3-1 逻辑运算、基本定理、基本规则
数字电路(第一章逻辑代数基础)
东南大学计算机系
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刘其奇
1
第一章 逻辑代数基础
1-1 概述
1-1-1 数字量和模拟量
自然界中物理量分为两大类：
数字量：它们的变化在时间上和数量上都是离散的； 在时间上不连续。
模拟量：它们的变化在时间上或数值上是连续的。 数字信号：表示数字量的信号，是在两个稳定状态之 间作阶跃式变化的信号。 脉冲：是一个突然变化的电压或电流信号。
11
有权码
常用BCD码 十进制数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
无权码
8421BCD
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
5421BCD
0000 0001 0010 0011 0100 1000 1001 1010 1011 1100
22
2）变量常量关系定律
0、 1律：A • 1 = A; (2 )
A • 0 = 0;（1）
A + 1 = 1; （11） A + 0 = A（12） ;
互补律：A • A = 0； ） A + A = 1;（14） （4
3）逻辑代数的特殊定律
重叠律：A • A = A； ） A + A = A; （13） （3
Y = A + A BC( A + BC + D) + BC = A + ( A + BC)( A + BC + D) + BC = A + A ( A + BC + D) + BC( A + BC + D) + BC = A + BC
《数字逻辑》第3章习题答案
题
【3-1】填空： (1) 逻辑代数中有三种最基本运算： 与 、 或 和 非 ，在此基础上又派生出五种基本运算， 分别为 与非 、 或非 、 异或 、 同或 、和 与或非 。 (2) 与运算的法则可概述为：有 0 出 0 ，全 1 出 1 ；类似地，或运算的法则为 有”1”出”1”， 全”0”出”0” 。 (3) 摩根定理表示为： A B = A B ； A B = A B 。 (4) 函数表达式 Y= AB C D ，则其对偶式为 Y ' = ( A B)C D 。 积的形式结果应为 M ( 0,1,2,4,5,8,9,10)。 (5) 函数式 F=AB+BC+CD 写成最小项之和的形式结果应为 m ((3,6,7,11,12,13,14,15))， 写成最大项之
0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1
1 1 0 0 1 0
【3-8】写出下列函数的反函数 F ，并将其化成最简与或式。 (1) F1 ( A D )( B C D)( AB C ) (2) F2 ( A B )( BCD E )( B C E )(C A) (3) F3 A B C A D (4) F4 ( A B)C ( B C ) D 解： (1) F1 AD C (2) F2 AB A C E (3) F3 AB AC A D (4) F4 BC C D ABD A B C 【3-9】用对偶规则，写出下列函数的对偶式 F ，再将 F 化为最简与或式。 (1) F1 AB B C A C (2) F2 A B C D (3) F3 ( A C )( B C D)( A B D) ABC (4) F4 ( A B )( A C )( B C )(C D) (5) F5 AB C CD BD C 解：题中各函数对偶函数的最简与或式如下： (1) F1 A BC AB C (2) F2 A B D A C D (3) F3 AC A BD (4) F4 A BC B C CD (5) F5 ABC D (6) F6 AB C D 【3-10】已知逻辑函数 F A B C , G=A⊙B⊙C，试用代数法证明： F G 。 解：
逻辑运算法则
逻辑运算法则逻辑运算一直是人类思维中重要的组成部分，对于逻辑运算法则的研究则进一步拓展了人们对于逻辑思维的认识。
本文将从逻辑运算法则的基本概念出发，深入探讨其在不同情景下的应用，并探讨其对于日常生活和决策制定的重要性。
逻辑运算法则的基本概念逻辑运算法则是指在逻辑思维中使用的一系列规则和原则，旨在确保推理和论证的准确性和有效性。
其基本概念包括三大部分：命题逻辑、联结词和推理规则。
命题逻辑命题逻辑是逻辑运算法则的基础，它涉及命题的真假和逻辑关系的推断。
在命题逻辑中，命题可以是真可以是假，用符号P、Q、R等表示。
通过逻辑运算法则可以对命题之间的关系进行推理和推断，帮助我们更好地理清思路。
联结词联结词是连接命题的逻辑符号，包括“与”、“或”、“非”等。
它们用于表达不同的逻辑关系，帮助我们更准确地描述信息之间的关系。
推理规则推理规则是逻辑运算法则的重要组成部分，包括假言推断、析取三段论、假言三段论等。
通过这些推理规则，我们可以从已知的命题中得出新的结论，进行更深入的推理和论证。
逻辑运算法则在实际生活中的应用逻辑运算法则不仅仅是一种抽象的概念和原则，它还广泛应用于我们的日常生活中。
决策制定在面对日常生活中的选择和决策时，逻辑运算法则可以帮助我们分析各种因素的优劣，做出明智的决策。
通过逻辑运算法则，我们可以更好地评估风险和机会，提高决策的准确性和效率。
辩论和讨论在辩论和讨论中，逻辑运算法则可以帮助我们更好地组织自己的观点，避免逻辑混乱和谬误。
通过合理运用推理规则和联结词，我们可以更有说服力地表达自己的观点，并有效地驳倒对方的论证。
问题解决在解决问题和处理矛盾时，逻辑运算法则可以帮助我们快速定位问题的关键点，并找出解决问题的方法。
通过正确应用逻辑运算法则，我们可以更系统地分析问题，找出最佳解决方案。
总结逻辑运算法则作为人类思维中重要的一部分，对于我们的日常生活和决策制定具有重要意义。
通过深入理解逻辑运算法则的基本概念和应用，我们可以提高自己的逻辑思维能力，更好地应对各种挑战和问题。
《数字电子技术基础》读书笔记02逻辑代数基础
《数字电子技术基础》读书笔记02 逻辑代数基础2.1从布尔代数到逻辑代数1849年英国数学家乔治布尔(George Boole)提出布尔代数，使用数学方法进行逻辑运算。
把布尔代数应用到二值逻辑电路中，即为逻辑代数。
2.2逻辑代数中的运算(想想初等代数中的加减乘除)2.2.1三种基本运算与(AND)：逻辑乘，Y=A B或(OR)：逻辑加，Y=A+B非(NOT)：逻辑求反，Y=Aˊ简单逻辑运算(与、或、非)的两套图形符号，均为IEEE(国际电气与电子工程师协会)和IEC(国际电工协会)认定。
上排为国外教材和EDA软件中普遍使用的特定外形符号；下排为矩形符号。
2.2.2复合逻辑运算(都可以表示为与、或、非的组合)与非(NAND)：先与后非，与的反运算，Y=(A B)ˊ或非(NOR)：先或后非，非的反运算，Y=(A+B)ˊ与或非(AND-NOR)：先与再或再非，Y=(A B+C D)ˊ异或(Exclusive OR)：Y=A⊕B=A Bˊ+AˊB A和B不同，Y为1；A和B相同，Y为0。
当A与B相反时，A Bˊ和AˊB，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或(Exclusive NOR)：Y=A⊙B=A B+AˊBˊA和B相同，Y为1；A和B不同，Y为0。
当A与B相同时，A B和AˊBˊ，肯定有一个结果为1，则Y为1。
同或与同或互为反运算，即两组运算，只要输入相同，一定结果相反。
A⊕B=(A⊙B)ˊA⊙B=(A⊕B)ˊ复合逻辑运算的图像符号和运算符号。
2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式(见对偶定理)2.3.2若干常用公式(见逻辑函数化简方法之公式化简法)2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理(相当于初等代数中的换元)任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。
2.4.2反演定理对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的""换成"+"，"+"换成""，"0"换成"1"，"1"换成"0"，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到的结果就是Yˊ。
逻辑运算定理
For personal use only in study and research; notfor commercial use蚇3.3逻辑运算定理羇 3.3.1逻辑函数相等有两个逻辑函数F和G，如果对于F和G的每一种取值组合，对应的输出都相同，我们说这两个逻辑函数相等，记作F=G。
由逻辑函数相等的概念，可以得到下面的推论：如果F=G,则F和G对应的真值表完全相同；反过来，如果两个逻辑函数的真值表完全相同，则F=G.例3.3.1证明A+AB=A+B解：根据题意，列出真值表如表3.3.1所示。
膁表3.3.1 例3.3.1的真值表膃由表，对于A+AB和A+B两个逻辑函数的每一种取值组合，它们的输出完全相同。
所以，A+AB=A+B逻辑函数相等的概念是逻辑函数运算、化简和变换的基础。
我们介绍的定理、公式都可以利用逻辑函数相等的概念加以证明。
3.3.2逻辑运算公理常用的逻辑运算公理如表薁表3.3.2 常用逻辑运算公理莆3.3.3逻辑运算定理常用的逻辑运算定理如表蚆表3.3.3 常用逻辑运算定理3.3.4常用公式逻辑运算的公式有许多，在表，实际上，只要经过证明的等式都可以在以后的变换和化简时使用。
表3.3.4 常用公式注：公式1、2为吸收律和分配律的应用，公式3为多余因子定律，公式4为多余项定律，公式5为与或和或与转换定律。
3.3.5逻辑代数的三个基本规则1.代入规则若两个逻辑函数相等，即F=G，且F和G中都存在变量A，如果将所有出现变量A 的地方都用一个逻辑函数L代替，则等式仍然成立。
这个规则称为代入规则。
因为任何一个逻辑函数，它和一个逻辑变量一样，只有两种可能的取值(0和1)，所以代入规则是正确的。
有了代入规则，就可以将基本等式（定理、常用公式）中的变量用某一逻辑函数来代替，从而扩大了它们的应用范围。
例3.3.2已知等式A(B+E)=AB+AE,将所有出现E的地方代之以(C+D)，试证明等式成立。
解: 原式左边=A[B+(C+D)]=AB+A(C+D)=AB+AC+AD原式右边=AB+A(C+D)=AB+AC+AD所以等式A[B+(C+D)]=AB+A(C+D)成立。
逻辑代数的基本定理_基本规则_逻辑函数简化(18)
Y AB AC
①求出反函数的最简 与或表达式
Y AB AC (A B)(A C) AB AC BC AB AC
②利用反演规则写出函数的最 简或与表达式
Y ( A B)( A C )
15
4、最简或非-或非表达式
非号最少、并且每个非号下面相加的变量也最少的或非-或非表达式。
则可得到的一个新的函数表达式Y＇，Y＇称为函Y的对
偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：
Y AB CDE
Y (A B)(C D E)
Y ABC DE
Y ABC DE
8
P21 表2.3.4
对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等。利用对偶 规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少一半。例如：
0
00
1 11
0
101 101源自001 011
11
0 00
A B A+B A+B A B
0
00
1 11
0
11
0 10
1
01
0 01
1
11
0 00
A+B
1 1 1 0
A·B 1 0 0 0
2
2.3.2 逻辑代数的基本定 律
（1）常量之间的关系
与运算：0 0 0 0 1 0 1 0 0 111
或运算：0 0 0 0 11 1 0 1 111
10
本节小结
逻辑代数是分析和设计数字电路的重 要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻 辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可 以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的 分析和设计问题。
与、或、非是3种基本逻辑关系，也 是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或 非、异或则是由与、或、非3种基本逻辑 运算复合而成的4种常用逻辑运算。
基本逻辑关系及运算法则
2.几个常用的逻辑函数 下面介绍几个最常用的由“与”“或”“非”组成的 逻辑函数。 (1)“与非”逻辑函数。“与非”逻辑是“与”运算和 “非”运算的复合。先将输入逻辑变量A、B进行“与”运 算，再进行“非”运算，其逻辑表达式为
基本逻辑关系及运算法则
二、 逻辑变量和逻辑函数
(2)“或非”逻辑函数。“或非”逻辑是“或”运算和 “非”运算的复合。先将输入逻辑变量A、B进行“或”运 算，再进行“非”运算，其逻辑表达式为
汽车电工电子技术
基本逻辑关系及运算法则
一、 基本逻辑运算
1.“与”逻辑运算
当决定某一事件发生的所有条件都满足时， 结果才会发生，这种因果关系称为“与”逻辑关 系，如图6-2所示。
若把开关闭合作为条件，把灯亮作为结果， 则只有开关A、B都闭合时，灯F才会亮。若用逻 辑表达式来描述“与”逻辑，则可写成
一、 基本逻辑运算
2.“或”逻辑运算
在决定事件发生的所有条件中，只要有任意 一个满足，结果就会发生，这种因果关系称为“ 或”逻辑关系。如图6-3所示，开关A、B只要有 一个闭合，灯就亮；只有开关全部断开时，灯才 不亮。
基本逻辑关系及运算法则
一、 基本逻辑运算
2.“或”逻辑运算
基本逻辑关系及运算法则
1.逻辑代数的公理 0•0=00+0=0 0•1=00+1=1 1•0=0 1+0=1 1•1=1 1+1=1 若A≠0，则A=1；若A≠1，则A=0。
基本逻辑关系及运算法则
三、 逻辑代数的公理、定理和定律
2.定理和定律 (1)交换律：A•B=B•A；A+B=B+A。 (2)结合律：A•(B•C)=(A•B)•C； A+(B+C)=(A+B)+C。
数字电路与逻辑设计复习
第二章 逻辑函数及其简化 公式法化简
① F=(A⊕B)(B⊕C) ●A+B+A+C
解: F=[(A⊕B)(B⊕C) +A+B] ●(A+C) =[(AB+AB)(BC+BC)+A+B) ●(A+C)
第二章 逻辑函数及其简化 1 若A、B、C、D、E为某逻辑函数输入变量，函数的最大项表达式 所包含的最大项的个数不可能是： A 32 B 15 C 31 D 632 2 以下表达式中符合逻辑运算规则的是： A. C●C=C2 B. 1+1=10 C. 0﹤1 D. A+1=1 3 符合逻辑运算规则的是: A. 1×1=1 B. 1+1=10 C. 1+1=1 D. 1+1=2 4 逻辑函数F=AB+CD+BC的反函数F是:_____;对偶函数F﹡是:____; 5 逻辑代数的三个重要规则是:_________,__________,_________ 当逻辑函数有n个变量时,共有____种变量取值组合。 6 异或与同或在逻辑上正好相反，互为反函数，对吗？ 7 逻辑变量的取值，1比0大，对吗？ 8 F=A⊕B⊕C=A⊙B⊙C,对吗? 答案：1. D 2. D 3. C 4. ___ 5. ____ ____ 6. √ 7. × 8. √
第一章 绪论 1．数制的转换 (1)任意进制→十进制(按位权展开相加) (2)十进制→任意进制(除R取余,乘R取整) (3) 二进制--八进制--十六进制(中介法) (4)精度要求(1/Ri＜精度要求值) 2．常用的BCD码 有权码(8421码、2421码、5121码、631-1码) 无权码(余3码，移存码、余3循环码)。
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F=D+E A(B+C)=AB+AC
A(D+E+C)=A(D+E)+AC
2. 对偶规则 对偶式：逻辑函数式F中，进行加乘互换，0和1互换，
得到的新逻辑式称 为F的对偶式。
对偶规则：有一逻辑等式，对等号两边进行对偶变换， 得到的新逻辑函数式仍然相等。
A AB A B
3. 异或 F A B AB AB 4. 同或 F=A⊙B AB AB
5. 与或非 F AB CD
与非
A B
A
&
F
F
B
(a)
(b)
或非
A B
A
≥1
F
F
B
(a)
(b)
异或
A B
A F
=1
F
同或
A B
B
(a)
(b)
A
=1
F
F
B
(a)
(b)
A B
与或非
C D
(a)
(a) 特定外形符号
A
B F
表达式： F=A+B A
B
+
Us
F
-
或逻辑真值表
或逻辑电路图
4. 逻辑非运算 定义：A代表的事件不发生，F代表的事件才会发生。
表达式：F A
非逻辑真值表
+
Us
A
F
-
非逻辑电路图
5. 基本逻辑运算符号
(a) 特定F A B
2. 或非 F A B
第3章 逻辑代数基础
3.1 引言
逻辑变量和逻辑常量 基本逻辑运算与简单组合逻辑运算 逻辑代数定理、规则 逻辑式的代数化简法 最大项和最小项的定义、性质 逻辑函数的与或标准型和或与标准型 卡诺图及逻辑式的卡诺图化简法
3.2 逻辑运算
3.2.1 基本逻辑运算
1. 逻辑变量与逻辑常量 逻辑变量：只有0和1两种取值，表示事件的发生与否、
AA B AB
P ' P
3. 反演规则 逻辑函数式F中，进行加乘互换，0和1互换，原反互换，
得到的新的逻辑式为 F 。
先“与”后“或”，先括号内，后括号外
F1 A B CD
F1 A B C D
F1 A B C D
2. 式中有多层反号时，只去掉最外层反号，该反号下 内容不变（or：不属于单个变量上的反号保留不变）
电平的高低、指示灯的亮灭、开关的通断等二值信息。
逻辑常量：在逻辑代数中，只有0和1两个逻辑常量。
2. 逻辑与运算 定义：A和B代表的事件都发生，F代表的事件才会发生。 表达式： F=A•B
A
B
+
Us
F
-
与逻辑真值表
与逻辑电路图
3. 逻辑或运算 定义：A和B代表的事件有一个发生，F代表的事件就
会发生。
C
D
& ≥1 F
(b)
(b) 矩形符号
3.2.2 组合逻辑运算
3.2.3 逻辑运算定律
1. 交换律 2. 结合律 3. 分配率
AB B A AB B A
ABC ABC A BC ABC
ABC AB AC
3.3 逻辑代数的基本定理和基本规则
3.3.1 基本定理
3.3.2 基本规则
1. 代入规则 在任一含有变量A的逻辑等式中，如果用另一个逻辑函
F2 A BC D E
F2 A B C D E
F2 ABCDE