求法向量
空间向量求法向量的简便方式
空间向量求法向量的简便方式在空间几何中，求解法向量是一项常见的任务。
法向量是指与给定向量垂直的向量，它在几何学中具有重要的应用。
在本文中，我们将介绍一种简便的方法来求解空间向量的法向量。
让我们回顾一下空间向量的定义。
空间向量是具有大小和方向的量，在三维空间中由三个分量表示，通常用箭头表示。
空间向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 分别代表向量在 x、y 和 z 轴上的分量。
在求解空间向量的法向量时，我们可以利用向量的叉乘运算。
向量的叉乘运算是一种二元运算，它将两个向量作为输入，返回一个与这两个向量垂直的向量。
具体而言，假设有两个向量 A 和 B，它们的叉乘结果记为C = A × B。
根据叉乘的定义，我们可以得出以下结论：1. 向量 C 垂直于向量 A 和向量 B。
2. 向量 C 的模长等于向量 A 和向量 B 张成的平行四边形的面积。
3. 向量C 的方向遵循右手定则，即当你将右手的四指从向量A 旋转到向量 B 时，大拇指所指的方向就是向量 C 的方向。
利用叉乘运算求解空间向量的法向量的步骤如下：1. 将空间向量表示为有序三元组的形式，即 (x, y, z)。
2. 构造一个与空间向量垂直的向量，假设为 (a, b, c)。
3. 利用叉乘运算求解向量 (x, y, z) 和向量 (a, b, c) 的叉乘，得到法向量 (m, n, p)。
4. 法向量 (m, n, p) 即为所求的空间向量的法向量。
需要注意的是，在求解法向量时，我们可以选择多个与空间向量垂直的向量。
这是因为与一个向量垂直的向量有无数个，只要它们的方向相同或相反即可。
例如，假设有一个空间向量A = (2, 3, 4)。
我们可以构造一个与向量 A 垂直的向量 B = (1, -2, 1)，其中 a=1，b=-2，c=1。
通过进行叉乘运算，我们可以求解出向量 A 的法向量C = A × B = (10, 6, -7)。
叉乘法求法向量
叉乘法求法向量
在日常生活中，我们经常会遇到各种各样的几何问题，比如求解两个
向量的叉乘，这是一种常见的几何计算方法。
叉乘法是一种用于求解
法向量的有效方法，它可以帮助我们解决各种几何问题。
叉乘法是一种用于求解法向量的有效方法，它可以帮助我们解决各种
几何问题。
叉乘法的基本原理是，两个向量的叉乘结果是一个法向量，它的方向与两个向量的夹角成反比，它的大小与两个向量的大小成正比。
叉乘法的计算方法很简单，只需要将两个向量的坐标分别乘以对应的
坐标，然后将结果相加，就可以得到法向量的坐标。
例如，若要求解
向量a=(2,3)和向量b=(4,5)的叉乘，则可以将a的x坐标乘以b的y
坐标，a的y坐标乘以b的x坐标，然后将结果相减，即可得到法向量的坐标，即(-2,2)。
叉乘法不仅可以用于求解法向量，还可以用于求解向量的夹角。
叉乘
法的结果可以用来计算两个向量的夹角，只需要将叉乘结果除以两个
向量的模，然后求其反余弦值，即可得到两个向量的夹角。
叉乘法是一种有效的几何计算方法，它可以帮助我们解决各种几何问题，比如求解法向量和求解向量的夹角等。
叉乘法的计算方法简单易懂，只需要将两个向量的坐标分别乘以对应的坐标，然后将结果相加，就可以得到法向量的坐标，从而解决各种几何问题。
求曲线的法向量
求曲线的法向量在几何学中，曲线是指在二维空间中的一条连续的路径。
对于任意一点P(x, y)处的曲线，我们可以通过求取其法向量来描述该点处曲线的方向和形状。
本文将介绍如何求取曲线的法向量，并提供相关示例和应用。
1. 曲线的切线和法向量在研究曲线的性质时，我们常常需要关注曲线上某一点处的切线和法向量。
1.1 切线切线是指与曲线仅在一个点相切且与曲线在该点处具有相同斜率的直线。
对于参数方程形式表示的曲线，我们可以通过求取其导数来得到该点处切线的斜率。
设参数方程为 x = f(t), y = g(t)，则该参数方程表示了一个二维平面上的轨迹。
如果在某一点t₀处导数存在，则这个导数就是该点处切线斜率。
因此，切向量可以表示为：T = (dx/dt, dy/dt)1.2 法向量法向量是与切向量垂直且长度为1的矢量。
对于平面上任意一条光滑曲线C上的一点P(x, y)，其法向量可以通过对切线向量进行逆时针旋转90度得到。
设切向量为T = (a, b)，则法向量N可以表示为：N = (-b, a)需要注意的是，当曲线在某一点处具有拐点时，该点处可能存在多个法向量。
2. 求取曲线的法向量示例下面通过几个具体的示例来演示如何求取曲线的法向量。
2.1 圆的法向量考虑一个单位圆x² + y² = 1，我们希望求取圆上某一点处的法向量。
首先，我们可以使用参数方程表示圆：x = cos(t) y = sin(t)其中t为参数。
对于单位圆来说，t的取值范围是[0, 2π]。
接下来，我们计算切向量T：T = (dx/dt, dy/dt) = (-sin(t), cos(t))最后，我们可以得到该点处的法向量N：N = (-cos(t), -sin(t))2.2 抛物线的法向量考虑一个抛物线y = ax² + bx + c，我们希望求取抛物线上某一点处的法向量。
首先，我们可以使用参数方程表示抛物线：x = t y = at² + bt + c其中t为参数。
一种快速求平面法向量的方法(一)
一种快速求平面法向量的方法(一)一种快速求平面法向量的方法方法一：利用三个点求平面法向量1.确定平面上的三个点P1、P2、P3。
2.计算向量V1=P2-P1和向量V2=P3-P1。
3.计算向量V1和向量V2的叉积，即V3=V1×V2。
4.向量V3即为所求平面的法向量。
方法二：利用平面点法式求平面法向量1.假设平面上的一点P(x, y, z)和法向量N(a, b, c)。
2.根据平面点法式，平面上的任意一点Q(x0, y0, z0)满足方程ax0 + by0 + cz0 + d = 0。
3.将点P代入方程得到ax + by + cz + d = 0，化简得到ax + by+ cz = -d。
4.比较两个方程，得到a = -d/x，b = -d/y，c = -d/z。
5.法向量N(a, b, c)即为所求平面的法向量。
方法三：利用三角形边向量求平面法向量1.确定平面上的三个顶点A、B、C。
2.计算向量AB=V1和向量AC=V2。
3.计算向量V1和向量V2的叉积，即V3=V1×V2。
4.向量V3即为所求平面的法向量。
方法四：利用点和平行向量求平面法向量1.已知平面上的一点P和平行于所求平面的向量V1。
2.在平面上取一点Q(x, y, z)。
3.向量PQ表示平面上的一条向量。
4.由向量的共线性可知，向量PQ与向量V1共线。
5.则向量PQ可以表示为PQ=V2=λV1，其中λ为比例系数。
6.由于P和Q在同一个平面上，所以向量PQ和平面的法向量是正交的。
7.利用向量的点积公式，可得到PQ·N=0，其中N为所求平面的法向量。
8.将向量PQ和法向量N代入点积公式，得到PQ·N=V2·N=0。
9.由此可以解得法向量N。
以上是一种快速求平面法向量的方法，你可以根据具体的场景和需求选择适合的方法。
一种快速求平面法向量的方法（续）方法五：利用直线法向量求平面法向量1.已知平面上的一条直线L和法向量N。
怎么求曲面的法向量
怎么求曲面的法向量
求曲面的法向量可以通过曲面的方程和偏导数来计算。
以下是一种常用的求法向量的方法：
1. 假设曲面的方程为F(x, y, z) = 0，其中F是关于x、y、z的函数。
2. 分别对x、y、z求偏导数，得到F对x的偏导数（∂F/∂x）、F对y的偏导数（∂F/∂y）和F对z的偏导数（∂F/∂z）。
3. 法向量的方向与曲面在某点的切平面垂直，因此法向量的方向即为（∂F/∂x, ∂F/∂y, ∂F/∂z）。
4. 对法向量进行归一化，使其长度为1，即可得到单位法向量。
需要注意的是，以上方法适用于一般的曲面方程。
对于一些特殊的曲面，如球面、平面等，求法向量的方法可能会有所不同。
在特殊情况下，可以使用特定的方法来求解。
法向量和方向向量公式
法向量和方向向量公式法向量和方向向量是在数学和物理学中经常用到的概念。
下面我将分别解释这两个概念，并提供对应的公式。
1. 法向量：法向量是指与给定曲线、曲面或图形上某一点的切线垂直的向量。
它的方向垂直于曲线、曲面或图形的切线方向。
法向量在几何学、物理学和计算机图形学中都有广泛的应用。
在二维平面中，法向量可以用二维向量表示，通常记作n = (n₁, n₂)。
对于一条曲线或者一个曲面上的点P，可以通过求取该点的切线的斜率的负倒数来得到法向量。
如果曲线或曲面的方程已知，可以通过求取参数化方程的导数来得到法向量。
在三维空间中，法向量可以用三维向量表示，通常记作n = (n₁, n₂, n₃)。
对于一个曲面上的点P，可以通过求取该点处曲面方程的偏导数来得到法向量。
具体的求法需要根据曲面方程的形式来确定。
2. 方向向量：方向向量是指描述一个物体或者一个点移动方向的向量。
它表示从一个点到另一个点的位移向量，它的大小和方向描述了物体或者点的运动轨迹。
方向向量可以用起点和终点的坐标差表示，通常记作d = (d₁, d₂)或者d = (d₁, d ₂, d₃)。
如果两个点的坐标分别为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，那么方向向量可以表示为d = (x₂- x₁, y₂- y₁)。
类似地，在三维空间中，方向向量可以表示为d = (x ₂- x₁, y₂- y₁, z₂- z₁)。
需要注意的是，方向向量只描述了移动的方向和距离，并没有说明起点和终点的具体位置。
因此，方向向量可以通过缩放来表示不同的位移长度。
希望以上解释和公式能够对你有所帮助。
法向量简便求法
法向量简便求法
在三维空间中，我们经常需要求解一个平面的法向量。
平面的法向量是指垂直于该平面的向量，它的方向和大小都可以用来描述该平面的特征。
在计算机图形学、物理学、机器人学等领域中，求解平面的法向量是一个非常常见的问题。
本文将介绍一种简便的方法——以法向量简便求法。
以法向量简便求法的基本思想是：通过平面上的三个点，计算出两个向量，然后求出这两个向量的叉积，即可得到平面的法向量。
这个方法的优点是简单易懂，计算量小，适用于大多数情况。
具体来说，以法向量简便求法的步骤如下：
1. 选取平面上的三个点A、B、C。
2. 计算向量AB和向量AC。
3. 求出向量AB和向量AC的叉积，即：
N = AB × AC
其中，N就是平面的法向量。
需要注意的是，向量的叉积满足右手法则，即如果将右手的四指从向量AB转向向量AC，那么大拇指所指的方向就是向量的叉积N的方向。
以法向量简便求法的优点在于，它不需要求解平面的方程，也不需要进行矩阵运算，计算量非常小。
同时，这个方法也非常容易理解，即使没有深厚的数学基础，也可以轻松掌握。
需要注意的是，如果三个点A、B、C共线，那么向量AB和向量AC就会共线，此时无法求解平面的法向量。
因此，在使用以法向量简便求法时，需要确保所选取的三个点不共线。
以法向量简便求法是一种简单易懂、计算量小的方法，适用于大多数情况。
在实际应用中，我们可以通过这个方法快速求解平面的法向量，从而更好地描述和分析三维空间中的各种问题。
法向量秒求
法向量秒求一．叉乘法求解法向量111222111221221112212211122122PAB PA=a b c PB=a b c n (x,y,z)b c x b c b c b c a c y (a c a c )a c a b z a b a b a b ===-=-=--==-uu u r uu r r 设平面的两边构成的向量为（，，）、（，，）平面PAB的一个法向量则，，，，，，二．掐头去尾交叉法求法向量111222a (x ,y ,z )b (x ,y ,z )n (x,y,z)===r r r 已知平面内两相交直线的方向向量、平面的法向量为分两步写，第一步横写两遍，掐头去尾；第二步：由左向右，交叉相乘再相减121212121212n (y z z y ,z x x z ,x y y x )=---r 说明：两种方法的实质是一样，都可以使用例题举证【例1】（2020·辽宁节选）已知平面α上三点()3,2,1A ，()1,2,0B -，()4,2,1C --，则平面α的一个法向量为（）A．()4,9,16--B．()4,9,16-C．()16,9,4--D．()16,9,4-【答案】B【解析】解法一：常规法由已知()4,0,1AB =-- ，()1,4,2AC =-- ，设平面α的一个法向量为(),,n x y z = ，由00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得40420x z x y z --=⎧⎨--=⎩，取4x =，可得16z =-，9y =，所以，平面α的一个法向量为()4,9,16=-n .故选：B.解法二：叉乘法由已知()4,0,1AB =-- ，()1,4,2AC =-- ，设平面α的一个法向量为(),,n x y z = ()0x 0(2)(4)(1)44241y [4(2)1(1)]9120z 4(4)101614n 4,9,16n B==⨯---⨯-=-----=-=--⨯--⨯-=--==-⨯--⨯=-=--r r ，-1，，，-4，，只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选解法三：掐头去尾交叉法()n 4,9,16n B=--r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选【例2】（2020·全国）已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（）A．(1,1,1)-B．(1,1,1)-C．333,333⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭D．333,,333⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解法一：常规法(1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=- ,设(,,)n x y z = 为平面ABC 的法向量，则00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，化简得00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，∴x y z ==，故选C.解法二：叉乘法1x 11001110y -110(1)1-11-1z 101-11-10==⨯-⨯=-=-=-⨯-⨯-===-⨯-⨯=，00，，【】，1，（），()n 1,1,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选C 解法三：掐头去尾交叉法()n 1,1,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选C技巧强化1．（2020·全国）在三棱锥P ABC -中，CP 、CA 、CB 两两垂直，1AC CB ==，2PC =，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量中是平面PAB 的法向量的是（）A．11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．()2,1C．()1,1,1D．()2,2,1-【解析】解法一：常规法()1,0,2PA =- ，()1,1,0AB =- ，设平面PAB 的一个法向量为(),,1n x y = ，由00n PA n AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩则200x x y -=⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，()2,2,1n ∴=r ．又111,1,22n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，因此，平面PAB 的一个法向量为11,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A.解法二：叉乘法()1,0,2PA =- ，()1,1,0AB =- ，设平面PAB 的一个法向量为(),,z =n x y x 01(2)212y -[01(2)(1)]2-10z 110-11-11==-⨯-=-=-=⨯--⨯-===⨯-⨯=0，-21， 0，，1，0（），()n 2,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选A解法三：掐头去尾交叉法()1,0,2PA =- ，()1,1,0AB =- ，设平面PAB 的一个法向量为(),,z =n x y()n 2,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选A2．（多选）（2020·南京市第十四中学）已知(4A -，6，1)-，(4B ，3，2)，则下列各向量中是平面(AOB O 是坐标原点)的一个法向量的是（）A．15194⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B．15194⎛⎫- ⎪⎝⎭，，C．(15-，4，36)D．(15，4，36)-【答案】BD【解析】解法一：常规法设平面(AOB O 是坐标原点)的一个法向量是(,u x =y ，)z ，则·0·0u OA u OB ⎧=⎨=⎩ ，，即4604320x y z x y z -+-=⎧⎨++=⎩，，得90y z +=，令1y =，解得15419x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，，，令4y =，解得15436x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，，故15,1,94u ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 或(15,4u = ，36)-．故选：BD．解法二：叉乘法(4(4,3,2),(,,)=-==，6,-1)、设平面是坐标原点的一个法向量是OA OB n x y z6x 623(1)15241y -[424(1)44246z 43463643==⨯-⨯-=--=-=-⨯-⨯-=-==-⨯-⨯=-，-13，，]， ，， ()n 15,4,36n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选BD解法三：掐头去尾交叉法()n 15,4,36n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量，所以选BD3．（2020·天津市第五十五中学）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，13CC =，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系，则平面1D EF的一个法向量是___________.【答案】(6-，3，2)【解析】解法一：常规法长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，2BC =，13CC =，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，以D 为原点，分别以DA ，DC ，1DD 为坐标轴建立空间直角坐标系，则1(0D ，0，3)，(1E ，4，0)，(0F ，2，0)，1(1D E =，4，3)-，1(0D F =，2，3)-，设平面1D EF 的一个法向量是(n x =，y ，)z ，则11·430·230n x y z n yz D E D F ⎧=+-=⎪⎨=-=⎪⎩ ，取3y =，得(6n =-，3，2)，则平面1D EF 的一个法向量是(6-，3，2).故答案为：(6-，3，2).解法二：叉乘法1(1D E = ，4，3)-，1(0D F =，2，3)-，设平面1D EF 的一个法向量是(n x =，y ，)z ，x 4(3)2(3)6313y -[1(3)0(3)334z 120422==⨯--⨯-=---=-=⨯--⨯-=-==⨯-⨯=4，-32，，]0，1，（）0，()n 6,3,1n n =-λr r r 2只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n 6,3,1n n =-λr r r 2只要跟成倍数都是平面的法向量4．（2020·鱼台县第一中学）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，1A O ⊥平面ABCD，1AB =1OCB 的法向量n =________.【答案】()1,0,1-（答案不唯一）【解析】解法一：常规法ABCD 是正方形，且2AB =AO OC 1∴==，OC (0,1,0)∴= ，A(0,1,0)- ，B(1,0,0)，(1,1,0)AB ∴= ，11A B (1,1,0)∴= ，OA 1= ，1AA 2=1OA 211∴=-=，故1(0,0,1)OA = ，故1111OB OA A B (1,1,1)=+= ，∵向量(,,)n x y z = 是平面OCB 1的法向量，OC 0y n ∴⋅== ，1OB 0n x y z ⋅=++= ，故0y =，x z =-，取1x =，故1z =-，平面1OCB 的法向量()1,0,1n =- 故答案为：()1,0,1-（答案不唯一）5．（2020·全国）已知()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -.求平面ABC 的一个法向量；【答案】平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =（答案不唯一）；【解析】解法一：常规法因为()0,2,3A ，()2,1,6B -，()1,1,5C -，所以()2,1,3AB =-- ，()1,3,2AC =- ，设(),,n x y z =r为平面ABC 的一个法向量，则有230320n AB x y z n AC x y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，所以x y z ==，不妨令1x =，则()1,1,1n = ，所以平面ABC 的一个法向量为()1,1,1n =；解法二：叉乘法所以()2,1,3AB =-- ，()1,3,2AC =- ，设(),,n x y z =r 为平面ABC 的一个法向量，1x 12(3)37223y -[2213]712-3z 123-37-32-==-⨯--⨯=-=-=-⨯-⨯===-⨯-⨯=，3-3，，，1，（），()n 7,7,7n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n 7,7,7n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量（2）若存在实数m ，n ，使a mAB nAC =+，即()()()3,4,12,1,31,3,2m n -=--+-，则2334321m n m n m n -+=⎧⎪--=-⎨⎪+=⎩，解得57117m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以51177a AB AC =-+ ，即向量()3,4,1a =- 与平面ABC 平行.6．（2020·河南郑州市·高三月考）如图，S 为圆锥的顶点，O 为底面圆心，点A ，B 在底面圆周上，且60AOB ∠=︒，点C ，D 分别为SB ，OB的中点．()1求证：AC OB ⊥；()2若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值．【答案】()1证明见解析；()22114.【解析】()1由题意，得SO ⊥底面圆O ，点C ，D 分别为SB ，OB 的中点，∴//CD SO ，CD ⊥底面圆O ，OB 在底面圆O 上，∴OB CD ⊥．60AOB ∠=︒，∴AOB 为正三角形，又因为D 为OB 的中点，∴OB AD ⊥，又因为AD CD D = ，且AD ⊂平面ACD ， C D ⊂平面ACD ，∴OB ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ，∴AC OB ⊥．()2解法一：常规法如图，以D 为原点，DA ，DB ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系，则()3,0,0A ，()0,0,2C ，()0,1,0O -，()0,1,4S -，故()3,0,2AC = ，()3,1,4AS =- ，)3,1,0OA = ，设平面SOA 的法向量为(),,n x y z = ，由00n AS n OA ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，可得34030y z x y ⎧-+=⎪+=，令1x =，得()1,3,0n =-r为平面SOA 的一个法向量，设直线AC 与平面SOA 所成的角为θ，则300321sin cos ,14133427n AC n AC n AC θ⋅-++=〈〉==+⨯+⋅ ，即直线AC 与平面SOA 所成的角的正弦值为2114．解法二：叉乘法()3,1,4=-AS ，)3,1,0OA = ，设平面SOA 的法向量为(),,n x y z = ，1x 101440y -[04]1z 1-101-==-⨯-⨯=-==--=-==-=，41， ，（）()n n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量解法三：掐头去尾交叉法()n n n =-λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量7．（2020·浙江衢州市）如图，在三棱锥P —ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，D 为PC 中点，E 为AD 中点，PA ＝AC ＝2，BC＝1．（1）求证：AD ⊥平面PBC ：（2）求PE 与平面ABD 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）21515.【解析】（1）证明：∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC⊥又因为BC AC ⊥，=PA AC A∩∴BC ⊥平面PAC ，∴BC AD ⊥．∵PA AC =，D 为PC 中点，∴AD PC ⊥，又∵PC BC C ⋂=，∴AD ⊥平面PBC ；（2）解法一：常规法以C为坐标原点建立如图空间直角坐标系()2,0,0A ，()0,1,0B ，()2,0,2P ，∴()1,0,1D ，310,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,，∴13,0,22PE =--⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，()2,1,0AB =- ，()1,0,1AD =- ．设平面ABD 的法向量为(),,m x y z = ，则00AB m AD m ⎧⋅=⎨⋅=⎩200x y x z -+=⎧⇒⎨-+=⎩，令1x =，则2,1==y z ，得()1,2,1m = ．设PE 与平面ABD 所成角为θ，则215sin 15θ⋅===⋅ PE m PE m ．解法二：叉乘法()2,1,0AB =- ，()1,0,1AD =- ．设平面ABD 的法向量为(),,m x y z = ，1x 11001120y -210(1)]2-11-1z 201-11-10==⨯-⨯=-=-=-⨯-⨯-===-⨯-⨯=，00，，[，2，（），()n 1,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量设PE 与平面ABD 所成角为θ，则sin 15θ⋅===⋅ PE m PE m ．解法三：掐头去尾交叉法()n 1,2,1n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量设PE 与平面ABD 所成角为θ，则sin 15θ⋅===⋅ PE m PE m ．8．（2020·河北邢台市·邢台一中高三月考=）已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，AD CD ⊥，//AB CD ，且3PA PC PD ===，24CD AD AB ===，O 为AC 的中点.()1求证：OP BC ⊥；()2求直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】()1证明见解析；()289.【解析】()1因为AD CD ⊥，所以2242AC AD CD =+=又3,PA PC O ==为AC 的中点，所以PO AC ⊥，()223221PO =-=，连接OD ，在Rt ACD △中，O 为AC 的中点，所以1222OD AC ==.因为222OD OP PD +=，所以OP OD ⊥，又OD AC O = ，所以OP ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以OP BC ⊥.()2解法一：常规法如图，以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴，y 轴，过点D 且与OP 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则()4,2,0B ，()0,4,0C ，()2,2,1P ，()4,2,0BC =- ，()2,2,1CP =- ，()2,2,1DP = .设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，由00n BC n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得420220x y x y z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，可得()1,2,2n = .设直线DP 与平面PBC 所成角为θ，则88sin cos ,339DP n θ===⨯ .即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.解法二：叉乘法()4,2,0BC =- ，()2,2,1CP =- 设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，2x 21(2)02140y -[4102]421-2z 4(2)24422==⨯--⨯=-=-=-⨯-⨯===-⨯--⨯=-，0-2，，，4，，()n 2,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量则8sin cos ,9==DP n θ .即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.解法三：掐头去尾交叉法()4,2,0BC =- ，()2,2,1CP =- 设平面BCP 的一个法向量为(,,)n x y z = ，()n 2,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量则8sin cos ,9==DP n θ .即直线DP 与平面PBC 所成角的正弦值为89.9．（2020·四川泸州市·泸县五中高三月考）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，E 为PD 中点.（1）求证：AE PC ⊥；（2）求二面角B AE C --的正弦值.【答案】（1）见详解；（2）3【解析】（1）证明：∵底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，E 为PD 中点，∵AE PD ⊥，CD AD ⊥.∵PA ⊥平面ABCD ，CD 平面ABCD ，∴CD PA ⊥.∵PA AD A⋂=∴CD ⊥平面PAD ，∵AE 平面PAD ，∴CD AE ⊥，∵CD PD D = .∴AE ⊥平面PCD ，∵PC 平面PCD ，∴AE PC ⊥.（2）解法一：常规法以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立如图空间直角坐标系.则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(0,1,1)AE = ，(2,0,0)AB =uu u r ，(2,2,0)AC =uuu r ，设平面ABE 的一个法向量(,,)m x y z = ，则200m AB x m AE y z ⎧⋅=⋅=⎨⋅=+=⎩，取1y =，得(0,1,1)m =- .设平面AEC 的一个法向量为111(,,)n x y z = .则2200n AC x y n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取11x =.得(1,1,1)n =-，cos 3||||m n m n m n ⋅<⋅>==-⋅ ，∴二面角B AE C --的正弦值33=解法二：叉乘法（法向量求解略）解法三：掐头去尾交叉法（法向量求解略）10．（2020·河北省晋州市）如图，棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA =AD =2，BD=.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角P —CD —B 余弦值的大小；【答案】（1）证明见解析（2）22【解析】（1）建立如图所示的直角坐标系，则A （0，0，0）、D （0，2，0）、P （0，0，2）.在Rt △BAD 中，AD =2，BD=∴AB =2.∴B （2，0，0）、C （2，2，0），∴(0,0,2),(2,2,0),(2,2,0)AP AC BD ===-∵0,0BD BD AP AC =⋅=⋅ ，即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又AP ∩AC =A ，故BD ⊥平面PAC .（2）解法一：常规法（3）由（1）得(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=-.设平面PCD 的法向量为1(,,)n x y z = ，则110,0n PD C n D ==⋅⋅ ，即02202000y z x +-=⎧⎨-++=⎩，∴0x y z =⎧⎨=⎩，故平面PCD 的法向量可取为1(0,1,1)n =u r ,∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP = 为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得112cos 2n AP n APθ⋅===⋅ ，故二面角P —CD —B 余弦值的大小为22.解法二：叉乘法(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=- 2x 2000002y -[00(2)(2)4-2002z 002-14-20==⨯-⨯=-=-=⨯--⨯-===⨯-⨯=，-20， 0，]，，（），()n 0,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP = 为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得1112cos22n AP n APθ⋅===⋅ ，故二面角P —CD —B 余弦值的大小为22.解法三：掐头去尾交叉法(0,2,2),(2,0,0)PD CD =-=- ()n 0,4,4n n =λr r r 只要跟成倍数都是平面的法向量∵PA ⊥平面ABCD ，∴(0,01)AP = 为平面ABCD 的法向量.设二面角P —CD —B 的大小为θ，依题意可得1112cos 22n AP n APθ⋅===⋅ ，故二面角P —CD —B 余弦值的大小为22.。
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练：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知边长为1， 2 点E在棱BB1上， arccos 6 求（1）若E为棱BB1的中点，CD1与DE所成的角；
a 1 （2）若BE的长度为a，CD1与DE所成的角； arccos
（3）当为a何值时，使CD1垂直 DE
2）面A1D与面C1D
D1
z
B1
C1
3）面BDE 4）面ACE
A1
5）面DC1E
6）面A1CE
A
E D B
y
C
x 2、已知A（1，1，2）B（3，3，3），C（5，6，5），
求平面ABC的单位法向量
；/ 广东陶粒厂 ；
脸拿出来说?小子,说话之前,最好撒泼尿照照镜子,看看自身算一个哪个东西！爬虫而已！”思烺大王狞笑,森冷の眼申逼视着鞠言.“思烺,你呐狗东西,俺其实忍你很久了.而你,却一而再再而三の挑战俺の耐心.你呐狗东西,将自身看得太叠要了.你以为,联盟没了你就不行了,没了你 の思烺混元就不行了?俺告诉你,你错了,大错特错！”鞠言也冷冷の望着思烺大王,毫不客气の骂道.第三二八伍章俺要杀你第三二八伍章俺要杀你(第一/一页)在呐座玉阙宫の大殿中,此事此刻,所有混元大王の目光,都落在了鞠言の身上.由于鞠言骂思烺大王是狗东西,而且还不是骂 了一次.思烺大王,被骂作是狗东西！呐是难以想象の事情.思烺大王是整个联盟拾多个混元空间中,最强大の混元大王之一,连焦源盟主很多事候都要忍受思烺大王の脾气.可现在,呐个鞠言混元の主人鞠言大王,出口辱骂思烺大王是狗东西.那鞠言混元,连成熟形态都没有达到.与其他 混元相比,鞠言混元算是一个新混元.而在呐个混元空间中,只有鞠言一个人掌握了元祖道则.那么,呐个鞠言是疯了吗?“你敢骂俺?”思烺大王脸色铁青.如果说吙阳大王在言语上对他不敬,他还能有一定の忍耐之心,那么呐个鞠言言语辱骂他,便是他无论如何都无法忍受の了.今天,他 必杀鞠言,任何人都不能阻止他,即便是焦源盟主.如果焦源盟主真要阻止他,那么他就先与焦源盟主打一场再说.“骂の就是你呐又老又丑の狗东西.自大、狂妄,目中无人,你以为你是谁?你又算得上哪个东西?思烺老狗,其实俺觉得将你驱逐出联盟,对联盟是一件好事.有你呐样の狗东 西留在联盟,才会让联盟无法团结起来.”鞠言没有任何畏惧の表情流露.坐在上面の焦源盟主有些傻眼.鞠言大王对思烺大王の辱骂,让他觉得有些解气.但在解气の同事,他又觉得鞠言很鲁莽,太过焦躁了.鞠言现在の行为,只会让事情失控,连他呐个联盟盟主,都无法控制の局面.焦源 盟主心中无奈の一声叹息.呐个鞠言大王,恐怕是保不住了.“哈哈哈……”思烺大王狂笑,前俯后仰.“俺要杀你！”“今天,俺必将你剥皮抽筋.没有人能够救得了你,没有人！谁拦俺,就是俺思烺の敌人.”思烺大王の面颊,极度扭曲,他嘶吼の声音喊道.他身上所散发出来の杀意,犹 如实质一般.恐怖の气息波动,令人心悸！“鞠言大王死定了.”“他忘记千年前被思烺大王打成叠伤了,而当事思烺大王只对他出手三招而已.”“思烺大王彻底被激怒了,就算焦源盟主出面阻止,他也一定不会放弃杀死鞠言大王.”“呐个年轻の小子,不知死活.”诸多混元大王,心中 转念.“思烺,你能够试试看.俺倒想知道,你如何在俺面前杀死鞠言大王.”吙阳大王冷声说道.吙阳大王,也全部豁出去了.她打算,与思烺大王拼命.就算被杀死,她也要让思烺大王付出一定の代价.“吙阳大王！”焦源盟主表情凝叠,看着吙阳大王叫了一句,他不希望吙阳大王与思烺 大王拼命.“吙阳大王,呐件事,是俺与思烺老狗之间の事情.请让俺,面对思烺老狗.”鞠言也出声对吙阳大王道.“鞠言大王,俺早就看思烺不顺眼了,正好趁着今天呐样の机会.”吙阳大王呐自然是借口.“吙阳大王,俺是认真の,请信任俺.”鞠言の表情更为认真.“焦源盟主,为了避 免由于打斗而对玉阙宫产生损害,所以俺想到混元虚空中,屠了呐只思烺老狗.”鞠言对焦源盟主道,而后又看向思烺打斗：“思烺老狗,走吧.咱们,到混元虚空厮杀.”话音落下,鞠言转身,身影轻轻一闪,出了议事大殿.千年前,鞠言斩杀思烺大王麾下那名叫康历の混元大王,也是在呐 焦源混元の混元虚空之中.鞠言闪身而出,吙阳大王最先跟了上去.“鞠言大王,你想做哪个?”吙阳大王跟上鞠言后,凝眉问道.“吙阳大王不必担心俺,与千年前相比,俺の实历提升了很多.”鞠言对吙阳大王说道.“可是……千年の事间,又能提升多少实历呢?何况,千年前你承受思烺 三招攻击の事候,还身受叠伤.呐千年事间,能够将伤势痊愈已是难得了.”吙阳大王皱了皱眉,她当然无法想象得出,鞠言の实历在呐千年事间中,有多么惊人の提升.千年前,鞠言只掌握了两条元祖道则,连第三条元祖道则都尚未掌握.而现在,鞠言已经掌握了拾一条元祖道则,并且包括 了所有の九种元祖道则.不仅如此,鞠言还创出浮生世界呐样の恐怖手段.“吙阳大王,俺知道思烺老狗の实历有多强の.正由于俺知道他の实历,所以俺才敢确切の说,思烺老狗杀不了俺.吙阳大王,你只观战便可.”鞠言对吙阳大王笑了笑说道.说话间,两人已经到了混元虚空之中.吙阳 大王麾下の落尘大王等人,也几乎同事到来.再之后,就是思烺大王和他の麾下.最后,则是焦源盟主与其他各个混元の混元之主等人.鞠言摆开架势,取出冰炎剑,等着思烺大王到来.“鞠言大王真の要单独与思烺大王厮杀の样子.”“看来他是认真の.”“是啊,只是他为何有呐样の底 气?难道,他是在求死不成?看上去也不像啊！”“不管他是哪个想法,今天他都死定了.就算吙阳大王出手,也挡不住思烺大王斩杀他.而焦源盟主,恐怕不会出手强行阻拦思烺大王.焦源盟主一旦出手,思烺大王必定立刻就带着思烺混元退出联盟.焦源盟主不可能为了一个鞠言大王,让 整个联盟面临崩溃の风险.”“千年之前,鞠言大王挡住思烺大王三招而不死.今天,他能挡住几招呢?”混元大王们,低声の议论,揣测鞠言能够在思烺大王手中,坚持几个回合而不死.没有人,认为鞠言大王真の能够与思烺大王对抗.“你们说,呐个鞠言会不会又像上次一样,突然就无影 无踪呢?”有人眼申一亮,仿佛の想到了哪个の样子.第三二八陆章最强杀招千年之前,鞠言大王在呐里承受思烺大王三招攻击.在那三招攻击之后,鞠言大王失去踪迹,无人知道他藏匿到了哪个地方.不过,对于呐些混元大王来说,也能猜出个大概,无非就是躲进了独立空间一类の地方. 那么呐次,鞠言是否还会选择隐匿?“有呐种可能性！但是,如果他想以呐种办法来躲避,为何又现身出来呢?一直隐藏下去不露面,岂不是更好?”有人摇头不解の说道.“确实是呐样,不懂呐位鞠言大王是哪个样の想法.”……思烺大王来到鞠言の对面,武器死灵之镰立刻取出.对于思 烺大王の呐件武器,鞠言上次已经见识过了.“给俺死！”思烺大王一声低喝,手中の死灵之镰在混元虚空中挥动.空间震颤,黑色の刀刃凝现.在极短の事间之内,黑色刀刃便密集の排开.每一个刀刃之上,都带着恐怖の威能,毁灭の历量荡漾,带着可怕の威压,向鞠言所在位置席卷过去. 面对思烺大王の攻击,鞠言手中の冰炎剑,向前挥动.一道巨大の剑光出现,剑芒吞吐.面对思烺大王の攻击,鞠言并未流露出半分の势弱.剑芒与黑色の刀刃碰撞.“轰隆！”巨大の声响传出.而在呐一声巨响之后,风暴卷动了起来,鞠言和思烺大王の申历道则,以两人为中心,形成了一个 覆盖广袤区域の能量之地.“呐……”托连军师眼睛瞪圆.他の目光,盯着风暴中心の鞠言.他看到,鞠言在风暴中心,似乎并未处于弱势.没错,看上去,双方好像是势均历敌の样子.思烺大王の申历道则,无法对鞠言大王の申历道则形成侵蚀,更无法碾压一般の破开.呐就有些令人看不懂 了.其他の混元之主、混元大王,也都目不转睛盯着风暴中心.“怎么回事,呐个鞠言好像变强了很多！”来自玄冥混元の玄冥大王,皱了皱眉,脸上露出费解の表情.“何止是变成了很多,简直……就好像是换了一个人.呐一次思烺大王出手攻击,居然没有占据上风.”另一名混元之主惊 诧の开口说道.“可在千年之前,鞠言大王面对思烺大王の攻击,连随手一招都抵挡不住.俺记得思烺大王第一招攻击,都轻易将鞠言大王击飞了.”毕尚混元の闭上大王紧锁双眉道.“难道在千年前,他隐藏了自身の实历?”有人吸气道.“不可能,千年之前,他只掌握了两条元祖道则,呐 一点俺们都能够确定.而现在,他所掌握の元祖
• 第三步(解):把z(或x或y)看作常数,用z(或x或y) 表示另外两个量 • 第四步(取):取z为任意一个数(当然取得越特殊 越好),便得到平面法向量n的坐标.
练：:在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E 是BB1的中点,求下列平面的一个法向量 1）面AC.
2）面A1D与面C1D
D1
z
B1
C1
3）面BDE
（1，-1，0）
A1
4）面ACE （-1，1，-2）
5）面DC1E （1，-2，2） 6）面A1CE （-1，1，2）
x
A
E D B
y
C
作业：1、 右图是AD=1， DC=2，DD1 =3的长方体， E、F分别是B1C、BD1 的中点 分别以DA，DC，DD1所在直 线建立右手直角坐标系， 1）求面AC的一个法向量.
取z =1 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1).
求平面法向量的坐标的步骤
• 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). • 第二步(列):根据n· a = 0且n· b = 0可列出方程组
x1 x y1 y z1z 0 x2 x y2 y z2 z 0
2
a=1
A1
D1
z
2a 4
C1
（4）当a=1时，求证DE 平面ACD1
E D
B1
y
C B
x
A
平面的法向量
如果表示向量n的一条有向线段所在直线垂直 与平面，即n ，则n叫做的法向量
n
α
• 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐 标呢?
D1
z
B1
C1
A1
E D
y
C
B
x
A
例:在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是 面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
z
D1
C1 B1
A1
F