第7章 补充01—传递矩阵法

T
1 点传递矩阵 S 2 J i
0 1
第i个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：
X iR SiP X iL
R L R k ( 第i个轴段上扭矩平衡条件： Ti L Ti 1 i i i 1 )
第i个轴段左右两端状态变量的传递关系： 场传递矩阵
2014年9月26日
2 当圆盘以频率 作简谐振动时，有： i i
Ti R Ti L 2 J ii
1 0 T 1 i
L
第i个圆盘左右两侧状态变量的传递关系：
2014年9月26日
点传递矩阵
0 1 S 2 《振动力学》 J 1 i
R
第 i 个质量左右两侧的传递关系：
X iR SiP X iL
2014年9月26日 《振动力学》
y 1 0 M 0 2 F s i mi
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
R X iL 1 X i 1
X iL X iR
4
代入各单元状态的第一个元素，得模态：
1 φ(1) 1 1 1 φ( 2) 0 《振动力学》 1
1 0 2 k / J 3 2k / J
φ(3)
2014年9月26日
1 1 1
R
J2
J3

L
0 1 1 1 0 2 J
1 S 2 Ji
P i
X iR SiP X iL
2014年9月26日 《振动力学》
7
0 1
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
k1 k2 k
令： 1 1
J1 J 2 J
1 T 1 0
R
L
J3 2J
k1
R
两端边界条件： T1L T3R 0
1 T 2 J 1
k2
J1
J2
J3
1 2 J 1 1 1 R k k X2 、X 3R： 2 T 2 J J J 2 2 2 2 2 2 J 1 J (2 3) k k 2 J J 4 2 1 J 2 2 4 1 R 1 1 k k k k 4 T 4 J 2 J 3 2 2 J 1 2 2 J 2 J (2 2 J 3) 2 2 J 3 2) k k k k
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
• 传递矩阵法
传递矩阵法适用于计算链状结构的固有频率和主振型
多个圆盘的扭振，连续梁，气轮机和发电机的转轴系统
特征：可简化为无质量的梁上带有若干个集中质量的横向振动 特点：将链状结构划分为一系列单元，每对单元之间的传递矩 阵的阶数等于单元的运动微分方程的阶数，因此传递矩阵法对 全系统的计算分解为阶数很低的各个单元的计算，然后加以综 合，从而大大减少计算工作量。
9
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
（2）梁的横向弯曲振动系统
( 0)
1
R X iL 1 X i 1
X iL X iR
i
(1)
2
( 2)
3
(3)
(n 2)
(n 1) ( n )
(i 1)
(i )
n 1
n
mi 1
mi
li Ei I i
传递矩阵法可用于分析梁的横向弯曲振动
第 i 个单元
n 个圆盘的轴系，最左端和最右端状态变量传递关系： X nR SX 1R S：第1至第n单元通路中所有单元传递矩阵的连乘积
S Sn Sn1 S1 （ 的函数）
2014年9月26日
最后利用两端边界条件可确定固有频率和模态 《振动力学》
6
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
例：三圆盘扭振系统
2
2 J 4 2 J 2 4 1 k k 4 2 4 J 2 J 2) 2 J 3 k k
J2
J3
4 J J 2 根据边界条件： 2 J 3 2) 0 k k
（1）轴盘扭转振动系统
（2）梁的横向弯曲振动系统
2014年9月26日
《振动力学》
1
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
（1）轴盘扭转振动系统
(1) (2)
(3)
2 3
(n-2)
(n-1) n
(i-1) li ki i Ji-1
(i)
1
n-1
Ji
多盘扭振系统（n-1个盘） n-1个圆盘 轴不计质量，只计刚度
i
Ti
L
iR 1
T
R i 1
iL
Ji
Ti R
第 i 个单元 状态变量： X ( , T )T
Ji
P i
li ki
Ti L
1 点传递矩阵 S 2 J i
0 1
第i个圆盘左右两侧状态变量的传递关系： 第i个轴段左右两端状态变量的传递关系： 场传递矩阵
X iR SiP X iL X iL SiF X iR 1

1 1 / k i S 0 1 《振动力学》
F i
1 1 / ki T 0 T 1 i i 1
L
R
X iL SiF X iR 1
4
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 (i-1) li ki i Ji-1 (i)
第 i 个圆盘左右两侧状态变量的传递关系： X iR SiP X iL 第 i 个轴段左右两端状态变量的传递关系： X iL SiF X iR 1
1 点传递矩阵 S 2 J i
P i
0 1
1 1 / k i 场传递矩阵 S 0 1
F i
k1 k2 k
J1 J 3 J
J 2 2J
J1
L 1 R 3
k1
k2
用传递矩阵法求固有频率和模态
解： 两端无约束，边界条件： T T 0
令： 1 1
1 第一个圆盘左端状态： T 0 1
1 第一个圆盘右端状态： T 2 J 1
第 i-1 个圆盘右侧到第 i 个圆盘右侧的状态变量传递关系：
单元传递矩阵 Si SiP SiF
1 Si S S 2 J i
P i F i
R X iR SiP SiF X iR 1 Si X i 1
0 1 1 / ki 1 1 / ki 2 1 0 1 J i 1 2 ( J i / ki )
2014年9月26日
X SX
R i
R i i 1 《振动力学》
1 / ki 1 Si 2 2 8 ) J 1 ( J / k i i i
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
两端边界条件： T1L T3R 0 令： 1 1
T 2
2014年9月26日 《振动力学》 10
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
( 0)
1
(1)
2
( 2)
3
(3)
(n 2)
(n 1) ( n )
(i 1)
n 1
n
mi 1
i
(i )
mi
li Ei I i
第 i 个单元 第 i 个质量受力分析
y y R L L M i i i 第 i 个质量两侧满足： R L M M i i F R F L m s ,i i yi s ,i
P i
2 J T i i
R
X iR SiP X iL
3
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 (i-1) li ki i Ji-1 (i)
i
Ti
L
iR 1
T
R i 1
iL
Ji
Ti R
第 i 个单元
Ji
P i
li ki
Ti L
状态变量： X ( , T )
假定梁上有 n-1 个集中质量
梁段质量不计，只计刚度
将支座、梁段、集中质量自左向右分别编号 第 i-1 个和第 i 个质量以及连接两质量的梁段构成第 i 个单元 第 i 个梁段长 li，抗弯刚度 EiIi，质量分别为mi-1、mi 状态变量构成： X ( y
M
Fs )T
集中质量处梁的横向位移、截面转角、弯矩和剪力
第 i 个单元
第 i-1 个和第 i 个圆盘以及连接两盘的轴段构成第 i 个单元 将圆盘和轴自左至右编号
Ji-1、 Ji：第 i-1 个圆盘和第 i 个圆盘的转动惯量
i 9月26日 2014年
ki：第 i 个单元轴段的扭转刚度 l ：第 i 个单元轴段的长度 2 《振动力学》
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法 (i-1) li ki i Ji-1 (i)
i
( 0)
1
(1)
2
( 2)
3
(3)
(n 2)
(n 1) ( n )
(i 1)
(i )
n 1
n
mi 1
mi
li Ei I i
第 i 个梁段受力分析 平衡条件： F F
L s ,i R s ,i 1
第 i 个单元
li
y
R M iL M iR F 1 s ,i 1li
M iL
1 1 / k i S 0 1
F i
第i-1个圆盘右侧到第 i 个圆盘右侧的状态变量传递关系：
2014年9月26日
F R P F R R X S S X S X 单元传递矩阵 Si SiP S 《振动力学》 i i i i i 1 i i 1
5
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
线性振动的近似计算方法 / 传递矩阵法
设第 i 个梁段距离左端 x 远的截 面的弯矩、转角和挠度分别为： M i ( x)，i ( x)，yi ( x)
li
y
M iL
iL
FsR ,i 1
M iR 1 yiR 1
Mi ( x) M
R i 1
F
R s ,i 1
R
1 T 0 1
T 3
R
L
k1
1 T 2 J 1
R
k2
J1
2 J 1 k 2 2 J J (2 3) k
iL
梁段两端位移和转角分析 设第i个梁段距离左端x远的截面的 弯矩、转角和挠度分别为： M i ( x)，i ( x)，yi ( x)
M iR 1
FsR ,i 1
百度文库
yiR 1
R i 1
FsL ,i
yiL
x
R F 对于弯矩，有： Mi ( x) MiR 1 s ,i 1 x
2014年9月26日 《振动力学》 12
R i L i
FsL ,i
mi
M iR
FsR ,i L 2 FsR F m yi ,i s ,i i
点传递矩阵
0 1 0 0 0 0 1 0 0 y 0 0 M 1 Fs i 11
L
i 2 yi y 当系统以频率 作简谐振动时：
i
Ti
L
iR 1
T
R i 1
iL
Ji
Ti R
第 i 个单元 定义状态变量： X ( , T )T
Ji
li ki
Ti L
：盘转角
T ：盘侧面扭矩
定义：上角标 L 和 R 表示盘的左侧和右侧截面
R L 第i个圆盘两侧的状态变量满足： i i
Ti R Ti L J i i