第五章测量误差基本知识chen
测量误差的基本知识
在测量观测过程中，由于受到仪器精度的限制、观测者的生理和 心理因素以及外界条件的影响，测量操作不可能做得尽善尽美， 之间存在偏差，这种偏差称为测量误差（或观测误差）。 真值与观测值之差称为真误差。 准确值与观测值之差称为误差。
合格的测量仪器 合理的测量方法 认真的工作态度 良好的外界条件
误差区间 0～3 负误差 K 45 K/n 0.126 K 46 正误差 K/n 0.128 误差绝对值 K 91 K/n 0.254
3～6
6～9 9～12 12～15
40
33 23 17
0.112
0.092 0.064 0.047ຫໍສະໝຸດ 4133 21 16
0.115
0.092 0.059 0.045
81
偶然误差的特性
例：在某一测区，在相同的观测条件下共观测了358个三角形的全部内角， 由于每个三角形内角之和的真值（180º）为已知，因此，可以计算每个三角 形内角之和的偶然误差（三角形闭合差），将它们分为负误差和正误差，按 误差绝对值由小到大排列次序。以3秒为误差区间进行误差个数k的统计，偶 然误差的统计见表
第一组观测值 观测值 180°00ˊ03" 180°00ˊ02" 179°59ˊ58" 179°59ˊ56" 180°00ˊ01" 180°00ˊ00" 180°00ˊ04" 179°59ˊ57" 真误差Δ" -3 -2 +2 +4 -1 0 -4 +3 Δ２ 9 4 4 16 1 0 16 9 观测值 180°00ˊ00" 179°59ˊ59" 180°00ˊ07" 180°00ˊ02" 180°00ˊ01" 179°59ˊ59" 179°59ˊ52" 180°00ˊ00"
测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识本章摘要：本章主要介绍测量误差的种类；偶然误差的统计特征和处理方法；精度的含义；评定测量精度的指标；不同精度指标表达的意义及其适用范围。
§5-1测量误差及分类摘要内容：学习误差理论知识的目的，使我们能了解误差产生的规律，正确地处理观测成果，即根据一组观测数据，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度；同时，根据误差理论制定精度要求，指导测量工作选用适当观测方法，以符合规定精度。
讲课重点：测量误差的概念、测量与观测值分类、测量误差及其来源、测量误差的种类、偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲课难点：偶然误差的特性及其概率密度函数。
讲授重点内容提要：一、测量误差的概念人们对客观事物或现象的认识总会存在不同程度的误差，这种误差在对变量进行观测和量测的过程中反映出来，称为测量误差。
二、测量与观测值通过一定的仪器、工具和方法对某量进行量测，称为观测，获得的数据称为观测值。
三、观测与观测值的分类1.同精度观测和不同精度观测观测条件：构成测量工作的要素包括观测者、测量仪器和外界条件，通常将这些测量工作的要素统称为观测条件。
同精度观测：在相同的观测条件下，即用同一精度等级的仪器、设备，用相同的方法和在相同的外界条件下，由具有大致相同技术水平的人所进行的观测称为同精度观测，其观测值称为同精度观测值或等精度观测值。
反之，则称为不同精度观测，其观测值称为不同（不等）精度观测值。
2.直接观测和间接观测直接观测：为确定某未知量而直接进行的观测，即被观测量就是所求未知量本身，称为直接观测，观测值称为直接观测值。
间接观测：通过被观测量与未知量的函数关系来确定未知量的观测称为间接观测，观测值称为间接观测值。
（说明：例如，为确定两点间的距离，用钢尺直接丈量属于直接观测；而视距测量则属于间接观测。
）3.独立观测和非独立观测独立观测：各观测量之间无任何依存关系，是相互独立的观测，称为独立观测，观测值称为独立观测值。
第5章测量误差的基本知识
2.全微分 dD (cos)dD (Dsin) d
3.化为中误差
[(cos15 ) 0.05]2 [(50 sin15 ) 30]2
mD 0.048(m)
六、应用误差传播定律的基本步骤
1. 列出观测值函数的表达式
Z f (x1, x2 ,xn )
2.对函数Z进行全微分
f
f
f
Z ( x1 ) x1 ( x2 ) x2 ( xn ) xn
消除方法 观测值偏离真值的程度称为观测值的准确度。系
统误差对观测值的准确度影响很大，但它们的符号和 大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适当的 措施消除或减弱其影响。
处理原则：找出规律，加以改正。 ◆ 测定系统误差的大小，对观测值加以改正。 如： 钢尺量距中进行尺长、温度、倾斜改正等。 ◆ 校正仪器，将系统误差限制在容许范围内。 ◆ 对称观测，水准测量中，使前后视距离相等 (中间法)；角度观测时，采用盘左盘右取平均值。
n
n
为该量的最可靠的数值，称为“最或是值”。
证明：设某量的真值为X，各次观测值为l1，l2……ln，
相应的真误差为 1，2， ，n ，则 1 l1 X ...2 l2 X
n ln X
相加并除以n得 [] [l] X
nn
X [l] [] x x nn
式中： x 为算术平均值，即 x l1 l2 ln [l]
处理原则：多余观测，制定限差。 为了提高观测值的精度，通常对偶然误差采用如下 处理方法 ◆.提高仪器等级； ◆.进行多余观测； ◆.求平差值。 3.粗差(错误) 测错，记错，算错……。错误在测量成果中不允许 存在。处理原则：细心，多余观测。遵守操作规程、严 格检查制度，及时发现和纠正错误。
第5章-测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识第一节测量误差概述一、测量误差的来源1．测量仪器和工具由于仪器和工具加工制造不完善或校正之后残余误差存在所引起的误差。
2．观测者由于观测者感觉器官鉴别能力的局限性所引起的误差。
3．外界条件的影响外界条件的变化所引起的误差。
人、仪器和外界条件，通常称为观测条件。
观测条件相同的各次观测，称为等精度观测；观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。
在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差。
粗差在观测结果中是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。
二、测量误差的分类系统误差偶然误差1．系统误差在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现的符号和大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。
系统误差在测量成果中具有累积性，对测量成果影响较大，但它的符号和大小又具有一定的规律性，一般可采用下列方法消除或减弱其影响。
（1）进行计算改正（2）选择适当的观测方法2．偶然误差在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果观测误差的符号和大小都不一致，表面上没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。
三、偶然误差的特性偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随着对同一量观测次数的增加，大量的偶然误差就表现出一定的统计规律性，观测次数越多，这种规律性越明显。
例如，对三角形的三个内角进行测量，由于观测值含有偶然误差，三角形各内角之和l 不等于其真值180˚。
用X 表示真值，则l 与X 的差值Δ称为真误差（即偶然误差），即现在相同的观测条件下观测了217个三角形，计算出217个内角和观测值的真误差。
再按绝对值大小，分区间统计相应的误差个数，列入表中。
l X∆=-偶然误差的统计**误差区间正误差个数负误差个数总计0″～3″302959 3″～6″212041 6″～9″151833 9″～12″141630 12″～15″121022 15″～18″8816 18″～21″5611 21″～24″224 24″～27″101 27″以上000合计107110217（1）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差个数多；（2）绝对值相等的正负误差的个数大致相等；（3）最大误差不超过27″。
第五章测量误差的基本知识
f f f dZ dx1 dx2 K dxn x1 x2 xn
3.变成中误差式
m k1m1 k2 m2 ... kn mn
2
【例题】已知：测量矩形的长和宽 a±ma=20.000±0.002米 b±mb=50.000±0.004米 试求：矩形的面积S及其中误差mS 解： 1.函数式：S=a×b=20×50=1000米2 2.全微分：ds b da a db 3.变成中误差式：
m k1m1 k2 m2 ... kn mn
2 Z 2 2
2
其中mi—独立观测值Xi的中误差
（二）计算步骤 1.按实际测量问题的要求写出函数式 Z f x1, x2 ,K , xn 2.对函数进行全微分
k1dx1 k2 dx2 K kn dxn
权是反映观测值的相对精度。 观测值中误差越小，权越大，观测精度越高。
第五章 测量误差的基本知识
5．1测量误差概述 5．2偶然误差的特性 5．3衡量观测值精度的指标 5．4误差传播定律及其应用 5．5等精度独立观测值的算术平 均值及精度评定 5．6不等精度独立观测值的加权 平均值及精度评定
•
在测量工作中，有些未知量往往不能直 接测得，而需要由其它的直接观测值按一 定的函数关系计算出来。由于独立观测值 存在误差，导致其函数也必然存在误差， 这种关系称为误差传播。阐述观测值中误 差与观测值函数中误差之间关系的定律称 为误差传播定律。
3 (2) (4) 2 0 (4) 3 2 (3) (1) m1 2.7 10
m2 3.6
第一台经纬仪测角中误差小，精度高
二、允许误差 由概率论知道，偶然误差绝对值大于二倍中误差 个数约占总数的5%，大于3倍中误差的占总数的 0.3%,把二倍或三倍中误差作为允许误差。 允 2m ~ 3m
测量(5测量误差的基本知识)
数字的精度是取决于小数点后的位数，相同单位的两个数，小数点 后位数越多，表示精度越高。因此小数点后位数不可随意取舍。例 如，17.62m与17.621m，后者准确到 mm，前者只准确到cm。从这里 可知： 17.62m 与 17.620m ，这两个数并不相等， 17.620m 准确至毫米， 毫米位为0。因此，对一个数字既不能随意添加 0，也不能随意消去 0。
（上列数据单位均为秒）
试问哪一组观测值精度高？源自试解：计算甲乙两组的平均误差进行比较：
θ 甲 | | 30 20 40 20 0 40 30 20 30 10 24 n 10 | | 10 10 60 20 20 30 50 0 30 10 24
总 和
180
0.505
177
0.495
上表用较直观的直方图表示。横坐标表示偶然误差△ ，纵坐标 表示误差出现的相对个数 （又 称组距），即频率/ 组距，因此每个矩形的面积等于该区间误差出 k ki 现的频率 i 。 / d (频率/ 组距) n (频率/ 组距) n 本例组距: d△ =0.2″
第5章 测量误差的基本知识
一、测量误差概述 二、衡量测量精度的标准 三、误差传播定律 四、等精度直接观测平差 五、不等精度直接观测平差
5.1 测量误差概述
何谓误差？误差就是某未知量的观测值与其真值的差数。该差 数称为真误差。即
i Li X
式中△i为真误差；li为观测值；X表示真值。
一般情况下，某未知量的真值无法求得，此时计算误差时，用观 测值的最或然值代替真值。观测值与其最或然值之差，称为似真误 差。观测值的最或然值是接近于真值的最可靠值，将在本章最后一 节讨论。即
第五章测量误差的基本知识
第五章测量误差的基本知识§5.1 测量误差概述在测量工作中，当对某量进行多次重复观测后就会发现，各次观测值之间往往存在差异。
例如，对某段距离进行多次丈量，往往发现每次丈量的结果不一致；又如，平面三角形三内角之和理论上应等于180°，但经测量后的三个内角的观测值之和常常不等于180°而有差异。
这类在同一量的各观测值之间，或在观测值与其理论值之间存在差异的现象，在测量工作中是普遍存在的。
之所以会产生这类现象，是因为观测值中包含有观测误差的缘故。
一、产生误差的原因观测值中为什么会存在观测误差呢？概括起来，有下列三方面原因：1．观测者由于观测者感觉器官的鉴别能力的局限性，在仪器安置、目标照准、测微读数等工作中都会产生误差。
同时，观测者的技术水平及工作态度也会对观测结果产生影响。
2．测量仪器测量工作所使用的测量仪器都具有一定的精密度，从而使观测结果的精度受到限制。
另外，仪器本身构造上的缺陷，也会使观测结果产生误差。
3．外界条件观测时的外界条件，如温度、湿度、气压、大气折光、风力等因素都会对观测结果直接产生影响。
随着这些因素的变化，它们对观测结果产生的影响也随之变化，这就必然使观测结果带有误差。
观测者、测量仪器和观测时的外界条件是引起观测误差的主要因素，通常称为观测条件。
观测条件相同的各次观测称为等精度观测。
观测条件不同的各次观测称为非等精度观测。
任何观测都不可避免地要产生误差。
为了获得观测值的正确结果，就必须对误差进行分析研究，以便采取适当的措施来消除或削弱其影响。
二、误差的分类观测误差按其性质，可分为系统误差和偶然误差。
1．系统误差在相同的观测条件下，对某量进行多次观测，如果观测误差的大小和符号呈现某种规律性的变化，或保持常数，这类误差称为系统误差。
例如，用名义长为30m，而实长为29.99m 的钢尺量距时，每量一尺段就有+0.01m的系统误差。
又如，经纬仪的竖盘指标差对竖直角测量的影响也属系统误差。
第五章 测量误差基本知识
5-2 、偶然误差的统计规律性
例如： 对同一量观测了n次
观测值为 l1,l2,l3,….ln
如何取值？
如何评价数据的精度？
例如： 对358个三角形在相同的 观测条件下观测了全部内 角，三角形内角和的误差
i为 i= i +i+ i-180
其结果如表5-1，图5-1, 分析三角形内角和的误 差I的规律。
Σ
181 0.505
177 0.495
358 1.000
误差分布特点：参见课本P100 （3点）
5-3 偶然误差的分布
k/d
频率直方图
-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3 +6 +9 +12+15+18+21+24 X=
偶然误差的特性
有限性：在有限次观测中，偶然误差应 小于限值。 渐降性：误差小的出现的概率大 对称性：绝对值相等的正负误差概率相 等
, 叫标准差
二、相对中误差（补充内容）
某些观测值的误差与其本身大小 有关 用观测值的中误差与观测值之比 的形式描述观测的质量，称为相 对误差（全称“相对中误差”）
例，用钢卷尺丈量200m和40m两段距 离，量距的中误差都是±2cm，但不 能认为两者的精度是相同的
前者的相对中误差为0．02／200 ＝1 ／10000 而后者则为0．02／40＝l／2000 前者的量距精度高于后者。
二、 测量误差产生的原因
1、观测者的因素
不等精度观测 观测条件 等精度观测
2、测量设备的因素
3、观测环境的因素
三、测量误差的分类
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正态分布密度曲线
第五章测量误差基本知识实践证明，如果对某量进行多次观测，在只 含有偶然误差情况下，偶然误差列呈现出统计学上 的规律性。观测的次数愈多，这种规律愈明显。例 如，对三角形的三个内角进行观测，内角观测值之 和∑不等于180，其差值Δ为闭合差又称为真误差，即： Δ＝∑—1800
第五章测量误差基本知识chen
测站捡核 测站捡核是测量时最有效的
检查和发现误差的好办法--开测前必不可少的步骤。
第五章测量误差基本知识chen
3．偶然误差
在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，误 差出现的符号和大小均不一致，且从表面上看没有任 何规律性，这种误差称为偶然误差。
当不存在粗差和系统误差的情况下，偶然误差实际上 就是观测值与真值之差，即
含有粗差的观测值都不能采用，一旦发现粗 差，该观测值必须舍弃或重测。
第五章测量误差基本知识chen
2．系统误差
在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观 测，若误差出现的大小均相同，或按一定的规 律变化，这种误差称为系统误差。
例如用名义长度为30m，而实际长30.004m的钢 尺；量一尺段就有—0．004m的系统误差，它 是一个常数；又如水准仪虽经检校，视准轴与 水准管轴之间仍会存在I角误差，观测时在水准 尺上的读数便会产生误差。
Δ = L — X (5—1)
式中Δ为偶然误差，L为观测值，X为真值。
偶然误差亦称随机误差，其符号和大小虽然在表面 上是无规律，但决不能说这些事实和现象的产生是无 缘无故的。例如钢尺量距时在尺上估读的小数(有时偏 大，有时偏小)就属于偶然误差。因为在表面上是偶然 性在起作用，实际上却始终是受其内部隐蔽着的规律 所支配，问题是如何把这种隐蔽的规律揭示出来。
一、测量误差的分类 二、偶然误差的特性
第五章测量误差基本知识chen
测量误差概述
观测条件(客观条件) ----观测误差的产生: 1.观测仪器的构造不可能十分完善。 2.测量作业是在不断运动变化着外界条件(如风、
温度、亮度等)下进行的。 3.观测者感觉器官的鉴别能力有限。 以上便是观测误差产生的主要原因 等精度观测---观测条件相同的各次观测； 不等精度观测---观测条件不同的各次观测； 粗差--测量结果中出现错误，例如读错、记错、
特性与规律
第一个特性说明误差出现的范围、 第二个特性说明误差值大小呈现的规律； 第三个特性说明误差符号出现的规律； 第四个特性说明偶然误差具有抵偿性，
第四个特性可由第三个特性导出。
第五章测量误差基本知识chen
表5—l的统计结果
可用图形来表达，现以横坐标表示三角形内角和的偶 然误差(闭合差)的大小，在横坐标轴上从原点向左右截 取各误差区间，纵坐标表示各误差区间误差出现的相 对个数除以区间的误差间隔值，如图5—1。 矩形面积 表示误差出现频率ni／n。
系统误差具有累积性，对测量结果影响甚大， 但它的符号和大小有一定的规律，应当设法消 除与减弱其影响。
第五章测量误差基本知识chen
消除与减弱系统误差具体措施
(1)校正仪器。如对水准仪的视准轴不平行于水准轴的校正，
经纬仪照准部水准管轴不垂直于竖轴或度盘偏心的误差对测 量水平角的影响的校正等。 (2)采用适当的观测方法。如角度测量中正、倒镜的观测； 水准测量中的中间水准测量法，分上、下午进行往返观测等 等。 (3)计算改正。如对测距观测值进行必要的尺长改正、温度 改正、气压改正、频率改正等。 (4)系统误差补偿。即把系统误差作为一种未知参数来处理。 如果用某种标准对观测值进行．判断，发现有系统误差存在， 但对其数值的大小和符号不能确定，这时可采用设置未知数 的方法，使它与其他未知数一起通过计算求出来，这种方法 称为系统误差补偿。
第五章 测量误差的基本知识
教学目的和要求：使学生掌握测量误差的基本 知识。
重点：测量误差的分类。偶然误差的统计特性， 算术平均值的基本原理。精度及测量精度的标 准。
难点：观测值的误差及其函数误差的传播定律。 教学方法：讲授法、图表法。 教学过程
第五章测量误差基本知识chen
第一节 测量误差概述
(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的 机会要多；
(3)绝对值相等的正误差与负误差出现的机会 相等；
(4)同一量的等精度观测，其偶然误差的算术 平均值，随着观测次数的增加而趋近于零，即
第五章测量误差基本知识chen
[] lim 0 n n
[ ]
第五章测量误差基本知识chen
例如图中有阴影的一个矩形面积，即表示误差出现在 ±O．”5一十1．”0之间的频率。横坐标轴 表示偶然 误差，所以各矩形上部包围的一个折线就能比较形象 地表示出偶然误差的分布规律。当误差区间取得足够 小，观测次数足够多时，该误差折线就趋向于一条对
称于纵坐标轴的连续曲线，称为误差分布曲线。
第五章测量误差基本知识chen
测错。
第五章测量误差基本知识chen
一、测量误差的分类
粗差、系统误差、偶然误差三大类。 观测误差是这三类误差的代数和。
第五章测量误差基本知识chen
1．粗差
粗差是一种大量级的观测误差，是由于观测者 疏忽大意，操作不当；或受外界干扰等原因造 成的，例如，照错了目标，读错或记错了数据 等。粗差实际上是一种错误，在观测成果中是 不允许存在的，由于它将严重影响观测成果的 质量，因此要求测量工作者要具有高度的责任 心和良好的工作作风，尽量避免粗差的发生。 通过重复观测、严格检核与验算等方式均可发 现粗差。国家的各类测量规范和细则一般也能 起到防止粗差出现和发现粗差的作用。
现观测了96个三角形，将每个三角形内角和真误差 的大小按一定区间统计如表5—l。由表中可以看出：
(1)小误差的个数比大误差多； (2)绝对值相等的正负误差的个数大致相等； (3)最大误差不超过3．”0。
第五章测量误差基本知识chen
反复实践总结出偶然误差的特性：
(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值 不会超过一定的限度；