传输矩阵方法

有质量手性费米子的势垒遂穿
Cheng Yanfu, 2012.9.18
摘要: 本文研究有质量手性费米子和非手性费米子的势垒遂穿.重点讨论手性费米子在势垒中的运动特征,对反 “Klein遂穿”给出直观解释,并比较无手性费米子的遂穿行为. 1. 引言 费米子就是自旋为半整数的粒子,比如自旋为1/2的电 子就是最典型的费米子.电子通过势垒的遂穿是量子力 学中的基本问题,满足薛定谔方程的非相对论电子通过势 垒时透射概率随势垒的高度和宽度指数衰减.因此电子完 全通过极高和极宽势垒的现象被认为是完全不可能的,然 而1929年Klein发现[2] 满足Dirac方程的相对论电子可以完 全遂穿势垒,这个效应叫Klein遂穿. 对Klein遂穿的理解来自量子场论.势垒具有很强的电 势从而排斥电子而吸引正电子,导致在势垒内部产生正电 子态,它的能量与势垒外面的电子匹配,越过势垒的电子和 正电子的波函数连续导致高遂穿效应.这里电子和正电子 密切联系,并由Dirac方程的不同分量来描述,这种性质通 常叫电荷共轭对称.虽然这个解释能完全说明Klein遂穿,但 要从实验上观察这个现象存在很大困难,即相对论电子的 完全遂穿要求势垒高度大于粒子的Compton波长,产生如 此势垒要求电场E > 1016 V/cm.以现在的技术手段几乎 不可能产生如此大的电场,因此这个效应从实验上不可能 被观察,所以人们一直把这个现象称为Klein佯谬.2004年石 墨烯的发现预言了两维无质量Dirac电子的Klein遂穿[4] ,并 且极容易地从实验上观察到这个效应[5] ,从而真正解决 了Klein佯谬问题. 石墨烯是具有两个原子基(通常叫子格A和B)的二维晶 体薄片.石墨烯蜂巢结构由两个三角布拉维晶格组成,因此 载流子除了通常的电子自旋外(本文忽略),还有与子格自旋 度相联系的赝自旋.因为子格赝自旋,人们把波函数写为子 格空间的Dirac双旋量,并且引入粒子的手性,即单层石墨烯 中的准粒子是无质量手性费米子.后来发现在多层石墨烯 系统中也能推广手性概念,即准粒子为有质量的手性费米 子.有质量手性粒子通过势垒的行为与非手性粒子存在很 大差异, 它们垂直通过势垒前者表现为反Klein遂穿,后者 出现振荡遂穿.本文讨论重点讨论有质量手性粒子,通过其 在势垒中的传播来理解手性概念,并比较非手性粒子通过 势垒的遂穿行为. 2. 赝自旋与手性 手性概念最初出现在高能物理中,它与粒子的螺旋性 紧密联系.螺旋算符η ˆ定义为粒子的自旋s对传播方向p的投 影, p·s η ˆ= (1) |p| 算符与狄拉克-哈密顿量对易,因此与哈密顿量有共同的本 征函数,这时我们把螺旋算符和手性看成相等. 比如质量近 似为零的中微子为左手粒子,即它们的自旋与它们的动量 反平行,反中微子是右手粒子,它的自旋与动量平行. 单层石墨烯中的准粒子是无质量狄拉克费米子,由石墨 烯的晶格结构引入赝自旋σ .赝自旋来自晶格的两个不等价 子格A和B,因此可像自旋粒子一样引入手性(螺旋性).因此 石墨烯中准粒子的手性也可像方程(1)一样定义为赝自旋 在动量方向的投影[6] ,这里只要把自旋算符s改为赝自旋算 符σ 即可. 对有质量的狄拉克粒子,需要推广无质量粒子的手性概 念.比如对多层菱形堆叠石墨烯系统,两能带低能哈密顿量 近似为 HJ = ε(p)σ · nJ = ε(p)[cos(Jφ)σx + sin(Jφ)σy ] (2)
2 2
假定势垒边缘相当陡峭且在晶格尺度上光滑,则不引起 能 谷 间 散 射,那 么 我 们 只 需 研 究 一 个 能 谷K 的 散 射. 由 于 势 函 数 与 坐 标y 无 关,则 粒 子 的 波 函 数 可 写 为ψ (r ) = ψ (x)eiky y .二维矩阵表示中, 对无势垒区域的波函数的x分 量满足本征值方程 2 0 (kx − iky )2 ψ1 (x) ψ1 (x) =E − 2m (kx + iky )2 0 ψ2 (x) ψ2 (x) (5) 这里E 是费米能.式(5)可写为下面的两个微分方程 d + ky dx d − ky dx 由(6)(7)消去ψ2 (x)有 d2 2 − ky dx2
2 2 qx + qy =s
如 果D以nm为 单 位,方 程(16)中 双 曲 函 数 的 变 量q 量 级 达 到107 ,则T 以指数方式衰减很快,几乎完全没有透射. 双层石墨烯在电子正入射时完全没有透射,这通常叫 反Klein效应.从波的边界条件可知正入射时a = b = 0,即势 垒区域只有渐消波通道,这种情况下与Schrodinger粒子通 过势垒指数衰减完全相同.当然对斜入射粒子,势垒中传输 通道是行波和渐消波的混合,渐消波产生指数衰减,而向前 和向后的行波通过Fabry-Perot干涉产生共振透射.
2 2
ψ2 (x) =
2
2mE
2
ψ1 (x), ψ2 (x)
(6) (7)
ψ1 (x) =
2mE
2
ψ1 =
2mE
2
2
ψ1 ≡ k 4 ψ1
(8)

0
(kx − iky )2 0
方程(8)的解为行波解exp(±ikx x)或者指数增长(衰减)的渐 (3) 消波解exp(±κx x).把行波解ψ1 (x) = e±ikx x 代入(8)式有
2mE 2 2 k 2 = kx + ky =s 2 , 对K 点附近的低能哈密顿量只需作替换ky → −ky 即可.由 于我们研究的散射不考虑能谷混合, 今后只考虑对K 能谷 这里s表示能带指标,E > 0, s = +1,E < 0, s = −1.即双层 的散射. 石墨烯能量色散为二次关系,正如图2所示的抛物线
以后的研究进一步指出J 可表示赝自旋在倒空间的缠 绕数.这里赝自旋矢量描述粒子两分量波函数的相对相 位,J 表示当电子波矢绕狄拉克点作一次完全旋转时赝自旋 矢量经历的旋转次数.正如图1所示,在k空间对单层石墨烯 它是厄米和么正算符,本征值为±1.不存在质量项时,螺旋 当波矢绕Dirac点K 旋转一周,赝自旋矢量的方向σ 也旋转 1
2mE 双层石墨烯系统的载流子是有质量手性费米子,它通 2 κ2 = k2 x − ky = s 2 过势垒的行为与非手性粒子完全不同.下面考虑有质量手 性粒子通过方势垒的遂穿. 假定能量为E 的入射手性费米 这里 2 2 2 2 子—电子—从左边以角度φ入射到宽为D高为V0 的方势垒 κ2 x = k + ky = k (1 + sin φ) 上,如图2所示.如果势垒沿x为矩形并沿y 轴无限长,则分段 即κx = k 1 + sin2 φ.那么由(7)则赝自旋渐消波函数第二 常数势函数可表示为 分量为 V 0 < x < D 0 2 κx − ky V (x) = (4) ψ = s e±κx x = sh1 e±κx x 0 2 其它区域. k 2
k
k kx
I
II
III
其中波矢k = 2m|E |/ ,kx = k cos φ, ky = k sin φ.把旋量 波函数写为两分量形式,则波函数的x分量为 1 e±ikx x , ψ (x) = (10) −se±2iφ 同理对渐消波有
图2.上图粒子通过高为V0 ,宽为D的方势垒,以及双层石墨烯的抛 物线能量色散.下图表示k空间费米圆及各区域波矢与散射角.
一次,对双层石墨烯赝自旋矢量经历两次旋转,对三层石墨 烯则经历三次旋转. 手性算符定义为η ˆ = σ · nJ ,可知手性 算符和哈密顿量有共同的本征函数. 赝自旋矢量σ 与极化 轴平行或者反平行依赖手性算符的本征值.对无隙能带赝 自旋只在(kx , ky )平面上,导带中赝自旋矢量与极化轴平行 而价带中赝自旋矢量与极化轴反平行,正如图1所示.图1中 第一行表示导带中赝自旋矢量的取向而第二行表示价带中 赝自旋的取向,正好与导带中方向相反. 2. 两维有质量手性粒子的势垒遂穿 两维有质量手性粒子最简单的模型出现在双层石墨 烯中.双层石墨烯由两个单层碳原子耦合而成,它的每层都 为蜂巢结构,每层都有两个不等价碳原子A和B. 两层间不 同堆叠构成不同的双层系统,天然石墨剥离产生的双层系 统为Bernal堆叠,即上层的A2 原子正好在下层B1 原子的顶 上.在多层石墨烯低能哈密顿量中,我们取J = 2,且ε(p) = p2 /2m,这里有效质量m ≈ 0.054me [15] ,me 为祼电子质量.那 么在能谷K 点附近哈密顿量为 p H2 = − (σx cos 2φ + σy sin 2φ) 2m =− 2m (kx + iky )2
从方程(10)和(11)得到波函数中与坐标无关的两分量旋 量|χs (k) 由赝自旋决定,它是手性算符η ˆ = σ · n的本征函 数,即满足本征值方程η ˆ|χs (k ) = s|χs (k ) .从这里我们可以 看到对K 能谷手性指标就是能带指标s.赝自旋矢量σ 与极 化轴n平行或者反平行就由s决定,它在粒子通过势垒时起 重要作用. 如果是势垒区域,我们取波矢q = 2m|V0 − E |/ ,然后 把无势垒区域波矢k, κ和能量E 替换为q, λ和E − V0 ,即有关 系
2m(E − V0 )
2
2 , λ2 x − qy = s
2m(E − V0 )
2
V0
V
V
双层石墨烯通过势垒的Klein效应由其手性决定.对K 能 谷手性指标与能带指标相同,即导带手性为+1,赝自旋方 向 与 波 矢 方 向 相 同;价 带 手 性 为−1,赝 自 旋 与 波 矢 方 向 相 反. 粒 子 通 过 势 垒 界 面 要 求 赝 自 旋 守 恒.比 如 对 正 入 射(ky = 0),赝自旋只有x分量σx ,赝自旋守恒使图4中只能 出现细黑箭头所允许的传输过程,即单层石墨烯中只允 许出现透射传输,双层石墨烯中只允许出现反射传输.所 以双层石墨烯势垒区域不可能出现行波模,即只有渐消 这里考虑只有电子行波入射,反射有行波和渐消波.在0 < 模,也就是说势垒区域的空穴波矢不是实波矢−k 而是虚波 x < D的势垒区域同时存在左右行波和渐消波,则 矢q = ik . 4. 两维有质量无手性粒子的势垒遂穿 1 1 eiqx x + b e−iqx x ψII (x) =a 为了与有质量手性粒子的势垒遂穿进行比较,这里我们 −s e−2iθ −s e2iθ 只能考虑非手性载流子无隙半导体,这有可能在某种异质 [16] 1 1 λ x − λ x e x + d e x , + c (13) 结构中实现 .这个系统的哈密顿量为 s h2 s /h2 2 d2 d2 ˆc = − (17) H + 2 2 2m dx dy 其中h2 = ( 1 + sin2 θ − sin θ)2 .同理x > D的无势垒区域 只有右行波和衰减的渐消波 我们还是取势函数在y 方向平移不变,则波函数ψ (x, y ) = ψ (x)eiky y .由波函数满足的本征值方程有 1 1 ikx x −κx x ψIII (x) = t1 e + t2 e , (14) 2 −se2iφ s/h1 d2 2 − ky − = Eψ (x) (18) 2m dx2 上述系数r1 , r2 , a, b, c, d, t1 , t2 都为复振幅,我们要求波函数 和其导数在x = 0和x = D连续可得出这些系数,在计算过 即 程中取s = 1, s = −1. 在任意入射角φ下并不能得到透射 d2 2mE 2 − ky ψ (x) = − 2 ψ (x), (19) 系数的解析解,它需要用数值解来完成. 2 dx 而正入射时,φ = θ = 0,我们能求出透射系数的解析表 设传播波解为ψ (x) = e±ikx x ,那么由(19)有 示 t1 = 4ikq exp(−ikD) (q + ik )2 exp(−qD) − (q − ik )2 exp(qD) (15) 3