一次函数

一次函数知识点讲解

五、复习要点

一次函数的图象和性质

正比例函数的图象和性质

六、考点讲析1．一次函数的意义及其图象和性质

⑴．一次函数：若两个变量x、y间的关系式可以表示成y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）的形式，则称y是

x的一

次函数(x是自变量,y是因变量〕特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数．

⑵．一次函数的图象：一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b),(－，0 ）的一条直线，正比例函数y=kx的

图

象是经过原点(0，0）的一条直线，如下表所示．

⑶．一次函数的性质：y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）当k ＞0时，y的值随x的值增大而增大；当k＜0

时，y的值随x值的增大而减小．

⑷．直线y=kx＋b(k、b为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k在的关系．

①直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）；

②直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）；

③直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）；

④直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）；

2．一次函数表达式的求法

⑴．待定系数法：先设出式子中的未知系数，再根据条件列议程或议程组求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知系数也称为待定系数。

⑵．用待定系数法求出函数表壳式的一般步骤：⑴写出函数表达式的一般形式；⑵把已知条件(自变量与函数的对应值)公共秩序函数表达式中，得到关于待定系数的议程或议程组；⑶解方程(组)求出待定系数的值，从而写出函数的表达式。

⑶．一次函数表达式的求法：确定一次函数表达式常用待定系数法，其中确定正比例函数表达式，只需一对x与y的值，确定一次函数表达式，需要两对x与y的值。

七、典型例题讲析

例1 选择题

（1）下面图像中，不可能是关于x的一次函数的图象的是（）

(2）已知：，那么的图像一定不经过（ ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

（3）已知直线与x轴的交点在x轴的正半轴，下列结论：①；②

；③；④，其中正确结论的个数是（ )

A．1 B．2 C．3 D．4

(4）正比例函数的图象如图所示，则这个函数的解析式是（）

A． B． C． D．

解：（1）由A可得故，∴A可能；

由B可得故，∴B可能;

由C可得此不等式组无解.故C不可能，答案应选C.

（2）由已知得三式相加得：

，

∴，故直线即为.

此直线不经过第四象限，故应选D.

（3）直线与x轴的交点坐标为：

即异号，

∴②、③正确，故应选B.

（4）∵正比例函数经过点（1，－1），

∴，故应选B.

说明：一次函数中的的符号决定着直线的大致位置，题（3）还可以通过

的符号画草图，来判断各个结论的正确性，这类题型历来都是各地中考中的热点题型，同学们一定要熟练掌握.

例2 求下列一次函数的解析式：

（1）图像过点（1，－1）且与直线平行；

（2）图像和直线在y轴上相交于同一点，且过（2，－3）点.

解：（1）把变形为.

∵所求直线与平行，且过点（1，－1）.

∴设所求的直线为，将代入，解得.

∴所求一次函数的解析式为.

（2）∵所求的一次函数的图像与直线在y轴上的交点相同.

∴可设所求的直线为.

把代入，求得.

∴所求一次函数的解析式为.

说明：如果两直线平行，则；如果两直线

在y轴上的交点相同，则.掌握以上两点，在求一次函数解析式时，有时很方便.

例3：已知一次函数.求：（1）m为何值时，y随x的增大而减小；（2）m，n满

足什么条件时，函数图像与y轴的交点在x轴下方；（3）m，n分别取何值时，函数图像经过原点；（4）m，n满足什么条件时，函数图像不经过第二象限.

解：（1）∵y随x的增大而减小.

∴，即.

∴当时，y随x的增大而减小.

（2）令即

∴当时，函数图像与y轴交点在x轴下方.

（3）令即

∴当时，函数图像经过原点.

（4）令即

∴当时，函数图像不经过第二象限.

说明：对于一次函数的问题，重要的是掌握它的概念和性质，并能灵活地运用这些性质.例如，在表

达式中，特别要注意这一条件.

例4 已知一次函数的图象经过点及点（1，6），求此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积．

解：由一次函数的图象经过点及点（1，6），得=2，=4.

∴一次函数的解析式为.

∵=0时，=4，=0时，=-2，

∴一次函数的图象与轴的交点、与轴的交点的坐标分别为（0，4）、（-2，0），

∴

∴.

例5 如图，A、B分别是轴上位于原点左、右两侧的点，点P(2,p)在第一象限，直线PA交轴于点

C(0,2)，直线PB交轴于点D，.

(1) 的面积是多少？

（2）求点A的坐标及p的值.

（3）若，求直线BD的函数解析式.

解：过点作轴于点，轴于点.

（1）由点、点C的坐标分别为(2,p)、(0,2)及点P在第一象限内，得，=2，

=2.

∴

（2）注意到

∴，=4.

∴点A的坐标为（-4，0）.

又

=3.

（3）由题设，可知.

∴.

∴.

∴点D的坐标为（0，6）.

∵直线BD（设其解析式为）过点P(2,3)、点D（0，6），

∴，.

∴直线BD的解析式为.

例6我省某水果种植场今年喜获丰收，据估计，可收获荔枝和芒果共200吨．按合同，每吨荔枝售价为人民币0.3万元，每吨芒果售价为人民币0.5万元．现设销售这两种水果的总收入为人民币y万元，荔枝的产量为x吨（0＜x＜200）．

（1）请写出y关于x的函数关系式；

（2）若估计芒果产量不小于荔枝和芒果总产量的20％，但不大于60％，请求出y值的范围．

解:（1）因为荔枝为x吨，所以芒果为吨.依题意，得

即所求函数关系式为：

.

（2）芒果产量最小值为：

（吨）

此时，（吨）；

最大值为：（吨）.

此时，（吨）.

由函数关系式知，y随x的增大而减少，所以，y的最大值为：

（万元）

最小值为：

（万元）.

∴值的范围为68万元84万元.