2012年江苏省高考数学一轮训练试题考点6：解析几何
2012高考数学怎样解答高考解析几何题
2012高考数学怎样解答高考解析几何题
平面解析几何研究的内容是曲线的方程和方程的曲线，其核心是通过坐标系将曲线和方程联系起来，实现二者的双向转化.作为高中知识的主干内容，它在高考中占有重要的位置.主要考查点为：求曲线的轨迹方程，求最值问题，求参数的取值范围，圆锥曲线的切线，定点、定值问题，存在性问题等
●解题策略
直线与圆锥曲线的综合问题一直是高考考查的热点，其解答的关键是坐标化，难在代数运算和代数推
理上，且字母多，难消元，其解答的策略是：
1. 没有图，不妨画个图形，便于直观思考
2. “建坐标系，设点坐标，列关系式，化简，验证”是求动点轨迹的通法
3. 消元转化为一元二次方程，判别式、根与系数关系、中点公式、弦长公式等是常常要考虑的
4. 多多感悟“设、列、解”．设什么？点坐标，曲线方程，角度，线段长；“列”的前提是找关系；“解”就是要转化，要化简，要变形，变形要有目标，要有方向性，有根据，更要简捷、准确
5. 紧扣题意和曲线的定义，联系图形、坐标与方程之间的关系，数形结合
●范例选讲
高考数学复习一定要做好基础知识梳理，比如解析几何知识： 圆锥曲线的定义；直线和圆的方程；转化标准方程，从标准方程中读出特征量；通过方程联想图形，通过图形联想方程.在大脑里形成自己的知识结构、知识网络，提炼一些解题方法、解题策略，从数学思想方法的高度去理解怎样学会解答解析几何题.“建立坐标系，设点坐标、设曲线方程，列关系，化简求解，反思验证”是常规的具体的解题通道，可以简化为“建，设，列，解，验”五字法,望读者能在自己的解题过程中，多加实践、总结、回味和体验。
2012年江苏省高考数学真题(解析版)
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题～第 20 题，共 20 题） 。本卷满分为 160 分。考试 时间为 120 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置 作答一律无效。 5．如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
2 1 2
1≤ x 0 ， ax 1， 其中 a ， 若 f ( x) bx 2 bR ． ， 0 ≤ x ≤ 1， x 1
【答案】 10 。 【考点】周期函数的性质。
1 f 2
3 则 a 3b 的值为 f ， 2
【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 【解析】由
．
x2 y2 2 1 得 a = m，b = m 2 4，c = m m 2 4 。 m m 4
c m m2 4 ∴ e= = = 5 ，即 m 2 4m 4=0 ，解得 m =2 பைடு நூலகம் a m
9．如图，在矩形 ABCD 中， AB 2 ， BC 2 ，点 E 为 BC 的中点，
【答案】 0， 6 。 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
x > 0 x > 0 x > 0 0< x 6 。 1 1 2= 6 1 2log 6 x 0 log 6 x x 6 2
2012年江苏省高考数学试卷答案与解析
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）（2012•江苏）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∪B={1，2，4，6}．考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由题意，A，B两个集合的元素已经给出，故由并集的运算规则直接得到两个集合的并集即可解答：解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}，∴A∪B={1，2，4，6}故答案为{1，2，4，6}点评：本题考查并集运算，属于集合中的简单计算题，解题的关键是理解并的运算定义2．（5分）（2012•江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取15名学生．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据三个年级的人数比，做出高二所占的比例，用要抽取得样本容量乘以高二所占的比例，得到要抽取的高二的人数．解答：解：∵高一、高二、高三年级的学生人数之比为3：3：4，∴高二在总体中所占的比例是=，∵用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取，故答案为：15点评：本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例，这就是在抽样过程中被抽到的概率，本题是一个基础题．3．（5分）（2012•江苏）设a，b∈R，a+bi=（i为虚数单位），则a+b的值为8．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意，可对复数代数式分子与分母都乘以1+2i，再由进行计算即可得到a+bi=5+3i，再由复数相等的充分条件即可得到a，b的值，从而得到所求的答案解答：解：由题，a，b∈R，a+bi=所以a=5，b=3，故a+b=8故答案为8点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭，复数的四则运算是复数考查的重要内容，要熟练掌握，复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁，解题时要注意运用它进行转化．4．（5分）（2012•江苏）图是一个算法流程图，则输出的k的值是5．考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：利用程序框图计算表达式的值，判断是否循环，达到满足题目的条件，结束循环，得到结果即可．解答：解：1﹣5+4=0＞0，不满足判断框．则k=2，22﹣10+4=﹣2＞0，不满足判断框的条件，则k=3，32﹣15+4=﹣2＞0，不成立，则k=4，42﹣20+4=0＞0，不成立，则k=5，52﹣25+4=4＞0，成立，所以结束循环，输出k=5．故答案为：5．点评：本题考查循环框图的作用，考查计算能力，注意循环条件的判断．5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为（0，]．考点：对数函数的定义域．专题：函数的性质及应用．分析：根据开偶次方被开方数要大于等于0，真数要大于0，得到不等式组，根据对数的单调性解出不等式的解集，得到结果．解答：解：函数f（x）=要满足1﹣2≥0，且x＞0∴，x＞0∴，x＞0，∴，x＞0，∴0，故答案为：（0，]点评：本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题，在解题时一般遇到，开偶次方时，被开方数要不小于0，；真数要大于0；分母不等于0；0次方的底数不等于0，这种题目的运算量不大，是基础题．6．（5分）（2012•江苏）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是．考点：等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．专题：等差数列与等比数列；概率与统计．分析：先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解解答：解：由题意成等比数列的10个数为：1，﹣3，（﹣3）2，（﹣3）3…（﹣3）9其中小于8的项有：1，﹣3，（﹣3）3，（﹣3）5，（﹣3）7，（﹣3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是P=故答案为：点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题7．（5分）（2012•江苏）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A﹣BB1D1D的体积为6cm3．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：过A作AO⊥BD于O，求出AO，然后求出几何体的体积即可．解答：解：过A作AO⊥BD于O，AO是棱锥的高，所以AO==，所以四棱锥A﹣BB1D1D的体积为V==6．故答案为：6．点评：本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力与计算能力．8．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为2．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程得y2的分母m2+4＞0，所以双曲线的焦点必在x轴上．因此a2=m＞0，可得c2=m2+m+4，最后根据双曲线的离心率为，可得c2=5a2，建立关于m的方程：m2+m+4=5m，解之得m=2．解答：解：∵m2+4＞0∴双曲线的焦点必在x轴上因此a2=m＞0，b2=m2+4∴c2=m+m2+4=m2+m+4∵双曲线的离心率为，∴，可得c2=5a2，所以m2+m+4=5m，解之得m=2故答案为：2点评：本题给出含有字母参数的双曲线方程，在已知离心率的情况下求参数的值，着重考查了双曲线的概念与性质，属于基础题．9．（5分）（2012•江苏）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解答：解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f （x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为﹣10．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是定义在R上且周期为2的函数，由f（x）的表达式可得f（）=f（﹣）=1﹣a=f（）=；再由f（﹣1）=f（1）得2a+b=0，解关于a，b的方程组可得到a，b的值，从而得到答案．解答：解：∵f（x）是定义在R上且周期为2的函数，f（x）=，∴f（）=f（﹣）=1﹣a，f（）=；又=，∴1﹣a=①又f（﹣1）=f（1），∴2a+b=0，②由①②解得a=2，b=﹣4；∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查函数的周期性，考查分段函数的解析式的求法，着重考查方程组思想，得到a，b的方程组并求得a，b的值是关键，属于中档题．11．（5分）（2012•江苏）设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下，求2α+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．12．（5分）（2012•江苏）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是．考点：圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：由于圆C的方程为（x﹣4）2+y2=1，由题意可知，只需（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx ﹣2有公共点即可．解答：解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：（x﹣4）2+y2=1与直线y=kx﹣2有公共点即可．设圆心C（4，0）到直线y=kx﹣2的距离为d，则d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案为：．点评：本题考查直线与圆的位置关系，将条件转化为“（x﹣4）2+y2=4与直线y=kx﹣2有公共点”是关键，考查学生灵活解决问题的能力，属于中档题．13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为9．考点：一元二次不等式的应用．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m，m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可．解答：解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），即为x2+ax+＜c解集为（m，m+6），则x2+ax+﹣c=0的两个根为m，m+6∴|m+6﹣m|==6解得c=9故答案为：9点评：本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了分析求解的能力和计算能力，属于中档题．14．（5分）（2012•江苏）已知正数a，b，c满足：5c﹣3a≤b≤4c﹣a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是[e，7]．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．专题：导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：由题意可求得≤≤2，而5×﹣3≤≤4×﹣1，于是可得≤7；由c ln b≥a+c ln c可得0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值，于是问题解决．解答：解：∵4c﹣a≥b＞0∴＞，∵5c﹣3a≤4c﹣a，∴≤2．从而≤2×4﹣1=7，特别当=7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2．又clnb≥a+clnc，∴0＜a≤cln，从而≥，设函数f（x）=（x＞1），∵f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．∴f（x）min=f（e）==e．等号当且仅当=e，=e成立．代入第一个不等式知：2≤=e≤3，不等式成立，从而e 可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1．从而的取值范围是[e，7]双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用，得到≥，通过构造函数求的最小值是关键，也是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2012•江苏）在△ABC中，已知．（1）求证：tanB=3tanA；（2）若cosC=，求A的值．考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c 化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；（2）由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC 的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan（A+B）的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：（1）∵•=3•，∴cbcosA=3cacosB，即bcosA=3acosB，由正弦定理=得：sinBcosA=3sinAcosB，又0＜A+B＜π，∴cosA＞0，cosB＞0，在等式两边同时除以cosAcosB，可得tanB=3tanA；（2）∵cosC=，0＜C＜π，sinC==，∴tanC=2，则tan[π﹣（A+B）]=2，即tan（A+B）=﹣2，∴=﹣2，将tanB=3tanA代入得：=﹣2，整理得：3tan2A﹣2tanA﹣1=0，即（tanA﹣1）（3tanA+1）=0，解得：tanA=1或tanA=﹣，又cosA＞0，∴tanA=1，又A为三角形的内角，则A=．点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．16．（14分）（2012•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；立体几何．分析：（1）根据三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得到CC1⊥平面ABC，从而AD⊥CC1，结合已知条件AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线，得到AD⊥平面BCC1B1，从而平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）先证出等腰三角形△A1B1C1中，A1F⊥B1C1，再用类似（1）的方法，证出A1F⊥平面BCC1B1，结合AD⊥平面BCC1B1，得到A1F∥AD，最后根据线面平行的判定定理，得到直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．点评：本题以一个特殊的直三棱柱为载体，考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点，属于中档题．17．（14分）（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．考点：函数模型的选择与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）求炮的最大射程即求y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．解答：解：（1）在y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）中，令y=0，得kx﹣（1+k2）x2=0．由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0．∴，当且仅当k=1时取等号．∴炮的最大射程是10千米．（2）∵a＞0，∴炮弹可以击中目标等价于存在k＞0，使ka﹣（1+k2）a2=3.2成立，即关于k的方程a2k2﹣20ak+a2+64=0有正根．由韦达定理满足两根之和大于0，两根之积大于0，故只需△=400a2﹣4a2（a2+64）≥0得a≤6．此时，k=＞0．∴当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．点评：本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出导函数，根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得f（x）=x3﹣3x，求出g′（x），令g′（x）=0，求解讨论即可．（3）先分|d|=2和|d|＜2讨论关于的方程f（x）=d的情况；再考虑函数y=h（x）的零点．解答：解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f′（x）=3x2+2ax+b．∵1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，∴f′（1）=3﹣2a+b=0，f′（﹣1）=3+2a+b=0，解得a=0，b=﹣3．（2）由（1）得，f（x）=x3﹣3x，∴g′（x）=f（x）+2=x3﹣3x+2=（x﹣1）2（x+2）=0，解得x1=x2=1，x3=﹣2．∵当x＜﹣2时，g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g′（x）＞0，∴﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，∴1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）令f（x）=t，则h（x）=f（t）﹣c．先讨论关于x的方程f（x）=d根的情况，d∈[﹣2，2]当|d|=2时，由（2 ）可知，f（x）=﹣2的两个不同的根为1和一2，注意到f（x）是奇函数，∴f（x）=2的两个不同的根为﹣1和2．当|d|＜2时，∵f（﹣1）﹣d=f（2）﹣d=2﹣d＞0，f（1）﹣d=f（﹣2）﹣d=﹣2﹣d＜0，∴一2，﹣1，1，2 都不是f（x）=d 的根．由（1）知，f′（x）=3（x+1）（x﹣1）．①当x∈（2，+∞）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数，从而f（x）＞f（2）=2．此时f（x）=d在（2，+∞）无实根．②当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，于是f（x）是单调增函数．又∵f（1）﹣d＜0，f（2）﹣d＞0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（1，2 ）内有唯一实根．同理，在（一2，一1）内有唯一实根．③当x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，于是f（x）是单调减函数．又∵f（﹣1）﹣d＞0，f（1）﹣d＜0，y=f（x）﹣d的图象不间断，∴f（x）=d在（一1，1 ）内有唯一实根．因此，当|d|=2 时，f（x）=d 有两个不同的根x1，x2，满足|x1|=1，|x2|=2；当|d|＜2时，f（x）=d 有三个不同的根x3，x4，x5，满足|x i|＜2，i=3，4，5．现考虑函数y=h（x）的零点：（i ）当|c|=2时，f（t）=c有两个根t1，t2，满足|t1|=1，|t2|=2．而f（x）=t1有三个不同的根，f（x）=t2有两个不同的根，故y=h（x）有5 个零点．（i i ）当|c|＜2时，f（t）=c有三个不同的根t3，t4，t5，满足|t i|＜2，i=3，4，5．而f（x）=t i有三个不同的根，故y=h（x）有9个零点．综上所述，当|c|=2时，函数y=h（x）有5个零点；当|c|＜2时，函数y=h（x）有9 个零点．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．19．（16分）（2012•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e，）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．（i）若AF1﹣BF2=，求直线AF1的斜率；（ii）求证：PF1+PF2是定值．直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．考点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e，），都在椭圆上列式求解．析：（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my，与椭圆方程联立，求出|AF1|、|BF2|，根据已知条件AF1﹣BF2=，用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行，点B在椭圆上知，可得，，由此可求得PF1+PF2是定值．解答：（1）解：由题设知a2=b2+c2，e=，由点（1，e）在椭圆上，得，∴b=1，c2=a2﹣1．由点（e，）在椭圆上，得∴，∴a2=2∴椭圆的方程为．（2）解：由（1）得F1（﹣1，0），F2（1，0），又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my．设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，∴由，可得（m2+2）﹣2my1﹣1=0．∴，（舍），∴|AF 1|=×|0﹣y 1|=①同理|BF 2|=②（i ）由①②得|AF 1|﹣|BF 2|=，∴，解得m 2=2．∵注意到m ＞0，∴m=． ∴直线AF 1的斜率为． （ii ）证明：∵直线AF 1与直线BF 2平行，∴，即． 由点B 在椭圆上知，，∴． 同理．∴PF 1+PF 2==由①②得，，， ∴PF 1+PF 2=．∴PF 1+PF 2是定值．点评： 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．20．（16分）（2012•江苏）已知各项均为正数的两个数列{a n }和{b n }满足：a n+1=，n ∈N *，（1）设b n+1=1+，n∈N*，求证：数列是等差数列；（2）设b n+1=•，n∈N*，且{a n}是等比数列，求a1和b1的值．考点：数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意可得，a n+1===，从而可得，可证（2）由基本不等式可得，，由{a n}是等比数列利用反证法可证明q==1，进而可求a1，b1解答：解：（1）由题意可知，a n+1===∴从而数列{}是以1为公差的等差数列（2）∵a n＞0，b n＞0∴从而（*）设等比数列{a n}的公比为q，由a n＞0可知q＞0下证q=1若q＞1，则，故当时，与（*）矛盾0＜q＜1，则，故当时，与（*）矛盾综上可得q=1，a n=a1，所以，∵∴数列{b n}是公比的等比数列若，则，于是b 1＜b2＜b3又由可得∴b1，b2，b3至少有两项相同，矛盾∴，从而=∴点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用，解题的关键是反证法的应用．三、附加题(21选做题：任选2小题作答，22、23必做题）（共3小题，满分40分）21．（20分）（2012•江苏）A．[选修4﹣1：几何证明选讲]如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使BD=DC，连接AC，AE，DE．求证：∠E=∠C．B．[选修4﹣2：矩阵与变换]已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值．C．[选修4﹣4：坐标系与参数方程]在极坐标中，已知圆C经过点P（，），圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．D．[选修4﹣5：不等式选讲]已知实数x，y满足：|x+y|＜，|2x﹣y|＜，求证：|y|＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法(选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：A．要证∠E=∠C，就得找一个中间量代换，一方面考虑到∠B，∠E是同弧所对圆周角，相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．B．由矩阵A的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A，从而求出矩阵A的特征值．C．根据圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点P（，），求出圆的半径，从而得到圆的极坐标方程．D．根据绝对值不等式的性质求证．解答：A．证明：连接AD．∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）．∴AD⊥BD（垂直的定义）．又∵BD=DC，∴AD是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）．∴AB=AC（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．∴∠B=∠C（等腰三角形等边对等角的性质）．又∵D，E 为圆上位于AB异侧的两点，∴∠B=∠E（同弧所对圆周角相等）．∴∠E=∠C（等量代换）．B、解：∵矩阵A的逆矩阵，∴A=∴f（λ）==λ2﹣3λ﹣4=0∴λ1=﹣1，λ2=4C、解：∵圆心为直线ρsin（θ﹣）=﹣与极轴的交点，∴在ρsin（θ﹣）=﹣中令θ=0，得ρ=1．∴圆C的圆心坐标为（1，0）．∵圆C 经过点P（，），∴圆C的半径为PC=1．∴圆的极坐标方程为ρ=2cosθ．D、证明：∵3|y|=|3y|=|2（x+y）﹣（2x﹣y）|≤2|x+y|+|2x﹣y|，|x+y|＜，|2x﹣y|＜，∴3|y|＜，∴点评：本题是选作题，综合考查选修知识，考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式证明，综合性强22．（10分）（2012•江苏）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ=1．（1）求概率P（ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E（ξ）．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率．（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出相应的概率，从而求出随机变量的分布列与数学期望．解答：解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8对相交棱，∴P（ξ=0）=．（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，∴P（ξ=）=，P（ξ=1）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=）=．∴随机变量ξ的分布列是：ξ0 1P∴其数学期望E（ξ）=1×+=．点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列与期望，求概率是关键．23．（10分）（2012•江苏）设集合P n={1，2，…，n}，n∈N*．记f（n）为同时满足下列条件的集合A的个数：①A⊆P n；②若x∈A，则2x∉A；③若x∈A，则2x∉A．（1）求f（4）；（2）求f（n）的解析式（用n表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（1）由题意可得P4={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}，故可求f（4）（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数；若m∉A，则x∈A⇔k 为奇数，可求解答：解（1）当n=4时，P4={1，2，3，4}，符合条件的集合A为：{2}，{1，4}，{2，3}，{1，3，4}故f（4）=4（2）任取偶数x∈p n，将x除以2，若商仍为偶数，再除以2…，经过k次后，商必为奇数，此时记商为m，于是x=m•2k，其中m为奇数，k∈N*由条件可知，若m∈A，则x∈A，⇔k为偶数若m∉A，则x∈A⇔k为奇数于是x是否属于A由m是否属于A确定，设Q n是P n中所有的奇数的集合因此f（n）等于Q n的子集个数，当n为偶数时（或奇数时），P n中奇数的个数是（或）∴点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用，解题的关键是准确应用题目中的定义。
2012江苏高考数学考试及答案解析word版
2012江苏高考数学考试及答案解析word版————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
参考公式： 棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相．．．．应位置上．．．．． 1. 已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ．答案：{}1246,,,2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生．答案：153. 设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 答案：84. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．（第4答案：55. 函数6()12log f x x =-的定义域为 ▲ ．答案：(06,⎤⎦6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 答案：357.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB AD cm ==，12AA cm =，则四棱锥11A BB D D-的体积为 ▲ 3cm ． 答案：68. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为5，则m 的值为 ▲ ． 答案：29. 如图，在矩形ABCD 中，2AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若2AB AF =，则AE BF 的值是 ▲ ． 答案：210. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ． 答案：10-11. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 212απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ▲ ．答案：17250A BC EF D（第9（第712. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 答案：43k =13. 已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ． 答案：914. 已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ． 答案：[]7e, 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1） 求证：tan 3tan B A =； （2） 若5cos 5C =，求A 的值． 解： （1）∵3AB AC BA BC =∴3AB AC cos A BA BC cos B = ∴3AC cos A BC cos B =由正弦定理得：AC BC sin Bsin A=∴3sin B cos A sin A cos B = ∴3tan B tan A = （2）∵55cos C =，且0C π<< ∴255sinC =∴2tanC = ∴()2tan A B +=- 又∵3tan B tan A =∴23421113tan A tan B tan A tan A tan Atan Atan B tan A tan B tan A++-===--- ∴1tan A =或13-∵3tan B tan A =∴A ，B 必为锐角，否则A ，B 同时为钝角，这与三角形的内角和小于180矛盾 ∴0tan A > ∴1tan A = ∴4A π=16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DEF ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1） 平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2） 直线1//A F 平面ADE ． 证明： （1）∵三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱∴1CC ABC ⊥平面 ∵AD ABC ⊂平面 ∴1CC AD ⊥ ∵AD DE ⊥，且1DE CC E =∴11AD BCC B ⊥平面 ∵AD ABC ⊂平面∴11ADE BCC B ⊥平面平面 （2）∵11AD BCC B ⊥平面，11BC BCC B ⊂平面∴AD BC ⊥∵直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC = ∴AB AC = ∴D 是BC 的中点 ∵F 是11B C 的中点 ∴1DFAA ，且1DF AA =∴四边形1AA FD 是平行四边形 ∴1A FAD∵1D F A A E ⊄平面，1D F A A E ⊂平面 ∴1//A F 平面ADE17. （本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1） 求炮的最大射程；（2） 设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解： （1）∵炮位于坐标原点，炮弹发射后的轨迹方程为221(1)(0)20y kx k x k =-+>，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标∴令0y =，则炮的射程可表示为()21120k x k =+∴炮的最大射程即x 的最大值 由题意得0x >，0k > ∴()2202010112120k x km k k k==≤=++，当且仅当2k =时，等号成立 ∴炮的最大射程是10km 。
2012年高考数学江苏卷解析版
2012年江苏省高考数学试卷解析（全卷满分160分，考试时间120分钟）参考公式：棱锥的体积13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ． 【答案】{}1,2,4,6． 【考点】集合的概念和运算．【分析】由集合的并集意义得{}1,2,4,6A B = ．2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15． 【考点】分层抽样．【解析】分层抽样又称分类抽样或类型抽样．将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性．因此，由350=15334⨯++知应从高二年级抽取15名学生．3．设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ．【答案】8．【考点】复数的运算和复数的概念． 【分析】由117ii 12i a b -+=-得()()()()117i 12i 117i 1115i 14i ===53i 12i 12i 12i 14a b -+-+++=+--++，所以=5=3a b ，，=8a b + ．4．下图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ．【答案】5． 【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中变量值变化如下表：是否继续循环 k 2k 5k 4-+循环前 0 0 第一圈 是 1 0 第二圈 是 2 －2 第三圈 是 3 －2 第四圈 是 4 0 第五圈 是 5 4 第六圈否输出5∴最终输出结果k=5．5．函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ▲ ．【答案】(0．【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式． 【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎪⎪⎩⎩． 6．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】35． 【考点】等比数列，概率．【解析】∵以1为首项，3-为公比的等比数列的10个数为1，－3，9，-27，···其中有5个负数，1个正数1计6个数小于8，∴从这10个数中随机抽取一个数，它小于8的概率是63=105． 7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3． 【答案】6．【考点】正方形的性质，棱锥的体积．【解析】∵长方体底面ABCD 是正方形，∴△ABD中BD cm ，BD（它也是11A BB D D -中11BB D D 上的高）． ∴四棱锥11A BB D D -的体积为123⨯．由 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为 ▲ ． 【答案】2．【考点】双曲线的性质．【解析】由22214x y m m -=+得a b c∴=c e a 244=0m m -+，解得=2m ．9．如图，在矩形ABCD中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB AF AE BF的值是 ▲ ．．【考点】向量的计算，矩形的性质，三角形外角性质，和的余弦公式，锐角三角函数定义．【解析】由AB AFcos AB AF FAB ∠= cos =AF FAB DF ∠．∵AB =DF =1DF =．∴1CF =． 记AE BF和之间的夹角为,AEB FBC θαβ∠=∠=，，则θαβ=+． 又∵2BC =，点E 为BC 的中点，∴1BE =．∴()()=cos =cos =cos cos sin sin AE BF AE BF AE BF AE BF θαβαβαβ+-)=cos cos sin sin =121AE BF AE BF BE BC AB CF αβαβ--=⨯本题也可建立以, AB AD 为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解．10．设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ．【答案】10-．【考点】周期函数的性质．【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，即21=2b a +-+①． 又∵311=1222f f a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴141=23b a +-+②． 联立①②，解得，=2. =4a b -．∴3=10a b +-．11．设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(π+a 的值为 ▲ ．【考点】同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数． 【解析】∵α为锐角，即02<<πα，∴2=66263<<πππππα++． ∵4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴3sin 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．∴7cos 2325απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴sin(2)=sin(2)=sin 2cos cos 2sin 12343434a a a a πππππππ⎛⎫⎛⎫++-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭247=2525- 12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】43． 【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离【解析】∵圆C 的方程可化为：()2241x y -+=，∴圆C 的圆心为(4,0)，半径为1．∵由题意，直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有 公共点；∴存在0x R ∈，使得11AC ≤+成立，即min 2AC ≤．∵min AC 即为点C 到直线2y kx =-2≤，解得403k ≤≤． ∴k 的最大值是43． 13．已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．【答案】9．【考点】函数的值域，不等式的解集．【解析】由值域为[0)+∞，，当2=0x ax b ++时有240a b =-=V ，即24a b =，∴2222()42a a f x x ax b x ax x ⎛⎫=++=++=+ ⎪⎝⎭． ∴2()2a f x x c ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭解得2a x +<，22a a x <．∵不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，∴)()622aa -=，解得9c =． 14．已知正数abc ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ． 【答案】[] 7e ，． 【考点】可行域．【解析】条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，可化为：354a c a bc c a bc cb e c⎧⋅+≥⎪⎪⎪+≤⎨⎪⎪⎪≥⎩．设==a bx y c c，，则题目转化为： 已知x y ，满足35400xx y x y y ex >y >+≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪⎩，，求y x 的取值范围． 作出（x y ，）所在平面区域（如图）．求出=x y e 的切线的斜率e ，设过切点()00P x y ，的切线为()=0y ex m m +≥， 则00000==y ex m m e x x x ++，要使它最小，须=0m ． ∴yx的最小值在()00P x y ，处，为e ．此时，点()00P x y ，在=x y e 上,A B 之间． 当（x y ，）对应点C 时， =45=205=7=7=534=2012y x y x yy x y x y xx --⎧⎧⇒⇒⇒⎨⎨--⎩⎩， ∴yx的最大值在C 处，为7． ∴yx的取值范围为[] 7e ，，即b a 的取值范围是[] 7e ，．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（2012年江苏省14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值． 【答案】解：（1）∵3AB AC BA BC =，∴cos =3cos AB AC A BA BC B ，即cos =3cos AC A BC B ．由正弦定理，得=sin sin AC BCB A，∴sin cos =3sin cos B A A B ． 又∵0<A B <π+，∴cos 0 cos 0A >B >，．∴sin sin =3cos cos B AB A即tan 3tan B A =．（2）∵ cos 0C <C <π=，∴sin C =tan 2C =． ∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦，即()tan 2A B +=-．∴tan tan 21tan tan A BA B+=-- ．由 （1） ，得24tan 213tan AA=--，解得1tan =1 tan =3A A -，． ∵cos 0A >，∴tan =1A ．∴=4A π．【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形．【解析】（1）先将3AB AC BA BC =表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明．（2）由cos C =可求tan C ，由三角形三角关系，得到()tan A B π⎡-+⎤⎣⎦，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A 的值．16．（2012年江苏省14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．【答案】证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC ． 又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥．又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111BCC B CC DE E = ，，∴AD ⊥平面11BCC B ． 又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B ． （2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥． 又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥．又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，1111CC B C C = ，∴1A F ⊥平面11BCB C ． 由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD ．又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE 【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系．【解析】（1）要证平面ADE ⊥平面11BCC B ，只要证平面ADE 上的AD ⊥平面11BCC B 即可．它可由已知111ABC A B C -是直三棱柱和AD D E ⊥证得．（2）要证直线1//A F 平面ADE ，只要证1A F ∥平面ADE 上的AD 即可．17．（2012年江苏省14分）如图，建立平面直角坐标系xoy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时， 炮弹可以击中它？请说明理由．【答案】解：（1）在221(1)(0)20y kx k x k =-+>中，令0y =，得221(1)=020kx k x -+． 由实际意义和题设条件知00x >k >，． ∴2202020===10112k x k k k≤++，当且仅当=1k 时取等号． ∴炮的最大射程是10千米．（2）∵0a >，∴炮弹可以击中目标等价于存在0k >，使221(1)=3.220ka k a -+成立， 即关于k 的方程2222064=0a k ak a -++有正根． 由()()222=204640a a a ∆--+≥得6a ≤．此时，0k （不考虑另一根）． ∴当a 不超过6千米时，炮弹可以击中目标． 【考点】函数、方程和基本不等式的应用． 【解析】（1）求炮的最大射程即求221(1)(0)20y kx k x k =-+>与x 轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解．18．（2012年江苏省16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点．已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数．【答案】解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++． ∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点，∴ (1)32=0f'a b =++，(1)32=0f'a b -=-+，解得==3a b -0，． （2）∵ 由（1）得，3()3f x x x =- ，∴()()23()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得123==1=2x x x -，． ∵当2x <-时，()0g x <'；当21<x <-时，()0g x >'， ∴=2x -是()g x 的极值点．∵当21<x <-或1x >时，()0g x >'，∴ =1x 不是()g x 的极值点． ∴()g x 的极值点是－2．（3）令()=f x t ，则()()h x f t c =-．先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈-当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为I 和一2 ，注意到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和2．当2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，(1)=(2)=20f d f d d <----- ， ∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根． 由（1）知()()()=311f'x x x +-．① 当()2x ∈+∞，时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f ．此时()=f x d 在()2+∞，无实根．② 当()1 2x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数． 又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根．同理，()=f x d 在（一2 ，一I ）内有唯一实根． ③ 当()1 1x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数． 又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根．因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，；当2d < 时()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x <i ，．现考虑函数()y h x =的零点：( i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，．而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个零点． ( 11 ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足2 =3, 4, 5i t <i ，． 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点．综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()y h x =有9 个零点． 【考点】函数的概念和性质，导数的应用．【解析】（1）求出)(x f y =的导数，根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可．（2）由（1）得，3()3f x x x =-，求出()g x '，令()=0g x '，求解讨论即可．（3）比较复杂，先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况；再考虑函数()y h x =的零点．19．（2012年江苏省16分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若12AF BF -1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．【答案】解：（1）由题设知，222==ca b c e a+，，由点(1)e ，在椭圆上，得2222222222222222111=1===1e c b c a b a a b b a b a a b +=⇒+⇒+⇒⇒，∴22=1c a -．由点e ⎛ ⎝⎭在椭圆上，得2222242222441311144=0=214e c a a a a a b a a -⎝⎭⎝⎭+=⇒+=⇒+=⇒-+⇒ ∴椭圆的方程为2212x y +=．（2）由（1）得1(10)F -，，2(10)F ，，又∵1AF ∥2BF ， ∴设1AF 、2BF 的方程分别为=1=1my x my x +-，，()()11221200A x y B x y y >y >，，，，，．∴()221221111111221=022=1x y m y my y m my x ⎧+=⎪⇒+--⇒⎨+⎪+⎩． ∴)21212m AF m ++=+．①同理，)22212m BF m +-+．②（i ）由①②得，12AF BF -=得2m =2． ∵注意到0m >，∴m ． ∴直线1AF 的斜率为1m ． （ii ）证明：∵1AF ∥2BF ，∴211BF PB PF AF =，即2121111111BF PB PF BF AF PBPF AF PF AF +++=+⇒=． ∴11112=AF PF BF AF BF +．由点B 在椭圆上知，12BFBF +=()11212=AF PFBF AF BF+．同理．()22112=BF PF AF AF BF +．∴()()12212211212122+=AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF +=+++由①②得，)2121=2m AF BF m +++，221=2mAF BF m ++ ，∴12+PF PF ∴12PF PF +是定值．【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式．【解析】（1）根据椭圆的性质和已知(1)e ，和e ⎛⎝⎭都在椭圆上列式求解． （2）根据已知条件12AF BF -=，用待定系数法求解． 20．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：221nn n n n b a b a a ++=+，*N n ∈，（1）设n n n a b b +=+11，*N n ∈，求证：数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列； （2）设nnn a b b ∙=+21，*N n ∈，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值． 【答案】解：（1）∵n n n a b b +=+11，∴1n a +=∴11n n b a ++=()2222111*n n n n n n b b b n N a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是以1 为公差的等差数列．（2）∵00n n a >b >，，∴()()22222n n n n n n a b a b <a b +≤++．∴11n <a +=≤（﹡） 设等比数列{}n a 的公比为q ，由0n a >知0q >，下面用反证法证明=1q若1,q >则212=a a <a q ≤1log q n >时，11n n a a q += 若01,<q <则212=1a a >a >q ，∴当11log q n >a 时，111n n a a q <+=，与（﹡）矛盾． ∴综上所述，=1q ．∴()1*n a a n N =∈，∴11<a又∵11n n n n b b b a +()*n N ∈，∴{}n b1若1a11>，于是123b <b <b ． 又由221nn n n n b a b a a ++=+即1a11n b a -．∴123b b b ，，中至少有两项相同，与123b <b <b矛盾．∴1a∴1n b -∴ 12=a b【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法． 【解析】（1）根据题设221nn n n n b a b a a ++=+和n n n a b b +=+11，求出11n n ba ++，从而证明22111n n n n b b a a ++⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而得证． （2）根据基本不等式得到11n <a +={}n a 的公比=1q ．从而得到()1*n a a n N =∈的结论，再由11n n nn b b b a +知{}n b 1用反证法求出12=a b ]数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4 - 1：几何证明选讲] （2012年江苏省10分）如图，AB 是圆O 的直径，,D E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD DC =，连结,,AC AE DE ． 求证：E C ∠=∠．【答案】证明：连接AD ．∵AB 是圆O 的直径，∴090ADB ∠=（直径所对的圆周角是直角）． ∴AD BD ⊥（垂直的定义）．又∵BD DC =，∴AD 是线段BC 的中垂线（线段的中垂线定义）． ∴AB AC =（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）． ∴B C ∠=∠（等腰三角形等边对等角的性质）． 又∵,D E 为圆上位于AB 异侧的两点， ∴B E ∠=∠（同弧所对圆周角相等）． ∴E C ∠=∠（等量代换）．【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质．【解析】要证E C ∠=∠，就得找一个中间量代换，一方面考虑到B E ∠∠和是同弧所对圆周角，相等；另一方面由AB 是圆O 的直径和BD DC =可知AD 是线段BC 的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到B C ∠=∠．从而得证． 本题还可连接OD ，利用三角形中位线来求证B C ∠=∠．B ．[选修4 - 2：矩阵与变换] （2012年江苏省10分）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．【答案】解：∵1-A A =E ，∴()11--A =A ．∵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，∴()11 2 32 1--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A =A ． ∴矩阵A 的特征多项式为()22 3==342 1 f λλλλλ--⎡⎤--⎢⎥--⎣⎦． 令()=0f λ，解得矩阵A 的特征值12=1=4λλ-，． 【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值．【解析】由矩阵A 的逆矩阵，根据定义可求出矩阵A ，从而求出矩阵A 的特征值． C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程] （2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()4Pπ，，圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【答案】解：∵圆C圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点，∴在sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭中令=0θ，得1ρ=．∴圆C 的圆心坐标为（1，0）． ∵圆C 经过点()4Pπ，，∴圆C 的半径为PC =．∴圆C 经过极点．∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ． 【考点】直线和圆的极坐标方程．【解析】根据圆C 圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆C 经过点()4Pπ，求出圆C 的半径．从而得到圆C 的极坐标方程． D ．[选修4 - 5：不等式选讲] （2012年江苏省10分）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 【答案】证明：∵()()3||=|3|=|22|22y y x y x y x y x y ++-≤++-， 由题设11|||2|36x y x y +<-<，，∴1153||=366y <+．∴5||18y <． 【考点】绝对值不等式的基本知识．【解析】根据绝对值不等式的性质求证．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（2012年江苏省10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱， ∴共有238C 对相交棱．∴ 232128834(0)=6611C P C ξ⨯===．（2）若两条棱平行，则它们的距离为16对， ∴212661(6611P C ξ===，416(1)=1(0)(=111111P P P ξξξ=-=---． ∴随机变量ξ的分布列是：ξ1()P ξ411611 111∴其数学期望61()=11111E ξ⨯+【考点】概率分布、数学期望等基础知识．【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率(0)P ξ=．（2）6对，即可求出(P ξ，从而求出(1)P ξ=（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量ξ的分布列，求出其数学期望．23．（2012年江苏省10分）设集合{12}n P n =，，，…，*N n ∈．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数：①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若A C x n p ∈，则A C x np ∉2．（1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．【答案】解：（1）当=4n 时，符合条件的集合A 为：{}{}{}{}21,42,31,3,4，，，， ∴ (4)f =4．( 2 ）任取偶数n x P ∈，将x 除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过k 次以后．商必为奇数．此时记商为m ．于是=2k x m ，其中m 为奇数*k N ∈．由条件知．若m A ∈则x A k ∈⇔为偶数；若m A ∉，则x A k ∈⇔为奇数． 于是x 是否属于A ，由m 是否属于A 确定．设n Q 是n P 中所有奇数的集合．因此()f n 等于n Q 的子集个数． 当n 为偶数〔 或奇数）时，n P 中奇数的个数是2n （12n +）． ∴()()2122()=2nn n f n n +⎧⎪⎨⎪⎩为偶数为奇数． 【考点】集合的概念和运算，计数原理．【解析】（1）找出=4n 时，符合条件的集合个数即可． （2）由题设，根据计数原理进行求解．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学试题 解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ1．已知集合{124}A =，，，{246}B =，，，则A B = ▲ ． 【答案】 {}6,4,2,1【解析】根据集合的并集运算，两个集合的并集就是所有属于集合A 和集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，它们的元素是1 ，2，4，6，所以答案为{}6,4,2,1.【点评】本题重点考查集合的运算.容易出错的地方是审错题目，把并集运算看成交集运算.属于基本题，难度系数较小.2. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 ▲ 名学生． 【答案】15【解析】根据分层抽样的方法步骤，按照一定比例抽取，样本容量为50，那么根据题意得：从高三一共可以抽取人数为：1510350=⨯人，答案 15 . 【点评】本题主要考查统计部分知识：抽样方法问题，分层抽样的具体实施步骤.分层抽样也叫做“按比例抽样”，也就是说，要根据每一层的个体数的多少抽取，这样才能够保证样本的科学性与普遍性，这样得到的数据才更有价值、才能够较精确地反映总体水平，本题属于容易题，也是高考热点问题，希望引起重视．3. 设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ▲ ． 【答案】8【解析】据题i ii i i i i i bi a 3551525)21)(21()21)(711(21711+=+=+-+-=--=+，所以 ,3,5==b a 从而8=+b a .【点评】本题主要考查复数的基本运算和复数相等的条件运用，属于基本题，一定要注意审题，对于复数的除法运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，再者，需要注意分母实数化的实质.4．右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是 ▲ ． 【解析】将1k =带入0=0不满足， 将2k =带入40-<不满足， 将3k =带入20-<不满足， 将4k =带入00=不满足， 将5k =带入40>满足， 所以5k =.【答案】5【点评】置，以及循环体的构成，特别是注意最后一次循环的k 的常考题目，要准确理解循环结构流程图的执行过程．5. 函数()f x 的定义域为 ▲ ． 【答案】(【解析】 由题意6012log 0x x >⎧⎨-≥⎩，根据题意得到 0log 216≥-x ，同时，x ＞0 ，解得21log 6≤x ，解得6≤x ，又x ＞0，所以函数的定义域为：(. 【点评】本题主要考查函数基本性质、对数函数的单调性和图象的运用.本题容易忽略x ＞0这个条件，因此，要切实对基本初等函数的图象与性质有清晰的认识，在复习中应引起高度重视.本题属于基本题，难度适中.6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 ▲ ． 【答案】53 【解析】组成满足条件的数列为：.19683,6561,2187,729,243,81,27.9,3,1-----从中随机取出一个数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为53. 【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数，本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.7．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =， 则四棱锥11A BB D D -的体积为 ▲ cm 3．【答案】36cm【解析】如图所示，连结AC 交BD 于点O ，因为 平面D D BB ABCD 11⊥，又因为BD AC ⊥，所以，D D BB AC 11平面⊥，所以四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，根据题意3cm AB AD ==，所以223=AO ，又因为BD =，12cm AA =，故矩形D D BB 11的面积为2，从而四棱锥D D BB A 11-的体积316cm 32V =⨯=.【点评】本题重点考查空间几何体的体积公式的运用.本题综合性较强，结合空间中点线面的位置D A BC 11D 1A1B关系、平面与平面垂直的性质定理考查.重点找到四棱锥D D BB A 11-的高为AO ，这是解决该类问题的关键.在复习中，要对空间几何体的表面积和体积公式记准、记牢，并且会灵活运用.本题属于中档题，难度适中.8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为 ▲ ． .8. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+m 的值为 ▲ ． 【答案】2【解析】22450m m e mm ⎧++==⎪⎨⎪>⎩，解得2m = 【点评】本题考查双曲线的概念、标准方程和简单的几何性质.这是大纲中明确要求的，在对本部分复习时要注意：侧重于基本关系和基本理论性质的考查，从近几年的高考命题趋势看，几乎年年都有所涉及，要引起足够的重视.本题属于中档题，难度适中.9．如图，在矩形ABCD中，2AB BC ==，点E 为BC 的中点，点F 在边CD上，若AB AF AE BF的值是 ▲ ． 【解析1】以A 为坐标原点，AB,AD 所在直线分别为x 轴和y 轴建立 平面直角坐标系，则由题意知：点B ，点E),设点F (,)a b ，所以AB =u u u r ，(,)AF a b =u r； 由条件解得点(1,2)F ，所以AE =uu u r，()12BF -uu u r ；所以AE BF =uu u r g 【答案】2【解析2】根据题意,→→→+=DF BC AF 所以()cos0AB AF AB BC DF AB BC AB DF AB DF AB DF →→→→→→→→→→→→→→∙=∙+=∙+∙=∙=⋅︒==从而得到1=→DF ，又因为→→→→→→+=+=CF BC BF DF AD AE ,，所以2180cos 00)()(2=⋅+++=+∙+=∙︒→→→→→→→→→CF DF BC CF BC DF AD BF AE .【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，同时，结合平面向量的数量积运算解决．设法找到1=→DF ，这是本题的解题关键，本题属于中等偏难题目.10. 设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ．【答案】10- .【解析】因为1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x 的周期为2，所以)21()223()21(-=-=f f f ，根据0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，得到223-=+b a ，又)1()1(-=f f ，得到02,221=++=+-b a b a 即，结合上面的式子解得4,2-==b a ，所以103-=+b a .【点评】本题重点考查函数的性质、分段函数的理解和函数周期性的应用.利用函数的周期性将式子化简为)21()223()21(-=-=f f f 然后借助于分段函数的解析式解决.属于中档题，难度适中.11. 设α为锐角，若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)122sin(πα+的值为 ▲ ．【答案】50217 【解析】根据4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2571251621)6(cos 2)32cos(2=-⨯=-+=+παπα，因为0)32cos( πα+，所以 25242571)32sin(2=⎪⎭⎫⎝⎛-=+πα，因为502174sin )32cos(4cos )32sin(]4)32sin[()122sin(=+-+=-+=+ππαππαππαπα. 【点评】本题重点考查两角和与差的三角公式、角的灵活拆分、二倍角公式的运用.在求解三角函数值时，要注意角的取值情况，切勿出现增根情况.本题属于中档题，运算量较大，难度稍高.12. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ▲ ． 【答案】34 【解析】根据题意228150x y x +-+=将此化成标准形式为：()1422=+-y x ，得到，该圆的圆心为M ()0,4半径为1 ，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d ，即可，所以有21242≤+-=k k d ，化简得0)43(≤-k k 解得340≤≤k ，所以k 的最大值是34 . 【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、圆的一般式方程和标准方程的互化，考查知识较综合，考查转化思想在求解参数范围中的运用.本题的解题关键就是对若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，这句话的理解，只需要圆心M ()0,4到直线2y kx =-的距离11+≤d 即可，从而将问题得以转化.本题属于中档题，难度适中.13. 已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ． 【答案】9【解析】根据函数0)(2≥++=b ax x x f ，得到042=-b a ，又因为关于x 的不等式()f x c <，可化为：20x ax b c ++-<，它的解集为()6,+m m ，设函数c b ax x x f -++=2)(图象与x 轴的交点的横坐标分别为21,x x ，则6612=-+=-m m x x ，从而，36)(212=-x x ，即364)(21221=-+x x x x ，又因为a x x cb x x -=+-=2121,，代入得到 9=c .【点评】本题重点考查二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的关系，根与系数的关系.二次函数的图象与二次不等式的解集的对应关系要理清.属于中档题，难度不大.14. 已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ． 【答案】[]7,e【解析】根据条件4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，()cbc c b c a ln ln ln =-≤，得到 ln ,1ac b a be c c c≥≥>，得到c b <.又因为b a c ≤-35，所以35a b c +<，由已知a c b -≤4，得到4a b c +>.从而b b a ≤+4，解得31≥a b . 【点评】本题主要考查不等式的基本性质、对数的基本运算.关键是注意不等式的等价变形，做到每一步都要等价.本题属于中高档题，难度较大.二、解答题15. （本小题满分14分）在ABC ∆中，已知3AB AC BA BC =． （1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos C =求A 的值． 【命题意图】本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形，考查运算求解能力和推理论证能力.【解析】(1) ∵AB AC ∙ =3BA BC ∙，∴cos 3cos AB AC A BA BC B ∙=∙，即cos 3cos AC A BC B =，由正弦定理sin sin AC BCB A=，∴sin cos 3sin cos B A A B =， 又∵0A B π<+<，∴cos 0A >,cos 0B >，∴tan 3tan B A =，（2）∵c o s C =0C π<<，∴s i n C ∴t a n C =2，∴t a n [()]A B π-+=2，∴tan()2A B +=-，即tan tan 21tan tan A B A B +=--，由（1）得24tan 213tan A A =--，解得tan A =1或13-， ∵cos 0A >，∴tan 1A =，∴4A π=.【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中.16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点． 求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．【答案及解析】【命题意图】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力. 【证明】（1）∵111ABC A B C -是直棱柱， ∴1CC ⊥面ABC ， ∵AD ⊂面ABC ， ∴1CC ⊥AD ，∵AD ⊥DE ，1CC ⊂面11BCC B ，DE ⊂面11BCC B ，1CC DE E ⋂=， ∴AD ⊥面11BCC B ， ∵AD ⊂面ADE ， ∴面ADE ⊥面11BCC B . (2) ∵11A B =11AC ，F 为11B C 的中点， ∴1A F ⊥11B C ， ∵1CC ⊥面111ABC ，且1A F ⊂面111A B C ， ∴1CC ⊥1A F ， ∵1CC ⊂面11BCC B ，11B C ⊂面11BCC B ，1CC ∩11B C =1C ， ∴1A F ⊥面11BCC B ， 由（1）知，AD ⊥面11BCC B ， ∴1A F ∥AD. ∵AD ⊂面ADE ，1A F ⊄面ADE ， ∴1A F ∥面ADE..【点评】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查线面垂直、面面垂直的性质与判定，线面平行的判定.解题过程中注意中点这一条件的应用，做题规律就是“无中点、取中点，相连得到中位线”.本题属于中档题，难度不大，考查基础为主，注意问题的等价转化．17. （本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程221(1)(0)20y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．【答案及解析】能力.【解析】（1）令0y =，得221(1)020kx k x -+=，由实际意义和题设条件知0x >，0k >，故2201k x k =+=201k k+≤202=10，当且仅当k =1时取等号. (2) ∵a ＞0，∴炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2=221(1)20ka k a -+成立 ⇔关于k 的方程22220640a k ak a -++=有正根 ⇔判别式222(20)4(64)0a a a ∆=--+≥⇔6a ≤.∴当a 不超过6（千米）时，可击中目标.【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质以及求解函数最值问题.在利用导数求解函数的最值问题时，要注意增根的取舍，通过平面几何图形考查函数问题时，首先审清题目，然后建立数学模型，接着求解数学模型，最后，还原为实际问题.本题属于中档题，难度适中． 18．（本小题满分16分）已知a ，b 是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 【答案及解析】【命题意图】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查运算求解能力、运用数形结合思想、分类讨论思想方法分析与解决问题的能力.【解析】（1）由题设知()f x '=232x ax b ++，且(1)f '-=320a b -+=，(1)320f a b '=++=， 解得a =0，3b =-.(2)由（1）知()f x =33x x -，∵2()2(1)(2)f x x x +=-+， ∴()0g x '=的根为1231,2x x x ===-， 于是()g x 的极值点只可能是1或－2.当2x <-时，()g x '＜0，当－2＜x ＜1时，()g x '＞0，故－2是()g x 的极值点，当－2＜x ＜1或x ＞1时，()g x '＞0，故1不是()g x 的极值点. ∴()g x 的极值点为－2. (3)令()f x t =，则()()h x f t c =-，先讨论关于x 的方程()f x =d 的根的情况，d ∈[－2,2]. 当|d |=2时，由（2）可知，()f x =－2的两个不同的根为1和－2，注意到()f x 是奇函数， ∴()f x =2的两个不同的根为－1和2.当|d |＜2时，∵(1)(2)20f d f d d --=-=->，(1)(2)20f d f d d -=--=--<， ∴－2，－1，1，2都不是()f x =d 的根，由（1）知()f x '=3(1)(1)x x +-. ①当x ∈（2，+∞）时，()0f x '>，于是()f x 是单调增函数，∴()f x ＞(2)f =2，此时()f x =d 无实根，同理，()f x =d 在（－∞，－2）上无实根. ② 当x ∈（1,2）时，()f x '＞0，于是()f x 是单调增函数，∵(1)0f d -<，(2)0f d ->，()y f x d =-的图像不间断，∴()f x =d 在（1,2）内唯一实根，同理，()f x =d 在（―2，―1）内有唯一实根. ③ 当x ∈（－1,1）时，()f x '＜0，故()f x 是单调减函数，又∵(1)0f d -->，(1)0f d -<，()y f x d =-的图像不间断， ∴()f x =d 在（－1,1）内唯一实根，由上可知：当|d |=2时，()f x =d 有两个不同的根1x ，2x 满足|1x |=1，|2x |=2； 当|d |＜2时，()f x =d 有三个不同的根3x ，4x ，5x 满足|i x |＜2，i =3,4,5， 现考虑函数()y h x =的零点.(ⅰ)当|c |=2时，()f t c =有两个不同根1t ，2t 满足1||1t =，2||2t =，而1()f x t =有三个不同的根，()f x =2t 有两个不同的根，故()y h x =有5个零点.(ⅱ)当|c |＜2时，()f t c =有三个不同根345,,t t t 满足||i t ＜2，i =3,4,5，而()f x =i t （i =3,4,5）有三个不同根，故()y h x =有9个零点.综上可知，当|c |=2时，函数()y h x =有5个零点；当|c |＜2时，故()y h x =有9个零点.【点评】本题综合考查导数的定义、计算及其在求解函数极值和最值中的运用.考查较全面系统，要注意变形的等价性和函数零点的认识、极值和极值点的理解．本题主要考查数形结合思想和分类讨论思想，属于中高档试题，难度中等偏上，考查知识比较综合，全方位考查分析问题和解决问题的能力，运算量比较大．19. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i）若12AF BF -=，求直线1AF 的斜率；（ii ）求证：12PF PF +是定值．础知识，考查运算求解能力和推理论证能力.【解析】(1)设题设知222a b c =+，c e a=，由点（1，e ）在椭圆上，得22221c a a b+=1，解得2b =1，于是221c a =-， 又点（e ，2）在椭圆上，∴22234e a b +=1，即241314a a -+=，解得2a =2， ∴所求椭圆方程的方程是222x y +=1； （2）由（1）知1F (－1,0),2F (1,0), ∵1AF ∥2BF ，∴可设直线1AF 的方程为：1x my +=，直线2BF 的方程为：1x my -=，设1122(,),(,)A x y B x y ，120,0y y >>，由221111121x y x my⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得2211(2)210m y my +--=，解得122m y m =+， 故1AF 221)2m m +++， ① 同理，2BF =221)2m m +-+， ② （ⅰ）由①②得1AF －2BF =222m +，解得222m +=2得2m =2， （第19题）∵0m >，∴m ，∴直线1AF的斜率为1m =（ⅱ）∵1AF ∥2BF ， ∴211BF PB PF AF =, ∴12111PB PF BF AF PF AF ++=, ∴11112AF PF BF AF BF =+,由B点在椭圆知12BF BF +=∴11212)AF PF BF AF BF =+,同理22112)BF PF AF AF BF =+,∴12PF PF +=11111212))AF BF BF AF AF BF AF BF +++=12122AF BF AF BF + 由①②知，1AF +2BF，1AF ×2BF =2211m m ++，∴12PF PF +=12PF PF +是定值.【点评】本题主要考查椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待定系数法在求解椭圆的标准方程应用，曲线和方程的关系.在利用条件2621=-BF AF 时，需要注意直线1AF 和直线2BF平行这个条件.本题属于中档题． 20. （本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b满足：1n a n *+=∈N ．（1）设11n n n b b n a *+=+∈N ，，求证：数列2nn b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是等差数列；（2）设1n n nbb n a *+=∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．【命题意图】本题主要考查等比数列、等差数列的基本性质、基本不等式等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力.【解析】(1)有题设知，1n a +1nb +，∴1n n b b +=2211()()n n n nb b a a ++-=1， ∴数列2n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是公差为1的等差数列；（2）∵n a ＞0，n b ＞0，∴2()2n n a b +≤22n n a b +＜2()n n a b +，∴1＜1n a +①设等比数列{n a }的公比为q ，由n a ＞0知q ＞0，下面证q =1，当q ＞1时，则1a =2a q ＜2an＞1log q 时，1n a +=1n a q当0＜q ＜1时，则1a =2a q ＞2a ＞1，故当n ＞11log q a 时，1n a +=1n a q ＜1，与①矛盾，综上，q =1，故n a =1a （n ∈*N ），所以1＜1a∵1n b +n n b a1n b (n ∈*N )，∴{n b }11a1a ＞1， 于是1b ＜2b ＜3b ， 又由1a=1n a +=得n b11b ，2b ，3b 至少有两项相同，矛盾，故1an b11b【点评】本题综合考查等差数列的定义、等比数列的有关知识的灵活运用、指数幂和根式的互化.数列通项公式的求解.注意利用等差数列的定义证明问题时一般思路和基本方法，本题是有关数列的综合题；从近几年的高考命题趋势看，数列问题仍是高考的热点 、重点问题，在训练时，要引起足够的重视.绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅱ(附加题)A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，D ，E 为圆上位于AB 异侧的两点，连结BD 并延长至点C ，使BD = DC ，连结AC ，AE ，DE ． 求证：E C ∠=∠．【命题意图】本题主要考查三角形和圆的基础知识，考查推理论证能力.【解析】连结OD ，∵BD=DC ，O 是AB 的中点， ∴OD ∥AC ， ∴∠ODC=∠C ， ∵OB=OD ， ∴∠ODB=∠B ，∴∠B=∠C ，∵点A,E,B,D 都在圆O 上，且D,E 为圆O 上位于AB 异侧的两点， ∴∠B 和∠E 是同弧所对的圆周角， ∴∠B=∠E, ∴∠E=∠C.【点评】本题主要考查圆的基本性质，等弧所对的圆周角相等，同时结合三角形的基本性质考查．本题属于选讲部分，涉及到圆的性质的运用，考查的主要思想方法为等量代换法，属于中低档题，难度较小，从这几年的选讲部分命题趋势看，考查圆的基本性质的题目居多，在练习时，要有所侧重． B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A 的逆矩阵113441122-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A ，求矩阵A 的特征值．【命题意图】本题主要考查矩阵的基础知识，考查运算求解能力.【解析】∵1A A E -=,∴11()A A --=, ∵1A -=13441122⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， ∴11()A A --==2321⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∴矩阵A 的特征多项式为()f λ=2321λλ----=234λλ--，令()f λ=0，解得A 得特征值1λ=－1，2λ=4.【点评】本题主要考查矩阵的构成、矩阵的基本运算以及逆矩阵的求解、矩阵的特征多项式与特征值求解．在求解矩阵的逆矩阵时，首先分清求解方法，然后，写出相应的逆矩阵即可；在求解矩阵的特征值时，要正确的写出该矩阵对应的特征多项式，难度系数较小，中低档题．C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标中，已知圆C 经过点()4P π，，圆心为直线()sin 3ρθπ-=与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．【命题意图】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力.【解析】在sin()3πρθ-=中令θ=0，得ρ=1，∴圆C 的圆心坐标为（1,0）. ∵圆C 经过点()4Pπ，, ∴圆C 的半径， ∴圆C 过极点，∴圆C 的极坐标方程为2cos ρ=.【点评】本题主要考查直线的参数方程和圆的参数方程、普通方程与参数方程的互化、两角和与差的三角函数．本题要注意已知圆的圆心是直线23)3sin(-=-πθρ与极轴的交点，考查三角函数的综合运用，对于参数方程的考查，主要集中在常见曲线的考查上，题目以中低档题为主．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）（第21-A 题）已知实数x ，y 满足：11|||2|36x y x y +<-<，，求证：5||18y <． 【答案与解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的基础知识，考查推理论证能力. 【证明】∵3|||3||2()(2)|y y x y x y ==+--≤2|||2|x y x y ++-， ∵11|||2|36x y x y +<-<，，∴3||y ＜215366+=， ∴5||18y <.【点评】本题主要考查不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，属于中档题，难度适中．切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，0ξ=；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1ξ=． （1）求概率(0)P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．【命题意图】本题主要考查概率分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力. 【解析】（1）若两条棱相交，则交点必为正方形8个顶点中的一个，过任意一个顶点恰有3条棱，∴共有238C 对相交棱， ∴(0)P ξ==232128C C =411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为16对，故(P ξ==2126C =111, (1)1(0)(P P P ξξξ==-=-=4111111--=611. ∴随机变量ξ的分布列是【点评】本题主要考查概率统计知识：离散型随机变量的分布列、数学期望的求解、随机事件的基本运算．本题属于基础题目，难度中等偏上.考查离散型随机变量的分布列和期望的求解，在列分布列时，要注意ξ的取值情况，不要遗漏ξ的取值情况． 23．（本小题满分10分）设集合{12}n P n =，，，…，n *∈N ．记()f n 为同时满足下列条件的集合A 的个数： ①n A P ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若n P x A ∈ð，则2n P x A ∉ð．（1）求(4)f ；（2）求()f n 的解析式（用n 表示）．【命题意图】本题主要考查集合概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力. 【解析】(1)当n =4时，符合条件的集合A 为：{2}，{1,4}，{2,3}，{1,3,4}，故(4)4f =.(2)任取偶数n x P ∈，将x 除以2，若商仍为偶数，再除以2，…，经过k 次以后，商必为奇数，此时记商为m ，于是x =2km ∙，其中m 是奇数，k ∈*N .由条件知，若m ∈A ，则x ∈A ⇔k 为偶数； 若m ∉A ，则x ∈A ⇔k 为奇数；于是x 是否属于A 由m 是否属于A 确定，设n Q 是n P 中所有奇数的集合，因此()f n 等于n Q 的子集的个数，当n 为偶数（或奇数）时，n P 中奇数的个数是2n （或12n +），∴2122,()2,nn n f n n +⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数为奇数. 【点评】本题重点考查集合的概念、组成、元素与集合的基本关系、集合的基本运算—补集和函数的解析式的求法.本题属于中档题，难度适中.。
2012年江苏省高考数学试卷答案与解析
2012年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共 小题 每小题 分 共计 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．（ 分）（ 江苏）已知集合 则 ．并集及其运算．考点：集合．专题：分由题意 两个集合的元素已经给出 故由并集的运算规则直接得到两个集析：合的并集即可解解：答：故答案为点本题考查并集运算 属于集合中的简单计算题 解题的关键是理解并的运算定评：义．（ 分）（ 江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ： 现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本 则应从高二年级抽取 名学生．考分层抽样方法．点：专概率与统计．题：分根据三个年级的人数比 做出高二所占的比例 用要抽取得样本容量乘以高二析：所占的比例 得到要抽取的高二的人数．解答：解： 高一、高二、高三年级的学生人数之比为 ： ：高二在总体中所占的比例是用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 的样本要从高二抽取故答案为：点评：本题考查分层抽样方法 本题解题的关键是看出三个年级中各个年级所占的比例 这就是在抽样过程中被抽到的概率 本题是一个基础题．．（ 分）（ 江苏）设 （ 为虚数单位） 则 的值为 ．考点：复数代数形式的乘除运算；复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：由题意 可对复数代数式分子与分母都乘以 再由进行计算即可得到 再由复数相等的充分条件即可得到 的值 从而得到所求的答案解答：解：由题所以 故故答案为点评：本题考查复数代数形式的乘除运算 解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭 复数的四则运算是复数考查的重要内容 要熟练掌握 复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁 解题时要注意运用它进行转化．．（ 分）（ 江苏）图是一个算法流程图 则输出的 的值是 ．循环结构．考点：算法和程序框图．专题：分利用程序框图计算表达式的值 判断是否循环 达到满足题目的条件 结束循析：环 得到结果即可．解解： ﹣ ＞ 不满足判断框．则 ﹣ ﹣ ＞ 答：不满足判断框的条件则 ﹣ ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 不成立 则 ﹣ ＞ 成立所以结束循环输出 ．故答案为： ．点本题考查循环框图的作用 考查计算能力 注意循环条件的判断．评：．（ 分）（ 江苏）函数 （ ） 的定义域为（ ．考对数函数的定义域．专函数的性质及应用．题：分根据开偶次方被开方数要大于等于 真数要大于 得到不等式组 根据对析：数的单调性解出不等式的解集 得到结果．解解：函数 （ ） 要满足 ﹣ 且 ＞答：＞＞＞故答案为：（点本题考查对数的定义域和一般函数的定义域问题 在解题时一般遇到 开偶次评：方时 被开方数要不小于 ；真数要大于 ；分母不等于 ； 次方的底数不等于 这种题目的运算量不大 是基础题．．（ 分）（ 江苏）现有 个数 它们能构成一个以 为首项 ﹣ 为公比的等比数列 若从这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是．考等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式．点：等差数列与等比数列；概率与统计．专题：分先由题意写出成等比数列的 个数为 然后找出小于 的项的个数 代入古析：典概论的计算公式即可求解解解：由题意成等比数列的 个数为： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） （﹣答：）其中小于 的项有： ﹣ （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ） （﹣ ）共 个数这 个数中随机抽取一个数 则它小于 的概率是故答案为：点本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用 属于基础评：试题．（ 分）（ 江苏）如图 在长方体 ﹣ 中则四棱锥 ﹣ 的体积为 ．棱柱、棱锥、棱台的体积．考点：专空间位置关系与距离；立体几何．题：分过 作 于 求出 然后求出几何体的体积即可．析：解解：过 作 于 是棱锥的高 所以答：的体积为 ．所以四棱锥 ﹣故答案为： ．点本题考查几何体的体积的求法 考查空间想象能力与计算能力．评：．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中 若双曲线的离心率为 则 的值为 ．双曲线的简单性质．考点：专圆锥曲线的定义、性质与方程．题：分由双曲线方程得 的分母 ＞ 所以双曲线的焦点必在 轴上．因此析：＞ 可得 最后根据双曲线的离心率为 可得建立关于 的方程： 解之得 ．解解： ＞答：双曲线的焦点必在 轴上因此 ＞双曲线的离心率为可得所以 解之得故答案为：点本题给出含有字母参数的双曲线方程 在已知离心率的情况下求参数的值 着评：重考查了双曲线的概念与性质 属于基础题．．（ 分）（ 江苏）如图 在矩形 中 点 为 的中点 点 在边 上 若 则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形 把已知向量用矩形的边所在的向量来表示 做出要用的向量的模长 表示出要求得向量的数量积 注意应用垂直的向量数量积等于 得到结果．解答：解：﹣（）（） ﹣ ﹣故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式 本题是一个中档题目．．（ 分）（ 江苏）设 （ ）是定义在 上且周期为 的函数 在区间 ﹣ 上 （ ） 其中 ．若 则 的值为﹣ ．考点：函数的周期性；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：由于 （ ）是定义在 上且周期为 的函数 由 （ ）的表达式可得 （） （﹣） ﹣ （） ；再由 （﹣ ） （ ）得 解关于 的方程组可得到 的值 从而得到答案．解答：解： （ ）是定义在 上且周期为 的函数 （ ）（） （﹣） ﹣ （） ；又﹣又 （﹣ ） （ ）由 解得 ﹣ ；﹣ ．故答案为：﹣ ．点评：本题考查函数的周期性 考查分段函数的解析式的求法 着重考查方程组思想 得到 的方程组并求得 的值是关键 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）设 为锐角 若 （ ） 则 （ ）的值为．考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设 根据 求出 进而求出 和 最后用两角和的正弦公式得到 （ ）的值．解答：解：设﹣（ ） （ ﹣） （ ﹣） ﹣ ．故答案为：．点本题要我们在已知锐角 的余弦值的情况下 求 的正弦值 着重评：考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式 考查了三角函数中的恒等变换应用 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）在平面直角坐标系 中 圆 的方程为 ﹣ 若直线 ﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点 则 的最大值是．考圆与圆的位置关系及其判定；直线与圆的位置关系．点：直线与圆．专题：分由于圆 的方程为（ ﹣ ） 由题意可知 只需（ ﹣ ） 析：与直线 ﹣ 有公共点即可．解解： 圆 的方程为 ﹣ 整理得：（ ﹣ ） 即答：圆 是以（ ）为圆心 为半径的圆；又直线 ﹣ 上至少存在一点 使得以该点为圆心 为半径的圆与圆 有公共点只需圆 ：（ ﹣ ） 与直线 ﹣ 有公共点即可．设圆心 （ ）到直线 ﹣ 的距离为则 即 ﹣．的最大值是．故答案为：．点本题考查直线与圆的位置关系 将条件转化为 （ ﹣ ） 与直线评：﹣ 有公共点 是关键 考查学生灵活解决问题的能力 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）已知函数 （ ） （ ）的值域为 ） 若关于 的不等式 （ ）＜ 的解集为（ ） 则实数 的值为 ．考一元二次不等式的应用．点：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．专题：分根据函数的值域求出 与 的关系 然后根据不等式的解集可得 （ ） 的两个析：根为 最后利用根与系数的关系建立等式 解之即可．解解： 函数 （ ） （ ）的值域为 ）答：（ ） 只有一个根 即 ﹣ 则不等式 （ ）＜ 的解集为（ ）即为 ＜ 解集为（ ）则 ﹣ 的两个根为﹣解得故答案为：点本题主要考查了一元二次不等式的应用 以及根与系数的关系 同时考查了分评：析求解的能力和计算能力 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）已知正数 满足： ﹣ ﹣则的取值范围是 ．导数在最大值、最小值问题中的应用；不等式的综合．考点：导数的综合应用；不等式的解法及应用．专题：分由题意可求得 而 ﹣ ﹣ 于是可得 ；由析：可得 ＜ 从而 设函数 （ ） （ ＞ ） 利用其导数可求得 （ ）的极小值 也就是的最小值 于是问题解决．解解： ﹣ ＞答：＞﹣ ﹣．从而 ﹣ 特别当 时 第二个不等式成立．等号成立当且仅当 ： ： ： ： ．又＜从而 设函数 （ ） （ ＞ ）（ ） 当 ＜ ＜ 时 （ ）＜ 当 ＞ 时 （ ）＞ 当 时 （ ）当 时 （ ）取到极小值 也是最小值．（ ） （ ） ．等号当且仅当 成立．代入第一个不等式知： 不等式成立 从而 可以取得．等号成立当且仅当 ： ： ： ： ．从而的取值范围是 双闭区间．点评：本题考查不等式的综合应用 得到 通过构造函数求的最小值是关键 也是难点 考查分析与转化、构造函数解决问题的能力 属于难题．二、解答题：本大题共 小题 共计 分．请在答题卡指定区域内作答 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．．（ 分）（ 江苏）在 中 已知．（ ）求证： ；（ ）若 求 的值．解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．考点：专三角函数的求值；解三角形；平面向量及应用．题：分（ ）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边 然后两边同时析：除以 化简后 再利用正弦定理变形 根据 利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到 ；（ ）由 为三角形的内角 及 的值 利用同角三角函数间的基本关系求出 的值 进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出 的值 由的值 及三角形的内角和定理 利用诱导公式求出 （ ）的值 利用两角和与差的正切函数公式化简后 将 代入 得到关于 的方程求出方程的解得到 的值 再由 为三角形的内角 利用特殊角的三角函数值即可求出 的度数．解解：（ ）答：即由正弦定理 得：又 ＜ ＜ ＞ ＞在等式两边同时除以 可得 ；（ ） ＜ ＜则 ﹣（ ） 即 （ ） ﹣﹣将 代入得： ﹣整理得： ﹣ ﹣ 即（ ﹣ ）（ ）解得： 或 ﹣又 ＞又 为三角形的内角则 ．点此题属于解三角形的题型 涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则 正弦定评：理 同角三角函数间的基本关系 诱导公式 两角和与差的正切函数公式 以及特殊角的三角函数值 熟练掌握定理及公式是解本题的关键．．（ 分）（ 江苏）如图 在直三棱柱 ﹣ 中分别是棱 上的点（点 不同于点 ） 且 为 的中点．求证：（ ）平面 平面 ；（ ）直线 平面 ．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离；立体几何． 分析： （ ）根据三棱柱 ﹣ 是直三棱柱 得到 平面 从而结合已知条件 、 是平面 内的相交直线 得到平面 从而平面 平面 ；（ ）先证出等腰三角形 中 再用类似（ ）的方法证出 平面 结合 平面 得到 最后根据线面平行的判定定理 得到直线 平面 ．解答：解：（ ） 三棱柱 ﹣ 是直三棱柱 平面平面又 、 是平面 内的相交直线平面平面平面 平面 ；（ ） 中 为 的中点平面 平面又 、 是平面 内的相交直线平面又 平面平面 平面直线 平面 ．点评： 本题以一个特殊的直三棱柱为载体 考查了直线与平面平行的判定和平面与平面垂直的判定等知识点 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）如图 建立平面直角坐标系 轴在地平面上 轴垂直于地平面 单位长度为 千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程 ﹣（ ） （ ＞ ）表示的曲线上 其中 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（ ）求炮的最大射程；（ ）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小） 其飞行高度为 千米 试问它的横坐标 不超过多少时 炮弹可以击中它？请说明理由．函数模型的选择与应用．考点：函数的性质及应用．专题：分（ ）求炮的最大射程即求 ﹣（ ） （ ＞ ）与 轴的横坐标 析：求出后应用基本不等式求解．（ ）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值 由一元二次方程根的判别式求解．解解：（ ）在 ﹣（ ） （ ＞ ）中 令 得 ﹣（ ）答：．由实际意义和题设条件知 ＞ ＞ ．当且仅当 时取等号．炮的最大射程是 千米．（ ） ＞ 炮弹可以击中目标等价于存在 ＞ 使 ﹣（ ） 成立即关于 的方程 ﹣ 有正根．由韦达定理满足两根之和大于 两根之积大于故只需 ﹣ （ ） 得 ．此时 ＞ ．当 不超过 千米时 炮弹可以击中目标．点本题考查函数模型的运用 考查基本不等式的运用 考查学生分析解决问题的评：能力 属于中档题．．（ 分）（ 江苏）若函数 （ ）在 处取得极大值或极小值 则称 为函数 （ ）的极值点．已知 是实数 和﹣ 是函数 （ ）的两个极值点．（ ）求 和 的值；（ ）设函数 （ ）的导函数 （ ） （ ） 求 （ ）的极值点；（ ）设 （ ） （ （ ））﹣ 其中 ﹣ 求函数 （ ）的零点个数．考函数在某点取得极值的条件；函数的零点．点：导数的综合应用．专题：分（ ）求出 导函数 根据 和﹣ 是函数的两个极值点代入列方程组求解即可．析：（ ）由（ ）得 （ ） ﹣ 求出 （ ） 令 （ ） 求解讨论即可．（ ）先分 和 ＜ 讨论关于的方程 （ ） 的情况；再考虑函数 （ ）的零点．解解：（ ）由 （ ） 得 （ ） ．答：和﹣ 是函数 （ ）的两个极值点（ ） ﹣ （﹣ ） 解得 ﹣ ．（ ）由（ ）得 （ ） ﹣ （ ） （ ） ﹣﹣ ．（ ﹣ ） （ ） 解得当 ＜﹣ 时 （ ）＜ ；当﹣ ＜ ＜ 时 （ ）＞﹣ 是 （ ）的极值点．当﹣ ＜ ＜ 或 ＞ 时 （ ）＞ 不是 （ ） 的极值点．（ ）的极值点是﹣ ．（ ）令 （ ） 则 （ ） （ ）﹣ ．先讨论关于 的方程 （ ） 根的情况 ﹣当 时 由（ ）可知 （ ） ﹣ 的两个不同的根为 和一 注意到 （ ）是奇函数（ ） 的两个不同的根为﹣ 和 ．当 ＜ 时 （﹣ ）﹣ （ ）﹣ ﹣ ＞ （ ）﹣ （﹣ ）﹣ ﹣ ﹣ ＜一 ﹣ 都不是 （ ） 的根．由（ ）知 （ ） （ ）（ ﹣ ）．当 （ ）时 （ ）＞ 于是 （ ）是单调增函数 从而 （ ）＞ （ ） ．此时 （ ） 在（ ）无实根．当 （ ）时 （ ）＞ 于是 （ ）是单调增函数．又 （ ）﹣ ＜ （ ）﹣ ＞ （ ）﹣ 的图象不间断（ ） 在（ ）内有唯一实根．同理 在（一 一 ）内有唯一实根．当 （﹣ ）时 （ ）＜ 于是 （ ）是单调减函数．又 （﹣ ）﹣ ＞ （ ）﹣ ＜ （ ）﹣ 的图象不间断 （ ） 在（一 ）内有唯一实根．因此 当 时 （ ） 有两个不同的根 满足；当 ＜ 时 （ ） 有三个不同的根 满足 ＜ ．现考虑函数 （ ）的零点：（ ）当 时 （ ） 有两个根 满足．而 （ ） 有三个不同的根 （ ） 有两个不同的根 故 （ ）有 个零点．（ ）当 ＜ 时 （ ） 有三个不同的根 满足 ＜ ．而 （ ） 有三个不同的根 故 （ ）有 个零点．综上所述 当 时 函数 （ ）有 个零点；当 ＜ 时 函数 （ ）有 个零点．点评： 本题考查导数知识的运用 考查函数的极值 考查函数的单调性 考查函数的零点 考查分类讨论的数学思想 综合性强 难度大．．（ 分）（ 江苏）如图 在平面直角坐标系 中 椭圆（ ＞ ＞ ）的左、右焦点分别为 （﹣ ） （ ）．已知（ ）和（ ）都在椭圆上 其中 为椭圆的离心率．（ ）求椭圆的方程；（ ）设 是椭圆上位于 轴上方的两点 且直线 与直线 平行 与 交于点 ．（ ）若 ﹣ 求直线 的斜率；（ ）求证： 是定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（ ）根据椭圆的性质和已知（ ）和（ ） 都在椭圆上列式求解． （ ）（ ）设 与 的方程分别为 ﹣ 与椭圆方程联立 求出 、 根据已知条件 ﹣ 用待定系数法求解；（ ）利用直线 与直线 平行 点 在椭圆上知 可得 由此可求得 是定值．解答：（ ）解：由题设知 由点（ ）在椭圆上 得 ﹣ ．由点（ ）在椭圆上 得椭圆的方程为．（ ）解：由（ ）得 （﹣ ） （ ）又 直线 与直线 平行 设 与 的方程分别为 ﹣ ．设 （ ） （ ） ＞ ＞由可得（ ）﹣ ﹣ ．（舍）﹣同理（ ）由 得 ﹣解得 ．注意到 ＞ ． 直线 的斜率为．（ ）证明： 直线 与直线 平行即．由点 在椭圆上知 ．同理．由 得．是定值．点本题考查椭圆的标准方程 考查直线与椭圆的位置关系 考查学生的计算能力 评：属于中档题．．（ 分）（ 江苏）已知各项均为正数的两个数列 和 满足：求证：数列是等差数列；（ ）设且 是等比数列 求 和 的值．（ ）设数列递推式；等差关系的确定；等比数列的性质．考点：等差数列与等比数列．专题：分析：从（ ）由题意可得而可得 可证（ ）由基本不等式可得 由是等比数列利用反证法可证明 进而可求解答：解：（ ）由题意可知从而数列 是以 为公差的等差数列（ ） ＞ ＞从而（ ）设等比数列 的公比为 由 ＞ 可知 ＞下证若 ＞ 则 故当时与（ ）矛盾＜ ＜ 则 故当时 与（ ）矛盾综上可得 所以数列 是公比的等比数列若 则于是 ＜ ＜又由可得至少有两项相同 矛盾 从而点评：本题主要考查了利用构造法证明等差数列及等比数列的通项公式的应用 解题的关键是反证法的应用．三、附加题 选做题：任选 小题作答 、 必做题）（共 小题 满分 分）．（ 分）（ 江苏） ． 选修 ﹣ ：几何证明选讲如图 是圆 的直径 为圆上位于 异侧的两点 连接 并延长至点 使 连接 ．求证： ．． 选修 ﹣ ：矩阵与变换已知矩阵 的逆矩阵 求矩阵 的特征值．． 选修 ﹣ ：坐标系与参数方程在极坐标中 已知圆 经过点 （ ） 圆心为直线 （ ﹣） ﹣与极轴的交点 求圆 的极坐标方程．． 选修 ﹣ ：不等式选讲已知实数 满足： ＜ ﹣ ＜ 求证： ＜．考点：特征值与特征向量的计算；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明；综合法与分析法 选修）．专题：不等式的解法及应用；直线与圆；矩阵和变换；坐标系和参数方程．分析：．要证 就得找一个中间量代换 一方面考虑到 是同弧所对圆周角 相等；另一方面根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到．从而得证．．由矩阵 的逆矩阵 根据定义可求出矩阵 从而求出矩阵 的特征值．．根据圆心为直线 （ ﹣） ﹣与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点 （ ） 求出圆的半径 从而得到圆的极坐标方程．．根据绝对值不等式的性质求证．解答：．证明：连接 ．是圆 的直径 （直径所对的圆周角是直角）．（垂直的定义）．又 是线段 的中垂线（线段的中垂线定义）．（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）．（等腰三角形等边对等角的性质）．又 为圆上位于 异侧的两点（同弧所对圆周角相等）．（等量代换）．、解： 矩阵 的逆矩阵（ ） ﹣ ﹣﹣、解： 圆心为直线 （ ﹣） ﹣与极轴的交点在 （ ﹣） ﹣中令 得 ． 圆 的圆心坐标为（ ）． 圆 经过点 （ ） 圆 的半径为 ．圆 的极坐标方程为 ．、证明： （ ）﹣（ ﹣ ） ﹣ ＜ ﹣ ＜＜点本题是选作题 综合考查选修知识 考查几何证明选讲、矩阵与变换、坐标系与评：参数方程、不等式证明 综合性强．（ 分）（ 江苏）设 为随机变量 从棱长为 的正方体的 条棱中任取两条 当两条棱相交时 ；当两条棱平行时 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时 ．（ ）求概率 （ ）；（ ）求 的分布列 并求其数学期望 （ ）．考离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．点：概率与统计．专题：分（ ）求出两条棱相交时相交棱的对数 即可由概率公式求得概率．析：（ ）求出两条棱平行且距离为的共有 对 即可求出相应的概率 从而求出随机变量的分布列与数学期望．解解：（ ）若两条棱相交 则交点必为正方体 个顶点中的一个 过任意 个顶答：点恰有 条棱共有 对相交棱（ ） ．（ ）若两条棱平行 则它们的距离为 或 其中距离为的共有 对（ ） （ ） ﹣ （ ）﹣ （ ） ．随机变量 的分布列是：其数学期望 （ ） ．点评：本题考查概率的计算 考查离散型随机变量的分布列与期望 求概率是关键． ．（ 分）（ 江苏）设集合 ．记 （ ）为同时满足下列条件的集合 的个数：； 若 则 ； 若 则 ．（ ）求 （ ）；（ ）求 （ ）的解析式（用 表示）．考点：函数解析式的求解及常用方法；元素与集合关系的判断；集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：（ ）由题意可得符合条件的集合 为：故可求 （ ）（ ）任取偶数将 除以 若商仍为偶数 再除以 经过 次后 商必为奇数 此时记商为 可知 若 则 为偶数；若 则 为奇数 可求解答：解（ ）当 时符合条件的集合 为：故 （ ）（ ）任取偶数将 除以 若商仍为偶数 再除以 经过 次后 商必为奇数 此时记商为于是 其中 为奇数由条件可知 若 则 为偶数 若 则 为奇数于是 是否属于 由 是否属于 确定 设是中所有的奇数的集合因此 （ ）等于的子集个数 当 为偶数时（或奇数时）中奇数的个数是（或）点评：本题主要考查了集合之间包含关系的应用 解题的关键是准确应用题目中的定义。
2012年江苏省高考数学试卷及解析
2012年江苏省高考数学试卷及解析注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。
本卷满分为160分。
考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5.如需作图，须用2B 铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。
参考公式：（1）样本数据x 1 ,x 2 ，…，x n 的方差s 2=ni=11n∑（x i -x ）2,其中nii=11xn∑.（2）(2)直棱柱的侧面积S=ch ,其中c 为底面积，h 为高.（3）棱柱的体积V= Sh ，其中S 为底面积，h 为高.一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位．．．．．．．置上。
．．．1、已知集合},2,0,1{},4,2,2,1{-=-=B A 则_______,=⋂B A2、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________3、设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________4、根据如图所示的伪代码，当输入b a ,分别为2，3时，最后输出的m 的值是________ Read a ，b If a >b Then m ←a Elsem ←bEnd If Print m 5、从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是______ 6、某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，6，则该组数据的方差___2=s 7、已知,2)4tan(=+πx 则xx 2tan tan 的值为__________8、在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于P 、Q两点，则线段PQ 长的最小值是________9、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则____)0(=f3ππ12710、已知→→21,e e 是夹角为π32的两个单位向量，,,22121→→→→→→+=-=e e k b e e a 若0=⋅→→b a ，则k 的值为11、已知实数0≠a ，函数⎩⎨⎧≥--<+=1,21,2)(x a x x a x x f ，若)1()1(a f a f +=-，则a 的值为________12、在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数)0()(>=x e x f x 的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是_____________13、设7211a a a ≤≤≤≤ ，其中7531,,,a a a a 成公比为q 的等比数列，642,,a a a 成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________ 14、设集合},,)2(2|),{(222R y x m yx m y x A ∈≤+-≤=,},,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程活盐酸步骤。
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2010－2011学年度第一学期江苏省南通市六所省重点高中联考试卷 数 学 Ⅰ试 题 2011.13、方程 x 2m + y 24－m = 1 的曲线是焦点在y 轴上的双曲线，则m 的取值范围是 ▲答案：0<m9、已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的中心为O ，右焦点为F 、右顶点为A ，右准线与x 轴的交点为H ，则||||FA OH 的最大值为 ▲ 13、设M 1(0，0)，M 2(1，0)，以M 1为圆心，| M 1 M 2 | 为半径作圆交x 轴于点M 3 (不同于M 2)，记作⊙M 1；以M 2为圆心，| M 2 M 3 | 为半径作圆交x 轴于点M 4 (不同于M 3)，记作⊙M 2；……； 以M n 为圆心，| M n M n +1 | 为半径作圆交x 轴于点M n +2 (不同于M n +1)，记作⊙M n ；…… 当n ∈N *时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n ．考察下列论断： 当n ＝1时，| A 1B 1 |＝2；当n ＝2时，| A 2B 2 |15 当n ＝3时，| A 3B 3 |＝23354213⨯＋－当n ＝4时，| A 4B 4 |＝34354213⨯－－……由以上论断推测一个一般的结论：对于n ∈N *，| A n B n |＝ ▲17、（本题满分15分）已知圆:C 22(2)4x y ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A a . （Ⅰ）当2a =时，若圆心为(1,)M m 的圆和圆C 外切且与直线1l 、2l 都相切，求圆M 的方程； （Ⅱ）当1a =-时，求1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值，并求此时直线1l 的方程. 解：（Ⅰ）设圆M 的半径为r ，易知圆心),1(m M 到点)0,2(A 的距离为r 2，∴⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+-222222)2()21(2)21(r m r m ……………………………………………………………4分 解得2=r 且7±=m ∴圆M 的方程为4)7()1(22=±+-y x …………………7分（Ⅱ）当1-=a 时，设圆C 的圆心为C ，1l 、2l 被圆C 所截得弦的中点分别为F E ,，弦长分别为21,d d ，因为四边形AECF 是矩形，所以1222==+AC CF CE ,即124242221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-d d ，化简得 …………………………10分 从而1422222121=+⋅≤+d d d d ，等号成立1421==⇔d d ，1421==∴d d 时，142)(max 21=+∴d d ，即1l 、2l 被圆C 所截得弦长之和的最大值为142 …………………………………13分 此时141=d ，显然直线1l 的斜率存在，设直线1l 的方程为：)1(+=x k y ，则 22)214(41-=+k k ，1±=∴k ， ∴直线1l 的方程为：01=+-y x 或01=++y x …………………………15分江苏省2010高考数学模拟题(压题卷)8．已知F 1、F 2分别是椭圆12222=+by a x ，)0(>>b a 的左、右焦点，以原点O 为圆心，OF 1为半径的圆与椭圆在y 轴左侧交于A 、B 两点，若△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率等于13-．三、解析几何题1．已知过点(1,0)A -的动直线l 与圆22:(3)4C x y +-=相交于,P Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线:360m x y ++=相交于N ．(1)求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ; (2)当23PQ =l 的方程;(3)探索AM AN ∙是否与直线l 的倾斜角有关?若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．解：(1)l 与m 垂直，且11,3,3m k k =-∴=故直线l 方程为3(1),y x =+即330.x y -+=圆心坐标（0，3）满足直线l 方程，∴当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ．(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知1x =-符合题意．②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为(1),y k x =+即0kx y k -+=，23,431PQ CM =∴=-= ，则由2311k CM k -+==+，得43k =， ∴直线:4340.l x y -+=故直线l 的方程为1x =-或4340.x y -+=(3),().CM MN AM AN AC CM AN AC AN CM AN AC AN ⊥∴⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅①当l 与x 轴垂直时，易得5(1,),3N -- 则5(0,),3AN =- 又(1,3)AC = ，5AM AN AC AN ∴⋅=⋅=-．②当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1),y k x =+则由(1),360,y k x x y =+⎧⎨++=⎩得365(,),1313k k N k k ---++ 则55(,).1313kAN k k --=++ 515 5.1313k AM AN AC AN k k--∴⋅=⋅=+=-++综上所述，AM AN ⋅ 与直线l 的斜率无关，且5AM AN ⋅=-．2．已知A 、B 是椭圆2214x y +=的左、右顶点，直线(22)x t t =-<<交椭圆于M 、N 两点，经过A 、M 、N 的圆的圆心为1C ，经过B 、M 、N 的圆的圆心为2C ． (1)求证12C C 为定值；(2)求圆1C 与圆2C 的面积之和的取值范围． 解：(1)由题设A （-2，0），B （2，0），由2214x t x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，解出22(1),(,1)44t t M t N t ---． 设1122(,0),(,0)C x C x ，由22112()14t x t x +=-+-解出13(2)8t x -=．同理，2222()14tx x t -=-+-23(2)8t x += ，122132C C x x =-=(定值)．(2)两圆半径分别为131028t x ++=及210328tx --=， 两圆面积和222(310)(103)(9100)6432S t t t ππ⎡⎤=++-=+⎣⎦， 所以S 的取值范围是257,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．3．已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0),F 动圆过点2F ，且与圆1F 相内切． (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若过原点的直线l 与（1）中的曲线C 交于A ，B 两点，且1ABF ∆3， 求直线l 的方程． 解：(1)设圆M 的半径为r ，因为圆M 与圆1F 内切，所以2MF r =， 所以124MF MF =-，即124MF MF +=． 所以点M 的轨迹C 是以12,F F 为焦点的椭圆，设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，其中24,1a c ==，所以2,3a b ==．所以曲线C 的方程22143x y +=． (2)因为直线l 过椭圆的中心，由椭圆的对称性可知，112ABF AOF S S ∆∆=． 因为132ABF S ∆=，所以134AOF S ∆=．不妨设点11(,)A x y 在x 轴上方，则1111324AOF S OF y ∆=⋅⋅=11332y x ==± 即：A 点的坐标为3(3,)或3(3,-， 所以直线l 的斜率为12±，故所求直线方程为20x y ±=．4．已知圆C 的圆心在抛物线22(0)x py p =>上运动，且圆C 过(0,)A p 点，若MN 为圆C 在x轴上截得的弦. (1)求弦长MN ； (2)设12,AM l AN l ==，求1221l l l l +的取值范围． 解：(1)设00(,)C x y ，则圆C 的方程为：22220000()()()x x y y x y p -+-=+-．[来源:学科网]令0y =，并由2002x py =，得2220020x x x x p -+-=，解得1020,,x x p x x p =-=+从而212MN x x p =-=， (2) 设MAN θ∠=，因为21211sin 22MAN S l l OA MN p θ∆=⋅⋅=⋅=，所以2122sin p l l θ=，因为l 12+l 22-2 l 1 l 2cos θ=4p 2 ，所以l 12+l 22=)tan 11(4cos sin 44222θθθ+=+p p p . 所以22212122211214(1)sin tan 2(sin cos )2245)2p l l l l l l l l pθθθθθ+++===+=+︒． 因为0090θ<≤，所以当且仅当45θ=︒时，原式有最大值2290θ=︒时，原式有最小值为2，从而1221l l l l +的取值范围为[2,22]． 2011届江苏省苏州市迎二模六校联考数学试题5.若双曲线经过点(3,2)，且渐近线方程是y=±13x ，则这条双曲线的方程是答案：2219x y -= 10.若点P 是曲线y=x 2-ln x 上的任意一点，则点P 到直线y=x-2的最小距离为12. 若过点A (a ,a )可作圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2＋2a －3=0的两条切线，则实数a 的取值范围是答案：3312a a <-<<或18．(本小题满分16分)已知圆C 通过不同的三点P (m ,0)、Q (2,0)、R (0,1),且圆C 在点P 处的切线的斜率为1.（1）试求圆C 的方程；（2）若点A 、B 是圆C 上不同的两点，且满足→CP •→CA=→CP •→CB ，①试求直线AB 的斜率；②②若原点O 在以AB 为直径的圆的内部，试求直线AB 在y 轴上的截距的范围。
18.（1）设圆方程为022=++++F Ey Dx y x ，则圆心)2,2(ED C --，且PC 的斜率为-1……2分 所以⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=----+=-=++=++12022*******m D E m D F D F E ……………………………………………………………5分解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-===3651m F E D ，所以圆方程为06522=-+++y x y x ……………………7分（2）①→CP •→CA=→CP •→CB AB CP ⊥⇔=⋅⇔=-⋅⇔00)(，所以AB 斜率为1…………………10分②设直线AB 方程为t x y +=，代入圆C 方程得065)62(222=-++++t t x t x设),(),,(2211y x B y x A ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=--=+<<-⇔>265337022121t t x x t x x t ∆原点O 在以AB 为直径的圆的内部，即002121<+⇔<⋅y y x x ………………14分 整理得，17170622-<<--⇔<-+t t t …………………16分江苏省淮州中学2010—2011学年度第一学期中考试高三数学试卷6． 若曲线4()f x x x =-在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为 ▲ ．答案：（1，0） 二、解答题17．（本小题满分15分）已知点P （1，3），圆C ： 229()2x m y -+=过点A （1，322-），F 点为抛物线px y 22=(p>0)的焦点，直线PF 与圆相切.（1）求m 的值与抛物线的方程；（2）设点(2,5)B ，点 Q 为抛物线上的一个动点，求BP BQ ⋅的取值范围．解：（Ⅰ）点A 代入圆C 方程，得22329(1)22m ⎛-+-= ⎝⎭． ∴m ＝1．圆C ：229(1)2x y -+=． 当直线PF 的斜率不存在时不合题意。