中考总复习——二次根式PPT课件
【例3】 求代数式的值.
(1) (2) 若x2-4x+1=0，求 解:(1)
典型例题解析
的值.
(2)由x2-4x+1=0
x+
-4=0
x+
=4.
∴原式=
课时训练
1. (2004年· 哈尔滨)函数 变量x的取值范围是 3<x≤5 2. (2004年· 宁夏)计算： 3.若 中，自
.
的结果是 12 。 。
4)
的有理化因式是 的有理化因式是
典型例题解析
【例1】
已知
A. B. C. D.
化简后为（ B ）
典型例题解析
【例2】 计算：(1)
(2)
解：(1)原式=
(2)原式=(10a２×5÷15)(
=
×
×
)=
二次根式的乘除运算可以考虑先将被开 方数进行乘除法计算，再化简二次根式， 而不一定要先将二次根式化成最简二次 根式再约分.
思考题
(2004年· 山西省)观察下列各式：
请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)
的代数式表示出来：
8.在 、 、 . 、 、 中与
的 ( D)
是同类二次根式的是
课时训练
9. (2004年· 沈阳)下列各式属于最简二次根式的是 ( B )
A. B. C. D.
10. (1)化简(a-1)
(2)当x＞4时，化简
的结果是
.
2x-8 .
(3)(2002年· 天津市)若1＜x＜4时，则 3 。 = 11.（2004 ·陕西）计算：
2.二次根式的乘法 (1)公式 = (a≥0，b≥0). (2) 二次根式的运算结果，应该尽量化简，有理数的运 算律在实数范围内仍可使用。
3.商的算术平方根 (1) 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式 的算术平方根. (2)公式 （a≥0,b＞0）.
4.二次根式的除法 (1)公式 （a，通过采用化去分母中的根号 的方法来进行，把分母中的根号化去叫做分母有理化. 5. (
1.判断几个二次根式是否是同类二次根式的关键是将 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同.
2.二次根式的乘除运算可以考虑先将被开方数进行乘 除法计算，再化简二次根式，而不一定要先将二次根 式化成最简二次根式，再约分. 3.对有关二次根式的代数式的求值问题一般应对已知 式先进行化简，代入化简后的待求式，同时还应注意 挖掘隐含条件和技巧的运用使求解更简捷.
第一章第六课时：
二次根式
要点、考点聚焦 典型例题解析 课时训练
要点、考点聚焦
一.二次根式的定义 (1)式子 (a≥0)叫做二次根式. (2)二次根式 中，被开方数必须非负，即a≥0， 据此可以确定被开方数为非负数. 具有双重非负性。 二、二次根式的运算 1.积的算术平方根 (1)积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的 积. (2)公式 = (a≥0，b≥0).
二次根式加减运算的步骤: (1)把各个二次根式化成最简二次根式 (2)把各个同类二次根式合并. 注意:不是同类二次根式的二次根式 (如 与 )不能合并
如何合并同类二次根式 与合并同类项类似,把同类二次根 式的系数相加减,做为结果的系 数,根号及根号内部都不变。
五、分母有理化：
1、定义： 把分母中的根号化去。 2、方法： 分子、分母同时乘以分母的有理化因式。 3、有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们 的积中不含二次根式 ，我们说这两个二次根 式互为有理化因式。 4、常见的互为有理化因式：
)2=a(a≥0).
三、最简二次根式 满足下列三个条件的二次根式，叫做最简二次根式. (1)被开方数的因数是整数，因式是整式. (2)被开方数中不含开方开得尽方的因数或因式. (3)分母不能含有根号。 化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数 . 四、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，若被开方数 相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
，则的取值范围是 x≤2 中，自变量x的取值 ( C) D. x <4
4.(2004年· 甘肃)在函数 范围是 A.x ≥4 B. x ≤4 C. x >4
课时训练
5.(2004年· 南昌)化简 6. (2004年·南京市)计算：
4
7. (2004年·临汾市)若实数a＜b，则化简 结果是 A.a+b B.a-b C.-a-b D.-a+b
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二次根式复习课(29张PPT)
特殊二次根式
总结词
特殊二次根式是指具有特殊形式或意义的二次根式，如算术平方根、完全平方 根等。
详细描述
算术平方根是指非负数的平方根，即$sqrt{a}$（$a geq 0$）；完全平方根是 指一个数的平方等于给定值的平方根，即$sqrt{x^2}$。此外，还有一些特殊的 二次根式，如勾股定理中的勾股数、几何图形中的边长等。
二次根式的加减法
总结词
掌握二次根式的加减法规则
示例
$sqrt{2} + sqrt{3}$ 不能合并；$sqrt{2} + sqrt{2} = 2sqrt{2}$。
04
二次根式的应用
实际问题中的二次根式
计算物体的高度和长度
通过已知的长度和角度，利用二次根式计算物体的 高度或长度。
速度和加速度的计算
03
二次根式的化简与运算
二次根式的化简
总结词
掌握化简二次根式的方法
示例
$sqrt{25x^{2}}$ 可以化简为 $5x$；$sqrt{9a^{2} + 6ab + b^{2}}$ 可以化简为 $3a + b$。
二次根式的乘除法
总结词
掌握二次根式的乘除法规则
示例
$sqrt{2} times sqrt{3} = sqrt{6}$；$frac{sqrt{2}}{sqrt{3}} = frac{sqrt{2} times sqrt{3}}{sqrt{3} times sqrt{3}} = frac{sqrt{6}}{3}$。
与平面几何的结合
03
在解决平面几何问题时，有时需要用到二次根式的性质和运算
法则。
05
习题与解答
习题
中考总复习——二次根式精品PPT教学课件
5. ( )a2=a(a≥0).
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a2
a(a0) |a|a(a0)
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三、最简二次根式
满足下列三个条件的二次根式，叫做最简二次根式. (1)被开方数的因数是整数，因式是整式. (2)被开方数中不含开方开得尽方的因数或因式. (3)分母不能含有根号。 化简时应注意把被开方数分解因式或分解因数.
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五、分母有理化：
1、定义： 把分母中的根号化去。
2、方法： 分子、分母同时乘以分母的有理化因式。
3、有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们 的积中不含二次根式 ，我们说这两个二次根 式互为有理化因式。
4、常见的互为有理化因式：
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7Leabharlann 1) a的有理化因式为 : a
2)a b的有理化因式为: a b
3)a b c d的有理化因式:为a bc d
4) a b 的有理化因式是 a b a b的有理化因式是 a b
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➢ 典型例题解析
【例1】
已知 xy0,则 x2y 化简后为（ B ）
A. x y B. x y C. x y
D. x y
a 3a
= ab ab
3
二次根式的乘除运算可以考虑先将被开
方数进行乘除法计算，再化简二次根式，
而不一定要先将二次根式化成最简二次
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根式再约分.
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【例3】 求代数式的值. ➢ 典型例题解析
(1) 若 a2 2 3 3,b2 2 3 3,求 aa 2b 2 a b22b的.值
(2) 若x2-4x+1=0，求
中考数学总复习——二次根式的综合复习(共32张PPT)
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1.写出一个与 2 能合并的二次根式________．（答案不唯一） 2.在数轴上与 3 表示的点的距离最近的整数点所表示的数是________． 3.已知 45n是整数，则满足条件的最小正整数为________． 4.在 3 与 5 两数之间整数共有________个．
1.要使二次根式有意义，字母必须满足的条件是（ ） 2.函数中自变量的取值范围是（ ） 3.下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） 4.下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
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a a a 0,b 0
bb
a a a 0,b 0
bb
二次根式的加减实质：先化简为最简二次根式，然后合并同类二次根式. 先乘方（或开方），再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；能利用运算律或 乘法公式进行运算的，可适当改变运算顺序进行简便运算. 有理数的加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律、乘法对加法的分配律，以及多项 式的乘法公式，都适用于二次根式的运算.
5.如图，在数轴上点A和点B之间的整数是________．
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《二次根式》PPT课件(第一课时)
取值范围是__3___x___0
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 a1有意义,那么A(a, a) 在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
n为3，8，11，12
思考题
已知 2x 1 1 2x y 3,
再 见
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果
例1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
(4) 12 , (5) m m 0 ,
(6) xy x, y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5.
求代数式 xy的值.
解：依题意得，
2x 1 0 1- 2x 0
解得，x 1 2
y 3
xy 1 3 3 22
课堂练习
一艘轮船先向东北方向航行2小时,再向西 北方向航行t小时.船的航速是每小时25千米. 1)用关于t的代数式表示船离开出发地的距离; 2)求当t=3时,船离开出发地多少千米？(精确
第二十一章二次根式
21.1 二次根式(1)
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个
数叫做a的平方根.
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根,统称算术平
方根.
用 a (a 0)表示.
塔座
50米 ?米 a米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为 ____a_2___2_5_0_0___米.
②分母中有字母时,要保证分母不为零.
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 a1有意义,那么A(a, a) 在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
n为3，8，11，12
思考题
已知 2x 1 1 2x y 3,
再 见
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果
例1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
(4) 12 , (5) m m 0 ,
(6) xy x, y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5.
求代数式 xy的值.
解：依题意得，
2x 1 0 1- 2x 0
解得，x 1 2
y 3
xy 1 3 3 22
课堂练习
一艘轮船先向东北方向航行2小时,再向西 北方向航行t小时.船的航速是每小时25千米. 1)用关于t的代数式表示船离开出发地的距离; 2)求当t=3时,船离开出发地多少千米？(精确
第二十一章二次根式
21.1 二次根式(1)
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个
数叫做a的平方根.
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根,统称算术平
方根.
用 a (a 0)表示.
塔座
50米 ?米 a米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为 ____a_2___2_5_0_0___米.
②分母中有字母时,要保证分母不为零.
二次根式ppt课件
通过案例讲解二次根式在实际问 题中的应用
分析数学模型和实际问题之间的 关系
课程安排
4. 课堂练习和总结（10分钟）
提供课堂练习，检验学生对所 学内容的掌握情况
总结本节课的重点和难点，进 行回顾和总结
PART 02
二次根式的基本概念
二次根式的定义
总结词：非负数
详细描述：二次根式是指根号内含有未知数的数学表达式，它必须满足被开方数为非负数，否则没有 意义。
要点二
培养学生的数学思维和解决问题 的能力，例如
让学生自己设计一个与二次根式相关的问题并解决它等。
PART 06
总结与回顾
主要知识点回顾
二次根式的定义
二次根式是一种可以用来解决各 种实际问题的数学工具，它表示 一个非负数通过开方得到的平方
根。
二次根式的性质
二次根式具有非负性、有界性、正 值性等性质，这些性质在解决实际 问题时具有重要的应用价值。
PART 04
二次根式的应用
代数领域的应用
01
02
03
根式与方程的解
通过二次根式，我们可以 求解一元二次方程的解， 确定其实数根和虚数根。
根式的化简
在代数运算中，对根式进 行化简可以简化表达式， 提高运算效率。
根式与不等式
利用根式可以求解一元二 次不等式，通过确定不等 式的解集，解决实际问题 。
- \sqrt{3}$等。
解决与二次根式相关的实际问题，例如 ：计算圆的面积或周长等。
掌握和运用二次根式的运算法则和公式 ，例如：$(a+b)\sqrt{a} = a\sqrt{a}
+ b\sqrt{a}$等。
综合练习题
要点一
通过综合题目，考察学生对二次 根式的全面理解和运用，例如
九年级数学总复习课件：二次根式(共29张PPT)
2 问: ( 1) 请仿照例中的分类讨论的方法, 分析二次根式 a 的各种展开的情况;
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2
2 ( 2) 猜想 a 与| a| 的大小关系.
2 【思路点拨】 (1)仿照例题的文字描述分类讨论 a 的三种情况.
2 (2)比较 a 与| a| 的三种情况, 得出结论.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
8. (2012·厦门九上质检)计算: 2 × ( 3+ 2) -2 6 . 【解析】 原式= 6 +2-2 6 =2- 6 .
x 1 2 6 9 x 9. (2011·福州九上质检)计算: 3 + 4 -2x x .
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
【解析】
b 3. 二次根式的除法: a =
( a≥0, b>0) .
➡特别提醒: 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式. 【答案】 一、1. a ( a≥0) 2. 因数或因式 3. 被开方数
b 4. a
a 3. b
二、1. a≥0 2. -a 3. a · b
三、1. 最简二次根式 同类
2. ab
复习目标
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
所以综合起来一个数的绝对值要分三种情况, 即:
a | a | 0 a
(当a 0) (当a 0) (当a 0)
.
第 四 讲 第 五 讲 第 六 讲
这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想.
复习目标
知识回顾
重点解析
(a 1) 2
《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)
练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、（ a） ＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质
中考数学专题复习：第四讲二次根式 (共44张PPT)
命题角度1:二次根式的化简 【示范题3】(2017·益阳中考)下列各式化简后的结 果为 3 2 的是 ( )
A .6B .1 2C .1 8D .3 6
【思路点拨】利用二次根式的性质化简,对比结果得 答案. 【自主解答】选C. 6 不能化简,
1 2 2 3 ， 1 8 3 2 ， 3 6 6 .
2.二次根式的乘除:
(1) a b =__a_b(a≥0,b≥0).
(2)
a b
a
=__b _(a≥0,b>0).
3.积、商平方根的性质:
(1) a b =__a___b(a≥0,b≥0).
(2)
a b
a
=__b _(a≥0,b>0).
4.二次根式的加减:先将二次根式化成_最__简__二__次__根__式__, 再将_被__开__方__数__相同的二次根式合并.
x－ 1－ 2
1 2
x
0，
解得x＝ 1，
0，
2
22
∴xy= 1 ×(-6)=-3.
2
答案:-3
考点三 二次根式的运算 【考情分析】二次根式的运算的层级为了解法则并会 应用法则进行计算,在各地中考试题中均有体现,是二 次根式的一个重要考向,一般与实数的性质、零指数 幂、负指数幂、特殊角的三角函数值结合一起考查, 各种题型均有体现.
【自主解答】(1)选A.由题图可知:a<0,b>0,得a-b<0,
则|a|+ a =b-2 a-(a-b)=-2a+b.
(2)选A.由题意得|x2-4x+4|+ 2x－y－=30, 即|(x-2)2|+ 2x－y=－03, 由非负数的性质得 2 xx － － 2y－ 030,解 得 x y 12， 所以x+y=3.
中考复习5二次根式 PPT
_a_(a 0)，
a2 =|a|= __a_(a＜0) ab =___a_·__b_(a≥0,b≥0).
商的算术平方根
a = __a_ (a≥0,b>0).
b __b_
三、二次根式的运算 1.二次根式的加减:先将各根式化为_最__简__二__次__根__式__, 然后合并被开方数_相__同__的二次根式.
(2) a2 与( a )2的异同: a2 中的a可以取任何实数,而( a )2中的a必须取非负
数,只有当a取非负数时, a2 =( a )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如
图所示,化简|a|+ a b2 的结果是 ( )
A.-2a+b B.2a-b C.-b
a 22 +|1-a|的值是 (
A.-1 B.1 C.2a-3
) D.3-2a
(2)(2016·自贡中考)若 于( )
a +1b2-4b+4=0,则ab的值等
A.-2 B.0
C.1
D.2
【思路点拨】(1)先应用 a=2 |a|性质化简,再根据a的范 围判断a-2与1-a的正负,去绝对值计算. (2)应用二次根式及绝对值的非负性列方程组,求出a,b 的值,代入代数式进行计算.
a
b b
a
a
b
a bga b a 1 a b ， ab ab ab ab ab
当a 1 3，b 1 3时，
原式 1 3 1 3 3 3 . 1 3 1 3 2 3 6
【名师点津】二次根式运算中需注意的三个问题
(1)二次根式乘法、除法法则也可逆用, ab a g b (a≥0,b≥0), a a (a≥0,b>0),利用这两个等式可
a2 =|a|= __a_(a＜0) ab =___a_·__b_(a≥0,b≥0).
商的算术平方根
a = __a_ (a≥0,b>0).
b __b_
三、二次根式的运算 1.二次根式的加减:先将各根式化为_最__简__二__次__根__式__, 然后合并被开方数_相__同__的二次根式.
(2) a2 与( a )2的异同: a2 中的a可以取任何实数,而( a )2中的a必须取非负
数,只有当a取非负数时, a2 =( a )2.
【题组过关】 1.(2016·潍坊中考)实数a,b在数轴上对应点的位置如
图所示,化简|a|+ a b2 的结果是 ( )
A.-2a+b B.2a-b C.-b
a 22 +|1-a|的值是 (
A.-1 B.1 C.2a-3
) D.3-2a
(2)(2016·自贡中考)若 于( )
a +1b2-4b+4=0,则ab的值等
A.-2 B.0
C.1
D.2
【思路点拨】(1)先应用 a=2 |a|性质化简,再根据a的范 围判断a-2与1-a的正负,去绝对值计算. (2)应用二次根式及绝对值的非负性列方程组,求出a,b 的值,代入代数式进行计算.
a
b b
a
a
b
a bga b a 1 a b ， ab ab ab ab ab
当a 1 3，b 1 3时，
原式 1 3 1 3 3 3 . 1 3 1 3 2 3 6
【名师点津】二次根式运算中需注意的三个问题
(1)二次根式乘法、除法法则也可逆用, ab a g b (a≥0,b≥0), a a (a≥0,b>0),利用这两个等式可
《二次根式》PPT(第1课时)
，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）
a
表示一个数或式的算术平方根，可知
二次根式的被开方数非负
二次根式的双重非负性
二次根式的值非负
a
≥0.
典例精析
例3
若
a2
b 3 (c 4) 2 0，
求a -b+c的值.
解： 由题意可知 a-2=0，b-3=0，c-4=0,
在学习中，我们会遇到这样的表达式：
问题： 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2， S
，
h
5
．
归纳总结
一般地，我们把形如
a ( a 0)
的式子叫做二
次根式. “
”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“
”
两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
（2） − 2 − 2 − 3.
解：(1)∵无论x为何实数，− 2 + 2 − 1 = − − 1
2
≤ 0，
∴当x=1时， − 2 + 2 − 1在实数范围内有意义.
(2)∵无论为何实数，- 2-2-3=-(+1)2-2＜0，
∴无论 为何实数，
− 2 − 2 − 3
在实数范围内都无意义.
1 − 1;
(2ሻ 2 + 3
3
解： (1ሻ ∵ −1 ≥ 0， ∴ ≥ 1.
3
(2ሻ ∵ 2 + 3 ≥ 0， ∴ ≥ − .
2
3 ∵ − ≥ 0， ∴ ≤ 0.
(4ሻ ∵ 5 − ＞0， ∴ ＜5.
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）
a
表示一个数或式的算术平方根，可知
二次根式的被开方数非负
二次根式的双重非负性
二次根式的值非负
a
≥0.
典例精析
例3
若
a2
b 3 (c 4) 2 0，
求a -b+c的值.
解： 由题意可知 a-2=0，b-3=0，c-4=0,
在学习中，我们会遇到这样的表达式：
问题： 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2， S
，
h
5
．
归纳总结
一般地，我们把形如
a ( a 0)
的式子叫做二
次根式. “
”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“
”
两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
（2） − 2 − 2 − 3.
解：(1)∵无论x为何实数，− 2 + 2 − 1 = − − 1
2
≤ 0，
∴当x=1时， − 2 + 2 − 1在实数范围内有意义.
(2)∵无论为何实数，- 2-2-3=-(+1)2-2＜0，
∴无论 为何实数，
− 2 − 2 − 3
在实数范围内都无意义.
1 − 1;
(2ሻ 2 + 3
3
解： (1ሻ ∵ −1 ≥ 0， ∴ ≥ 1.
3
(2ሻ ∵ 2 + 3 ≥ 0， ∴ ≥ − .
2
3 ∵ − ≥ 0， ∴ ≤ 0.
(4ሻ ∵ 5 − ＞0， ∴ ＜5.