(整理)传输矩阵法.

传输矩阵法

一、 传输矩阵法概述 1. 传输矩阵

在介绍传输矩阵的模型之前，首先引入一个简单的电路模型。如图1(a)所示， 在(a)中若已知A 点电压及电路电流，则我们只需要知道电阻R ，便可求出B 点电压。传输矩阵具有和电阻相同的模型特性。

(a)

(b)

图1 传输矩阵模型及电路模拟模型

如图1(b)所示，有这样的关系式存在：E 0=M(z)E 1。M(z)即为传输矩阵，它将介质前后空间的电磁场联系起来，这和电阻将A 、B 两点的电势联系起来的实质是相似的。

图2 多层周期性交替排列介质

传输矩阵法多应用于多层周期性交替排列介质（如图2所示）， M(z)反映的介质前后空间电磁场之间的关系，而其实质是每层薄膜特征矩阵的乘积，若用

j M 表示第j 层的特征矩阵，则有：

1 2 3 4 …… j …… N

（1）

其中， （2）

j δ为相位厚度，有 （3）

如公式（2）所示，j M 的表示为一个2×2的矩阵形式，其中每个矩阵元都没有任何实际物理意义，它只是一个计算结果，其推导过程将在第二部分给出。

2. 传输矩阵法

在了解了传输矩阵的基础上，下面将介绍传输矩阵法的定义：

传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成传输矩阵形式，变成本征值求解问题。

从其定义可以看出，传输矩阵法的实质就是将麦克斯韦方程转化为传输矩阵，也就是传输矩阵法的建模过程，具体如下：利用麦克斯韦方程组求解两个紧邻层面上的电场和磁场，从而可以得到传输矩阵，然后将单层结论推广到整个介质空间，由此即可计算出整个多层介质的透射系数和反射系数。

传输矩阵法的特点：矩阵元少（4个），运算量小，速度快；关键：求解矩阵元；适用介质：多层周期性交替排列介质。

二、 传输矩阵的基础理论——薄膜光学理论 1.麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组由四个场量：D 、E 、B 、H ，两个源量：J 、ρ以及反映它们之间关系的方程组成。而且由媒质方程中的参数ε、μ、σ反映介质对电磁场的影响。方程组的实质是描述电磁场的传播，即：一个变化的磁场引起邻近区域的电场变化，而此电场的变化又引起邻近磁场的变化，如此进行下去，便可抽象出电磁场的传播。如图3 所示。

⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡==∏=D C B A M z M N

j j 1)(⎥⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=j j j j j

j

j i i M δδηδηδcos sin sin cos j j j j d N θλπ

δcos 2=ε

图3 电磁场传播的模拟图

将媒质方程带入麦克斯韦方程组，并对方程组求解可得以下两个重要结论：

1) (4)

式（4）中，N 即为介质的光学导纳，单位为西门子。特别说明：光波段时，

μ约等于1，N 数值上等于折射率。自由空间导纳 。 2) (5)

(6)

式（5）为电场的波动方程，与经典波导方程（6）相比可得 ，通

常把光速c 和电磁波在介质中速度之比定义为折射率，即得折射率公式：

(7) 2.边界条件及反射折射

电磁波在介质交界处满足切向分量连续的边界条件。垂直入射时，电场和磁场均与入射面垂直，则它们的切向分量既是本身。根据边界条件可得： (8)

式（8）中，上标为+的代表入射波，-表示反射波。又由导纳定义式（4）可得： (9）

(10)

将式（9）、（10）代入（8）中，整理可得反射系数定义式：

(11)

r 为反射系数，R 为反射率。 透射系数原理相同，在此不再推导。

E H H E E H H E

jk n v

c

E k H N -==⨯=00265.0377

1

0==ηt v 2

222

1∂∂=∇ϕ

ϕεμ

c

v =t

E

c E 2222∂∂=

∇μεμε

=n ⎪⎭

⎪

⎬⎫+=+=-+-+001001H H H E E E ⎪⎭

⎪

⎬⎫⨯-=⨯=--+

+)()(000000E k N H E k N H )(111E k N H ⨯=1

01000N N N N E E r +-==+-2

r R =

上面讨论的是垂直入射的情况，斜入射时情况类似，只是用修正导纳0η、1

η代替（11）中的0N 、1N 。

其实，无论电磁波入射情况如何，电磁波只有两种情况：一种是电场E 平行入射面即TM 波（P 分量），此时电场的切向分量θcos E E tg =（θ为入射角），而磁场的切向分量是其本身，因此由（4）式可得：

)(cos )cos ()(E k N

E k N E k N H H tg tg ⨯=

⨯=⨯==θ

θ (12) 将（12）式与（4）式对比可得到P 分量的修正导纳，同理可得TE 波（S 分量）的修正导纳：

(13)

可得一般情况下的反射、透射系数表达式：

(14) 介质的传光特性可以由反射、透射系数所表征，而由以上讨论可知，这两个参数与导纳紧紧联系。因此，求解介质的传光特性就可以转换为求解导纳问题， 这也是传输矩阵法所解决的核心问题之一。其实，传输矩阵法就是通过求得介质的导纳，从而得到介质的反射透射系数。

3. 传输矩阵

这一部分将应用薄膜光学理论详细推导介质的传输矩阵，以及如何求得介质导纳，根据第一部分传输矩阵的介绍可以知道，它其实是每层特征矩阵的乘积，所以，这一部分的推导就从单层薄膜的特殊矩阵入手，进而推广到整个介质空间推导出介质的传输矩阵。

下面就详细介绍单层薄膜的特殊矩阵。电磁波通过厚度为d 1的单层薄膜过程如图4所示。

⎪⎭

⎪⎬⎫

==

θηθηcos cos N N s p 1

01

0ηηηη+-=

r 1002ηηη+=t