厚透镜传输矩阵推导
几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换
g1g2
0 g1g2 1
L
L
g1,2
1 2 f1,2
1
R1,2
rs为实数 rs Ce js C*e js
or
rs rmax sins
r0 rmax sin
r1 Ar0 B0 rmax sin
cos A D
2
rmax,
rs
n次往返传播矩阵:
Tn
1
sin
Asin n sinn 1
几何光学中的光线传输矩阵 （ABCD矩阵）
和
高斯光束通过光学元件的变换－ ABCD公式
一、几何光学中的光线传输矩阵（ABCD矩阵）
r z
正,负号规定:
2. 自由空间区的光线矩阵
B
r0 ,0
r,
A
L
1. 表示光线的参数
r － 光线离光轴的距离 － 光线与光轴的夹角
傍轴光线 dr/dz = tan sin
L
1
B
L 2
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A
2
D
)rs
1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
A处 qA = q0+ l
C处 qc= qB+ lc
厚透镜成像规律
厚透镜成像规律嘿，你有没有想过，我们的眼睛就像一个神奇的厚透镜呢？或者说那些各种各样的眼镜镜片，它们到底是怎么让我们看到清晰的世界的呢？这就和厚透镜成像规律有着千丝万缕的关系啦。
我还记得我和我那爱钻研的朋友小明的一次有趣对话。
那天我们拿着一个厚透镜在玩，小明突然问我：“你说这个厚透镜到底把东西变成像的时候，有没有啥秘密的规则呢？”我当时就愣住了，我只知道透镜能成像，可这规律还真没仔细想过。
其实啊，厚透镜成像可不像我们想象的那么简单。
它不像薄透镜，薄透镜我们可以用简单的公式就大概算出成像的位置和大小。
厚透镜可就复杂多啦。
厚透镜成像，就像是一场神秘的魔术表演。
物就像是一个魔术师手中的道具，而厚透镜就是那个充满魔力的魔法盒。
当光线这个小助手从物那里出发，进入厚透镜这个魔法盒的时候，奇妙的事情就开始发生了。
我们先来说说厚透镜的两个关键的点，焦点和主点。
焦点就像是舞台上的聚光灯的中心位置，光线如果是一群小演员，当平行于主光轴的光线小演员们进入厚透镜这个舞台后，它们就会朝着焦点这个特殊的位置聚集。
这就好像一群小伙伴在外面玩耍，听到了集合的哨声，都朝着一个特定的地方跑去一样。
主点呢？它有点像是这个舞台的一个基准点，对于我们理解成像的位置等有着重要的意义。
我和小明做了个小实验。
我们把一个小蜡烛放在厚透镜的前面，然后在透镜的后面放了一个白色的屏幕。
一开始，我们看到屏幕上的像模模糊糊的，这就像是一个调皮的孩子在和我们捉迷藏，不让我们看清它的真面目。
我们慢慢地移动屏幕的位置，就像在一点点地揭开这个谜底。
当物距（就是物体到透镜的距离）比较大的时候，我们发现成像的情况有点像缩小版的物体，而且是倒立的。
这就好比我们看远处的高楼大厦，通过一个特殊的“魔法透镜”，在某个位置看到的像是缩小的、倒立的高楼大厦的样子。
这时候的像呢，距离厚透镜比较近，在焦点和二倍焦距之间。
我当时就惊叹道：“哇塞，这厚透镜可真神奇，把大的东西变成小的了！”那要是物距变小一点呢？我们又做了实验。
光纤准直器原理
3)而且， q 1 q 0 l ， q 2 q 3 l w /2， q 0 i2w01if 1， q 3 i2w 022if 2。
一 . 模型光纤准直器通过透镜能实现将从发散角较大 (束腰小) 的光束转换为发散角 较小(束腰大)的光束，从而以较低损耗耦合进入其他光学器件。
在这里，我们 将从光纤中的出射光束认为是基模高斯光束；光纤准直器基本模型如下：其中， q i ( i=0,1,2,3 )为高斯光束的 q 参数，q 参数定义为：图 1 中， q i (i=0,1,2,3 )分别表示光纤端面，透镜入射面，透镜出射面，和出 射光束的束腰处的 q 参数，而w 01和 w 02分别表示透镜变换前后的束腰； l 表示光 纤端面与透镜间隔， l w 为准直器的设计工作距离。
二 . 理论分析根据 ABCD 理论，高斯光束 q 参数经透镜变换后，Aq 1 B q2Cq 1 D ，光纤准直器原理曾孝奇11 qz Rz i w 2z ，1)2， w z w 0 12w2)这样，我们可以得到经过透镜后的束腰大小：AD BC w 02 w 012Cl D 2 Cf 1工作距离：2l 2 Al B Cl D ACf 12，（5）l w 22 2 ，（ 5）wCl D 2 Cf 1 2方程（ 5）是关于 l 的二次方程，为使得 l 有实根，方程（ 5）的判别式应该不小 于零，从而我们可以得到：AD BC 2ACf 1，w 2 ，C 2 f 1方程（ 6）表示准直器的工作距离有上限，就是一个最大工作距离 2D l wmax AD BC 2ACf 1 / C 2 f 1 。
此时，我们得到： l f 1 D。
C 分析：不论对于何种透镜， 准直器的出射光斑和工作距离都取决于透镜的传 输矩阵 ABCD ；对于给定的透镜，它们还跟入射光斑大小和光纤端面与透镜间的 距离 l 有关， 也就是说，对于给定的入射光束和给定的透镜， 我们可以通过在透 镜焦距附近改变 l 来实现不同的工作距离。
第3讲 典型激光器介绍及光线传输矩阵
能级
图
封离式CO2激 光器结构示意 图
12
3.1 典型激光器介绍
13
3.1 典型激光器介绍
▪ Ar+离子激光器
➢ Ar＋激光器一般由放电管、谐振腔、轴向磁场和回气管等几部分组 成。如下图所示为石墨放电管的分段结构 。
分段石墨结构Ar+激光器示意图
14
3.1 典型激光器介绍
15
3.1 典型激光器介绍
3、不同介质介面（平面）
ro ri 0
ro
0
1 2
ri
1
ro ro
0
0
1 2
ri ri
Байду номын сангаас
由近轴近似，折射定律可以写成
1 sin ri 2 sin ro 1 ri 2 ro
辐射不是基于原子分子或离子的束缚电子能级间的跃磁韧致辐射带电粒子在磁场中受到洛伦兹力的作用会作加速运动从而产生辐射当速度接近光速的电子作圆周运动时将会辐射出光子由于这种辐射1947年在同步加速器上被发现的因而被命名为同步辐射synchrotronradiation切伦科夫辐射当电子在介质中运动时如果它们的速度比光在介质中的相速度大电子也会产生光辐射其波长随着电子速度而变化虽然光很弱但却是单色性很好的辐射光
➢ 谱线范围宽 ---目前有数百种气体和蒸气可以产生激光，已经观测到 的激光谱线近万余条，谱线覆盖范围从亚毫米波到真空紫外波段， 甚至 X射线、射线波段。
➢ 光束质量优---工作物质均匀一致保证了气体激光束的优良光束质量， 在光束的相干性、单色性方面优于固体、半导体激光器，如He-Ne 激光的单色性很高，Δλ很容易达到10-9～10-11nm，其发散角只有l～ 2毫弧度。
透镜成像的公式推导
透镜成像的公式推导透镜作为一种常见的光学元件，被广泛应用于相机镜头、显微镜、望远镜等光学仪器中。
了解透镜成像的原理和公式推导，可以帮助我们更好地理解光学系统的工作方式。
一、透镜成像原理透镜成像原理基于光线的折射现象。
当光线从一种介质射向另一种折射率不同的介质时，会发生折射现象。
透镜具有曲面，使得光线在它上面发生折射，最终形成一个倒立的实像或虚像。
透镜成像的位置和大小取决于物体的位置和大小，以及透镜的焦距。
二、透镜成像公式透镜成像可以通过两个公式来描述：薄透镜成像公式和透镜成像放大倍率公式。
1. 薄透镜成像公式薄透镜成像公式可以推导出物距、像距和焦距之间的关系。
设物体距离透镜的距离为object_distance(O)、像体距离透镜的距离为image_distance(I)，透镜的焦距为f。
根据几何光学的原理，我们可以得到以下公式：1/O + 1/I = 1/f这个公式被称为薄透镜成像公式，它描述了光线通过透镜后的折射和成像情况。
2. 透镜成像放大倍率公式透镜成像放大倍率公式可以推导出物体高度、像体高度和焦距之间的关系。
设物体高度为object_height(H)，像体高度为image_height(h)，透镜的焦距为f。
根据几何光学的原理，我们可以得到以下公式：h/H = -I/O = I/(f-I)这个公式描述了物体在透镜成像后的放大倍率。
三、透镜成像的具体示例下面以凸透镜为例，来具体推导透镜成像的公式。
假设透镜为凸透镜，其焦点位于透镜的右侧。
当一个物体放置在凸透镜的左侧时，根据薄透镜成像公式，我们可以得到：1/O + 1/I = 1/f这里物体距离透镜的距离O为正，因为物体位于透镜的左侧；像体距离透镜的距离I为正，因为像体位于透镜的右侧；焦距f为正，因为凸透镜的焦点位于透镜的右侧。
根据凸透镜成像的特性，当物体的距离远离透镜时，焦距可以近似为常数。
因此，当物体距离透镜远离焦距时，透镜成像满足以下近似关系：1/O ≈ 1/I 或O ≈ I这表示物体和像体的距离大致相等。
第六节矩阵光学
1-1.54 1 φ2 1 R2 13.5 0 1 0 1 0 1 1 R1 d 2 27 1 n2 1.54
0 1
0 1 B A 1 0.541.35 1 S21 17.53 1 0 D C 1 0 0.052 0.3 17.53 0.3
' Al2 y' ( ' C ) y n2
垂轴放大率：
' Al2 y' ' C y n2
（一般形式2→K）
S B 'B
Al1 B n 1 0
A ' -Al2 C ' n2
1 SB 'B
' -Al2 ' C n2 0
| S21 | BC AD 1
若系统由K个折射面组成，则
S k1 Rk Tk ( k 1) Rk 1T( k 1)( k 2 ) R2T21 R1 B A D C 1 k
B A Sk 1 D C 1 k
行列式
| S k1 | BC AD 1
1 SN1 0 -d 1 N B A D C
N 1
0 1
1 0
N-1
0 1 1 1 2 1 d 1 0 1 0 1 1 1
A、B、C、D由各薄透镜的光焦度和它们间的间隔所决定 并知A为光焦度，这是有普遍意义的，对于同一介质中的 任何光学系统，高斯常数A均为光焦度，如一光学系统由 光焦度为两块薄透镜组成间隔为d则，
y' 与入射光孔u 1 角无关，近轴区象高y' 和 又∵ 近轴区， 物高 y 成正比，与 u 1 大小无关
光线传输矩阵推导过程
光线传输矩阵推导过程光线传输矩阵是一种用于描述光线在光学系统中传输的数学工具。
它可以用来计算光线在光学系统中的传输路径和光强分布。
本文将介绍光线传输矩阵的推导过程。
我们需要了解一些基本概念。
在光学系统中，光线可以被描述为一条从一个点出发的矢量。
这个点可以是光源、物体或者像点。
光线的传输可以通过一系列的光学元件来实现，例如透镜、棱镜、反射镜等。
每个光学元件都有一个传输矩阵，它描述了光线在该元件中的传输过程。
假设我们有一个光学系统，由多个光学元件组成。
我们可以将整个系统看作是由多个小的光学元件组成的。
每个小的光学元件可以被描述为一个传输矩阵。
我们可以将这些小的传输矩阵组合起来，得到整个系统的传输矩阵。
现在，我们来推导一个光学元件的传输矩阵。
假设我们有一个光学元件，它将一个入射光线转换为一个出射光线。
我们可以将入射光线表示为一个列向量，出射光线表示为另一个列向量。
我们可以将这两个列向量组合成一个矩阵，称为传输矩阵。
传输矩阵的推导需要用到矩阵乘法的知识。
假设我们有一个光学元件，它将一个入射光线转换为一个出射光线。
我们可以将入射光线表示为一个列向量，出射光线表示为另一个列向量。
我们可以将这两个列向量组合成一个矩阵，称为传输矩阵。
假设我们有一个入射光线，它的方向向量为u，入射点为P1，出射点为P2。
我们可以将入射光线表示为一个列向量：u1 = [u1x, u1y, u1z, 0]T其中，T表示转置。
我们将最后一项设置为0，是因为我们只考虑光线的方向，而不考虑光线的位置。
同样地，我们可以将出射光线表示为一个列向量：u2 = [u2x, u2y, u2z, 0]T我们可以将光学元件的传输矩阵表示为一个4x4的矩阵M：M = [a, b, c, d;e, f, g, h;i, j, k, l;0, 0, 0, 1]其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l都是实数。
我们可以将传输矩阵作用于入射光线上，得到出射光线：u2 = Mu1我们可以将这个式子展开，得到：u2x = au1x + bu1y + cu1z + du1wu2y = eu1x + fu1y + gu1z + hu1wu2z = iu1x + ju1y + ku1z + lu1wu2w = 0其中，w表示光线的强度。
几何光学中的光线传输矩阵高斯光束通过光学元件的变换
A处：r0, 0 B处：r’,’
r r0 L0 0
自由空间 光线矩阵
r
A C
B D
r00
TL
r00
1 TL 0
L 1
3. 空气与介质(折射率为n2)的界面
r CA
入射 r0,0 出射 r,
B D
r00
Tn1n2
r00
n1 sin0 n2 sin '
n10
r
L f2
C
1 f1
1 f2
1
L f1
D
L f1
1
L f1
1
L f2
rs1 Ars Bs
or
s
1 B
rs1
Ars
s1
1 B
rs2 Ars1
Crs Ds
1 B
rs2
Ars1
Crs
D B
rs1
Ars
rs2
2(
A 2
D )rs1
AD
BCrs
0
AD BC 1
rs2
2(
A
2
D
)rs
2
f
f
可见，同一谐振腔，不同
的传播次序，往返矩阵T不
相同，但(A+D)/2相同。
s
1
s 1
T1 T2
T13
T23
1 0
0 1
A D
AD
1
L
1
1,1
2 T1
2 T2
f2
AD BC AD BC 1
T1
T2
思考题：
对1和2两种光线顺序， 分别求
rs rmax sins
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2112210n n n n r n ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦()123
212121121212121122212121121212121122221122121111212122101010111011T TT T d n n n n n n n r n n r n n n n d d r n n n n n n n n n r n n r n n n n d d r n n d n n n n n n n n d n r n r n n r r r =⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-+=----+-+2n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1212210n n n n r n ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
21'22H l n n d f r n -=-'21'12H l n n d f r n -=-厚透镜传输矩阵推导
推导过程主要参考张以谟主编的《应用光学》第3版，以下简称《应用光学》。
激光原理书中已给出球面折射的光线传输矩阵：
其推导较为简单，这里需注意，传输矩阵中的符号是由自己定义的，如书中对r 的符号的定义为光线遇到凹面镜时取0r >，光线遇到凸面镜时取0r <。
因为下文中用到的诸多公式都来自《应用光学》，为了符号规则统一，下面我们按照《应用光学》中的符号定义规则来重新推导。
《应用光学》中关于符号定义的规则：沿轴光线，以折射面或反射面的顶点为原点O ，如果由顶点O 到光线与光轴的交点或球心的方向与光线传播方向相同，其值为正，反之为负。
按此规则，则光线遇到凹面镜时取0r <，光线遇到凸面镜时取0r >，与书中的规定正好相反，因此球面折射的光线传输矩阵应改为：
对于周围介质折射率为1n ，本身折射率为2n 的厚透镜，设其前后两个曲面曲率半径分别为1r ， 2r ，厚度为d ，可列写起传输矩阵：
由《应用光学》稍加进一步推导可知：
其中H l ， 'H l 分别为物方主面和像方主面位置。
即主面到透镜顶点的距离，符号按前述规则取。
详细推导见《应用光学》P54页，书中推导时令1n =1。
另外，厚透镜的像方焦距为：
()()()'''1212122122121f f n n r r f n n n r r n n d =-=∆--+-⎡⎤⎣⎦'1'2''111H H
l n d
f n T l f f ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦'12111H H l n d f n T l f
f ⎡⎤+⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦2121111h n d
f n T h f f ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
则：()2211221'111212121d n n n n n n f n r n r n n r r ⎡⎤---=-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
将代人可得：
现实中大家都已习惯直接用焦距f 代替像方焦距'f ，故T 可简写为：
由此，可知出厚透镜的传输矩阵与其主面的位置有关。
对于双凸厚透镜，如图，0H l >，'0H l <，若令1h ，2h
分别为物方主面到透镜左顶点的距离和和像方主面到右
顶点的距离，则1H h l =，'2H h l =-，那么。