平面运动点轨迹曲率半径和曲率中心的(1)

平面运动点轨迹曲率半径和曲率中心的解析计算式王允地1 王良文2（1.陕西科技大学机械学院，陕西咸阳；2.郑州轻工业学院机电学院，河南郑州450002）摘要本文对平面运动点的位移、速度和加速度进行了复矢量描述，并引入复矢量点积概念。

在此基础上，根据平面运动点的法向加速度等于速度的平方与曲率半径的比值的思想，给出了计算点轨迹曲率半径和曲率中心的通式、直角坐标式和极坐标式，还讨论了几个有代表性的分析实例。

关键词：平面运动点，轨迹曲率半径，曲率中心，解析计算式。

Analytic calculation formula for planar motion point trace’s radius of curvature and center point of curvatureWang Yundi (1)Wang Liangwen (2)(1.School of Mech·Eng·,Shanxi University of Science and Technology, ShanXi ,Xianyang, 712081, China; 2. Electric-Mech·Dep·of Zhengzhou Llight Industry Institute, Zhengzhou , 450002, China)Abstract: The paper describes the displacement 、velocity 、acceleration of Planar motion point by vector, and presents vector dot matrix conception 。

under this base, according to the theory that vertical acceleration of planar motion point equals the ratio between square of velocity and radius of curvature , the general calculation formula 、the formula in form of right angle coordinates and the formula in form of polar angle coordinates for calculating motion point trace’s radius of curvature and center point of curvature are submitted . Some typical examples are discussed.Key words: Planar motion point; trace’s radius of curvature; center point of curvature; analytic calculation formula.0引言在机构的运动分析与综合中，对运动点轨迹曲率的研究十分必要。

如在凸轮机构综合中，凸轮廓线曲率的变化与从动件的加速度特性有重要的关联。

曲率半径变化不合适，可能导致凸轮机构无法正常工作或者凸轮不能被正确加工。

有关对平面运动点轨迹曲率半径和曲率中心的研究和阐述散见于各相关文献[1-9]。

本文对这类问题进行了系统的研究。

在用复矢量描述平面运动点的位移、速度和加速度的基础上，根据动点的法向加速度等于速度的平方与曲率半径比值的理论，利用矢量点积的概念，导出了平面运动点在运动中轨迹的曲率半径和曲率中心的计算通式，以及其运动点的轨迹采用参数型变量及函数型变量表达方式时，轨迹的曲率半径和曲率中心计算的直角坐标和极坐标的表达式。

通过讨论有代表性的分析实例，证明了理论的正确性。

1 点平面运动的复矢量描述1.1位移图1 动点轨迹及曲率中心如图1，动点C 在坐标系xoy 中运动，轨迹曲率中心为O c ，曲率半径为ρ，取x 轴为实轴，y 轴为虚轴。

C 点的直角坐标为（x,y ），O c 的直角坐标为（x*,y*）。

矢径oc 的模为r ，幅角为ϕ；矢径c oo 的模为r*，幅角为ϕ*。

以ioc 的复矢量表示式成为i oc r re ϕ== （1）与直角坐标的关系为oc x jy =+而cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩ （2） 1.2速度如果已知oc 的模r 和幅角ϕ随时间t 的变化关系()()r r t t ϕϕ=⎧⎨=⎩ （3） 那么C 点速度v 成为i i docv re r ie ϕϕϕ==+ （4） 速度的直角坐标便是y j xv+= x (实轴)cos sin sin cos x r r y r r ϕϕϕϕϕϕ=-=+ （5）1.3加速度将（4）式对时间求导，得C 点加速度的复矢量表示式为()()22i i dva r r e r r ie dtϕϕϕϕϕ==-++ (6) 加速度的直角坐标成为22()cos (2)sin ()sin (2)cos a x jyx r r r r y r r r r ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=+=--+=-++ (7) 2 动点轨迹曲率半径及曲率中心的计算式 2.1通式由理论力学[1]的论述可知，动点C 的法向加速度等于速度的平方与曲率半径的比值。

我们仍定义两复矢量的点积为两者的模及其夹角余弦的乘积。

这样，在动点速度v 及加速a 已知的情况下，曲率半径ρ可按公式32()()v v iv aρ⋅=⋅ （8） 求出。

该式的计算结果为一代数值。

当曲率中心O C 位于动点C 前进方向左侧时，ρ的计算结果为正值；反之，当曲率中心0C 位于动点C 前进方向的右侧时，ρ的计算结果为负值，它的绝对值才是曲率半径的长度。

在按（8）式算出ρ值后，曲率中心O C 的位置便可由公式 *c ivoo r r vρ==+ (9) 算出。

将（8）式代入（9）式，得知由C 点位置矢量r 、速度v 及加速度a 所决定的，曲率中心O c 的位置矢量*r 为()()*()iv v v r r iv a⋅=+⋅ (10)（8）式和（10）式便是由动点C 的运动参数计算曲率半径ρ和曲率中心位置*r 的通式。

不难知道，将确定动点C 位置的自变量改换为其它参数，（8）式和（10）式仍然成立。

2.2直角坐标式 2.2.1参数型在已知C 点的直角坐标（x,y ）及其对时间t 的一阶导数（,x y ）和对时间的二阶导数（,x y ）的情况下，由（8）式推得曲率半径的代数值ρ的计算公式为3222()x y xy yxρ+=- (11)由（10）式推得曲率中O C 的直角坐标（x*,y*）为2222()*()*y x y x x xy yx x x y y y xy yx ⎧+=-⎪-⎪⎨+⎪=+⎪-⎩（12） 2.2.2函数型如果已知动点C 的直角坐标y 与x 之间的函数关系()y y x = （13） 不失一般性，设x 等于参数t ，即()y y t x t=⎧⎨=⎩ （14） 便可由（11）及（12）式推得根据（13）式及dyy dx'=（15） 和22d yy dx''= （16）所决定的曲率半径的代数值ρ及曲率中心O c 位置坐标（x*,y*）的计算式为322(1)y y ρ'+=''（17）及⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'''++='''+'-=y y y y y y y x x 221*)1(* （18） 2.3极坐标式 2.3.1函数型已知动点C 矢径的模r 与幅角ϕ之间的函数关系，即O r R S =+ (19)其中R O 为常量，而()S S ϕ= (20)令dS dr S d d ϕϕ'== （21） 2222d S d r S d d ϕϕ''== （22） 利用通式类似地可以推知，动点轨迹曲率半径代数值ρ的计算式为()()3222222()o O O R S S R S S R S S ρ⎡⎤'++⎣⎦='''++-+ (23) 曲率中心O C 的位置矢量*r 则为()()()()2222*()2O i i O O O O R S S r R S e R S S i e R S S R S S ϕϕ'++'⎡⎤=++-+⎣⎦'''++-+ （24）2.3.2参数型已知动点C 矢径的模r 及幅角ϕ随时间t 的变化关系()O r R S t =+ (25)及()t ϕϕ= (26)利用通式同样地可以推知，动点轨迹曲率半径的代数值ρ的计算式为()()()32222232O O O S R S S S S R S R S ϕρϕϕϕϕ⎡⎤⎛⎫⎢⎥++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭(27) 曲率中心O C 的位置矢量*r3 分析实例3.1函数型圆图2 函数型圆参看图2，将22223x y R x y y R y y ⎧⎪+=⎪⎪⎪'=-⎨⎪⎪''=-⎪⎪⎩（28） 代入（17）及（18）式，得R Rρρ=-⎧⎨=⎩ ()()y o y o （29）及**x oy o =⎧⎨=⎩（30） 3.2参数型圆图3 参数型圆参看图3，将2Re o i i t O i ti t r R e v R iea R e ϕωωωωω⎧=+⎪=⎨⎪=-⎩（31） 代入（8）式及（10）式，得*o i o Rr R e ϕρ=⎧⎨=⎩（32）3.3椭圆x参看图4，将22cos sin sin cos cos sin x a t y b t x a ty b t x a t y b tωωωωωωωωωω=⎧⎪=⎪⎪=-⎨=⎪⎪=-⎪=-⎩ （33） 代入（11）式及（12图4 椭圆⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=t b t b t b y t a t b t a x ab t b t ωωωαωωωαωωαρsin )cossin (*cos )cos sin (*)cos sin (22222222232222 （34） 3.4渐开线参看图5，将Re Re it it itit it r Rtie v Rtea Rtie ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩（35） 图5 渐开线x代入（8）式及（10）式，得*Re itRtr ρ=⎧⎨=⎩ （36）3.5等进螺线图6 等进螺线参看图6，将H S H S S O ϕ⎧=⎪Φ⎪⎪'=⎨Φ⎪''=⎪⎪⎩(37) 代入（23）式，得32222212O O R H H R H ϕρϕ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪ΦΦ⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎛⎫++ ⎪ΦΦ⎝⎭(38)3.6简谐凸轮参看图7，将221cos 2sin 2cos 2H S H S H S πϕπϕππϕπ⎧⎛⎫- ⎪⎪Φ⎝⎭⎪=⎪⎪⎪⎪Φ'=⎨Φ⎪⎪⎪Φ''=⎪Φ⎪⎪⎩（39） 代入（23）式，得X图7 简谐凸轮322222221cos sin 221cos sin 1cos cos 22O O OR H H R R H πϕπϕπρπϕπϕπϕπϕππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ΦΦ⎢⎥++ ⎪ ⎪Φ⎢⎥⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ΦΦΦΦ+ ⎪Φ ⎪⎝⎭ （40）3．7 摆线凸轮图8 摆线凸轮参看图8，将212sin 221cos 22sin S H H S H S ϕπϕππϕππϕ⎧⎛⎫=- ⎪⎪ΦΦ⎝⎭⎪⎪⎛⎫'=-⎨ ⎪ΦΦ⎝⎭⎪⎪''=⎪ΦΦ⎩（41） 代入（23）式，得3222222221212sin 1cos 212222122sin 1cos sin sin 22O O O R H H R R H H ϕπϕπϕπρϕπϕπϕπϕπϕπϕππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ΦΦΦΦ⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+--+- ⎪ ⎪ ⎪ΦΦΦΦΦΦΦΦ⎝⎭⎝⎭⎝⎭（42）3.8摆线针轮理论廓线参看图9，令转角ϕ等于时间t ，记 OP=R 1 ，O'P=R 2 ，O'C= l图9 摆线针轮理论廓线则有 ()()12121212111212211212()11R I R i R i R i R i R i r oc R R e leR d r v R R ie l ie d R R dv a R R e l e d R ϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭⎧⎪==--⎪⎪⎛⎫⎪==---⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪==--+- ⎪⎪⎝⎭⎩1215R Z R R ⎛⎫== ⎪-⎝⎭(43) 将其代入（8）式，得 ()()()()32222111212122232211112121222221cos 112cos 1R R R R R l R R l R R R R R R R R R l R R l R R R R ϕρϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥----+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (44) 3.9双滑块机构连杆总轨迹参看图10，记OO'=O'A=O'B=R ，O' C=l ，<A O'C =α。