第八章 配方试验设计

8.3 配方均匀设计
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配方及对应的指标值。 注意：利用回归分析法分析配方均匀设计结果，在选择配 方均匀设计表时，试验次数应多于回归方程系数的个数。 具体例子见书P153例9－3。
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 x1 0.817 0.684 0.592 0.517 0.452 0.394 0.342 0.293 x2 0.055 0.179 0.340 0.048 0.201 0.384 0.592 0.118 y 8.508 9.464 9.935 9.400 10.680 9.748 9.698 10.238 试验号 9 10 11 12 13 14 15 x1 0.247 0.204 0.163 0.124 0.087 0.051 0.017 x2 0.326 0.557 0.809 0.204 0.456 0.727 0.033 y 9.809 9.732 8.933 9.971 9.881 8.892 10.139
通过Excel规划求解可知z1=0.55，z2=0.45，z3=0时y取得 最大值8.525，即x1=0.495，x2=0.405，x3=0.1时y取得最大 值8.525。
8.2.4 单纯形重心设计
1、单纯形重心设计试验方案的确定 单纯形重心设计就是将试验点安排在单纯形的重心上。
15
8.2 单纯形配方设计
8.2.2 单纯形配方设计的回归模型
m种组分的d次多项式回归模型如下： ①一次式（d＝1） A(1,0,0) x1
C′ F B′ A′
m
ˆ y bj x j
j 1
B(0,1,0) x2
C(0,0,1) x3
8.2 单纯形配方设计
5
②二次式（d＝2）
ˆ y b j x j bkj xk x j
8.2 单纯形配方设计
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8.3 配方均匀设计
单纯形配方设计虽然简单，但是试验点在试验范围内的 分布并不十分均匀，而且试验边界上的试验点过多，为了 克服上述缺点，可以运用配方均匀设计。 配方均匀设计表可参考书P229~239附录11。 配方均匀设计表规定了每号试验中每种组分的百分比， 这些试验点均匀地分散在试验范围内，用配方均匀设计表 安排好试验后，获得试验指标yi的值。 由于配方均匀设计的试验点分布比较均匀，所以试验结 果的分析可用直观分析法直接选用其中最好的试验点作为 最优配方。 也可利用“试验数据的回归分析”章节的知识建立回归 方程，然后利用Excel“规划求解”工具由回归方程确定最 优
8.2 单纯形配方设计
11
(4)最优配方的确定 根据回归方程以及有关约束条件，通过Excel中的“规 划求解”工具，可以预测最佳的试验指标值及其对应zj的 最佳取值，将其转换成自然变量，就可得到最优配方。 (5)回归方程的回代 如果各组分xj无约束，则不需要转换，如果各组分xj有下 界约束，需将y与zj的回归方程转换成y与xj的回归方程。 具体例子见书P148~149例9－1。
xj aj
j 1
ˆ y 6.5 z1 5.5 z 2 7.5 z3 10 z1 z2 0.8 z1 z3 4.4 z 2 z3 0.833 7.32 x1 6.65 x2 8.33 x3 12.35 x1 x2 0.99 x1 x3 5.43 x2 x3
8.2 单纯形配方设计
12
P148~149例9－1{3，2}单纯形格子点设计方案及试验结果：
试验号
1 2 3 4 5 6
z1
1 0 0 1/2 1/2 0
z2
0 1 0 1/2 0 1/2
z3
0 0 1 0 1/2 1/2
评分y
6.5 5.5 7.5 8.5 6.8 5.4
ˆ y b j z j bkj z k z j
{m，d} 格子点集中共有 2.单纯形格子点设计试验方案的确定
（1）无约束单纯形格子点设计 无约束配方设计中，每种组分xj可以在0~1范围内变化， 其取值与阶数d有关，为1/d的倍数，即：
1 2 d 1 x j 0, , ,, ,1 d d d
8.2 单纯形配方设计
7
无约束单纯形格子点设计自然变量与规范变量相等，即 xj=zj，不必区分规范变量与自然变量。 单纯形格子点设计表可参考书P228附录9。 （2）有约束单纯形格子点设计 混料组分除了受下式约束外：
9
x1
z1
这里只介绍有下界约束的 单纯形格子点设计，因为此 时试验范围为原正规单纯形 内的一个规则单纯形（如右 图所示），所以仍可使用单 纯形设计。
a3
a2
z2
x2
a1
z3
x3
在选用单纯形格子点设计前，应将自然变量转化为规 范变量： xj aj zj m 1 a j
j 1
8.2 单纯形配方设计
j 1 k j
m
8.2.3 单纯形格子点设计
1.单纯形格子点的表示 {m，d}表示正规单纯形顶点数为m（也就是组分数为 m），阶数为d（即每边的等分数）的格子点集。 比如三顶点正规单纯形的四阶格子点集记为{3，4}。
8.2 单纯形配方设计
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(m d 1)! 个点，正好与 回 (m 1)！d ! 归方程中待估计的回归系数的个数相等，所以单纯形格 子点设计是饱和设计。常用单纯形格子点设计的试验次 数与m、d之间的关系见书P146表9－1。
将上表中的15个试验数据代入上式即可得到相应的偏 回归系数，从而得到如下的回归方程：
ˆ y 1.8 x1 25 .4 x2 28 .6 x3 38 .5 x4 34 .8 x1 x2 48 .4 x1 x3 14 .2 x1 x4 94 .4 x2 x3 21 .8 x2 x4 91 .4 x3 x4 624 .6 x1 x2 x3 530 .1x1 x2 x4 175 .8 x1 x3 x4 40 .8 x2 x3 x4 1614 .0 x1 x2 x3 x4
m维的单纯形重心设计共有2m-1个重心，即试验点数为 2m-1个。 单纯形重心设计方案的确定可以直接参考单纯形重心设 计表（见书P228~229附录10）。 具体例子见书P150~151例9－2。
试验号 1 2 3 4 5 6 7 8 x1 1 0 0 0 0.5 0.5 0.5 0 x2 0 1 0 0 0.5 0 0 0.5 x3 0 0 1 0 0 0.5 0 0.5 x4 0 0 0 1 0 0 0.5 0 y 1.8 25.4 28.6 38.5 4.9 3.1 23.7 3.4 试验号 9 10 11 12 13 14 15 x1 0 0 0.33 0.33 0.33 0 0.25 x2 0.5 0 0.33 0.33 0 0.33 0.25 x3 0 0.5 0.33 0 0.33 0.33 0.25 x4 0.5 0.5 0 0.33 0.33 0.33 0.25 y 37.4 10.7 22.0 2.4 2.5 11.1 0.8
C′
F B′
B(0,1,0) x2
A′
C(0,0,1) x3
8.2 单纯形配方设计
4
等边三角形的高为1，三角形内任一点F到三边的距离 之和为1。 三角形的三个顶点分别代表单一组分的混料，三条边上 的点表示对应两顶点纯组分的二元混合物，FA′代表F点 的x1，FB′和FC′分别代表F点的x2、x3。
x j 0( j 1,2,, m)，x1 x2 xm 1
还受其他约束条件限制：
a j x j b j , j 1,2,, m
有上下界约束的配方试验其试验空间是正规单纯形 内的一个凸几何体，如m=3的有上下界约束的混料试 验区间如下：
8.2 单纯形配方设计
8
8.2 单纯形配方设计
j 1 k j
m
b1 z1 b2 z 2 b3 z3 b12 z1 z 2 b13 z1 z3 b23 z 2 z3
8.2 单纯形配方设计
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由1＃试验得：b1 6.5 由2＃试验得：b2 5.5 由3＃试验得：b3 7.5 由4＃试验得：
b1 b2 b12 8.5 2 2 4 b1 b3 b13 6.8 2 2 4 b2 b3 b23 5.4 2 2 4
8.2 单纯形配方设计
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ˆ y b j x j bkj xk x j
j 1 k j
m
l k j
b
lkj
xl xk x j b1234 x1 x2 x3 x4
b1 x1 b2 x2 b3 x3 b4 x4 b12 x1 x2 b13 x1 x3 b14 x1 x4 b23 x2 x3 b24 x2 x4 b34 x3 x4 b123 x1 x2 x3 b124 x1 x2 x4 b134 x1 x3 x4 b234 x2 x3 x4 b1234 x1 x2 x3 x4
回归方程没有了常数项和二次项，只有一次项和交互项。 又由于x3 1 x1 x2，所以上述回归方程还可以表示如下：
2 ˆ y b0 b1 x1 b2 x2 b12 x1 x2 b11 x12 b22 x2
8.2 单纯形配方设计
8.2.
b12 10 b12 0.8
b23 4.4
由5＃试验得：
由6＃试验得：
ˆ y 6.5 z1 5.5 z2 7.5 z3 10 z1 z2 0.8 z1 z3 4.4 z2 z3
8.2 单纯形配方设计
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x3 0.1 x1 x2 由z j ，可得： z1 ，z2 ，z3 m 0.9 0.9 0.9 1 a j
8.3 配方均匀设计
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xj aj
aj为各自然变量对应的最小值（下界）：