圆的切线的证明与计算中考复习课件
7
1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，PA⊥AB， 延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延长线于点D， 且∠DPC=∠DCO。
（1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若PA=6，tan∠PCA=3/4 ，
求OD的长。
8
1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上， PA⊥AB， 延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延长线于点D， 且∠DPC=∠DCO。
11
二、例题讲解 例2、如图， AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，
点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC。
(1)求证：DE与⊙O相切； (2)若BF＝2，DF＝ 10 ， 求⊙O的半径．
12
例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且 与小圆相交于点A，与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大 圆相交于点D，且CO平分∠ACB.
∵△ODC∽△OAP, 10
即 OC
OP
OD OA
，∴OD= 5
回顾与思考
1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上， PA⊥AB， 延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延长线于点D， 且∠DPC=∠DCO。
（1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若PA=6，tan∠PCA=3/4 ，求OD的长。
(2)若 BF＝2，DF＝ 10，求⊙O 的半径．
16
1、证明相切的基本思路：
已知半径-------直接证直线与半径垂直；
没有半径有无公公共共点点
-
-
-“连半径，证垂直”如例1 -“作垂直，证半径”如例2
常用方法：
证平行、证全等、计算角度、运用角平分线
的性质……
2、根据切线的性质，构造相似三角形，利
（1）求证：PC是⊙O的切线；
证明：过点O作OE⊥PC于点E， ∵PA⊥AB，CD⊥PO, ∠AOP=∠COD, ∴∠OPA=∠DCO,∵∠DPC=∠DCO, ∴∠OPA=∠DPC, ∵OA⊥PA,OE⊥PC,∴OE=OA, ∴PC是⊙O的切线;
9
1、如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上， PA⊥AB， 延长PO至点D，使CD⊥PO交PO的延 长线于点D，且∠DPC=∠DCO。
用相似三角形对应边成比例的性质，建
立方程求解，（如练习1，练习2），运
用勾股定理，三角函数，射影定理等……
17
作业布置： 测评练习
18
同学们，再见！
(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； (2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由； (3)若AB＝8 cm，BC＝10 cm，求大圆与小圆
围成的圆环的面积．(结果保留π)
13
例2、AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，点
E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC. (1)求证：DE与⊙O相切；
∴△ACF与△FDB是等腰三角形， ∴HD＝ DF 2 FH 2 ＝3， 在Rt△ODH中，OH2＋DH2＝OD2， 即(OD－1)2＋32＝OD2， ∴OD＝5， 答：⊙O的半径是5.
15
回顾与思考 例2、如图， AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD，
点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC. (1)求证：DE与⊙O相切；
解：(1)证明：如答图，连结OD. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠ABC＝90°， ∵∠BOD＝2∠BCD，∠A＝2∠BCD， ∴∠BOD＝∠A， ∵∠AED＝∠ABC， ∴∠BOD＋∠AED＝90°， ∴∠ODE＝90°， 即OD⊥DE，∵D在圆上， ∴DE与⊙O相切；
14
4
例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且 与小圆相交于点A，与大圆相交于点B。小圆的切线AC与 大圆相交于点D，且CO平分∠ACB。
(2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系， 并说明理由；
解：AC＋AD＝BC.理由如下：连接OD.∵AC 切小圆O于点A，BC切小圆O于点E， ∴CE＝CA.∵在Rt△OAD与Rt△OEB中， OA＝OE，OD＝OB， ∠OAD＝∠OEB＝90°， ∴Rt△OAD≌Rt△OEB(HL)． ∴EB＝AD.∵BC＝CE＋EB
例2、如图， AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠A＝2∠BCD， 点E在AB的延长线上，∠AED＝∠ABC.
(2)若 BF＝2，DF＝ 10，求⊙O 的半径．
连结BD，过点D作DH⊥BF于点H. ∵DE与⊙O相切，∴∠BDE＝∠BCD， ∵∠AED＝∠ABC，∴∠AFC＝∠DBF， ∵∠AFC＝∠DFB，
∵圆环的面积S＝πOD2－πOA2＝π(OD2－OA2)， ∵OD2－OA2＝AD2， ∴S＝42π＝16π(cm2) 6
回顾与思考
例1、如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点， 直线FA⊥x轴于点A，点D在FA上，且DO平行⊙O的MB， 连DM并延长交x轴于点C.
（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明； （2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB＝8 cm，BC＝10 cm，求大圆与
中考数学专题 复习
圆的切线的证明与计算
一、本课主要知识梳理 1. 定义：与圆只有一个__公__共__点__的直线叫做圆的切线，这个 公共点叫做切点. 2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过_切__点___的半径. 3. 切线的判定定理：经过半径的外端并且_垂__直___于这条半径 的直线是圆的切线. 4. 证明一条直线是圆的切线方法： 主要有两种：一是利用圆心到直线的距离等于_半__径___，二 是利用切线的_判__定__定__理___，即常作的辅助线是：已知切点， _连__半__径___证_垂__直___或未知切点，作_垂__直___证_半__径___.
3
二、例题讲解
例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且 与小圆相交于点A，与大圆相交于点B。小圆的切线AC与 大圆相交于点D，且CO平分∠ACB. (1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； 解：(1)BC所在直线与小圆相切；理由如 下：过圆心O作OE⊥BC，垂足为E. ∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O， ∴OA⊥AC.∵CO平分∠ACB，OE⊥BC， ∴OE＝OA.∴BC所在直线是小圆的切线
（2）若PA=6，tan∠PCA=3/4 ,求OD的长。
解：∵PA⊥AB，OA是⊙O的半径，
∴PA是⊙O的切线，
∵PE是⊙O的切线，
∴PE=PA=6，在Rt△PCA中，
tan∠PCA=3/4Байду номын сангаас，PA=6，
∴AC=8，∴PC=10，∴CE=4，
在Rt△OCE中，tan∠ECO=3/4，CE=4，
∴OE=3，OC=5，在Rt△POA中，OP= 32 62 =3 5
5 ∴BC＝AC＋AD
例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且 与小圆相交于点A，与大圆相交于点B。小圆的切线AC与大 圆相交于点D，且CO平分∠ACB.
(3)若AB＝8 cm，BC＝10 cm，求大圆与小圆围成的圆环的面 积。(结果保留π)
解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝10， ∴AC＝6.∵BC＝AC＋AD， ∴AD＝BC－AC＝4.
2
二、例题讲解 例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且
与小圆相交于点A，与大圆相交于点B.小圆的切线AC与大 圆相交于点D，且CO平分∠ACB. (1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； (2)试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由； (3)若AB＝8 cm，BC＝10 cm，求大圆与小圆 围成的圆环的面积．(结果保留π)
2020届中考数学总复习课件：微专题十二 与圆的切线有关的计算与证明 (共21张PPT)
解：(1)如答图，连结 DN，ON. ∵⊙O 的半径为52，∴CD＝5. ∵∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线， ∴BD＝CD＝AD＝5，∴AB＝10， ∴BC＝ AB2－AC2＝8. ∵CD 为直径，∴∠CND＝90°，且 BD＝CD， ∴BN＝NC＝4； (2)证明：∵BN＝NC，OC＝OD，∴ON∥BD， ∵NE⊥AB，∴ON⊥NE，∴NE 为⊙O 的切线．
【中考变形】 1．[2019·盐城]如图 Z12－5，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线， 以 CD 为直径的⊙O 分别交 AC，BC 于点 M，N，过点 N 作 NE⊥AB，垂足为 E. (1)若⊙O 的半径为52，AC＝6，求 BN 的长； (2)求证：NE 与⊙O 相切．
图 Z12－2
解：(1)∵AF 与⊙O 相切于点 A， ∴AF⊥OA，∴∠OAF＝90°， 又∵∠F＝30°，∴∠FOA＝60°， ∴∠ADB＝12∠FOA＝30°；
(2)∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝30°， ∴∠DBC＝∠DAC＝30°， ∵∠F＝30°，∴∠F＝∠DBC，∴AF∥BC， ∴OA⊥BC，∴BE＝CE＝12BC＝4，AB＝AC， ∴∠C＝30°，∴AC＝233EC＝833.
【中考预测】 [2018·郴州]如图 Z12－7，已知 BC 是⊙O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，AB＝AD， AE 是⊙O 的弦，∠AEC＝30°. (1)求证：直线 AD 是⊙O 的切线； (2)若 AE⊥BC，垂足为 M，⊙O 的半径为 4，求 AE 的长．
图 Z12－7
解：(1)证明：如答图，连结 AO， ∵∠AEC＝30°，∴∠ABC＝30°， ∵AB＝AD，∴∠D＝∠ABC＝30°， 根据三角形的内角和定理得∠BAD＝120°， ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC＝30°， ∴∠OAD＝∠BAD－∠OAB＝90°， ∴OA⊥AD， ∵点 A 在⊙O 上，∴直线 AD 是⊙O 的切线；
第15课时-与圆的切线有关的证明课件
初三年级数学学科
与圆的切线有关的证明（上）
一、据已知条件证切线
温习梳理
1、切线的定义:直线和圆有且只有1个公共点时，这条 直线叫圆的切线。
2、切线的性质:圆的切线 垂直 于过切点的半径。 3、切线的判定:
⑴和圆只有 一个公共点的直线是圆的切线。 ⑵到圆心距离等于 半径的直线是圆的切线。 ⑶经过半径的外端并且 垂直 于这条半径的直线是圆的
(2)解：如图所示，连接BM，OD.
∴∠ODB＝∠OBD.
由(1)得AD＝CD.
∵∠OBD＝∠ABD，
又∵AD＝CM，
∴∠ODB＝∠ABD.
∴CD＝CM，∠DBC＝∠MBC＝∠MDC. ∴OD∥AB.
∵DM⊥BC，
∵BE⊥DE，
∴∠DBC＋∠BDM＝90°.
∴OD⊥DE.
∴∠MDC＋∠BDM＝90°，即∠BDC＝90°∵OD是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的直径.
∴DE与⊙O相切.
∴OD＝OB，
∴直线DE与图形G的公共点个数为1.
作业答案
2.已知：如图，AB 是⊙O的直径，AC、BD是⊙O的切线.
求证: AC∥BD
证明：
A
C
∵AB 是⊙O的直径，AC、BD是⊙O的切线
O
∴∠CAB＝∠DBA= 90°
∴∠CAB+∠DBA= 180° ∴AC∥BD
∴ PB是⊙O的切线．
3．如图，在 Rt△ ABC 中， C 90 ，AE 是△ ABC 的角平分线. AE 的垂直平分线交 AB 于点 O，以点 O 为圆心，OA 为半径作⊙O， 交 AB 于点 F.
求证：BC 是⊙O 的切线.
证明：连接 OE. ∵ AE 的垂直平分线交 AB 于点 O， ∴ OA=OE.
中考数学复习与圆的切线有关的计算技巧 课件(18张PPT)
2. （四川资阳）如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切 点为D，连结BD． (1)求证：∠A=∠BDC； (2)若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．
三.证切线常用的辅助线： 连半径，证垂直，得切线；作垂直， 证半径，得切线.
3. （福建漳州）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，C为 BE 的中点，
真题反馈
9.如图，已知三角形ABC的边AB是⊙O的切线，切点为B．AC经过圆心O 并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E． （1）求证：CB平分∠ACE； （2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．
与圆的切线有 关的计算
一.作圆的切线 1.有直径或半径时，常过直径、半径的端 点作圆的切线； 2.有圆的割线，作切线构造相似三角形.
1. （江苏苏州）如图，已知 AB是⊙O的一条直径，延长AB至点C，使
AC=3BC，CD与⊙O相切于D点．若CD= 3 ，则线段BC的长为
________．
二.切线常用的辅助线： 遇到切线问题，常连接圆心与切点，构 造垂直，从而为找等角或求有关线段的 长度创造条件.
真题反馈
7.如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，
连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边
相切时，BP的长为
．
真题反馈
8. （2018•山西）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8， 点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F， 过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为 ．
真题反馈
1.如图，AC，CD，BD分别切⊙O于点A，E，B，且AC∥BD，连接OE， 求证：OE2=AC·BD.
圆的切线(复习课)课件
在解析几何中，切线与曲线的交点是 曲线的重要性质之一，通过切线可以 研究曲线的增减性、极值点和拐点等 。
在实际问题中的应用
机械制造中的圆加工
在机械制造中，切线被广泛应用于圆形的加工和制造，如车削、铣削和磨削等 。
物理学中的圆周运动
在物理学中，切线是描述圆周运动轨迹的重要工具，如卫星轨道、物体旋转等 。
当一条直线与圆心的距离为零时，该直线被称为圆的切线。
切线的性质
切线与半径垂直
切线与半径的交点是切点
通过切点作半径垂直于切线，证明切 线与半径垂直。
切线与半径的交点是切点，这是切线 的定义决定的。
切线长度有限
切线的长度是有限的，等于圆的半径 。
切线的判定定理
01
02
03
判定定理一
如果一条直线通过圆上的 一点，并且该直线与圆的 半径垂直，则该直线是圆 的切线。
提高题目解析
知识应用能力的提升
提高题目要求学生在掌握基础知识的前提下，能够灵活运用 圆的切线性质解决实际问题，如求切线的长度、判断某直线 是否为圆的切线等。
竞赛题目解析
思维能力和创新能力的挑战
竞赛题目难度较大，不仅要求学生熟练掌握基础知识，还 要求他们具备严密的逻辑推理能力和创新能力，能够解决 一些较为复杂的圆的切线问题，如切线与圆的综合问题、 切线与其他几何图形的综合问题等。
切线和半径之间的距离是固定的
切线与半径之间的距离是固定 的，这个距离等于圆的半径。
切线到圆心的距离等于圆的半 径。
切线与经过切点的半径的夹角 为90度。
切线长定理
01
切线长定理：从圆外一点引出的 两条切线，它们的切线长相等。
02
这个定理可以用于证明一些几何 问题，例如角平分线的性质等。
圆的切线课件
通过圆上一点作切线
总结词
通过圆上一点作切线需要利用半径垂直于切线的性质。
详细描述
选取圆上任意一点，然后通过这一点作一条直线与圆相切，即为切线。这种方法 需要利用圆的性质，即半径垂直于切线。
通过圆外一点作切线
总结词
通过圆外一点作切线需要利用垂径定 理和切线的性质。
详细描述
选取圆外任意一点，然后通过这一点 作一条直线与圆相切，即为切线。这 种方法需要利用垂径定理和切线的性 质，即半径与切线垂直且半径长度等 于圆心到切点的距离。
判定方法三
利用圆的性质，通过观察 圆心到直线的距离是否等 于半径来判断是否为切线 。
02 圆的切线的性质定理
切线与半径垂直
切线与经过切点的半径垂直， 这是切线的基本性质。
在几何学中，这一性质用于证 明切线的其他性质和定理。
在实际应用中，这一性质可用 于确定某直线是否为圆的切线 。
切线长定理
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。 这一性质在几何作图和证明中非常有用，特别是在解决与圆和切线相关的问题时。
05 圆的切线的相关定理和推论
切线与半径之间的夹角定理
总结词
切线与半径之间的夹角定理描述了切线与半径之间的角度关系。
详细描述
切线与半径之间的夹角是直角，即切线与半径垂直。这个定理是圆的基本性质之一，是证明其他切线定理的基础 。
切线长定理的推论
总结词
切线长定理的推论给出了切线长度与半径之间的关系。
圆的切线ppt课件
目录
Contents
• 圆的切线的基本概念 • 圆的切线的性质定理 • 圆的切线的应用 • 圆的切线的作法 • 圆的切线的相关定理和推论
01 圆的切线的基本概念
第40讲 与圆有关的计算与证明题 课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt
复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求 的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨 由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1
2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
目录导航
9
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以 为直径的
⊙ 与 △ 的边 相切于点 ，且与 边
交于点 ，点 为 的中点，连接 ， ，
.
（1）求证： 是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2， 为 ⊙ 的直径，过圆上一
点 作 ⊙ 的切线 交 的延长线于点 ，过点
作 // 交 于点 ，连接 ．
（1）直线 与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
目录导航
7
第40讲 与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线 与 ⊙ 相切.
， 的点，连接 ， ，点 在 的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点 在 的延长线上，
圆的切线的证明 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
学生在应用切线的判定定理证明时，在证
困难 预设
明垂直上
板书设计说明
圆的切线的判定
一、小结：
1. 证明直线和圆的相切的基本思路：
（1）已知半径
（一）证明
（2）没有半径
2、在证明圆的切线问题中，准切点处的 垂关系的证明常用以下方法（不是所有方 法）
（二)证明
平行 互余
全等
（三）证明
基本
学生层次不一，知识水平差异较大；
情况
学生已经学习了圆的切线判定的三种方法，
（1）求证：DE为⊙O的切线。 （2）求DE的长。
连半径，证垂直
1.等边三角形，等腰三角形， 内错角，平行，菱形
2.角平分线，等腰三角形，内错角， 平行，垂径定理 ，勾股定理
3.角平分线，等腰三角形，内错角，平 行，直径，垂径定理 ，勾股定理
4.如图,在△ABC中，AB=AC,O是底边 BC的中点,以点O为圆心的圆与AB相切于点D.
求证:AC与⊙O相切.
5.如图,O为正方形ABCD对角线上一点,以 O为圆心,OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.
(1)求证:CD与⊙O相切. (2)若正方形ABCD的边长为1,求⊙O的半径.
做垂直，证半径
1.等腰三角形，三线合一， 2.正方形，角平分线的
角平分线的性质
性质，勾股定理
(2018年湖北随州中考)
6.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上 一点，CN为⊙O的切线，OM⊥AB于点O， 分别交AC、CN于D、M两点．
求证：MD=MC；
(2017年浙江丽水中考)
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC为 直径的⊙O交AB于点D,切线DE交AC于点E.
中考数学与圆的切线相关的证明与计算
中考数学与圆的切线相关的证明与计算圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .一、圆的切线的判定及相关计算1.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O，与BC 交于点D，点E 是弧BD 的中点，连接AE 交BC 于点F，∠ACB＝2∠BAE .求证：AC 是⊙O 的切线．例题1图【分析】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE 可得到∠BAD＝∠BCA，再结合直径所对圆周角为直角即可得证．证明：如解图，连接AD.例题1解图∵点E 是弧BD 的中点，∴弧BE ＝弧DE，∴∠1＝∠2 .∵∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1，∴∠ACB＝∠BAD.∵AB为⊙O 直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.∴∠DAC＋∠C＝90°.∵∠C＝∠BAD，∴∠DAC＋∠BAD＝90°.∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC. 又∵AB 是⊙O 的直径，∴AC 是⊙O 的切线．证明切线的常用方法：1．直线与圆有交点，“连半径，证垂直”．(1) 图中有90°角时，证垂直的方法如下：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证；②利用平行线性质证明垂直：如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；③利用三角形全等或相似：通过证明切线和其他两边围成的三角形与含90°的三角形全等或相似得证．(2)图中无90°角时：利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线，再根据“三线合一”的性质得证．2．直线与圆无交点，“作垂线，证相等”．2.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，且弧AD＝弧CD , 过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线相交于点E，并与AB 的延长线相交于点F .(1) 求证：DF 是⊙O 的切线；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AC＝8，求DF 的长．例题2图【解析】(1) 证明：如解图，连接DO 并延长，与AC 相交于点P.例题2解图∵弧AD = 弧CD，∴DP⊥AC.∴∠DPC＝90°.∵DE⊥BC，∴∠CED＝90°.∵∠C＝90°.∴∠ODF＝90°，而点D 在⊙O 上，∴DF 是⊙O 的切线；(2) 解：例题2解图∵∠C＝90°，R＝5，∴AB＝2R＝10.在Rt△ABC 中，根据勾股定理可得，BC＝6 .∵∠DPC＋∠C＝180°，∴PD∥CE.∴∠CBA＝∠DOF.∵∠C＝∠ODF，∴△ABC ∽△FOD.∴CA / DF = BC / OD , 即8 / DF = 6 / 5 ,∴DF = 20 / 3 .类型二、切线性质的相关证明与计算3.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点B 作⊙O 的切线DE，与AC 的延长线交于点D，作AE⊥AC 交DE 于点E .(1) 求证：∠BAD＝∠E；(2) 若⊙O 的半径为5，AC＝8，求BE 的长．例题3图【解析】(1) 证明：∵⊙O 与DE 相切于点B，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABE＝90°.∴∠BAE＋∠E＝90°.又∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE＝90°.∴∠BAD＝∠E；(2) 解：如解图，连接BC.例题3解图∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝8，AB＝2 ×5＝10 .∴在Rt△ACB 中，根据勾股定理可得BC = 6 .又∵∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，∴△ABC ∽△EAB .∴AC / EB = BC / AB , 即8 / EB = 6 / 10 ,∴BE＝40 / 3 .4.如图，⊙O 的半径OA＝6，过点A 作⊙O 的切线AP，且AP＝8，连接PO 并延长，与⊙O交于点B、D，过点B 作BC∥OA，并与⊙O 交于点C，连接AC、CD.(1) 求证：DC∥AP；(2) 求AC 的长．例题4图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠OAP＝90°.∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BCD＝90°.∵OA∥CB，∴∠AOP＝∠DBC，∴∠BDC＝∠APO.∴DC∥AP；(2) 解：∵AO∥BC，OD＝OB，例题4解图∴如解图，延长AO 交DC 于点E，则AE⊥DC，OE＝1/2 BC，CE＝1/2 CD.在Rt△AOP 中，根据勾股定理可得：OP＝10.由(1) 知，△AOP∽△CBD，∴BD/OP = BC/OA = CD/AP , 即12/10 = BC/6 = DC/8 ,∴BC = 36/5 , DC = 48/5 .∴OE = 18/5 , CE = 24/5 , AE = OA + DE = 6 + 18/5 = 48/5 ,在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：AC = 24√5 / 5 .5.如图，AC 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的一条弦，AP 是⊙O 的切线．作BM＝AB，并与AP 交于点M，延长MB 交AC 于点E，交⊙O 于点D，连接AD.(1) 求证：AB＝BE；(2) 若⊙O 的半径R＝5，AB＝6，求AD 的长．例题5图【解析】(1) 证明：∵AP 是⊙O 的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°. 又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE；(2) 解：如解图，连接BC.例题5解图∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC＝∠EAM＝90°，在Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6，根据勾股定理可得：BC = 8 . 由(1) 知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM，∴∠C＝∠AME，AC/EM = BC/AM , 即10/2 = 8/AM ,∴AM = 48/5 .又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD.∴AD＝AM＝48/5 .。
圆的切线的证明 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
A
l
B
(2)
A
l
(3)
(2),(3)不是，因为没有经过半径
没有垂直.
的外端点A.
注意 在判定定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这
条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
典例精析
例1 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.
求证：直线AB是⊙O的切线.
有交点
证明：连接OC(如图).
人教版（RJ）数学九年级上册教学课件
24.2.2 圆的切线的证明
复习回顾 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时， 我们说这条直线是圆的切线;
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离 等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
几何语言： ∵ OA⊥l于A，且 OA=r ,
∴ l是⊙O的切线. 3.判定定理：经过半径的外端并且垂直 于这条半径的直线是圆的切线。
几何语言： ∵ OA是⊙O的半径,且 OA⊥l于A, ∴ l是⊙O的切线.
l
O
d
r
l
A
O
A
l
应用“切线的判定定理”判一判： 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
O.
A l
(1)
(1)不是，因为
O.
连半径
O
∵ OA＝OB,CA＝CB,
∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.
∴ AB⊥OC.
证垂直
A
C
B
又∵ OC是⊙O的半径,
∴ 直线AB是⊙O的切线.
证切线时常用辅助线添加方法之一：
有交点，连半径，证垂直。
例2 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC中点，⊙O 与AB 相
圆的切线性质与判定PPT课件
y
A
· · C2 O C3
B x
第16页/共19页
大显身手
③设当C运动到C4时圆与直线AB相切于Q点， 连C4 Q，则C4 Q⊥AB ∠C4 BQ=30° ∴ B C4 =2 C4 Q=14 ∴ CC4 =10+12+14=36 ∴ t4=36÷2=18（秒）
y
A
· O C3 B
C4
x
Q
第17页/共19页
心得体会
1、判定切线的方法有哪些？ 与圆有唯一公共点
是圆的切线
直线l与圆心的距离等于圆的半径
是圆的切线
经过半径外端且垂直这条半径
是圆的切线
2、常用的添辅助线方法？ （1）直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直 于该直线。（连半径，证垂直） （2）直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这 条垂线段为圆的半径。（作垂直，证半径）
.O
➢1、 P l 与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
rO
➢2、 d
l 当d=r时直线是圆的切线。
O
➢3、 P
l 经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线。
第2页/共19页
小试牛刀
例1：直线l和⊙O的公共点的个数为m，且m满足方程 m2+2m- 3=0, 试判断直线l和⊙ O的位置关系，并 说明理由.
3、圆的切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。 即“连半径，得垂直”。
第18页/共19页
感谢您的观看！
第19页/共19页
y A
·· C C1 O
B x
第11页/共19页