傅里叶变换
信息光学中的傅里叶变换
为了克服这些局限性，未来的研究将更加注重发展新型的 光学器件和技术，如光子晶体、超表面和量子光学等。这 些新技术有望为傅里叶光学的发展带来新的突破和机遇， 推动光学领域的技术进步和应用拓展。同时，随着人工智 能和机器学习等领域的快速发展，将人工智能算法与傅里 叶光学相结合，有望实现更高效、智能的光波信号处理和 分析。
信息光学中的傅里叶变换
目录
• 傅里叶变换基础 • 信息光学基础 • 信息光学中的傅里叶变换 • 傅里叶变换在信息光学中的应用
实例 • 傅里叶变换的数学工具和软件包
01
傅里叶变换基础
傅里叶变换的定义
傅里叶变换是一种数学工具，用于将 一个信号或函数从时间域或空间域转 换到频率域。在信息光学中，傅里叶 变换被广泛应用于图像处理和通信系 统的 编程语言，具有广泛的应 用领域。
R语言是一种统计计算语 言，广泛应用于数据分析 和可视化。
ABCD
C的开源科学计算软件包 如FFTW等可用于计算傅 里叶变换，并支持并行计 算以提高效率。
R语言的科学计算库如 fftw等可用于计算傅里叶 变换，并支持多种数据类 型和可视化方式。
光的波动理论
光的波动理论认为光是一种波动现象，具有波长、频率、相 位等特征，能够发生干涉、衍射等现象。
光的波动理论在光学领域中具有基础性地位，是研究光的行 为和性质的重要工具。
光的量子理论
光的量子理论认为光是由粒子组成的，这些粒子被称为光子。该理论解释了光的 能量、动量和角动量等物理量的本质。
光的量子理论在量子力学和量子光学等领域中具有重要应用，为现代光学技术的 发展提供了理论基础。
04
傅里叶变换在信息光学中的 应用实例
图像处理中的傅里叶变换
图像去噪
序列傅里叶变换公式
序列傅里叶变换公式
傅里叶变换是一种重要的信号分析工具，可以将一个时域上的连续函数或离散序列转换到频域上。
对于连续函数，其傅里叶变换公式为：
F(w) = ∫[−∞,+∞] f(t)e^(-jwt) dt
其中，F(w)表示频域上的复数函数，f(t)表示时域上的连续函数，ω为角频率。
对于离散序列，其傅里叶变换公式为：
F(k) = Σ[n=0,N-1] f(n)e^(-j2πkn/N)
其中，F(k)表示频域上的复数序列，f(n)表示时域上的离散序列，N表示序列的长度，k为频域上的整数频率。
傅里叶变换的公式可以将时域上的信号转换为频域上的复数函数或序列，从而可以分析信号的频谱特性，包括频率成分、幅度、相位等信息。
这对于信号处理、通信系统设计、图像处理等领域都有着广泛的应用。
傅里叶变换常用公式
傅里叶变换常用公式1. 简介傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个信号从时域转换到频域。
它常被应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
本文将介绍傅里叶变换的基本概念和常用公式。
2. 傅里叶级数傅里叶级数是傅里叶变换的基础，它用于将周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数的公式如下：傅里叶级数公式傅里叶级数公式在上述公式中，f(t)表示周期为T的函数，a0是直流成分，ak和bk是傅里叶系数。
3. 傅里叶变换傅里叶变换是将非周期信号表示为一组连续的频谱的过程。
傅里叶变换的公式如下：傅里叶变换公式傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号，j是虚数单位。
4. 反傅里叶变换反傅里叶变换是将频域信号恢复为时域信号的过程。
反傅里叶变换的公式如下：反傅里叶变换公式反傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号。
5. 常见傅里叶变换公式下面列举了一些常见的傅里叶变换公式：5.1 正弦函数的傅里叶变换正弦函数的傅里叶变换的公式如下：正弦函数的傅里叶变换公式正弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是正弦函数，F(w)是其频域信号。
5.2 余弦函数的傅里叶变换余弦函数的傅里叶变换的公式如下：余弦函数的傅里叶变换公式余弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是余弦函数，F(w)是其频域信号。
5.3 矩形脉冲的傅里叶变换矩形脉冲的傅里叶变换的公式如下：矩形脉冲的傅里叶变换公式矩形脉冲的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是矩形脉冲，F(w)是其频域信号。
5.4 高斯函数的傅里叶变换高斯函数的傅里叶变换的公式如下：高斯函数的傅里叶变换公式高斯函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是高斯函数，F(w)是其频域信号。
6. 结论傅里叶变换是一种非常强大的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
本文介绍了傅里叶级数、傅里叶变换和反傅里叶变换的基本公式，并列举了一些常见的傅里叶变换公式。
傅里叶变换的性质
1 0 1
21 31
即：
T
t
1 e jn1t T n
再求这个级数的傅氏变换
F
1 T n
e
j
n1t
2
T
n
n1
1 n1
n
T t 的频谱函数如图2-25b所示。 F
1
1
0 1
21 31
单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列。
9、奇、偶、虚、实性
f t为实函数时， F 的模与幅角、实部与虚部表示形式
-1
0
0
0
/2
0
0
0
/2
例2-5 求如图2.-18所示
f t 的 F 并作图。
f t
A
t
2
2
-A
解 令 f1t Ag t ， f t f1tcos0t 0 2 /
图 2 .
F1 ASa / 2
3
4
则
F
1 2
F1
0
F1
0
A
2
S
a
0 2
Sa
0 2
其中 0 2 /
F1以及 F 如图2-19所示。
a a
特别地，当 a 1 时，得到 其频谱亦为原频谱的折叠，即
f t 的折叠函数 f t ，
f t F 。
尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反 之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号 的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频 宽无限，反之亦然。
可以理解为信号波形压缩（扩展）
为
F f te jtdt
f
t co std t
j
f tsin tdt
常见的傅里叶变换
常见的傅里叶变换
傅里叶变换（FourierTransformation）是在数学术语中指任何将时域信号转换成频域信号（包括反向转换）的一种算法。
它可以将任何时域函数转换为复杂的频率函数，并使用它来衡量信号的性质。
这种变换的另一种表达形式是“Fourier分析”，它可以用于分析和解释复杂的信号，以及从中提取有关信号频率和振幅的信息。
傅里叶变换的主要用途是将复杂的时域信号转换为频域信号，以便快速获取信号的性质。
它也被广泛用于信号处理，数字信号处理，图像处理，科学可视化，生物信号处理，信号检测，滤波器设计等领域。
它可以提取有关信号的重要特征，包括频率，振幅，相位等，这些特征在信号分析，处理和重构方面非常重要。
在数学中，傅里叶变换可以用来进行积分及其反向变换，以及用于传输函数系统的稳定性分析。
此外，它也可以用于语音处理，设计滤波器，图像处理等方面。
常见的傅里叶变换有：
1. 傅里叶变换（Fourier Transform）：这是最基本的傅里叶变换，它用于将时域函数转换为频域函数。
2. 快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）：它是基于傅里叶变换的优化算法，可以将复杂信号的傅里叶变换运算时间减少到计算机可承受的最低水平。
3. 非负傅里叶变换（Non-negative Fourier Transform）：它是一种特殊的傅里叶变换，它只用非负数来表示傅里叶变换的系数，这
样可以更加精确地表示一个原始信号的复杂结构。
4. 小波变换（Wavelet Transform）：它是一种相对傅里叶变换而言的更加复杂的算法，它可以更精确地描述复杂信号，更有效地提取信号特征。
常见傅里叶变换
常见傅里叶变换傅里叶变换是一种常见的数学方法，用来把一个信号从时域（time domain）变换到频域（frequency domain），即从时间变换成周期，为信号分析和处理提供理论。
从量子物理学到电路设计，从数字图像处理到数字信号处理，傅里叶变换都发挥着重要作用。
一般来说，傅里叶变换可分为离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）和连续傅里叶变换（Continuous Fourier Transform，CFT）。
离散傅里叶变换是对某类数字信号进行频率谱分析的方法，用于表达在某一时刻及其之前的信号。
例如，它可以用来分析歌曲中的某些音调，或者某个难以分析的电路中的某些信号。
另一方面，连续傅里叶变换是一种从时域变换到频域的数学技术，它可以计算信号的振幅和相位，以及其他用于检测特定频率信号的信息。
它广泛应用于音频处理，天文观测，射电望远镜等领域。
傅里叶变换也可以用来表示函数和操作，比如傅里叶级数、小波变换等。
傅里叶变换可以帮助人们实现更高精度的信号处理，提高信号处理效率。
它有助于确定信号构成，也可以探索不同信号之间的关系。
举个例子，当电台收到许多不同频率的电视信号时，傅里叶变换可帮助把这些信号的相位分开，避免它们混合在一起。
此外，傅里叶变换也有助于把复杂的数据简化为简单的数学形式，比如利用傅里叶级数来解决非线性方程。
除离散傅里叶变换和连续傅里叶变换外，还有一类受欢迎的傅里叶变换，它在信号处理领域也有广泛的应用。
它包括快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）、中心矩形法（Central Momentum Method）、矩形变换（Rectangular Transform）、拉普拉斯变换（Laplace Transform）等。
快速傅里叶变换几乎在所有的数字信号处理系统中都有应用，它可以以更少的时间来完成傅里叶变换，从而使信号处理变得更有效率。
傅里叶变换原理
傅里叶变换原理傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、通信系统等领域都有着广泛的应用。
傅里叶变换的原理是将一个信号分解成不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而可以分析信号的频谱特性。
在本文中，我们将详细介绍傅里叶变换的原理及其在实际应用中的重要性。
首先，让我们来了解一下傅里叶变换的数学表达式。
对于一个连续信号 f(t)，它的傅里叶变换F(ω) 定义为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt。
其中，e^(-jωt) 是复指数函数，ω 是频率。
这个公式表示了信号 f(t) 在频域上的表示，也就是说，它将信号 f(t) 转换成了频率域上的复数函数F(ω)。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱信息，从而可以分析信号的频率成分和能量分布。
傅里叶变换的原理可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个周期为 T 的正弦信号f(t) = Asin(2πft)，其中 A 是振幅，f 是频率。
对这个信号进行傅里叶变换，我们可以得到频谱F(ω)= A/2 (δ(ω-f) δ(ω+f))，其中δ(ω) 是狄拉克δ函数。
这个频谱表示了信号只包含了频率为 f 的正弦成分，而其他频率成分的能量为零。
这样，我们就可以通过傅里叶变换来分析信号的频率特性。
在实际应用中，傅里叶变换有着广泛的应用。
在信号处理中，我们可以通过傅里叶变换来对信号进行滤波、频谱分析等操作。
在图像处理中，傅里叶变换可以用来进行图像的频域滤波、频谱分析等操作。
在通信系统中，傅里叶变换可以用来对调制信号进行频谱分析、信道估计等操作。
可以说，傅里叶变换已经成为了现代科学技术中不可或缺的数学工具。
总之，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，它可以将一个信号从时域转换到频域，从而可以分析信号的频率特性。
通过傅里叶变换，我们可以对信号进行频谱分析、滤波等操作，从而可以更好地理解和处理信号。
傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信系统等领域都有着广泛的应用，它已经成为了现代科学技术中不可或缺的数学工具。
应用高等数学-6.1 傅里叶变换
例8
试证单位阶跃函数
F () F[(t)] (t)e jt d t e jt 1
t0
显然， (t)与常数1构成了一傅氏变换对，按
逆变换公式有
(t)
F
1[F ()]
1 2π
e
jt
d
由上式可得 e jt d 2π (t)
（6-9）
这是一个关于δ函数的重要公式．
例5 证明：1和 2π ()构成傅氏变换对．
f
(t)
1, 1,
π t 0 0 t π
如何将函数展开为傅里叶级数的三角形式．
解： 由定理6.1可得 0 1，a0 0，an 0 (n 1, 2,L )
bn
1
π
f (t)sin ntdt
π
π2
π
sin ntdt
0
nπ 2 (cos
nt
π
) 0
nπ 2 (1 cos nπ)
nπ 2 [1 (1)n ]
2π ( 0 )
例7 求正弦函数 f (t) sin 0t 的傅氏变换．
解：
F() F[ f (t)]
e
jt
sin
0t
d
t
1 (e j0t e j0t )e jt d t
2 j
1 (e j(0 )t e j(0 )t ) d t
2 j
jπ[ ( 0 ) ( 0 )]
式中当t=0可得重要积分公式
sin
x
d
x
π
0x
2
例4
求单边指数衰减函数
f
(t)
0, et ,
t0 t0
( 0)
的频谱函数、振幅谱、相位谱．
傅里叶变换
t 0
I ( t )dt 1 .
定义1： 函数定义（工程中常用
）
满足以下两个条件的函数称为狄拉克函数（
0 ( t 0 ), (i) (t ) ; ( t 0 ). ( ii )
函数 ）
-
( t )dt 1 .
t t 0时刻 函数定义
e
dt
iwx
e
iaw
f ( t a )e
iw ( t a )
iaw
f ( x )e
dx
F (w)
1 2
F ( w)e
iw( t a )
d f (t a ).
同理可证第二部分
参数
练习：
1）ℱ f ( t )
解： e 1）
在实轴任何有限区间可
积的，则
且 f ( t )
ℱ
ℱ f ( t ) 存在
iwF (w ) .
iwt
证明： t 时， f ( t ) e
f ( t ) 0;
iwt
ℱ f ( t )
f (t )e
iwt
dt f (t )e
-
iw
( t 0 ), ( t 0 ).
u ( t ) ( t )
4. 分段函数的单位阶跃函
数及其导数
1 ( x 0), 1 ) sgn( x ) 2u( x ) 1. 1 ( x 0).
2 ) x x sgn x x ( 2 u ( x ) 1).
傅里叶级数变换
数据压缩
通过傅里叶级数变换，可以实现 数据的压缩和解压缩，节省存储 空间和传输带宽。
在量子计算领域的应用
1 2
量子信号处理
利用傅里叶级数变换处理量子信号，有助于实现 量子通信和量子计算中的信息处理。
量子纠缠态分析
通过傅里叶级数变换，可以对量子纠缠态进行分 析和操作，有助于实现量子纠缠态的操控和应用。
解压缩处理
在解压缩过程中，傅里叶级数变换可以用于将压缩后的频率分量转换回原始像 素值，恢复出原始图像。解压缩过程与压缩过程相反，需要逆向操作以重建完 整图像。
傅里叶级数变换的未来发展
06
与挑战
高效算法的研究
01
快速傅里叶变换 （FFT）
针对傅里叶级数变换的快速算法， 能够显著降低计算复杂度，提高 计算效率。
02
并行计算
利用多核处理器或多计算节点并 行计算，加速傅里叶级数变换的 计算过程。
03
优化算法
研究更高效的算法，减少计算过 程中的冗余和复杂度，提高变换 的精度和速度。
在大数据和人工智能领域的应用
信号处理
在语音识别、图像处理、雷达信 号处理等领域，傅里叶级数变换 是关键技术之一。
机器学习
在深度学习中，傅里叶级数变换 可用于特征提取和降维，提高模 型的泛化能力。
傅里叶级数变换
目录
• 傅里叶级数变换概述 • 傅里叶级数变换的性质 • 傅里叶级数变换的运算 • 傅里叶级数变换在信号处理中的应
用
目录
• 傅里叶级数变换在图像处理中的应 用
• 傅里叶级数变换的未来发展与挑战
01
傅里叶级数变换概述
傅里叶级数变换的定义
傅里叶级数变换是一种数学工具，用于将一个函 数表示为无穷级数，其中每个项都是正弦和余弦 函数的线性组合。
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第4章 连续时间傅里叶变换4.1.1 非周期信号傅里叶变换表示的导出为了对傅里叶变换表示的实质求得更深入地了解，我们还是先由在例3.5中所研究过的连续时间周期方波的博里叶级数表示入手。
在—个周期内⎪⎩⎪⎨⎧<<<=2/,0,1)(11T t T T t t x以周期T 周期重复，如图4．1所示。
在例3．5曾求出，该方波信号的傅里叶级数系数k a 是0,)s i n (2010≠=k Tk T k a k ωω式中T /20πω=，如下图所示，展示出了对于固定的1T 值和不同的T 值时，这些系数的条状图。
理解(4 .1)式的另一种方式是把它当作一个包络函数的样本，即1s i n 2ωωωωk k T Ta ==这就是，若将ω看作一个连续变量，则函数ωω1sin 2T 就代表k Ta 的包络，这些系数就是在此包络上等间隔取得的样本。
而且，若1T 固定，则k Ta 的包络就与T 无关。
在下图中，再次表明了该周期方波的傅里叶级数系数，不过，这次是按上式作为k Ta 包络的样本给出的，从该图可以看到，随着T 增加(或等效地，基波频T /20πω=减小)，该包络就被以愈来愈密集的间隔采样。
随着T 变得无穷大，原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲 (也就是说，在时域所保留下的是一个非周期信号，它对应于原方波的一个周期)。
与此同时，博里叶级数系数(乘以T 后)作为包络上的样本也变得愈来愈密集，这样从某种意义上说(稍后将说明)，随着∞→T ，博里叶级数系数就越来越趋近于这个包络函数。
这个例子说明了对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想。
这就是在建立非周期信号的博里叶变换时，可以把非周期信号当作—个周期信号在周期任意大时的极限来看待，并且研究这个周期信号博里叶级数表不式的极限特性。
现在，我们来考虑一个信号)(t x ，它具有有限持续朗，即对某个1T ，当1T t>时，0)(=t x ，如图4．3(a)所示。
从这个非周期信号出发，可以构成一个周期信号)(t z ，使)(t x 就是)(t z 的一个周期，如图4．3(b)所示。
当随着∞→T，对任意有限时间t 值断言，)(t z 就等于)(t x 。
现在来考察一下在这种情况下)(t z 的傅里叶级数表达式的变化。
这里，为方便起见，将综合公式和分析公式重写如下，并将分析公式的积分区间取为如下：t jk k ke a t z 0)(ω∑+∞-∞==⎰--=2/2/0)(1T T tjk k dt e t z T a ω 以重新写成⎰⎰∞∞----==dt e t x T dt e t x T a t jk T T t jk k 00)(1)(12/2/ωω 定义k Ta 的 包络为)(ωj X⎰∞∞--=dt e t x j X tjk 0)()(ωω 这时，系数k a 可以写为)(10ωjk X Ta k =综合上述，将(4．6)式和式(4。
3)式结合在一起，就可以用表示为t jk k e jk X Tt z 0)(1)(0ωω∑+∞-∞==因为T /20πω=又可表示为000)(21)(ωωπωt jk k e jk X t z ∑+∞-∞==随着∞→T，00→ω，)(t z 趋近于)(t x ，结果上式的极限就变成)(t x 的表示式。
而且式的右边就过渡为—个积分。
⎰+∞∞-=ωωπωd e j X t x tj )(21)( (4．8) ⎰+∞∞--=dt et x j X tj ωω)()( (4．9)(4．8)式和(4．9)式称为傅里叶变换对。
函数)(ωj X 称为)(t x 的傅里叶变换或傅里叶积分，而(4．8)式称为傅里叶反变换式。
综合公式(4．8)对非周期信号所起的作用与(3．38)式对周期信号的作用相同，因为两者部相当于把一个信号表示为一组复指数信号的线性组合。
一个非周期信号)(t x 的变换)(ωj X 通常称为)(t x 的频谱，因为)(ωj X 告诉我们将)(t x 表示为不同频率正弦信号的线性组合(就是积分)所需要的信息。
4．1．2 傅里叶变换的收敛也和周期信号一样，傅里叶变换要收敛，必须满足一组条件，这组条件也称为狄里赫利条件，它们是：1.)(t x 绝对可积，即⎰-∞∞+∞<dt t x )(2．在任何有限区间内，)(t x 只有有限个最大值和最小值。
3．在任何有限区间内，)(t x 有有限个不连续点，并且在每个不连续点都必须是有限值。
因此，本身是连续的或者只有有限个不连续点的绝对可积信号都存在傅里叶变换。
尽管这两组条件都给出了一个信号存在傅里叶变换的充分条件，但是下一节将会看到，倘若在变换过程中可以使用冲激函数，那么，在一个无限区间内，既不绝对可积，又不具备平方可积的周期信号也可以认为具有傅里叶变换。
这样，就有可能把傅里叶级数和傅里叶变换纳入到一个统一的框架内。
在以后的各章讨论中将会发现这样做是非常方便的。
3.5 典型非周信号的傅里叶变换例1：考虑信号)()(t u e t x at -=，0>a ，求其傅里叶变换。
解：由分析公式，有∞+-∞--+-==⎰0)(01)(tj a tj at e j a dt eej X ωωωωωωj a j X +=1)(，0>a这个傅里叶变换是复数，要画出作为ω的函数，就需要利用它的模和相位来表示)(ωj X221)(ωω+=a j X)(tan )(1aj X ωω--=∠该傅里叶变换的相位谱和幅度谱如上图所示。
例2： 设)(t x 为ta et x -=)(，0>a ，现在该信号的傅里叶变换解：该信号的傅里叶变换是dt e e dt ee dt eej X t j at tj at tj ta ωωωω-+∞--∞--+∞∞--⎰⎰⎰+==0)( 22211ωωω+=++-=a a j a j a例3： 现在求单位冲激函数的傅里叶变换 解：)()(t t x δ=由分析公式得1)()(==⎰+∞∞--dt e t j X t j ωδω也就是说，单位冲激函数的频谱在所有频率上都是相同的。
例4： 现考虑下面矩形脉冲信号⎪⎩⎪⎨⎧><=11,0,1)(T t T t t x如图所示，求它的博里叶变换为ωωωω1s i n 2)(11T dt e j X T T t j ==⎰--例5： 现考虑一信号)(t x ，其傅里叶变换为：⎪⎩⎪⎨⎧><=WWj X ωωω,0,1)(现求其)(t x 的表达式。
解： 利用傅里叶反变换公式有tWT d e t x WWt j πωω1sin 2)(==⎰-将图4．8和图4．9相比较，或者将(4．16)式和(4．17)式与(4．18)式和(4．19)式相比较，可以发现一个很有意义的关系。
在每种情况下，傅里叶变换对都是由抽样函数和一个矩形脉冲所组成，只是一个是时域，一个是频域。
很显然是傅里叶变换具有对偶性的一个直接结果。
4.3 连续时间傅里叶变换性质这一节以及后面两节将讨论傅里叶变换的几个重要性质。
再者，正如上一节所指出的，由于一个周期信号的傅里叶级数和傅里叶变换表示之间存在着密切的关系，利用这一关系就能够把傅里叶变换的性质直接转移到对应的傅里叶级数性质中去，而傅里叶级数性质已在前面单独讨论过。
对傅里叶变换用下列符号表示)()(ωj X t x F−→←1、 线性若)()(ωj X t x F −→←，)()(ωj Y t y F−→← 则)()()()(ωωj bY j aX t by t ax F+−→←+ 线性性质很容易推广到任意多个信号的线性组合中去。
2、 时移特性若)()(ωj X t x F−→←则)()(00ωωj X e t tx t j F -−→←-证明：3、 共轭及共轭对称性： 共扼性质是说，若 )()(ωj X t x F−→←则)()(**ωj X t x F-−→←我们对傅里叶正变换式取共轭可得[]dt e t x dt e t x j X t j tj ⎰⎰∞+∞--∞+∞--==ωωω)()()(***以ω-代替ω，就得到dt e t x j X tj ⎰+∞∞--=-ωω)()(**上式的右边就是对)(*t x的傅里叶变换的分析公式，于是证。
共轭性质就能证明．若)(t x 为实函数，那么)(ωj X 就具有共轭对称性，即)()(*ωωj X j X =-作为该性质的进一步的结果，若)(t x 为实且为偶函数，那么)(ωj X 也一定为实、偶函数。
同样可以证明，若)(t x 是时间的实值奇函数，而有)()(t x t x -=，那么)(ωj X 就是纯虚且为奇函数。
4、微分与积分特性共扼性质是说，若)()(ωj X t x F−→←则)()(ωωj X j dtt dx F−→← 证明： 令)(t x 的傅里叶变换是)(ωj X ，将傅里叶反变换公式两边对t 进行微分可得ωωωπωd ej X j dt t dx tj ⎰∞+∞-=)(21)(这是一个特别重要的性质，因为它将时域内的微分用频域内乘以ωj 所代替。
将会发现，在以后利用傅里叶变换来分析微分方程所描述的LTI 系统时，将很有用处。
)()0()(1)(ωδπωωττX j X j d x tF+−→←⎰∞- 上式右边的冲激函数项反映了由积分所产生的直流或平均值。
5、时间与频率的尺度变换 若 )()(ωj X t x F−→←则)(1)(aj X a at x Fω−→←看一个特殊情况：a=1)()(ωj X t x F-−→←-尺度变换性质又一次说明了前面例题5中时间和频率之间的相反关系。
6、 对偶性比较一下正变换和反变换的关系式，可以看到，这两个式子在形式上是很相似的，但不是完今一样的。
这一对称性就导致了傅里叶变换的一个性质称之为对偶性。
对偶性也能用来确定或联想到傅里叶变换的其它性质。
具体说来就是，如果一个时间函数有某些特性，而这些特性在其傅里叶变换中隐含着一些别的付么东西的活，那么与频率函数有关的同一特性也会在时域中隐含着对偶的东西。
频域微分特性：dt e t jtx d j dX t j ⎰∞+∞---=ωωω)()(ωωd j X t jtx F)()(−→←- 频移特性：[])(0)(0ωωω-−→←j X e Ft tx j4 卷积性质在第3章巴经知道，如果一个周期信弓用一个博里叶级数来表示，也就是按傅里叶级数展开式作为成谐波关系的复指数信号的线件组合来表示．那么，一个LTI 系统对这个输入的响加也能够用一个傅里叶级数来表示。
在这一节将把这一结论推广到非周期信号的情况。
时域卷积定理：)()()(*)()(ωωX H t x t h t y F −→←=频域卷积定理：[])(*)(21)()()(ωωπP S t p t s t r F −→←= 时域卷积定理在信号与系统分析中十分重要。