角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，已知终边上点P（1，2），则cos2θ＝（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．17．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则直线AB的斜率为（）A．B．C．2D．8．（5分）设实数x和y满足约束条件，则z＝2x+3y的最小值为（）A．26B．24C．16D．149．（5分）在△ABC中，＝，＝2，＝，则λ+μ＝（）A．B．C．D．10．（5分）函数的图象大致是（）A．B．。
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷2(4月份) (含答案解析)
2020年内蒙古赤峰市高考数学模拟试卷2（4月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合A={x|x2+3x−4≤0}，B={x|log3x≤0}，则A∩B=()A. [−4,1]B. [−4,3]C. (0,1]D. (0,3]2.复数z满足z(1−2i)=3+2i，则z.=()A. −15−85i B. −15+85i C. 75+85i D. 75−85i3.《九章算术》卷第七——“盈不足”中有如下问题：今有牛、羊、马食人苗，苗主责之粟五斗．羊主曰“我羊食半马．”马主曰“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？翻译为：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟．根据该问题，马的主人应当赔偿()升粟(注：1斗=10升)．A. 1623B. 717C. 313D. 14274.已知定义在R上的奇函数f(x)在(−∞,0]上递减，且f(−1)=1，则满足f(log2x)>−1的x的取值范围是()A. (0,2)B. (0,+∞)C. (0,1)∪(1,2)D. (0,1)5.已知正项等比数列{a n}中，S n为其前n项和，且a2a4=1，S3=7则S5=()A. 152B. 314C. 334 D. 1726.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为()A. 323πB. 36πC. 323D. 18π7.祖冲之是我国古代杰出的数学家、天文学家和机械发明家，是世界上第一个把圆周率的值精确到7位小数的人，现在可用计算机产生随机数的方法估算出π的值，其程序框图如下图所示，其中函数rand(0,1)的功能是生成区间(0,1)内的随机数，若根据输出的k值估计出π的值为3.14，则输出k的值为()A. 314B. 628C. 640D. 7858.第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有()种A. 60B. 90C. 120D. 1509.已知函数f(x)=2sinωx2cosωx2−√3cosωx(ω>0)，若集合{x∈(0,π)|f(x)=−1}含有4个元素，则实数ω的取值范围是()A. [32,52) B. (32,52] C. [72,256) D. (72,256]10.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，若AB=AC=AA1=1，AB⊥AC，点M，N分别为A1C1，CC1的中点，则异面直线MN与B1C1所成的角为()A. 90°B. 60°C. 45°D.30°11.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为32，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M.若△FOM的面积为√5，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为()A. x2−4y25=1 B. x22−2y25=1 C. x24−y25=1 D. x216−y220=112. 若存在两个正实数x ，y ，使得等式x 3e yx −ay 3=0成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a的取值范围为( )A. [e 28,+∞)B. (0,e 327]C. [e 327,+∞)D. (0,e 28]二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 设x ，y 满足约束条件{3x +2y −6≤0x ≥0y ≥0，则z =x −y 的取值范围是______．14. 已知|a⃗ |=4，e ⃗ 为单位向量，当它们的夹角为60°时，a ⃗ 在e ⃗ 方向上的投影为______ ． 15. 抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点为F(2,0)，直线l ：x =my −2(m >0)与抛物线相交于A ，B两点，且满足|AF⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，则实数m 的值为__________． 16. 数列{a n }满足a n =3a n−1+1，a 1=1，则a 2= ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足a−b+c c=ba+b−c ．(1)求角A ；(2)若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．18. 2019年电商“双十一”大战即将开始．某电商为了尽快占领市场，抢占今年“双十一”的先机，对北海地区年龄在15到75岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率分布表和使用网上购物的人数如下所示：(年龄单位：岁)(1)若以45岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“网上购物”与年龄有关？(2)若从年龄在[55,65)，[65,75]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“使用网上购物”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 参考数据：参考公式：K 2=n (ad−bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d )19. 已知，动点P 在抛物线x 2=2y 上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点H ，动点Q 满足：PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =12PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求动点Q 的轨迹E 的方程；(2)过点N(4,5)且斜率为k 的直线交轨迹E 于A ，B 两点，M 点的坐标为(−4,4)，设直线MA ，MB 的斜率分别为k 1和k 2，求k 1⋅k 2的值．20. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为2的菱形，∠ABC =π3，PA ⊥平面ABCD ，点M是棱PC 的中点．(1)证明：PA//平面BMD ；(2)当PA =√3时，求直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值．21. 已知函数f(x)=axlnx +x +2(a >0)，e 为自然对数的底数．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：对任意x ∈[1,+∞)，f′(x)<x 2+(a +2)x +1恒成立．22. 在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =3+tcos αy =tsin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：{x =1cos θy =tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B ． (1)若α=π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求|PA|·|PB|的值．|(a>0)，23.已知f(x)=|x−a|+|x−1a(Ⅰ)求证f(x)≥2；(Ⅱ)当a=1，求解不等式f(x)≥x2−x．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题交集的运算、一元二次不等式的解法及对数不等式，属于基础题．可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|−4≤x≤1}，B={x|0<x≤1}；∴A∩B=(0,1]．故选C．2.答案：A解析：解：由z(1−2i)=3+2i，得z=3+2i1−2i =(3+2i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−15+85i，∴z.=−15−85i．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：【分析】本题主要考查了等比数列的性质，函数模型的应用，属于基础题．因为羊、马、牛食粟构成等比数列，故m+2m+4m=50，即可求出解．【解答】解：依题意设羊的主人应赔偿m升粟，则羊、马、牛食粟构成等比数列，故m+2m+4m=50，解得m=717，则马的主人应当赔偿1427升粟．4.答案：A解析：解；根据题意，函数f(x)为奇函数且在(−∞,0]上递减，则f(x)在[0,+∞)上递减， 则f(x)在R 上递减，又由f(−1)=1，则f(1)=−f(−1)=−1， 则f(log 2x)>−1⇒f(log 2x)>f(1)⇒log 2x <1， 解可得0<x <2， 即不等式的解集为(0,2)； 故选：A ．根据题意，分析可得f(x)在R 上递减，结合函数为奇函数可得f(1)=−f(−1)=−1，则不等式f(log 2x)>−1⇒f(log 2x)>f(1)⇒log 2x <1，解可得x 的取值范围，即可得答案． 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数在R 上的单调性，属于基础题．5.答案：B解析： 【分析】本题考查等比数列的前5项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用，属于基础题．由已知条件利用等比数列的通项公式和前n 项和公式得{a 1q ⋅a 1q 3=1a 1(1−q 3)1−q=7q >0，由此能求出S 5．【解答】 解：由已知得： {a 1q ⋅a 1q 3=1a 1(1−q 3)1−q=7q >0，解得a 1=4，q =12， ∴S 5=a 1(1−q 5) 1−q=4(1−125)1−12=314．故选：B ．6.答案：B解析：本题考查三视图及球的体积的求解，在长方体中考虑求解即可，属于一般题．【解答】解：由三视图知，该几何体为下图中的三棱锥P−ABC，其中长方体的长宽高分别为4，2，4，则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，所以球的半径为r=√42+22+422=3，所以球的体积为．故选B．7.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知中的程序流程图分析出程序的功能，并将问题转化为几何概型问题是解答本题的关键，本题属于基础题．我们可分析出程序的功能是利用随机模拟实验的方法任取(0,1)上的x，y，利用x2+y2≤1的概率，计算k的值，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x2+y2≤1发生的概率为π⋅124 1=k1000，由于：π=3.14，解得：k=785．故选：D．8.答案：D解析：本题考查排列、组合的综合应用，及分类、分步计数原理的综合应用，属于中档题． 利用先分组再分配的方法，可得不同的安排方式共有150种． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①、将5项工作分成3组， 若分成1、1、3的三组，有C 53C 21C 11A 22=10种分组方法， 若分成1、2、2的三组，有C 52C 32C 11A 22=15种分组方法，则将5项工作分成3组，有10+15=25种分组方法; ②、将分好的三组全排列，对应3名志愿者，有A 33=6种情况， 则有25×6=150种不同的分组方法． 故选D ．9.答案：D解析：【分析】本题考查三角函数的图象与性质，涉及倍角公式和两角和差的三角函数公式，属于中档题． 先利用倍角公式和两角和差的三角函数公式化简f(x)的解析表达式，然后根据f(x)=−1，利用三角函数的性质得到x 的值x =π6ω+2kπω或，根据题意分析，设直线y =−1与y =f(x)的图象在(0,+∞)上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，则x A =3π2ω+2πω，x B =π6ω+4πω，由于方程f(x)=−1在(0,π)上有且只有4个实数根，则x A <π≤x B ，由此解不等式组求得ω的取值范围．【解答】解：f(x)=2sinωx 2cosωx 2−√3cosωx=sinωx −√3cosωx=2sin(ωx −π3)，令2sin(ωx −π3)=−1，得sin(ωx −π3)=−12， 解得ωx −π3=−π6+2kπ或ωx −π3=7π6+2kπ(k ∈Z)，所以x =π6ω+2kπω或x =3π2ω+2kπω(k ∈Z)．设直线y =−1与y =f(x)的图象在(0,+∞)上从左到右的第4个交点为A ， 第5个交点为B ，则x A =3π2ω+2πω，x B =π6ω+4πω．由于方程f(x)=−1在(0,π)上有且只有4个实数根， 则x A <π≤x B ，即3π2ω+2πω<π≤π6ω+4πω，解得72<ω≤256，故选D．10.答案：B解析：【分析】本题主要考查了异面直线所成的角，属于基础题．可得∠A1CB是异面直线MN与B1C1所成的角(或所成角的补角)，由此求解即可．【解答】解：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB=AC=AA1=1，AB⊥AC，点M，N分别为A1C1，CC1的中点，∴MN//A1C，B1C1//BC，∴∠A1CB是异面直线MN与B1C1所成的角(或所成角的补角)，连结A1B，则A1B=A1C=BC=√2，∴∠A1CB=60°，∴异面直线MN与B1C1所成的角为60°．故选B．11.答案：C解析：【分析】本题考查双曲线的焦距的求法，注意运用渐近线方程和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．运用离心率公式，求得渐近线方程，运用点到直线的距离公式可得F到渐近线的距离为b，由勾股定理可得|OA|=a，运用三角形的面积公式，结合a，b，c的关系，解得a，b，即可求出双曲线方程．解：由题意可得e=ca =32，可得：ba=√52，设F(c,0)，渐近线为y=bax，可得F到渐近线的距离为d=√a2+b2=b，由勾股定理可得|OA|=√|OF|2−|AF|2=√c2−b2=a，由题意可得12ab=√5，又a2+b2=c2，解得b=√5，a=2，c=3，可得双曲线的方程为：x24−y25=1．故选：C．12.答案：C解析：【分析】本题主要考查不等式恒成立问题，利用构造法和导数法求出函数的极值和最值是解决本题的关键．综合性较强．【解答】解：∵存在两个正实数x，y，使得等式x3e y x−ay3=0成立，∴a=e y x(y x )3，设yx =t，t>0，则a=e tt3，设f(t)=e tt3，则f′(t)=e t(t−3)t4，当t>3时，f′(t)>0，函数f(t)单调递增，当0<t<3时，f′(t)<0，函数f(t)单调递减，∴f(t)min=f(3)=e327，∴a≥e327，故选C．13.答案：[−3,2]解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x−y得y=x−z，平移直线y =x −z ，由图象直线当直线y =x −z 经过A(0,3)时，直线y =x −z 的截距最大，此时z 最小为z =0−3=−3，当直线y =x −z 经过B(2,0)时，直线y =x −z 的截距最小，此时z 最大为z =2−0=2，即−3≤z ≤2，故答案为：[−3,2]作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移进行求解即可． 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键． 14.答案：2解析：解：a⃗ 在e ⃗ 方向上的投影为|a ⃗ |cos60°=4×12=2． 故答案为：2．利用向量数量积的几何意义：向量的数量积等于一个向量的模乘以另一个向量在第一个向量上的投影．本题考查向量数量积的几何意义，并利用数量积求出向量的投影，是基础题．15.答案：3√24解析：【分析】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．先求出抛物线的方程为y 2=8x ，再由|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |结合抛物线的定义得B 是AM 的中点，又因为OB =BF ，所以B 在OF 的垂直平分线上，得B(1,2√2)，求出m =1k BM ． 【解答】解：因为抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F (2,0)，所以p =4，故y 2=8x ，因为直线x =my −2过定点M(−2,0)，过A ，B 作抛物线准线x =−2的垂线，垂足为C ，D根据抛物线的定义有|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，又因为|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BF ⃗⃗⃗⃗⃗ | 所以|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即B 是AM 的中点，连接OB 又因为OB =BF ，所以B 在OF 的垂直平分线上，则x B =12x F =1得B(1,2√2)，故m =1k BM =2√23=3√24． 故答案为3√24．16.答案：4解析：解：a n=3a n−1+1，a1=1，则a2=3a1+1=3+1=4．故答案为：4．利用数列递推关系即可得出．本题考查了数列递推关系、数列通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：(1)由a−b+cc =ba+b−c化简得b2+c2−a2=bc，由余弦定理cosA=b2+c2−a22bc ，得cosA=bc2bc=12，，又因为，所以；(2)由正弦定理得，所以3=b2+c2−bc≥2bc−bc=bc，当且仅当b=c=√3时取等号，故时取等号)，即△ABC面积S的最大值为3√34．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(1)根据已知等式变形得b2+c2−a2=bc，由余弦定理可得cos A，可得角A；(2)由正弦定理可求a的值，利用基本不等式可求bc的最大值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．18.答案：解：(1)由统计表可得，低于45岁人数为70人，不低于45岁人数为30人，可得列联表如下：年龄低于45岁年龄不低于45岁总计使用网上购物601575不使用网上购物101525总计7030100于是有K的观测值k=275×25×70×30=7≈14.286>10.828．故可以在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“使用网上购物”与年龄有关．(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：P(X=0)=C32C22C52C32=110，P(X=1)=C31C21C22C52C32+C32C21C52C32=25，P (X =2)=C 22C 22C 52C 32+C 31C 21C 21C 52C 32=1330，P (X =3)=C 22C 21C 52C 32=115，于是X 的分布列为：X 0 1 2 3P 110 25 1330 115所以EX =0×110+1×25+2×1330+3×115=2215．解析：本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立检验的应用，考查计算能力．(1)利用已知条件，求解联列表中的数值，求出k 2，即可判断结果．(2)X 的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，得到分布列，然后求解期望即可．19.答案：解：(1)设点Q(x,y)，由PQ ⃗⃗⃗⃗⃗=12PH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点P(x,2y)， 将点P(x,2y)代入x 2=2y 得x 2=4y ．∴动点Q 的轨迹E 的方程为x 2=4y ．(2)设过点N 的直线方程为y =k(x −4)+5，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).联立{y =k(x −4)+5x 2=4y，得x 2−4kx +16x −20=0， 则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=16k −20．∵k 1=y 1−4x 1+4，k 2=y 2−4x 2+4， ∴k 1k 2=(kx 1−4k+1)(kx 2−4k+1)(x 1+4)(x 2+4)=k 2x 1x 2+(k−4k 2)(x 1+x 2)+16k 2−8k+1x 1x 2+4(x 1+x 2)+16=1−8k 32k−4=−14． 解析：(1)设Q(x,y)，则P(x,2y)，代入x 2=2y 得出轨迹方程；(2)联立直线AB 方程与Q 的轨迹方程，得出A ，B 的坐标关系，代入斜率公式计算k 1k 2化简即可． 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线的斜率，属于中档题．20.答案：证明：(1)如图，连结AC ，交BD 于点O ，连结MO ，∵M ，O 分别为PC ，AC 的中点，∴PA//MO ，∵PA ⊄平面BMD ，MO ⊂平面BMD ，∴PA//平面BMD ．解：(2)如图，取线段BC 的中点H ，连结AH ，∵ABCD 为菱形，∠ABC =π3，∴AH ⊥AD ，分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，∴A(0,0，0)，B(√3,−1,0)，C(√3,1,0)，P(0,0，√3)，M(√32,12,√32)， ∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,√32)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−√3)，设平面PBC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0m ⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x +y −√3z =0，取z =1，∴m ⃗⃗⃗ =(1,0，1)， 设直线AM 与平面PBC 所成角为θ，∴sinθ=|cos <m ⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|AM |=|√32×1+12×0+√32×1|√74×√2=√427．∴直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值为√427．解析：本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．(1)连结AC ，交BD 于点O ，连结MO ，推导出PA//MO ，由此能证明PA//平面BMD ．(2)取线段BC 的中点H ，连结AH ，分别以AH ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AM 与平面PBC 所成角的正弦值．21.答案：解：(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞)，f′(x)=a(lnx +1)+1，由f′(x)=0，解得：x =e −1a −1，故f(x)在(0,e −1a −1)递减，在(e −1a −1,+∞)递增；(2)∵f′(x)=a(lnx +1)+1，故设g(x)=alnx +a +1−x 2−(a +2)x −1=alnx −x 2−(a +2)x +a ，(x ≥1,a >0)， 故g′(x)=a x −2x −a −2，∵a >0，易知g′(x)在x ∈[1,+∞)递减，∴g′(x)≤g′(1)=−4<0，故g(x)在[1,+∞)递减，故g(x)≤g(1)=−3<0，故alnx +a +1−x 2−(a +2)x −1<0恒成立，故对任意x ∈[1,+∞)，f′(x)<x 2+(a +2)x +1恒成立．解析：(1)求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；(2)求出函数的导数，设g(x)=alnx +a +1−x 2−(a +2)x −1，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题． 22.答案：【解答】解：(1)由曲线C ：{x =1cosθy =tanθ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2−y 2=1．当α=π3时，直线l的参数方程为{x=3+12ty=√32t(t为参数)，代入曲线C的普通方程，得t2−6t−16=0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6，所以线段AB的中点对应的t=t1+t22=3，故线段AB的中点的直角坐标为(92,3√3 2).(2)将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，化简得(cos2α−sin2α)t2+6tcosα+8=0，则|PA|·|PB|=|t1t2|=|8cos2α−sin2α|=|8(1+tan2α)1−tan2α|，由已知得tanα=2，故|PA|·|PB|=403．解析：本题考查参数方程的运用，考查参数的几何意义，属于中档题．(1)若α=π3，直线l的参数方程为{x=3+tcosαy=tsinα(t为参数)，代入曲线C的普通方程，得t2−6t−16=0，求出线段AB的中点对应的t=3，即可求线段AB的中点的直角坐标；(2)若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，利用参数的几何意义求|PA|⋅|PB|的值．23.答案：解：(Ⅰ)因为|x−a|+|x−1a |≥|x−a−x+1a|=a+1a≥2，当且仅当a=1时取等号，故f(x)≥2…(5分)(Ⅱ)当a=1时，f(x)=2|x−1|，由f(x)≥x2−x，得2(x−1)≥x2−x或2(x−1)≤−(x2−x)，解得：−2≤x≤2，故解集为[−2,2]…(10分)解析：(Ⅰ)根据绝对值三角不等式的性质证明即可；(Ⅱ)代入a的值，解不等式即可．本题考查了绝对值不等式的性质，考查解不等式问题，是一道常规题．。
2020年内蒙古呼伦贝尔市高考数学一模试卷(理科)(有答案解析)
2020年内蒙古呼伦贝尔市高考数学一模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|log2x＞1}，B={x|x≥1}，则A∪B=（）A. （1，2]B. （1，+∞）C. （1，2）D. [1，+∞）2.复数z满足，则复数z等于（）A. 1-iB. 1+iC. 2D. -23.等差数列{a n}中，，，则数列{a n}前6项和为（）A. 18B. 24C. 36D. 724.已知菱形的边长为，, 则A. B. C. D.5.已知双曲线C：的焦距为2c，焦点到双曲线C的渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. y=±x D. y=±2x6.定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，则f（2019）=（）A. -1B. 0C. 1D. 27.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股-勾）2=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾2+股2=弦2，设勾股中勾股比为1：，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）A. 866B. 500C. 300D.1348.函数的图象向右平移个单位后关于原点对称，则函数f（x）在上的最大值为（）A. B. C. D.9.过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A，B两点，以线段AF，BF为直径的圆分别与y轴相切于M，N两点，则|MN|=（）A. B. C. D. 210.已知函数f(x)=，则y=f(x)的图象大致为( )A. B.C. D.11.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A. B. 2 C. 4 D. 12π12.已知2a=3b=6，则a，b不可能满足的关系是（）A. a+b=abB. a+b＞4C. （a-1）2+（b-1）2＜2D. a2+b2＞8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.二项式的展开式中，常数项的值为______．14.若满足，则目标函数z=y-2x的最大值为______．15.学校艺术节对A，B，C，D四件参赛作品只评一件一等奖，在评奖揭晓前，甲，乙，丙，丁四位同学对这四件参赛作品预测如下：甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两件作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．评奖揭晓后，发现这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______．16.数列的前n项和为S n，若S1，S m，S n成等比数列（m＞1），则正整数n值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图：在△ABC中，，c=4，．（1）求角A；（2）设D为AB的中点，求中线CD的长．18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E、F、G分别是BC、B1C1、AA1、CC1中点．且，BC=AA1=4．（1）求证：BC⊥平面ADE；（2）求二面角G-EF-B1的余弦值．19.诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92%95%96%（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．20.已知椭圆C：离心率为，直线x=1被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆方程；（2）设直线y=kx+m交椭圆C于A，B两点，且线段AB的中点M在直线x=1上，求证：线段AB的中垂线恒过定点．21.已知函数f（x）=ax-ln x+1（a∈R），g（x）=xe1-x．（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域；（2）是否存在实数a，对任意给定的x0∈（0，e]，在区间[1，e]上都存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．22.在直角坐标系中，圆C的参数方程为：（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线l：（t为参数）被圆C截得的弦长为，求直线l的倾斜角．23.已知f（x）=a-|x-b|（a＞0），且f（x）≥0的解集为{x|-3≤x≤7}．（1）求实数a，b的值；（2）若f（x）的图象与直线x=0及y=m（m＜3）围成的四边形的面积不小于14，求实数m取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：A={x|x＞2}；∴A∪B=[1，+∞）．故选：D．可求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的概念，以及并集的运算．2.答案：B解析：解：∵=2，∴z=．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a5=10，a4=7，∴2a1+4d=10，a1+3d=7，联立解得a1=1，d=2，则数列{a n}前6项和S6=6+×2=36．故选C．4.答案：D解析：解：∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，∴∠BCD=120°，∠BDC=30°，由余弦定理可得BD2=BC2+CD2-2•BD•CD cos120°=4+4-2×2×2×（-）=12，∴BD=2，∴=||•||=2×2×=6，故选：D．求出BD及两向量夹角，代入向量的数量积公式计算．本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．5.答案：A解析：解：由题意，双曲线焦点到渐近线的距离为b=，又b2=c2-a2，代入得3a2=b2，解得，所以双曲线的渐近线方程：y=故选：A．由题意，双曲线焦点到渐近线的距离为b=，又b2=c2-a2，代入得，即可求得双曲线C的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线中几何量之间的关系，考查数形结合的能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x）=，∴f（2019）=f（403×5+4）=f（4）=f（-1）=log22=1．故选：C．推导出f（2019）=f（405×6+4）=f（4）=f（-1），由此能求出f（2019）．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7.答案：D解析：解：如图，设勾为a，则股为，∴弦为2a，则图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为=（）a2，则由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为．∴落在黄色图形内的图钉数大约为1000≈134．故选：D．设勾为a，则股为，弦为2a，求出大的正方形的面积及小的正方形面积，再求出图钉落在黄色图形内的概率，乘以1000得答案．本题考查几何概型，考查几何概型概率公式的应用，是基础的计算题．8.答案：B解析：解：把函数的图象向右平移个单位后，可得y=sin（2x-+φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得-+φ=0，∴φ=，f（x）=sin（2x+）．在上，2x+∈[-，]，则当2x+=时，f（x）=sin（2x+）取得最大值为，故选：B．利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求出函数f（x）在上的最大值．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．9.答案：C解析：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则OM=|y1|，ON=|y2|．直线AB的方程为：，联立，可得3y2-4y-12=0，MN=|y1-y2|=．故选：C．设A（x1，y1），B（x2，y2），则OM=|y1|，ON=|y2|．MN=|y1-y2|，联立，利用韦达定理即可求解．本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图象判断，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可.【解答】解：令g(x)=x-ln x-1，则x>0，因为，由g'(x)＞0，得x＞1，即函数g(x)在(1，+∞)上单调递增，由g'(x)＜0，得0＜x＜1，即函数g(x)在(0，1)上单调递减，所以当x=1时，函数g(x)有最小值，g(x)min=g(1)=0，于是对任意的x∈(0，1)∪(1，+∞)，有g(x)>0，则f(x)>0，故排除B、D，因为函数g(x)在(0，1)上单调递减，所以函数f(x)在(0，1)上单调递增，故排除C.故选A.11.答案：D解析：解：根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以：该几何体的球心为O，R=，．故选：D．首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．12.答案：C解析：解：∵2a=3b=6，∴（2a）b=6b，（3b）a=6a，∴2ab=6b，3ba=6a，∴2ab•3ba=6b•6a，∴（6）ab=6a+b，∴ab=a+b，则有ab=a+b≥2，∵a≠b，∴ab＞2，∴a+b=ab＞4，∴（a-1）2+（b-1）2=a2+b2-2（a+b）+2＞2ab-2（a+b）+2＞2，∵a2+b2＞2ab＞8，故C错误故选：C．由已知条件可得a+b=ab，再根据基本不等式即可判断．本题考查了指数幂的运算性质，基本不等式，考查了转化与化归能力，属于中档题．13.答案：240解析：解：由二项式的展开式的通项为T r+1=（2x）6-r（-）r=（-1）r26-r x6-3r，令6-3r=0，解得：r=2，即常数项的值为（-1）224=240，故答案为：240．由二项式定理及展开式通项公式得：常数项的值为（-1）224=240，得解．本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属中档题．14.答案：-1解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=y-2x得y=2x+z，平移直线y=2x+z，由图象可知当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，1），代入目标函数得z=1-2=-1，即z=y-2x的最大值是-1．故答案为：-1．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15.答案：B解析：【分析】本题考查了合情推理的问题，属于基础题．假设A，B，C，D分别为一等奖，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．【解答】解：若A为一等奖，则甲，乙，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不满足题意，故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B.故答案为B.16.答案：8解析：解：=-．∴前n项和为S n=1-+-+……+-=1-=．∵S1，S m，S n成等比数列（m＞1），∴=×．解得：n=，令2m+1-m2＞0，m＞1，解得1＜m＜1+．∴m=2，n=8．故答案为：8．=-．可得前n项和为S n=1-=．由S1，S m，S n成等比数列（m＞1），可得=×．解得：n=，令2m+1-m2＞0，m＞1，解得m范围即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、裂项求和方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：（1）根据题意，△ABC中，，则．由正弦定理，即．得，又由，则C为钝角，A为锐角，故．（2）根据题意，B=π-（A+C），则sin B=sin（A+C）=sin A cos C+cos A sin C=．由正弦定理得，即得．在△ACD中由余弦定理得：CD2=AD2+AC2-2AD•AC•cos A=，故．解析：（1）根据题意，由同角三角函数的基本关系式求出sin C的值，进而由正弦定理计算可得sin A 的值，分析A的范围即可得答案；（2）根据题意，由三角函数的和差公式可得sin B的值，结合正弦定理计算可得b的值，又由余弦定理分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．18.答案：（1）证明：∵，BC=4，∴AB⊥AC．∵D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵ABC-A1B1C1为直三棱柱，D，E为BC，B1C1中点，∴DE⊥平面ABC，∴DE⊥BC，∴BC⊥平面ADE．（2）解：由（1）知建系如图，且F（0，0，2），，，，∴，，．设平面B1EF的法向量为，由，得．取，同理得平面EFG的法向量．∴，而二面角G-EF-B1为钝二面角，∴二面角G-EF-B1的余弦值为．解析：（1）证明AB⊥AC．AD⊥BC，推出DE⊥平面ABC，然后证明BC⊥平面ADE．（2）建立空间直角坐标系，求出平面B1EF的法向量，平面EFG的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角G-EF-B1的余弦值．本题考查二面角的平面角的求法，空间向量数量积的应用，直线与平面垂直的判断定理的应用．19.答案：解：（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：=×=91%．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=，P（X=3）=，X 0 1 2 3PEX==2．（3）两次活动效果均好．理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出，后继一周都有提升．解析：（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（3）两次活动效果均好，活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出，后继一周都有提升．本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．20.答案：解：（1）由直线x=1被椭圆截得的弦长为，得椭圆过点，即，又，得a2=4b2，所以a2=4，b2=1，即椭圆方程为．（2）证明：由得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，由△=64k2m2-4（1+4k2）（4m2-4）=-16m2+64k2+16＞0，得m2＜1+4k2．由，设AB的中点M为（x0，y0），得，即1+4k2=-4km，∴．∴AB的中垂线方程为．即，故AB的中垂线恒过点．解析：（1）由直线x=1被椭圆截得的弦长为，得椭圆过点，推出方程结合离心率求解a，b得到椭圆方程．（2）由得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-4=0，利用韦达定理，结合中点坐标，转化求解直线系方程，说明结果．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力．21.答案：解：（1）∵g′（x）=e1-x-xe1-x=e1-x（1-x），∴g（x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e2-e，∴g（x）的值域为（0，1]．（2）设m=g（x），则由（1）可得m∈（0，1]，原问题等价于：对任意的m∈（0，1]，f（x）=m在[1，e]上总有两个不同的实根，故f（x）在[1，e]不可能是单调函数，∵f′（x）=a-，（1≤x≤e），其中，①当a≥1时，f′（x）＞0，f（x）在区间[1，e]上单调递增，不合题意．②当a时，f′（x）＜0，f（x）在区间[1，e]上单调递减，不合题意．③当1＜e，即时，f（x）在区间[1，]上单调递减；f（x）在区间[，e]上单递增，由上可得a∈（，1），此时必有f（x）的最小值小于等于0，且f（x）的最大值大于等于1，而由f（x）min=f（）=2+ln a≤0，可得a，则a∈∅．综上，满足条件的a不存在．解析：（1）由g′（x）=e1-x-xe1-x=e1-x（1-x），知g（x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，由此能求出g（x）的值域．（2）设m=g（x），则由（1）可得m∈（0，1]，原问题等价于：对任意的t∈（0，1]，f（x）=m在[1，e]上总有两个不同的实根，故f（x）在[1，e]不可能是单调函数，由此能推导出满足条件的a不存在．本题考查函数的值域的求法，探索是否存在满足条件的实数，探索函数图象上满足条件的两点是否存在．综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，有一定的探索性．22.答案：解：（1）圆C：（α为参数），消去参数α得：，即：，∵ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ．∴，．（2）∵直线l：（t为参数）的极坐标方程为θ=φ，当θ=φ时,．即：，∴或．∴或，∴直线l的倾斜角为或．解析：本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．（1）利用cos2α+sin2α=1消去参数α，可得圆C的直角坐标方程，再利用互化公式可得曲线C的极坐标方程；（2）先将直线l化成极坐标方程θ=φ，将其代入圆C的极坐标方程并利用极径的几何意义列等式可得直线l的倾斜角．23.答案：解：（1）由f（x）≥0得：|x-b|≤a，b-a≤x≤a+b，即，解得a=5，b=2．（2）的图象与直线x=0及y=m围成的四边形ABCD，A（2，5），B（0，3），C（0，m），D（7-m，m）．过A点向y=m引垂线，垂足为E（2，m），则S ABCD=S ABCE+S AED=≥14．化简得：m2-14m+13≥0，m≥13（舍）或m≤1．故m的取值范围为（-∞，1]．解析：（1）去掉绝对值符号，求解不等式，结合不等式的解集求解a，b即可．（2）结合函数的图象转化求解四边形的面积，列出不等式求解即可．本题考查函数以及方程的应用，数形结合以及转化思想的应用，考查发现问题解决问题的能力．。