极坐标与参数方程取值范围问题
极坐标和参数方程
极坐标和参数方程
【实用版】
目录
一、极坐标的概念与基本公式
二、参数方程的概念与基本公式
三、极坐标与参数方程的转换关系
四、极坐标和参数方程在实际问题中的应用
正文
一、极坐标的概念与基本公式
极坐标是一种平面直角坐标系的替代方法，用来表示平面上点的位置。
在极坐标系中，一个点的位置由一个长度（半径）和一个角度来表示。
半径表示点到原点（极点）的距离，角度表示从极轴逆时针旋转到连接极点和该点的线段的角度。
极坐标的基本公式如下：
x = ρ * cos(θ)
y = ρ * sin(θ)
其中，x 和 y 分别表示点的横纵坐标，ρ表示半径，θ表示角度。
二、参数方程的概念与基本公式
参数方程是一种用参数来表示曲线上点的方法。
参数方程由一组参数方程和一组普通方程组成。
参数方程表示曲线上某一点的位置，普通方程表示参数方程中参数的取值范围。
参数方程的基本公式如下：
x = x(t)
y = y(t)
其中，x(t) 和 y(t) 表示曲线上某一点的横纵坐标，t 表示参数。
三、极坐标与参数方程的转换关系
极坐标和参数方程之间可以互相转换。
从极坐标转换为参数方程，需要先求出极坐标的导数，然后将极坐标方程化为普通方程。
从参数方程转换为极坐标，需要先求出参数方程的极坐标方程，然后将普通方程化为极坐标方程。
四、极坐标和参数方程在实际问题中的应用
极坐标和参数方程在实际问题中有广泛应用，例如在物理学、工程学、计算机图形学等领域。
它们可以简化问题的处理，使得问题更加直观和易于理解。
极坐标与参数方程解题技巧
极坐标与参数方程解题技巧极坐标与参数方程是解决几何与曲线问题的两种常用方法。
极坐标可以描述圆形，椭圆形等曲线，而参数方程可以描述任意形状的曲线。
在解题过程中，使用这两种方法可以帮助我们更好地理解问题，从而找到最佳的解题方法。
首先，我们来看一下极坐标的解题技巧。
在使用极坐标解题时，我们需要注意以下几点：1. 熟记常见的极坐标方程，例如圆的方程为$r=a$，直线的方程为$theta=k$，其中$a$和$k$为常数。
2. 了解各种曲线在极坐标下的特征，例如椭圆形的方程为$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$，则在极坐标下的方程为$r=frac{a b}{sqrt{b^2 cos ^2 theta+a^2 sin ^2 theta}}$。
3. 熟练掌握极坐标下的坐标转换公式，例如$(x,y)ightarrow (r,theta)$的公式为$x=r cos theta$，$y=r sin theta$。
接下来，我们来看一下参数方程的解题技巧。
在使用参数方程解题时，我们需要注意以下几点：1. 熟记常见的参数方程，例如圆的参数方程为$x=a+r cos t$，$y=b+r sin t$，其中$a,b$为圆心坐标，$r$为半径，$t$为参数。
2. 熟悉参数方程中$t$的取值范围，例如在圆的参数方程中，$t$的取值范围为$0leq tleq 2pi$。
3. 注意参数方程与极坐标的相互转换，例如一个曲线的极坐标方程为$r=f(theta)$，则它的参数方程可以表示为$x=f(t)cos t$，$y=f(t)sin t$。
使用极坐标与参数方程解题的方法可以帮助我们更好地理解几何形状和曲线方程，并找到最佳的解题方法。
在实际解题过程中，需要根据具体情况选择适合的方法，并熟练掌握相应的解题技巧。
极坐标与参数方程专题
极坐标与参数方程专题1.已知曲线1C 的直角坐标方程1422=+y x ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P 是曲线1C 上一点，∠xOP=α,)0(πα≤≤,将点P 绕点O 逆时针旋转角α后得到点Q, OQ OM 2=，OM 点M 的轨迹是曲线2C 。
（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）求|OM |的取值范围。
2.在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是θρcos 4=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 21233（t 是参数）。
（1）过极点作直线l 的垂线，垂足为点P ，求P 的极坐标；(2)若点M,N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求|MN|的最小值。
3.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ty tx 21（t 是参数），在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为6)4sin(242--=πθρ。
（1）求直线l 与圆C 的直角坐标方程；x-y+3=0 (x+2)2+(y-2)2=2 （2）设P ，Q 为直线l 与圆C 的两个交点，A （-1,2），求|PA|+|AQ|的值。
4.已知曲线1C 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=t t y tt x 12122（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，单位长度保持不变，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2)4sin(=+πθρ。
（1）试求曲线1C 和直线l 的普通方程；y 2=x x+y=2 （2）求出它们的公共点的极坐标。
5.长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上滑动，BA =3PA ，点P 的轨迹为曲线C ，（1）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； （2）求点P 到点D(0，-2)距离的最大值。
6.已知某圆的极坐标方程为6)4cos(242=+--πθρρ （1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点P （x,y ）在该圆上，求x+y 的最大值和最小值.7.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+-=-=ty tx 23，t 为参数），以坐标原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)3cos(4πθρ-= （1）将直线l 的参数方程化为普通方程，将圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程。
(完整版)极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解
极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾(一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1．过定点（x 0,y 0），倾角为α的直线：ααsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y )为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论．错误!．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2． 错误!．线段AB 的中点所对应的参数值等于2BA t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：θθsin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数）3．中心在原点，焦点在x 轴(或y 轴）上的椭圆：θθsin cos b y a x == (θ为参数） （或 θθsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(.sin ,cos 00⎩⎨⎧+=+=b y y a x x4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：θθtg sec b y a x == （θ为参数） （或 θθec a y b x s tg ==)5．顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线：pty pt x 222== （t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）． （三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
极坐标与参数方程的区别
极坐标与参数方程的区别极坐标和参数方程是数学中常见的两种描述曲线的方式，它们在表达方式、使用场景和计算方法等方面存在一些区别。
本文将以标题为线索，详细介绍极坐标和参数方程的特点和应用。
一、极坐标的描述方式极坐标是一种描述平面上点位置的方式，它由极径和极角两个参数组成。
极径表示点到原点的距离，而极角表示点与极轴的夹角。
通过极径和极角，可以唯一确定平面上的一个点。
极坐标可以用一个有序数对(r,θ)来表示，其中r表示极径，θ表示极角。
极径r通常为非负实数，极角θ通常以弧度为单位，取值范围为[0,2π)。
例如，点P在极坐标系中的表示为(r,θ) = (2,π/4)，表示P到原点的距离为2，与极轴的夹角为π/4。
极坐标适用于描述圆形、螺旋线等具有对称性的曲线。
其中，圆形的极坐标方程为r=a，表示到原点距离恒定为a的点构成的集合；螺旋线的极坐标方程为r=aθ，表示极径与极角之间的关系。
二、参数方程的描述方式参数方程是一种将自变量和因变量都用参数表示的方式，通过给定参数的取值范围，可以得到曲线上的一系列点。
参数方程中的参数通常用t表示，它可以是时间、弧长等。
参数方程可以用一个有序数对(x(t),y(t))来表示，其中x(t)表示点的横坐标，y(t)表示点的纵坐标。
通过给定参数t的取值范围，可以得到曲线上的一系列点。
例如，点P在参数方程中的表示为(x(t),y(t)) = (2cos(t),2sin(t))，表示P的横坐标为2cos(t)，纵坐标为2sin(t)。
参数方程适用于描述复杂的曲线，例如心形线、螺线等。
其中，心形线的参数方程为x(t) = a(2cos(t) - cos(2t))，y(t) = a(2sin(t) - sin(2t))，表示点的坐标与参数t之间的关系；螺线的参数方程为x(t) = a*cos(t)，y(t) = a*sin(t)，表示点的坐标与参数t之间的简单线性关系。
1. 表达方式不同：极坐标使用极径和极角表示点的位置，参数方程使用参数t表示点的位置。
极坐标与参数方程有什么区别和联系
极坐标与参数方程有什么区别和联系一、引言极坐标和参数方程是数学中常见的两种表达方式，它们在描述曲线、方程和函数等问题时有着自己独特的优势和应用场景。
本文将详细介绍极坐标和参数方程的概念、特点以及它们之间的区别和联系。
二、极坐标极坐标是一种表示平面上点位置的方式，使用极径和极角来表示点的坐标。
其中，极径表示点到极点的距离，极角表示点与固定方向的夹角。
在极坐标系中，每个点的坐标可以表示为(r, θ)，其中r为极径，θ为极角。
极径可以是实数，而极角则是一个弧度值。
极角逆时针增加，范围通常为[0, 2π]或[-π, π]。
极坐标的一个重要特点是可以简洁地描述圆形、螺旋线等曲线。
例如，直线在极坐标系中可以用极角表示，而圆可以用一个常数的极径和极角范围描述。
三、参数方程参数方程是一种用参数表示的方程形式，通过引入参数，可以将平面上的点的坐标表示为参数的函数。
参数方程一般用一对方程表示(x=f(t), y=g(t))，其中x和y表示点的坐标，而f(t)和g(t)则是关于参数t的函数。
相比于直角坐标系下的方程，参数方程引入了参数t，使得曲线上的每个点可以用单独的参数值来表示。
参数方程可以灵活地描述各种曲线，包括直线、圆、椭圆、双曲线等。
参数方程的参数范围可以是实数，也可以是一个有限或无限的区间。
参数方程通常具有较好的可变性，可以轻松地改变曲线的形状和位置。
四、极坐标与参数方程的区别和联系极坐标和参数方程都是描述平面上点的位置的方式，它们在表示方式、使用场景和计算方法上存在一定的差异和联系。
1.表示方式的不同：–极坐标使用极径和极角表示点的位置，而参数方程使用参数表示点的坐标。
2.使用场景的不同：–极坐标主要适用于描述圆形、螺旋线等以某个点为中心的曲线。
–参数方程适用于描述各种曲线，包括直线、圆、椭圆等。
参数方程的引入可以更灵活地改变曲线的形状和位置。
3.计算方法的不同：–极坐标下，点的坐标可以通过极径和极角的关系计算得到。
极坐标与参数方程题型讲义-2022届高三数学一轮复习
极坐标与参数方程题型汇总题型一．直线参数方程t 的几何意义1.经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为为参数）t t y y t x x (sin cos 00⎩⎨⎧+=+=αα若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到： (1)t 0=t 1＋t 22；(2)|PM |=|t 0|=t 1＋t 22；(3)|AB |=|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |=|t 1·t 2|（5）⎪⎩⎪⎨⎧>+<-+=-=+=+0,0,4)(212121212212121t t t t t t t t t t t t t t PB PA 当当（注：记住常见的形式，P 是定点，A 、B 是直线与曲线的交点，P 、A 、B 三点在直线上） 【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |=|t |. 直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为12,t t ，则弦长12l t t =-； 2.解题思路第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于t 的一元二次方程：02=++c bt at第三步：韦达定理：a ct t a b t t =-=+2121,第四步：选择公式代入计算。
1．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为（t为参数），设点P（1，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求|P A|+|PB|的值．2．在直角坐标系xOy中，直线l过点P（0，1）且斜率为1，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ+2cosθ．（Ⅰ）求直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C的交点为A、B，求|P A|+|PB|的值．3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ＝0．（1）写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P（0，1），点Q（，0），直线l过点Q且曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求|PM|的值．4．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|P A|•|PB|＝1，求实数m的值．5．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于点，求的值.6．在平面直角坐标系中，以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线过点与曲线交于不同两点，的中点为，与的交点为，求．7．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）.现以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）过点，且与直线平行的直线交于两点，求.8．在平面直角坐标系中，直线过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（Ⅰ）写出直线的参数方程及曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与曲线交于，两点，且弦的中点为，求的值.9．在直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）若点的直角坐标为，求直线及曲线的直角坐标方程；（2）若点在上，直线与交于两点，求的值.10．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数），其中，直线与曲线相交于，两点.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若点满足，求的值.11．在平面直角坐标系xOy中，点P(0,−1)，直线l的参数方程为{x=tcosαy=−1+tsinα(t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ+ρcos2θ= 8sinθ．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点A,B,M是线段AB的中点，当|PM|=409时，求sinα的值．12．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1−√22t y =1+√22t（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ=4cosθ. （1）求曲线C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程；（2）若C 1与C 2交于A,B 两点，点P 的极坐标为(√2,π4)，求1|PA|+1|PB|的值.题型二．极径的应用：一直线与两曲线分别相交，求交点间的距离(1)思路：一般采用直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可，|=AB |B A 2B A B A 4)(||ρρρρρρ-+=-(2)过原点，倾斜角为α的直线的极坐标方程为：）（R ∈=ραθ 1．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为板轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ+ρ2sin 2θ﹣2ρsin θ﹣3＝0．（1）求直线l 的极坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的长．2．已知曲线，是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线，的极坐标方程；（Ⅱ）射线与曲线，分别交于，两点，定点，求的面积.3．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=2+2cosφy=2sinφ（φ为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）已知直线C3的极坐标方程为θ=α(0<α<π,ρ∈R)，A是C3与C1的交点，B是C1与C2的交点，且A，B均异于原点O，|AB|=4√2，求a的值.4．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosαy =√3sinα（α为参数），直线l 的参数方程为{x =tcosβy =tsinβ（t 为参数，0≤β<π），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且|OA |−|OB |=2，求β.5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =34+√3t y =a +√3t(t 为参数)，圆C 的标准方程为(x −3)2+(y −3)2=4.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求直线l 和圆C 的极坐标方程；(2)若射线θ=π3与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值．题型三．距离、最值、取值范围 （一）与圆有关的题型1.圆与直线的位置关系（圆与直线的交点个数问题）----利用圆心到直线的距离与半径比较 相离，无交点；:r d >个交点；相切，1:r d =个交点；相交，2:r d < 用圆心（x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离2200BA C By Ax d +++=，算出d ，在与半径比较。
参数方程与极坐标方程的应用
参数方程与极坐标方程的应用在数学中，参数方程和极坐标方程是常用的表示曲线的方法。
它们在多个领域中广泛应用，包括物理学、工程学和计算机图形学等。
本文将探讨参数方程和极坐标方程的基本概念，并介绍它们在实际应用中的一些例子。
一、参数方程参数方程是一种以参数的形式给出曲线上的点的坐标的方程。
一般来说，参数方程由两个函数组成，分别表示曲线上的x坐标和y坐标。
用符号表示，参数方程可以表示为：x = f(t)y = g(t)其中，参数t的取值范围可以是实数集。
通过选择不同的参数值，可以得到曲线上不同的点。
参数方程不仅能够表示简单的直线和曲线，还可以表示复杂的曲线和曲面。
参数方程在物理学中的应用非常广泛。
例如，在运动学中，我们可以使用参数方程来描述物体的运动轨迹。
考虑到速度、加速度等因素，可以通过调整参数值来模拟不同的运动路径。
在这种情况下，参数方程能够提供关于物体位置和速度等重要信息。
此外，在计算机图形学中，参数方程也是描述曲线和曲面的重要工具。
通过调整参数，我们可以生成各种各样的图形效果，如圆、椭圆、双曲线等。
参数方程还可以用于图像变形和动画制作等方面。
二、极坐标方程极坐标方程是一种用极坐标表示曲线的方程。
在极坐标系中，点的位置由径向距离和极角两个参数来确定。
一般来说，极坐标方程由两个函数组成，分别表示径向距离和极角。
通常，极坐标方程可以表示为：r = f(θ)其中，r表示径向距离，θ表示极角。
通过调整θ的取值，可以得到曲线上不同的点。
不同于直角坐标系中的笛卡尔坐标，极坐标系更适合描述一些对称性较强的曲线，如圆、螺旋线和对数螺线等。
极坐标方程在工程学和物理学中非常常见。
例如，在天文学中，极坐标方程常用于描述行星和恒星的轨道。
通过调整极角和径向距离，可以准确地预测天体的位置和运动。
此外，在工程学领域，极坐标方程也被广泛应用于机械制图和测量方面。
极坐标方程可以用于描述圆形孔洞的位置和大小，以便进行加工和装配。
总结：参数方程和极坐标方程是数学中常用的描述曲线的方法。
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极坐标与参数方程取值范围问题一．解答题（共12小题）1．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．2．【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．3．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程是（φ为参数，a ＞0），直线l的参数方程是（t为参数），曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．（Ⅰ）求曲线C普通方程；（Ⅱ）若点在曲线C上，求的值．4．已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C的极坐标方程为，定点，F1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点．直线经过点F1且平行于直线AF2．（Ⅰ）求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|•|F1N|．5．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点对应的参数ϕ=，射线θ=与曲线C2交于点．（Ⅰ）求曲线C1，C2的方程；（Ⅱ）若点A（ρ1，θ），在曲线C1上，求的值．6．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为（，），半径r=，点P的极坐标为（2，π），过P作直线l交圆C于A，B两点．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）求|PA|•|PB|的值．7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1为（1＜a＜6，φ为参数）．在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ，射线为θ=α，与C1的交点为A，与C2除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）设C1与y轴正半轴交点为D，当时，设直线BD与曲线C1的另一个交点为E，求|BD|+|BE|．8．极坐标系中，圆C方程ρ=2cosθ﹣2sinθ，A（，2π），以极点作为直角坐标系的原点，极轴作为x轴的正半轴，建立直角坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的标准方程；（Ⅱ）设P为圆C上的任意一点，圆心C为线段AB中点，求|PA|•|PB|的最大值．9．（选修4﹣4：极坐标系与参数方程）极坐标系中，求圆ρ=上的点到直线ρcos（θ+）=1的距离的取值范围．10．已知直线C1：（t为参数），曲线C2：ρ+=2sin（θ+）．（1）求直线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）求直线C1被曲线C2所截的弦长．11．已知直线l是过点P（﹣1，2），方向向量为=（﹣1，）的直线，圆方程ρ=2cos （θ+）（1）求直线l的参数方程（2）设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．12．已知点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ=﹣4cosθ，过点P的直线l交曲线C与M、N两点，求|PM|+|PN|的最大值．极坐标与参数方程取值范围问题参考答案与试题解析一．解答题（共12小题）1．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1、C2相交于A、B两点．（p∈R）（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；（Ⅱ）曲线C1与直线（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．【解答】解：（Ⅰ）由得：，∴ρ2=16，即ρ=±4．∴A、B两点的极坐标为：或．（Ⅱ）由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2（cos2θ﹣sin2θ）=8，得到普通方程为x2﹣y2=8．将直线代入x2﹣y2=8，整理得．∴|MN|==．2．【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为ρ=．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．【解答】解：（1）由ρ= 得ρsin2θ=8cosθ，∴ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴y2=8x，∴曲线C表示顶点在原点，焦点在x上的抛物线．（2），即y=2x﹣4，代入y2=8x得 x2﹣6x+4=0，∴x1+x2=6，x1•x2=4，∴|AB|=•|x1﹣x2|=•=•=10．3．（选修4﹣4：坐标系与参数方程）已知曲线C的参数方程是（φ为参数，a ＞0），直线l的参数方程是（t为参数），曲线C与直线l有一个公共点在x轴上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系．（Ⅰ）求曲线C普通方程；（Ⅱ）若点在曲线C上，求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t得x+y=2，令y=0，得x=2．∵曲线C的参数方程是（φ为参数，a＞0），消去参数φ得，把点（2，0）代入上述方程得a=2．∴曲线C普通方程为．（Ⅱ）∵点在曲线C上，即A（ρ1cosθ，ρ1sinθ），，在曲线C上，∴====+=．4．已知在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆锥曲线C的极坐标方程为，定点，F1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点．直线经过点F1且平行于直线AF2．（Ⅰ）求圆锥曲线C和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与圆锥曲线C交于M，N两点，求|F1M|•|F1N|．【解答】解：（I）圆锥曲线C的极坐标方程为，即3ρ2+（ρsinθ）2=12，可得直角坐标方程：3x2+4y2=12，即=1．∴F1（﹣1，0），F2（1，0）．==．∴要求的直线方程为：y=（x+1）．（II）由（I）可得直线的参数方程为：（t为参数）．代入椭圆方程可得：5t2﹣4t﹣12=0，∴t1t2=﹣．∴|F1M|•|F1N|=|t1t2|=．5．在平面直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，ϕ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点对应的参数ϕ=，射线θ=与曲线C2交于点．（Ⅰ）求曲线C1，C2的方程；（Ⅱ）若点A（ρ1，θ），在曲线C1上，求的值．【解答】解：（I）∵曲线C1上的点对应的参数ϕ=，∴，解得，∴曲线C1的直角坐标方程为：=1．∵曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，射线θ=与曲线C2交于点．∴圆的直径2R==2，∴曲线C2的方程为（x﹣1）2+y2=1．（II）把代入曲线C1的直角坐标方程：=1．可得．∴=+===．6．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的圆心的极坐标为（，），半径r=，点P的极坐标为（2，π），过P 作直线l交圆C于A，B两点．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）求|PA|•|PB|的值．【解答】解：（1）圆C的圆心的极坐标为C（，），∴x==1，y==1，∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．（2）点P的极坐标为（2，π），化为直角坐标P（﹣2，0）．当直线l与圆C相切于等D时，则|PD|2=|PC|2﹣r2=（﹣2﹣1）2+（0﹣1）2﹣=8．∴|PA|•|PB|=|PD|2=8．7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1为（1＜a＜6，φ为参数）．在以O为原点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρ=6cosθ，射线为θ=α，与C1的交点为A，与C2除极点外的一个交点为B．当α=0时，|AB|=4．（1）求C1，C2的直角坐标方程；（2）设C1与y轴正半轴交点为D，当时，设直线BD与曲线C1的另一个交点为E，求|BD|+|BE|．【解答】解：（1）由ρ=6cosφ，得ρ2=6ρcosφ，所以C2的直角坐标方程是x2+y2﹣6x=0由已知得C1的直角坐标方程是，当α=0时射线与曲线C1，C2交点的直角坐标为（a，0），（6，0），∵|AB|=4，∴a=2，C1的直角坐标方程是①（2）联立x2+y2﹣6x=0与y=x得B（3，3）或B（0，0），∵B不是极点，∴B（3，3）．又可得D（1，0），∴，∴BD的参数方程为（t为参数）②将②带入①得，设D，E点的参数是t1，t2，则，．8．极坐标系中，圆C方程ρ=2cosθ﹣2sinθ，A（，2π），以极点作为直角坐标系的原点，极轴作为x轴的正半轴，建立直角坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．（Ⅰ）求圆C在直角坐标系中的标准方程；（Ⅱ）设P为圆C上的任意一点，圆心C为线段AB中点，求|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵ρ=2cosθ﹣2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣2ρsinθ则x2+y2=2x﹣2y，即圆C在直角坐标系中的标准方程为（x﹣）2+（y+1）2=4；（Ⅱ）A（，2π）的直角坐标为（，0），圆C的圆心坐标为（，﹣1），∵圆心C为线段AB中点，∴点B的坐标为（，﹣2），AC=BC=1，设∠ACP=θ，而PC=2，则PA==，同理PB=，∴|PA|•|PB|=•=≤5，当且仅当cosθ=0时取等号，∴|PA|•|PB|的最大值为5．9．（选修4﹣4：极坐标系与参数方程）极坐标系中，求圆ρ=上的点到直线ρcos（θ+）=1的距离的取值范围．【解答】解：圆化为直角坐标方程得：x2+y2=2直线，即ρcosθ﹣ρsinθ=1，化为直角坐标方程为：x﹣y=1，即x﹣y﹣2=0∴圆心（0，0）到直线的距离d==1故圆上动点到直线的最大距离为+1，最小距离为0故圆上动点到直线的距离的取值范围为[0，+1]10．已知直线C1：（t为参数），曲线C2：ρ+=2sin（θ+）．（1）求直线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）求直线C1被曲线C2所截的弦长．【解答】解：（1）由，得3x﹣4y=0．由ρ+=2sin（θ+），得=2sinθ+2cosθ．即ρ2+1=2ρsinθ+2ρcosθ，∴x2﹣2x+y2﹣2y+1=0；（2）由x2﹣2x+y2﹣2y+1=0，得（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．∴曲线C2是以（1，1）为圆心，以1为半径的圆．圆心到直线3x﹣4y=0的距离为．∴直线C1被曲线C2所截的弦长为2．11．已知直线l是过点P（﹣1，2），方向向量为=（﹣1，）的直线，圆方程ρ=2cos （θ+）（1）求直线l的参数方程（2）设直线l与圆相交于M，N两点，求|PM|•|PN|的值．【解答】解：（1）∵，∴直线的倾斜角α=，∴直线的参数方程为，（t为参数）即（t为参数）（2）∵ρ=2（cosθ﹣sinθ）=cosθ﹣sinθ，∴ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，∴x2+y2﹣x﹣y=0，将直线的参数方程代入得t2+2t+6﹣2=0，∴|t1t2|=6﹣2．12．已知点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ=﹣4cosθ，过点P的直线l交曲线C与M、N两点，求|PM|+|PN|的最大值．【解答】解：P的直角坐标为（0，2）…（2分）曲线C的直角坐标方程为x2+y2+4x=0…（4分）直线l的参数方程为…（6分）带入曲线C的方程t2+4t（sinθ+cosθ）+4=0…（8分）∵t1t2=4＞0，∴|PM|+|PN|=（12分）。