全等三角形证明条件归类

全等三角形证明条件归类

初学三角形全等证明，根据已知条件找到证明全等的三个条件是难点。如何才能找到证明全等证明的三个条件呢？从三角形全等证明的四种证明方法（边角边、角边角、角角边、边边边）来看：已知两边对应相等，第三个条件可以找已知两边的夹角对应相等，或找第三边对应相等；如果告诉了两个角对应相等，第三个条件找两个角的夹边对应相等，或是已知的两个角中的某个角的对应边相等；已知一边和一角对应相等，第三个条件可能是对应相等角的另一边对应相等，或是另一角对应相等。分析以上这些情况，找第三个条件分两种情况：一是再找一组对应边相等，二是再找一组对应角相等。对应边相等的情形从题目给定的条件来看分以下几种情况：

一是公共边是第三个条件

例1：如图，在ABD ABC ∆∆与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ∆≌ABD ∆ 证明：△ABD 和△BAC 中：

∵ BD=AC

BC=AD

AB=BA(公共边)

∴ ABC ∆≌ABD ∆（SSS ） 二是相等对应边+公共边的和对应相等是第三个条件

例1：如图2，已知AC=DF, ∠A=∠D,AE=BD, 求证：ΔABC ≌ΔDEF

证明：∵AE=BD

∴ AE+EB=BD+EB （即AB=DE ）

在△ABC 和△DEF 中

∵AC=DF ∠A=∠D AB=DE

∴ΔABC ≌ΔDEF （SAS ）

例2如图：AB=CD ，AE=DF ，CE=FB 。求证：AF=DE 。

∵CE=FB ∴CE+EF=EF+FB （即CF=BE ）

∵AB=DC AE=DF CF=BE

∴△ABE ≌△CDF （SSS ）

∴AF=DE 三是相等对应边-公共边的差对应相等是第三个条件 例1：如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 证明：∵DF=CE ，

∴DF-EF=CE-EF ，即DE=CF ，

在△AED 和△BFC 中，

∵ AD=BC ， ∠D=∠C ，DE=CF B

F D 第F E D C B

A F E D

C B A

∴△AED ≌△BFC （SAS ）

四是等边三角形的三边相等（等腰三角形两腰相等）是第三个条件

例1：如图5，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，

求证：△ACD ≌△BCE 。

证明：∵△ABC 和△CDE 都是等边三角形 ∴AC=BC CD=CE ∠ACB=∠DCE=60°

∴∠ACB+∠ACE =∠DCE+∠ACE （即∠BCE=∠ACD ）

在△ACD 和△BCE 中，

∵ AC=BC ∠BCE=∠ACD CD=CE ，

∴△ACD ≌△BCE （SAS ） 五是添加辅助线与对应的线段相等是第三个条件

例1已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C

证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE

∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD

∵AE ＝AC AD ＝AD

∴△AED ≌△ACD （SAS ）

∴∠E ＝∠C

∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD

∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E

∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C

六是二次证全等找到对应的线段相等是第三个条件

例1已知：如图，∠A=∠D=90°，AE=DE ．求证：△ABC ≌△DCB ．

证明：∵∠A=∠D AE=DE ∠AEB=∠DEC （对顶角）

∴△AED ≌△ACD （ASA ） ∴EC=EB

∴EC+AE=EB+DE （即AC=DB ） 在Rt △ABC 和Rt △DCB 中

∵∠A=∠D=90° AC=DB BC=BC （公共边） ∴△ABC ≌△DCB (HL)

七是中点等分线段对应相等是第三个条件

例1，如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，

求证：△AED ≌△EBC ．

证明：∵DC ∥AB ∴∠CDE ＝∠AED

∵DE ＝DE ，DC ＝AE ∴△AED ≌△EDC 第5

A B C D E O E D

C

B A

∵E 为AB 中点 ∴AE ＝BE ∴BE ＝DC

∵DC ∥AB ∴∠DCE ＝∠BEC

∵CE ＝CE ∴△EBC ≌△EDC ∴△AED ≌△EBC

八是其他情形

对应角相等的情形从题目给定的条件来看

分以下几种情况：

一是公共角相等是第三个条件

例1． 如图，CA ⊥BF 于A ，BE ⊥CF 于E ，若AC =BE

求证：△AFC ≌△EFB

证明：∵CA ⊥BF BE ⊥CF ∴∠CAF=∠BEF =90°

在 △AFC 和△EFB 中

∵∠CAF=∠BEF ∠F=∠ F （公共角） AC =BE

∴△AFC ≌△EFB （AAS ）

二是对顶角相等是第三个条件

例1如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，∠CFM=∠E BE=CF 。

求证：△BEM ≌△CFM

证明：∵∠CFM=∠E ∠CMF=∠BME （对顶角） BE=CF

∴△BEM ≌△CFM （AAS ） 三是平行线截得的同位角或内错角相等是第三个条件

例1. 已知：∠1=∠2，EF//AB ，∠B=∠ACD CD=DE

求证：△EFD ≌△DAC

证明∵EF//AB

∴∠1=∠EFD ∠B=∠FED

∵∠1=∠2 ∠B=∠ACD

∴∠EFD=∠2 ∠FED=∠ACD

在△EFD 和△DAC 中

∵∠EFD=∠2 ∠FED=∠ACD CD=DE

∴△EFD ≌△DAC 四是同角（或等角）的余角（或补角）相等是第三个条件

例1．已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明：在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF

B A C

D F 2 1

E M

F E C B

A