4.4.3静定梁的内力方程及内力图
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梁的内力分析
FQ 3 为负剪力， M 3 为正弯矩。
在计算梁的剪力和弯矩时，可以通过下面的结论直接计算： （1）某截面上的剪力等于该截面左侧（或右侧）梁段上所 有横向外力的代数和。（左上右下剪力为正；反之则为负） 以该截面左侧杆段上的外力进行计算时，则向上的外力产生 正剪力，反之为负。以该截面右侧杆段的外力计算时，则 向下的外力产生正剪力，反之为负。 (2)某截面上的弯矩等于该截面左侧（或右侧）所有外力对该 截面之矩的代数和。（左顺右逆弯矩为正；反之则为负） 以左侧的外力进行计算时，则绕截面顺转的外力产生正弯矩， 反之为负。以右侧的外力计算时，绕截面逆转的外力产生 正弯矩，反之为负。
F
Q1
、 M 1 为正值，表示该截面上剪力和弯矩与所设方向一致，故为正剪力，正弯矩。
例 7－ 1
（3）求 2-2 截面的内力。用截面法把梁从 2-2 截面处切成两段，取左段为研究对象，受 力如图 7－6c。图中剪力和弯矩都假设为正。由平衡方程得 ∑Fy＝0,
FA － F Q 2 ＝0, F Q 2 ＝ FA =2 kN
FQ1 FA 2kN M1 FA 2 2 2 4kN m
图
FQ2=FA－F＝2－3＝－1kN
M 2 FA 2 2 2 4kN m
(3)求3－3和4－4截面的剪力和弯矩，取右侧计算。
FQ 3 FB 1kN
M3 FB 4 m 1 4 2 2kN m
MA 0
MB ql ql 2 l 0 2 2 ql l q l ql 2 M C ( )2 2 2 2 2 8
当x ＝l 时
当x＝l/2时,
时将三点用一光滑曲线连成一抛物线即得梁的弯矩图，见图7－9c。
静定结构的内力计算图文
30 30
4m
4m
4m
4m
12kN
12kN 12kN
M 图（kN·m）
9kN
9kN
2kN/m
7kN
5kN
9kN
4.5kN
7.5kN
39
第40页/共76页
作业
习题3-5、3-6、3-9 习题3-10、3-12
40
第41页/共76页
§3-3 三铰拱
41
第42页/共76页
一、 概述
1、定义：
通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。
AC段受力图：
q
MC
t
C
FNC
FQC
n
x
FAY
FAYSinα
（2）求内力方程：
MC = 0 Ft = 0 Fn= 0
M = 1 qlx 1 qx2 (0 x l) 22
FN
=
q(1 l 2
x) sin
(0 x l)
FQ
=
q(1 2
l
x) cos
(0 x l)
FAYcosα
FAY
M中 =162 / 8 6.23/ 2 =1.385kN.m(下拉)
弯矩图见下图。
1kN/m
6.23 D
C 1.385
6.23 E
1.385kN A
4.5kN
M 图(kN.m)
B 1.385kN
1. 5kN
38
第39页/共76页
例：主从刚架弯矩图。
12kN
2kN/m
36 36
6m
12 42 30
F
F
曲梁
拱
f / l : 高跨比（1～1/10）
第三章—静定梁和静定刚架
q
图（1） 图（2）
M
N
Q
P P
P
M
N
Q
FBX FBY
FAX FAY
P
FN 3 FN 2 FN1
§3-1 静定梁的内力计算的回顾
三．荷载与内力之间的微分关系
qy
由平衡条件可导出 微分关系如下：
M
N
qx
O
Q dx y
M dM
N dN x
Q dQ
dN dx
qx
dQ dx
qy
dM dx
FQ
BC
Q C
MC 0 Y 0
MC 26KN m QC 9KN
M E 16KN m
G EF
QE
7kN
ME 0 Y 0
M E 30 KN m QE 7KN
§3-2 分段叠加法作弯矩图
MG 0 Y 0
MG 0 QG 7KN
MG
G
QG
7kN
Step3: 绘制内力图 A BC D E F G
§3-3 静定多跨梁
【例3.2】 试求图示梁的内力图
解： Step1: 分层求支反力
ABC部分：
MB 0 Y 0
RC 0.5P RB 1.5P
P
A BC
RB
RC
DE RD
CDE部分：
M D 0 RE 0.25 P Y 0 RD 0.75P
P
AB
a 2a
P
AB
RE
F MF
RF
C D EF
a 2a a
C D
E F
EF部分：
ME 0 Y 0
M F 0.25Pa RF 0.25P
§3-3 静定多跨梁
图（1） 图（2）
M
N
Q
P P
P
M
N
Q
FBX FBY
FAX FAY
P
FN 3 FN 2 FN1
§3-1 静定梁的内力计算的回顾
三．荷载与内力之间的微分关系
qy
由平衡条件可导出 微分关系如下：
M
N
qx
O
Q dx y
M dM
N dN x
Q dQ
dN dx
qx
dQ dx
qy
dM dx
FQ
BC
Q C
MC 0 Y 0
MC 26KN m QC 9KN
M E 16KN m
G EF
QE
7kN
ME 0 Y 0
M E 30 KN m QE 7KN
§3-2 分段叠加法作弯矩图
MG 0 Y 0
MG 0 QG 7KN
MG
G
QG
7kN
Step3: 绘制内力图 A BC D E F G
§3-3 静定多跨梁
【例3.2】 试求图示梁的内力图
解： Step1: 分层求支反力
ABC部分：
MB 0 Y 0
RC 0.5P RB 1.5P
P
A BC
RB
RC
DE RD
CDE部分：
M D 0 RE 0.25 P Y 0 RD 0.75P
P
AB
a 2a
P
AB
RE
F MF
RF
C D EF
a 2a a
C D
E F
EF部分：
ME 0 Y 0
M F 0.25Pa RF 0.25P
§3-3 静定多跨梁
本章主要介绍了单跨静定梁和多跨静定梁的内力分析计算1
图10
图11
图12
3.3.2
多跨静定梁的内力计算
由层次图可见，作用于基本部分上的荷载，并不 影响附属部分，而作用于附属部分上的荷载，会以支 座反力的形式影响基本部分，因此在多跨静定梁的内 力计算时，应先计算高层次的附属部分，后计算低层 次的附属部分，然后将附属部分的支座反力反向作用 于基本部分，计算其内力，最后将各单跨梁的内力图 联成一体，即为多跨静定梁的内力图。
例6 试作出如图13(a)所示的四跨静定梁的弯矩图和剪 力图。
解：（1） 绘制层次图，如图13(b)所示。
（2） 计算支座反力，先从高层次的附属部分开 始，逐层向下计算：
① EF段：由静力平衡条件得
∑ME=0: ∑Y=0: YF×4-10×2=0 YF=5kN YE=20+10-YF=25kN
解：（1）求支座反力 先假设反力方向如图所示，以 整梁为研究对象： ∑X=0: XA-P=0 XA=P=4kN ∑MB=0: YA*l-q*l*0.5*l=0 YA=0.5ql =0.5×3×4kN=6kN ∑Y=0: YA+YB=ql YB=ql-VA =(3×4-6) kN=6kN
即:
q′l′=ql q=q′l′/l=q′/cosα
下面以承受沿水平向分布的均布荷载的斜梁为例进 行内力分析，如图(b)所示。 根据平衡条件，可以求出支座反力为： XA=0, YA=YB=1/2ql
则距A支座距离为x的截面上的内力可由取隔离体求出。 如图(c)所示，荷载qx、YA，在梁轴方向（t方向）的分 力分别为qxsinα、YAsinα；在梁法线方向（n方向） 的分力分别为：qxcosα、YAcosα。则由平衡条件得： ∑T=0： YAsinα-qxsinα+NX=0 NX=(qx-1/2ql)sinα ∑N=0: YAcosα-qxcosα-QX=0 QX=(1/2ql-qx)cosα ∑MX=0: YAx-qx· x/2-MX=0 MX=1/2qx(1-x)
结构力学静定结构的内力计算图文
dM
q(x)
（1）微分关系 dx FQ
dx
dFQ q dx
q
FQ
M+d M
M d x FQ+d FQ
MA FQA
d 2M
q
Fy
dx2
FQ
m0 M
dx
M+ M
（2）增量关系
FQ+F Q
FQ Fy M m0
（3）积分关系 由dFQ = – q·d x
qy
FQB FQA
xB xA
q
y
dx
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱMB
静定结构内力计算过程中需注意的几点问题： （1）弯矩图习惯画在杆件受拉边、不用标注正负号，轴力图和剪力图可画 在杆件任一边，需要标注正负号。 （2）内力图要写清名称、单位、控制截面处纵坐标的大小，各纵坐标的长 度应成比例。 （3）截面法求内力所列平衡方程正负与内力正负是完全不同的两套符号系 统，不可混淆。
四、 分段叠加法作弯矩图
MA
q
MB
P
M
MA
M
MA
M
+
M
M M M
A
MA
MB
FNA
FyA MA
MB
Fy0A
MA
q q q
M M
B MB
FNB FyB
MB
Fy0B
MB
例：4kN·m
4kN
3m
3m
（1）集中荷载作用下
6kN·m
（2）集中力偶作用下
4kN·m 2kN·m
（3）叠加得弯矩图
4kN·m
4kN·m
§3-2 静定梁
❖ 静定梁分为静定单跨梁和静定多跨梁。单跨梁的结构形式有水平梁、斜
结构力学第3章静定梁的内力计算
➢ 上一步所作的直线为新的基线， 叠加梁中部荷载作用下的弯矩 图。
精品课件
简支梁在两支座端有外力偶作 用时，梁两端截面有等于该端 力偶的弯矩，无外力偶在端部 作用时端部截面的弯矩为零。 所以简支梁两端支座处的弯矩 值竖标可直接绘出。
精品课件
注意：
❖ 图的叠加是弯矩竖标的叠加，而 不是图形的简单叠加。 ❖ 每叠加一个弯矩图，都以紧前一 次弯矩图外包线为新基线，并由此 基线为所叠加的弯矩图的拉压分界 线。见图3-1-6。
精品课件
❖ 又由于区段AB两端的轴力在 弯曲小变形的假设下对弯矩不 产生影响
❖ 所以从弯矩图的角度说， (a)右、(b)右两受力图是相 同的。
精品课件
区段AB的弯矩图可以利用与简支 梁相同的叠加法制作。其步骤相 类似：
➢ 求出直杆区段两端的弯矩值， 在杆轴原始基线相应位置上画出 竖标，并将两端弯矩竖标连直线。
1)求支座反力
去掉支座约束，以整体为隔离 体，由静力平衡条件得
MB 0
MA 0
精品课件
F A y 7 1(1 4 4376)3k0N m(↑)
F B y7 1(1 44471)3k3N m (↑)
FAx=0 FAy=30kN
q=14kN/m
精品课件
(a) FBy=33kN
2)计算控制截面弯矩值
取D截面以左（下侧受拉）
精品课件
➢ 在新的基线上叠加相应简支 梁与区段相同荷载的弯矩图。 （相应简支梁，指与所考虑区段 等长且其上荷载也相同的，相应
于该区段的简支梁）
上述方法即为直杆区段弯矩图的 叠加法。
精品课件
例3-1-3 计算图示简支梁，并作 弯矩图和剪力图。
q=14kN/m
1m 1m
精品课件
简支梁在两支座端有外力偶作 用时，梁两端截面有等于该端 力偶的弯矩，无外力偶在端部 作用时端部截面的弯矩为零。 所以简支梁两端支座处的弯矩 值竖标可直接绘出。
精品课件
注意：
❖ 图的叠加是弯矩竖标的叠加，而 不是图形的简单叠加。 ❖ 每叠加一个弯矩图，都以紧前一 次弯矩图外包线为新基线，并由此 基线为所叠加的弯矩图的拉压分界 线。见图3-1-6。
精品课件
❖ 又由于区段AB两端的轴力在 弯曲小变形的假设下对弯矩不 产生影响
❖ 所以从弯矩图的角度说， (a)右、(b)右两受力图是相 同的。
精品课件
区段AB的弯矩图可以利用与简支 梁相同的叠加法制作。其步骤相 类似：
➢ 求出直杆区段两端的弯矩值， 在杆轴原始基线相应位置上画出 竖标，并将两端弯矩竖标连直线。
1)求支座反力
去掉支座约束，以整体为隔离 体，由静力平衡条件得
MB 0
MA 0
精品课件
F A y 7 1(1 4 4376)3k0N m(↑)
F B y7 1(1 44471)3k3N m (↑)
FAx=0 FAy=30kN
q=14kN/m
精品课件
(a) FBy=33kN
2)计算控制截面弯矩值
取D截面以左（下侧受拉）
精品课件
➢ 在新的基线上叠加相应简支 梁与区段相同荷载的弯矩图。 （相应简支梁，指与所考虑区段 等长且其上荷载也相同的，相应
于该区段的简支梁）
上述方法即为直杆区段弯矩图的 叠加法。
精品课件
例3-1-3 计算图示简支梁，并作 弯矩图和剪力图。
q=14kN/m
1m 1m
第三章 静定结构---静定梁
第三章ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
静定结构的受力分析
§3-1 梁的内力计算的回顾 §3-2 静定多跨梁受力分析 §3-3 静定平面桁架 §3-4 静定平面刚架 §3-5 组合结构 §3-6 三铰拱 §3-7 静定结构总论
1
§3-1 静定结构内力计算基本知识点讲解 静定结构的定义：
从几何组成的观点看，几何不变且无多余约束 的结构称为静定结构。
MB 0
M B左
M B右
(FQB左
FQB右 )
dx 2
0
M B左 M B右 13
小结： 1）在有集中力作用点的左右截面，剪力有突
变。剪力图有台阶，台阶高度等于FP 。 2）M 图上有尖点，尖点的指向与集中力的指向
相同。
14
3. 集中力偶与内力之间的增量关系
m
MB左
MB右
B
x
FQB左
1 2
ql cos
ql cos
0
FQAB
1 2
ql
cos
Fs 0 FNAB ql sin 0 FNAB ql sin
36
2) 求跨中截面MC
FNCB 取图示CB段为隔离体：
MC 0
q
B MC
C
（qlcosθ）/2
FQCB
l/2
MC
1 q( l )2 22
桁架、静定组合结构 几何组成角度：悬臂式、简支式、三铰式、组合式。
内力分析的任务： 计算约束力、内力、作内力图
内力计算的方法： 隔离体的平衡方法、截面法 回顾材料力学
分析内力与荷载之间的关系
总结规律，引出叠加法
一、内力计算基本知识点讲解
静定结构的受力分析
§3-1 梁的内力计算的回顾 §3-2 静定多跨梁受力分析 §3-3 静定平面桁架 §3-4 静定平面刚架 §3-5 组合结构 §3-6 三铰拱 §3-7 静定结构总论
1
§3-1 静定结构内力计算基本知识点讲解 静定结构的定义：
从几何组成的观点看，几何不变且无多余约束 的结构称为静定结构。
MB 0
M B左
M B右
(FQB左
FQB右 )
dx 2
0
M B左 M B右 13
小结： 1）在有集中力作用点的左右截面，剪力有突
变。剪力图有台阶，台阶高度等于FP 。 2）M 图上有尖点，尖点的指向与集中力的指向
相同。
14
3. 集中力偶与内力之间的增量关系
m
MB左
MB右
B
x
FQB左
1 2
ql cos
ql cos
0
FQAB
1 2
ql
cos
Fs 0 FNAB ql sin 0 FNAB ql sin
36
2) 求跨中截面MC
FNCB 取图示CB段为隔离体：
MC 0
q
B MC
C
（qlcosθ）/2
FQCB
l/2
MC
1 q( l )2 22
桁架、静定组合结构 几何组成角度：悬臂式、简支式、三铰式、组合式。
内力分析的任务： 计算约束力、内力、作内力图
内力计算的方法： 隔离体的平衡方法、截面法 回顾材料力学
分析内力与荷载之间的关系
总结规律，引出叠加法
一、内力计算基本知识点讲解
4.4.3静定梁的内力方程及内力图
1443梁的内力方程及内力图剪力图和弯矩图若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的位置则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示为坐标x的函数即qqxmmx以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律分别称为梁的剪力方程和弯矩方程
4.4.3
梁的内力方程及 内力图
剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程
• 若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的 位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示 为坐标x的函数，即 • Q=Q(x) • M=M(x) • 以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线 的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩 方程。
பைடு நூலகம் x=0，MA=0
x=l/2，MC=ql2/8 x=l，MB=0 弯矩图如图9.15(c)所示。 从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为｜Qmax｜=ql/2，最 大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为｜Mmax｜=ql2/8。
【例 9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩 图。 【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程求支座反力。 ∑mB(F)= 0，-RAl+Pb=0 RA=Pb/l ∑Fy=0，RA+RB-P=0 RB=Pa/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方 程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A为坐标原点
剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律， 把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图 和弯矩图。 剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相 似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置， 用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。
在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方， 负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯 矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。
4.4.3
梁的内力方程及 内力图
剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程
• 若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的 位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示 为坐标x的函数，即 • Q=Q(x) • M=M(x) • 以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线 的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩 方程。
பைடு நூலகம் x=0，MA=0
x=l/2，MC=ql2/8 x=l，MB=0 弯矩图如图9.15(c)所示。 从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为｜Qmax｜=ql/2，最 大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为｜Mmax｜=ql2/8。
【例 9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩 图。 【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程求支座反力。 ∑mB(F)= 0，-RAl+Pb=0 RA=Pb/l ∑Fy=0，RA+RB-P=0 RB=Pa/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方 程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A为坐标原点
剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律， 把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图 和弯矩图。 剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相 似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置， 用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。
在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方， 负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯 矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。
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【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，mA(F)= 0，-m-RBl=0 RB=-m/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力偶m作用，需分为AC段和CB段。取梁左端A为坐 标原点
AC段：
Q(x)=RA=m/l (0<x≤a) M(x)=RAx=m/lx(0≤x<a) CB段： Q(x)=RA=m/l (a≤x<l) M(x)=RAx-m=m/lx-m(a<x≤l) (3) 画剪力图
从所作的内力图知，若a>b，则在CB段任一截面上的剪力值都相等且比 AC段的要大，其值｜Qmax｜=Pa/l，最大弯矩发生在集中力P作用的截面上， 其值｜Mmax｜=Pab/l。
如果集中力P作用在梁的跨中，即a=b=l/2，则
｜Qmax｜=P/2
｜Mmax｜=Pl/4
【例 9.7】简支梁受集中力偶m作用如图9.17(a)所示，试画出梁的剪力图和弯 矩图。
RA=1.5qa ∑mA(F)= 0，RB×4a-q×6a×3a=0 RB=4.5qa (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在B截面处有支座反力RB作用，需分为AB段和BC段。
AB段：坐标原点取在左端A点处，距原点A为x1处的任意截面，其剪力 方程和弯矩方程为
Q(x1)=RA－qx1=1.5qa-qx1(0<x1<4a) M(x1)=RAx1-qx21/2=3qa/2x1-q/2x12 (0≤x1≤4a)
图9.18
图9.18
(4) 画剪力图和弯矩图
先根据剪力方程(或弯矩方程)判断剪力图(或弯 矩图)的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程(或 弯矩方程)计算其相应截面的剪力值(或弯矩值)，然 后描点并画出整个全梁的剪力图(或弯矩图)。 剪力图和弯矩图可以确定梁的最大剪力和最大 弯矩值，其相应的横截面称为危险断面。
【例 9.4】悬臂梁如图9.14(a)所示，在自由端B处有集中力P作用，试作此梁 的剪力图和弯矩图。
(4) 画弯矩图
从式(b)可知，AC段的弯矩是x的一次函数，弯矩图是一条斜直线，只需 确定该段始末两个控制截面的弯矩值，就能画出该段的弯矩图。由式(b) x=0，MA=0 x=a，MC=Pab/l 从式(d)可知，CB段的弯矩是x的一次函数，弯矩图也是一条斜直线，由 式(d) x=a，MC=Pab/l x=l，MB=0
(3) 画剪力图和弯矩图
由式(a)可见，Q(x)是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。由式(a) x=0，QA右=ql/2 x=l，QB左=-ql/2 剪力图如图9.15(b)所示。 由式(b)可见，M(x)是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线，至 少需要确定三个控制截面的弯矩值，才能描出曲线大致形状。由式(b)
绘制剪力图和弯矩图的步骤
(1) 求支座反力
以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座 情况，由静力平衡方程求出支座反力。 (2) 将梁分段 以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫 处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分 段。 (3) 列出各段的剪力方程和弯矩方程
各段列剪力方程和弯矩方程时，所取的坐标原 点与坐标轴x的正向可视计算方便而定，不必一致。
剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律， 把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图 和弯矩图。 剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相 似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置， 用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。
在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方， 负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯 矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。
【例9.5】简支梁如图9.15(a)所示，受均布荷载q作用，试画出梁的剪力图和 弯矩图。
【解】(1) 求支座反力 由于载荷对称，支座反力也对称，有 RA=RB=ql/2 (2) 列剪力方程和弯矩方程 坐标原点取在左端A点处，距原点A为x处的任意截面，其剪力方程和弯 矩方程为 Q(x)=RA-qx=ql/2-qx(0＜x＜l) M(x)=RAx-qx2/2=ql/2x-qx2/2 (0≤x≤l)
BC段：坐标原点取在右端C点处，距原点C为x2处的任意截面，其剪力方 程和弯矩方程为
Q(x2)=qx2(0≤x2<2a) M(x2)=-qx22/2 (0≤x2≤2a)
(3) 画剪力图
从式(a)可知，AB段的剪力Q(x1)是x1的一次函数，剪力图是一条斜直线， 由式(a)
x1=4a，QB左=-2.5qa
从式(b)可见，弯矩M(x)是x的一次函数，所以弯矩图是一条斜直线。只 需确定始末两个控制截面的弯矩值，就能画出弯矩图。由式(b)
x=0，MA=0 x=l，MB左=-Pl 弯矩图如图9.14(c)所示。 从所作的内力图可知，剪力在全梁的所有截面都相等，且处处为最大剪 力，其值为｜Qmax｜=P；弯矩的最大值发生在固定端，其值为｜Mmax｜=Pl。 最大剪力和最大弯矩指的是绝对值最大的剪力和弯矩。
x1=0，MA=0
x1=4a，MB=-2qa2 为计算AB段的极值弯矩，首先要确定产生极值弯矩截面的位置。由例9.5 知，在剪力为零的截面有弯矩的极值，令Q(x1)=0，有 1.5qa-qx1=0 得x1=1.5a 即距离原点A为1.5a处的截面上剪力为零，该截面上有极值弯矩。将 x1=1.5a代入式(b) Mx1=1.5a=1.5qa×1.5a-q/2 (1.5a)2=1.125qa2
从式(c)可知，BC段的剪力Q(x2)是x2的一次函数，剪力图也是一条斜直线， 由式(c) x2=0，QC=0 x2=2a，QB右=2qa 画出剪力图如图9.18(b)所示。 (4) 画弯矩图
从式(b)可知，AB段的弯矩M(x1)是x1的二次函数，弯矩图是一条二次抛物 线，至少需要确定A截面、B截面和极值弯矩截面三个控制截面上的弯矩值， 才能画出弯矩图。由式(b)
【解】(1) 列剪力方程和弯矩方程 将坐标原点取在梁右端B点上，取距坐标原点为x的任意截面右侧梁为研 究对象。利用计算剪力和弯矩的规律，列出剪力方程和弯矩方程分别为 Q(x)=P(0<x<l) M(x)=-Px(0≤x<l) (2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一条在x轴线上侧与x轴平行的直线，如图9.14(b)所示。
4.4.3
梁的内力方程及 内力图
剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程
• 若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的 位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示 为坐标x的函数，即 • Q=Q(x) • M=M(x) • 以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线 的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩 方程。
从式(a)和式(c)可知，AC段和CB段的剪力为常数m/l，剪力图是一条在x 轴线上侧与x轴平行的直线。剪力图如图9.17(b)所示。
【例 9.8】外伸梁受荷载作用如图9.18(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。
【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程得
∑mB(F)= 0，q×6a×a-RA×4a=0
从式(d)可知，BC段的弯矩M(x2)是x2的二次函数，弯矩图也是一条二次抛 物线，由式(d)
x2=0，MC=0 x2=2a，MB=-2qa2 画出弯矩图如图9.18(c)所示。
图9.14
图9.14
图9.15
图9.15
图9.16
图9.16
图9.17
图9.17
图9.17
图9.18
x=0，MA=0
x=l/2，MC=ql2/8 x=l，MB=0 弯矩图如图9.15(c)所示。 从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为｜Qmax｜=ql/2，最 大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为｜Mmax｜=ql2/8。
【例 9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩 图。 【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程求支座反力。 ∑mB(F)= 0，-RAl+Pb=0 RA=Pb/l ∑Fy=0，RA+RB-P=0 RB=Pa/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方 程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A为坐标原点
AC段：
Q(x)=RA=m/l (0<x≤a) M(x)=RAx=m/lx(0≤x<a) CB段： Q(x)=RA=m/l (a≤x<l) M(x)=RAx-m=m/lx-m(a<x≤l) (3) 画剪力图
从所作的内力图知，若a>b，则在CB段任一截面上的剪力值都相等且比 AC段的要大，其值｜Qmax｜=Pa/l，最大弯矩发生在集中力P作用的截面上， 其值｜Mmax｜=Pab/l。
如果集中力P作用在梁的跨中，即a=b=l/2，则
｜Qmax｜=P/2
｜Mmax｜=Pl/4
【例 9.7】简支梁受集中力偶m作用如图9.17(a)所示，试画出梁的剪力图和弯 矩图。
RA=1.5qa ∑mA(F)= 0，RB×4a-q×6a×3a=0 RB=4.5qa (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在B截面处有支座反力RB作用，需分为AB段和BC段。
AB段：坐标原点取在左端A点处，距原点A为x1处的任意截面，其剪力 方程和弯矩方程为
Q(x1)=RA－qx1=1.5qa-qx1(0<x1<4a) M(x1)=RAx1-qx21/2=3qa/2x1-q/2x12 (0≤x1≤4a)
图9.18
图9.18
(4) 画剪力图和弯矩图
先根据剪力方程(或弯矩方程)判断剪力图(或弯 矩图)的形状，确定其控制截面，再根据剪力方程(或 弯矩方程)计算其相应截面的剪力值(或弯矩值)，然 后描点并画出整个全梁的剪力图(或弯矩图)。 剪力图和弯矩图可以确定梁的最大剪力和最大 弯矩值，其相应的横截面称为危险断面。
【例 9.4】悬臂梁如图9.14(a)所示，在自由端B处有集中力P作用，试作此梁 的剪力图和弯矩图。
(4) 画弯矩图
从式(b)可知，AC段的弯矩是x的一次函数，弯矩图是一条斜直线，只需 确定该段始末两个控制截面的弯矩值，就能画出该段的弯矩图。由式(b) x=0，MA=0 x=a，MC=Pab/l 从式(d)可知，CB段的弯矩是x的一次函数，弯矩图也是一条斜直线，由 式(d) x=a，MC=Pab/l x=l，MB=0
(3) 画剪力图和弯矩图
由式(a)可见，Q(x)是x的一次函数，所以剪力图是一条斜直线。由式(a) x=0，QA右=ql/2 x=l，QB左=-ql/2 剪力图如图9.15(b)所示。 由式(b)可见，M(x)是x的二次函数，所以弯矩图是一条二次抛物线，至 少需要确定三个控制截面的弯矩值，才能描出曲线大致形状。由式(b)
绘制剪力图和弯矩图的步骤
(1) 求支座反力
以梁整体为研究对象，根据梁上的荷载和支座 情况，由静力平衡方程求出支座反力。 (2) 将梁分段 以集中力和集中力偶作用处、分布荷载的起讫 处、梁的支承处以及梁的端面为界点，将梁进行分 段。 (3) 列出各段的剪力方程和弯矩方程
各段列剪力方程和弯矩方程时，所取的坐标原 点与坐标轴x的正向可视计算方便而定，不必一致。
剪力图和弯矩图
为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴的变化规律， 把剪力方程和弯矩方程用其图像表示，称为剪力图 和弯矩图。 剪力图和弯矩图的画法与轴力图、扭矩图很相 似，用平行于梁轴的横坐标x表示梁横截面的位置， 用垂直于梁轴的纵坐标表示相应截面的剪力和弯矩。
在土建工程中，习惯上将正剪力画在x轴上方， 负剪力画在x轴的下方；正弯矩画在x轴下方，负弯 矩画在x轴的上方，即把弯矩图画在梁受拉的一侧。
【例9.5】简支梁如图9.15(a)所示，受均布荷载q作用，试画出梁的剪力图和 弯矩图。
【解】(1) 求支座反力 由于载荷对称，支座反力也对称，有 RA=RB=ql/2 (2) 列剪力方程和弯矩方程 坐标原点取在左端A点处，距原点A为x处的任意截面，其剪力方程和弯 矩方程为 Q(x)=RA-qx=ql/2-qx(0＜x＜l) M(x)=RAx-qx2/2=ql/2x-qx2/2 (0≤x≤l)
BC段：坐标原点取在右端C点处，距原点C为x2处的任意截面，其剪力方 程和弯矩方程为
Q(x2)=qx2(0≤x2<2a) M(x2)=-qx22/2 (0≤x2≤2a)
(3) 画剪力图
从式(a)可知，AB段的剪力Q(x1)是x1的一次函数，剪力图是一条斜直线， 由式(a)
x1=4a，QB左=-2.5qa
从式(b)可见，弯矩M(x)是x的一次函数，所以弯矩图是一条斜直线。只 需确定始末两个控制截面的弯矩值，就能画出弯矩图。由式(b)
x=0，MA=0 x=l，MB左=-Pl 弯矩图如图9.14(c)所示。 从所作的内力图可知，剪力在全梁的所有截面都相等，且处处为最大剪 力，其值为｜Qmax｜=P；弯矩的最大值发生在固定端，其值为｜Mmax｜=Pl。 最大剪力和最大弯矩指的是绝对值最大的剪力和弯矩。
x1=0，MA=0
x1=4a，MB=-2qa2 为计算AB段的极值弯矩，首先要确定产生极值弯矩截面的位置。由例9.5 知，在剪力为零的截面有弯矩的极值，令Q(x1)=0，有 1.5qa-qx1=0 得x1=1.5a 即距离原点A为1.5a处的截面上剪力为零，该截面上有极值弯矩。将 x1=1.5a代入式(b) Mx1=1.5a=1.5qa×1.5a-q/2 (1.5a)2=1.125qa2
从式(c)可知，BC段的剪力Q(x2)是x2的一次函数，剪力图也是一条斜直线， 由式(c) x2=0，QC=0 x2=2a，QB右=2qa 画出剪力图如图9.18(b)所示。 (4) 画弯矩图
从式(b)可知，AB段的弯矩M(x1)是x1的二次函数，弯矩图是一条二次抛物 线，至少需要确定A截面、B截面和极值弯矩截面三个控制截面上的弯矩值， 才能画出弯矩图。由式(b)
【解】(1) 列剪力方程和弯矩方程 将坐标原点取在梁右端B点上，取距坐标原点为x的任意截面右侧梁为研 究对象。利用计算剪力和弯矩的规律，列出剪力方程和弯矩方程分别为 Q(x)=P(0<x<l) M(x)=-Px(0≤x<l) (2) 画剪力图和弯矩图
剪力图是一条在x轴线上侧与x轴平行的直线，如图9.14(b)所示。
4.4.3
梁的内力方程及 内力图
剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程
• 若以横坐标x表示横截面在梁轴线上的 位置，则各横截面上的剪力和弯矩皆可表示 为坐标x的函数，即 • Q=Q(x) • M=M(x) • 以上两函数表达了剪力和弯矩沿梁轴线 的变化规律，分别称为梁的剪力方程和弯矩 方程。
从式(a)和式(c)可知，AC段和CB段的剪力为常数m/l，剪力图是一条在x 轴线上侧与x轴平行的直线。剪力图如图9.17(b)所示。
【例 9.8】外伸梁受荷载作用如图9.18(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩图。
【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程得
∑mB(F)= 0，q×6a×a-RA×4a=0
从式(d)可知，BC段的弯矩M(x2)是x2的二次函数，弯矩图也是一条二次抛 物线，由式(d)
x2=0，MC=0 x2=2a，MB=-2qa2 画出弯矩图如图9.18(c)所示。
图9.14
图9.14
图9.15
图9.15
图9.16
图9.16
图9.17
图9.17
图9.17
图9.18
x=0，MA=0
x=l/2，MC=ql2/8 x=l，MB=0 弯矩图如图9.15(c)所示。 从所作的内力图可知，最大剪力发生在梁端，其值为｜Qmax｜=ql/2，最 大弯矩发生在剪力为零的跨截面，其值为｜Mmax｜=ql2/8。
【例 9.6】简支梁受集中力P作用如图9.16(a)所示，试画出梁的剪力图和弯矩 图。 【解】(1) 求支座反力 以整梁为研究对象，由平衡方程求支座反力。 ∑mB(F)= 0，-RAl+Pb=0 RA=Pb/l ∑Fy=0，RA+RB-P=0 RB=Pa/l (2) 列剪力方程和弯矩方程 梁在C截面处有集中力P作用，AC段和CB段所受的外力不同，其剪力方 程和弯矩方程也不相同，需分段列出。取梁左端A为坐标原点