2011 学年第二学期期末考试试卷(A卷) - 华中师范大学数学与统计学

g
3
du 2 d 2u1 du j du i dt 1 ij dt dt 2 dt dt ds
g.
得分
评阅人
1． 三、证明题： （共 1 题， 15 分）
9．设两曲面沿交线成定角，证明：如果交线是一张曲面的曲率线，则它也是另一张曲面的曲率线． 证明 交线成定角即法向量成定角，也就是 n1 n2 c ．






解： 直接计算得：
r
dr dt du i dt du k dt ri rk , dt ds dt ds dt ds
2 2
j i d 2u k du k d 2t du j du i dt k du du dt 2 ij r hij n rk rk . dt dt ds dt ds 2 dt dt ds dt
k 答： ij
专业：
1 kl gil g jl gij g ( j i l )。 2 u u u
： 院（系）
得分
评阅人
二、计算题： （共 3 题，每题 15 分，共 45 分）
6．设曲线的参数表示为 r (a cos t , a sin t , bt ) 。计算它的曲率、挠率和三个基本向量。 解： r {a sin t , a cos t , b} ，
A
Kd K ( A)
A
( A)
a2
其中 ( A) 是 A 的面积，所以 ，
( A) 为 2 a
2
4 a
，球面的面积是
2
第 2 页(共 2 页)
{cos cos ,cos sin ,sin }
第 1 页(共 3 页)
r {R cos cos, R cos sin ,0}
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
j i du1 d 2u 2 2 du du dt r r ij r1 r2 dt dt 2 dt dt ds 3 j i du 2 d 2 u 1 1 du du dt ij r1 r2 dt dt 2 dt dt ds 3
两边对弧长求导得 n1 n2 n1 n2 0 ． 由于交线是第一张曲面的曲率线，由罗德里格定理， n1 r ， 所以 n1 n2 0 ，于是 n1 n2 0 ，这说明 n1 n2 ． 另一方面， n2 n2 ，所以 n2 / / n1 n2 / / r ，
再由罗德里格定理可知交线是第二张曲面的曲率线．
得分
评阅人
四、应用题： （共 1 题， 15 分）
10．应用高斯-波涅定理计算半径为 a 的球面的面积。 解：设赤道圆为 C，则它是测地线，在其上 kg 0
球面的高斯曲率是
K
1 a2
设上半球面为 A，由高斯-波涅定理有 因 K 为常数，
Kd 2 ，
hij
所以
du k dt du j du i dt ds dt dt
dt rk n. ds
3
2
j i du1 d 2u 2 2 du du dt r g r n ij dt dt 2 dt dt ds
|
1 {b sin t , b cos t , a} a b2
2



7．计算球面 r {R cos cos , R cos sin , R sin } 的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均 曲率。 解： r {R cos sin , R cos sin ,0}
r {R sin sin , R sin cos,0}
r {R cos cos , R cos sin , R sin }
L r n R cos2 , M r n 0, N r n R
年级：
i , j 1
g du du , II L du du
i j i ij i , j 1 ij
2
2
j
，其中 I 正定。如果 gij , Lij 满足高斯方程
和科达齐方程， 则存在一张曲面 S 以 I 为第一基本形式， II 为第二基本形式， 以 并且这样的两张曲面通 过运动可以重合。 3． 叙述曲面映射是等距的一个等价条件。 答：保持内积。 4． 叙述高斯波涅公式。 答：高斯曲率的积分、测地曲率在边界上的积分与边界的外角之和等于 2π 。 5． 叙述克氏符号的定义。
| r r | a k 3 2 2 | r | a b (r , r , r ) b 2 2 2 | r r | a b r 1 2 2 {a sin t , a cos t , b} | r | a b
期末考试试卷（A 卷）答案
课程名称 微分几何 课程编号 83410019 任课教师 周振荣、程亮、陈永发 题型 分值 得分 叙述 25 计算 45 证明 15 应用 15 总分 100
学生姓名：
学号：
得分
评阅人
一、叙述题： （共 5 题，每题 5 分，共 25 分）
1． 叙述高斯奇妙定理。 答： 高斯曲率是内蕴量。 2． 叙述曲面基本定理。 答：给定两个二次型 I

r {R sin cos , R sin sin , R cos}
E r 2 R2 cos2 , F r r 0, G r 2 R2
I R2 cos2 d 2 R2d 2
n
r r EG F 2
II ( R cos2 d 2 Rd 2 )
K H LN M 2 1 2 2 EG F R LG 2MF NE 1 2 2( EG F ) R
1 2 8．设曲面 S : r r (u1 , u 2 ) 上的曲线 C : r (t ) r u (t ), u (t ) ，求测地挠率．


r {a cos t , a sin t ,0}
r {a sin t , a cos t , 0}
r r {ab sin t , ab cos t , a2} (r, r, r) a2b ，| r |2 a 2 b2
华中师范大学 2010 –2011 学年第二学期
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