lingo求解多目标规划--例题
一个使用Lingo求解多目标0-1整数规划问题答案
AK是一家空调制造商，其面临的需求增长很快。
预计2001年，其全国的需求在南部将为180,000单位，在中部为120,000单位，在东部为110,000单位，在西部为100,000单位。
DryIce在设计物流网络时，有四个备选的地点：New York, Atlanta, Chicago和San Diego。
在这四个地点建厂，工厂的生产能力将要么为200,000单位，要么为400,000单位。
工厂的年固定运营成本及从工厂所在地生产出产品并运往四个销售区域的生产和运输的单位成本如表所示。
请为该设施网络的设计建立模型，并请对模型作简要说明。
设定变量如下表所示：其中M11 M12等一系列值为0.1变量，即可得到如下式子：m12+9200000*m22+232*x12+212*x22+230*x32+280*x42+5600000*m13+9300000*m 23+238*x13+230*x23+215*x33+270*x43+6100000*m14+10200000*m24+299*x14+2 80*x24+270*x34+225*x44;m11*200000+m21*400000>=x11+x21+x31+x41;m12*200000+m22*400000>=x12+x22+x32+x42;m13*200000+m23*400000>=x13+x23+x33+x43;m14*200000+m24*400000>=x14+x24+x34+x44;x11+x12+x13+x14>=110000;x21+x22+x23+x24>=180000;x31+x32+x33+x34>=120000;x41+x42+x43+x44>=100000;@bin(m11);@bin(m21);@bin(m12);@bin(m22);@bin(m13);@bin(m23);@bin(m14);@bin(m24);通过运行LINGO得到如下结果：Global optimal solution found.Objective value: 0.1294800E+09Extended solver steps: 0Total solver iterations: 131Variable Value Reduced CostM11 0.000000 -6200000.M21 0.000000 -0.1440000E+08 X11 0.000000 0.000000X21 0.000000 41.00000X31 0.000000 31.00000X41 0.000000 136.0000M12 0.000000 -2500000.M22 1.000000 -6800000.X12 110000.0 0.000000X22 180000.0 0.000000X32 110000.0 0.000000X42 0.000000 95.00000M13 0.000000 -5400000.M23 0.000000 -0.1270000E+08 X13 0.000000 21.00000X23 0.000000 33.00000X33 0.000000 0.000000X43 0.000000 100.0000M14 1.000000 6100000.M24 0.000000 0.1020000E+08 X14 0.000000 27.00000X24 0.000000 28.00000X34 10000.00 0.000000X44 100000.0 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 0.1294800E+09 -1.0000002 0.000000 -61.000003 0.000000 -40.000004 0.000000 -55.000005 90000.00 0.0000006 0.000000 -272.00007 0.000000 -252.00008 0.000000 -270.00009 0.000000 -225.0000如下表：总成本为：$129480000。
用LINGO软件求解目标规划问题
10 x1 + 15 x2 + d1 d1+ = 40 + x1 + x2 + d 2 d 2 = 10 s.t. d1+ = 0 x1 , x2 , d , d + ≥ 0, j = 1,2 j j
用LINGO求解,得最优解 d = d 具体LINGO程序及输出信息如下:LINGO程序为(参见图 4.4.4):
+ 1
=0, 1
d2 = 6 ,最优值为6.
精品课程《运筹学》
图4.4.4
精品课程《运筹学》
LINGO运算后输出为(参见图4.4.5):
图4.4.5 精品课程《运筹学》
d 对应于第三优先等级,将d1+ =0, 2 = 6 作为约束条件, 建立线性规划问题:
min z = d 3 10 x1 + 15 x2 + d1 d1+ = 40 + x1 + x2 + d 2 d 2 = 10 x2 + d 3 d 3+ = 7 s.t. d1+ = 0, d 2 = 6 + x1 , x2 , d j , d j ≥ 0, j = 1,2,3
10 x1 + 15 x 2 + d 1 d 1+ = 40 + x1 + x 2 + d 2 d 2 = 10 s.t. x 2 + d 3 d 3+ = 7 x1 , x 2 , d , d + ≥ 0, j = 1,2,3 j j
精品课程《运筹学》
解:首先对应于第一优先等级,建立线性规 划问题:
x1 = 4, x2 = 0, d1+ = d1 = 0 , 用LINGO求解,得最优解是
Lingo解目标规划
不考虑目标，运输问题的数学模型为：
设xij 表示从第i个产地向第j个销地的运量。则： min z cij xij
i 1 j 1 3 4
x
j 1 3
4
ij
ai , i 1,2,3 b j , j 1,2,3,4
x
i 1
ij
xij 0
Lingo代码：
sets: cd/1..3/:a; xd/1..4/:b; links(cd,xd):c,x; endsets data: a=300 200 400; b=200 100 450 250; c=5 2 6 7 3546 4 5 2 3; enddata min=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j)); @for(cd(i):@sum(xd(j):x(i,j))<=a(i)); @for(xd(j):@sum(cd(i):x(i,j))>=b(j));
整数线性规划一般形式：
max(min) z c j x j
j 1
n
( a )
n (b) aij x j ( , )bi j 1 (c ) xj 0 x , x , , x 中部分或全部取整数 ( d ) n 1 2
Lingo代码
min=d31; 2*x1+x2<=11; x1-x2+d11-d12=0; x1+2*x2+d21-d22=10; 8*x1+10*x2+d31-d32=56; d12=0; d21+d22=0;
例2：
min z p1d1 p2 d 2 p3 (2d 3 d 4 )
5 11
运用Lingo进行线性规划求解(实例)
LinDo
输入模型 求解
点击求解按钮 结果
即可
♂返回
!注释内容，可用中文
输
!目标函数：最大-max,最小-min,大小写不分
max 3 x1+5 x2+4 x3
入
!约束，以subject to开始
模
subject to
型
2 x1+3 x2<=1500
2 x2+4 x3<=800
3*x1+2*x2+5*x3<=2 000; end
注意与LinDo的区别
目标函数中加等号 变量与系数之间用“*” Model:-end可省略
♂返回
LinGo 模 式
Model: Sets: !定义集合
Endsets
Data:
！定义数据
Enddata 调用函数与计算
end
♂返回
model: ！开始
数
@sum(set(set_index_list)|condition:expressi
on)
@min(max)(set(set_index_list)|condition:ex pression)
♂返回
Global optimal solution found at
iteration:
3
结
Objective value: 2675.000
果
Variable Value
Reduced Cost
C( 1) 3.000000
0.000000
C( 2) 5.000000
0.000000
C( 3) 4.000000
0.000000
用Lingo软件编程求解规划问题
x2桶牛奶生产A2 获利 16×4 x2
Max z 72 x1 64 x2
x1 x2 50
12 x1 8x2 480 3x1 100
x1, x2 0
线性规 划模型 (LP)
例1——加工奶制品的生产计划
x1 x2 50
12
x1 8x2 480 3x1 100
Lingo软件——基本集合元素的列举
一个原始集是由一些最基本的对象组成的。 setname [/member_list/] [: attribute_list];
sets: students/John Jill, Rose Mike/: sex, age;
endsets
集、集成员和集属性
• 集成员无论用何种字符标记,它的索引都是 从1开始连续计数。
ij
8
j 1
N Nij
V
i
i 1, ,6,j 1, ,8, i 1, ,6,
N 6
i1 ij
d
j
j 1, ,8.
结果
Lingo软件
Lingo 是一个可以简洁地阐述、解决和分析复杂问题的简便工具。
其特点是程序执行速度很快，易于输入、修改、求解和分析一个数 学规划问题。
N 6
i1 ij
d
j
j 1, ,8.
corps
需求量 35 37 22 32 41 32 43 38
拥有量
60 55 51 depot 43 41 52
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8
A1
62674259
A2
49538582
用LINGO求解线性规划的例子
附1：用LINGO求解线性规划的例子一奶制品加工厂用牛奶生产A1、A2两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤A2。
根据市场需求，生产的A1、A2能全部售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下3个附加问题：1）若用35元可以购买到1桶牛奶，应否作这项投资？若投资，每天最多购买多少桶牛奶？2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否改变生产计划？数学模型：设每天用x1桶牛奶生产A1 ，用x2桶牛奶生产A2目标函数：设每天获利为z元。
x1桶牛奶可生产3x1公斤A1，获利24*3x1，x2桶牛奶可生产4*x2公斤A2，获利16*4x2，故z=72x1+64x2约束条件：原料供应：生产A1、A2的原料（牛奶）总量不超过每天的供应50桶，即x1+x2≤50劳动时间：生产A1、A2的总加工时间不超过每天正式工人总的劳动时间480小时，即12x1+8x2≤480设备能力：A1的产量不得超过设备甲每天的加工能力100小时，即3x1≤100非负约束：x1、x2均不能为负值，即x1≥0，x2≥0综上所述可得max z=72x1+64x2s.t.x1+x2≤5012x1+8x2≤4803x1≤100x1≥0，x2≥0显然，目标函数和约束条件都是线性的，这是一个线性规划（LP），求出的最优解将给出使净利润最大的生产计划，要讨论的问题需要考虑参数的变化对最优解和影响，一般称为敏感性（或灵敏度）分析。
LINGO求解线性规划用LINGO求解线性规划时，首先在LINGO软件的模型窗口输入一个LP模型，模型以MAX或MIN 开始，按线性规划问题的自然形式输入（见下面例子所示）。
用lingo求解规划问题实例
用lingo求解规划问题实例用Lingo求解规划问题实例问题一:某公司打算向它的3个营业区增设6个销售店，每个营业区至少增设一个。
从各区赚取的利润与增设的销售店个数有关，其数据如下表所示。
试求各区应分配几个增设的销售店，才能使总利润最大。
销售点增加数 0 1 2 3 4A区利润/万元 100 200 280 330 340B区利润/万元 200 210 220 225 230C区利润/万元 150 160 170 180 200分析:要设置集合zone/A,B,C/，表示三个地区。
因为获得的利润与地区和各地的销售点增加数均相关，所以可以仿照运输模型，用number/1..4/表示每个地区可选的销售点增加数，1，在i地区新增j个销售点,然后用一个派生集links(zone,number):c,profit，定义 c,,ij0，其他,profit(i,j)为在i地区新增j个销售点能获得的利润。
可写出约束条件为:4， c,1i,1,2,3,ijj,1c,0或1 ij34cj,6 ,,ijij,,11所求函数为max=@sum(links:c*profit);Lingo程序如下:model:sets:zone/A,B,C/; !A,B,C三个地区;number/1..4/; !各地区可选择新建的销售点数目，可选1~4中的一个数，通过links把zone和number联系起来;links(zone,number):c,profit; !若在i地区新建j个销售点，则c(i,j)=1,否则c(i,j)=0.profit(i,j)表示在i地区新建j个销售点的利润; endsets data:profit=200 280 330 340210 220 225 230160 170 180 200;enddatamax=@sum(links:c*profit);@for(zone(I):@sum(number(J):c(I,J))=1); !对于每一个地区，新建销售点的数目是一定的，c的和为1;@sum(zone(I):@sum(number(J):c(I,J)*J))=6; !三个地区新建的销售点总数为6;@for(links(i,j):@bin(c(i,j))); !每一个c(i,j)只能取0或1;end用Lingo求解，结果如下:Global optimal solution found.Objective value: 710.0000Extended solver steps: 0Total solver iterations: 0Variable Value Reduced CostC( A, 1) 0.000000 -200.0000C( A, 2) 0.000000 -280.0000C( A, 3) 1.000000 -330.0000C( A, 4) 0.000000 -340.0000C( B, 1) 1.000000 -210.0000C( B, 2) 0.000000 -220.0000C( B, 3) 0.000000 -225.0000C( B, 4) 0.000000 -230.0000C( C, 1) 0.000000 -160.0000C( C, 2) 1.000000 -170.0000C( C, 3) 0.000000 -180.0000C( C, 4) 0.000000 -200.0000 则在A，B，C区域应分别新增3，1，2个销售点，可获得的最大利润为710万元。
lingo求解多目标规划--例题
实验二：目标规划一、实验目得目标规划就是由线性规划发展演变而来得，线性规划考虑得就是只有一个目标函数得问题，而实际问题中往往需要考虑多个目标函数，这些目标不仅有主次关系，而且有得还相互矛盾。
这些问题用线性规划求解就比较困难，因而提出了目标规划。
熟悉目标规划模型得建立，求解过程及结果分析。
二、目标规划得一般模型设)...2,1(n j x j =就是目标规划得决策变量，共有m 个约束就是国内刚性约束，可能就是等式约束，也可能就是不等式约束。
设有l 个柔性目标约束，其目标规划约束得偏差就是),...,2,1(,l i d d i i =-+。
设有q 个优先级别，分别为q p p p ,...,21。
在同一个优先级k p 中，有不同得权重，分别记为),...,2,1(,l j w w kj kj =-+。
因此目标规划模型得一般数学表达式为： min ∑∑=++--=+=l j j kj j kj q k kd w d w p z 11);(s 、t 、,,...2,1,),(1m i b x a n j i j ij =≥=≤∑= .,...2,1,0,,,...,2,1,,,...2,1,1l i d d n x o x l i g d d x ci i j i n j i i j ij =≥=≥==-++-=+-∑ 三、实验设备及分组实验在计算机中心机房进行，使用微型电子计算机，每人一机（一组）。
四、实验内容及步骤1、打开LINGO ，并利用系统菜单与向导在E 盘创建一个项目。
目录与项目名推荐使用学生自己得学号。
2、以此题为例，建立数学模型，并用说明语句进行说明，增强程序得可读性。
例2、1：某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A ，B ，C 三种设备，已知有关数据见下表。
企业得经营目标不仅仅就是利润，还需要考虑多个方面：（1） 力求使利润不低于1500元；（2） 考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品得产量比应尽量保持1：2；（3） 设备A 为贵重设备，严格禁止超时使用；（4） 设备C 可以适当加班，但要控制；设备B 即要求充分利用，又尽可能不加班。
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实验二：目标规划一、实验目的目标规划是由线性规划发展演变而来的，线性规划考虑的是只有一个目标函数的问题，而实际问题中往往需要考虑多个目标函数，这些目标不仅有主次关系，而且有的还相互矛盾。
这些问题用线性规划求解就比较困难，因而提出了目标规划。
熟悉目标规划模型的建立，求解过程及结果分析。
二、目标规划的一般模型设)...2,1(n j x j =是目标规划的决策变量，共有m 个约束是国内刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l 个柔性目标约束，其目标规划约束的偏差是),...,2,1(,l i d d i i =-+。
设有q 个优先级别，分别为q p p p ,...,21。
在同一个优先级k p 中，有不同的权重，分别记为),...,2,1(,l j w w kj kj =-+。
因此目标规划模型的一般数学表达式为： min ∑∑=++--=+=l j j kj j kj q k k d w d w p z 11);(. ,,...2,1,),(1m i b x an j i j ij =≥=≤∑=.,...2,1,0,,,...,2,1,,,...2,1,1l i d d n x o x l i g d d x c i i j i n j i i j ij =≥=≥==-++-=+-∑ 三、实验设备及分组实验在计算机中心机房进行，使用微型电子计算机，每人一机（一组）。
四、实验内容及步骤1、打开LINGO ，并利用系统菜单和向导在E 盘创建一个项目。
目录和项目名推荐使用学生自己的学号。
2、以此题为例，建立数学模型，并用说明语句进行说明，增强程序的可读性。
例：某工厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，需要用到A ，B ，C 三种设备，已知有关数据见下表。
企业的经营目标不仅仅是利润，还需要考虑多个方面：（1） 力求使利润不低于1500元；（2） 考虑到市场需求，Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量比应尽量保持1：2；（3） 设备A 为贵重设备，严格禁止超时使用；（4） 设备C 可以适当加班，但要控制；设备B 即要求充分利用，又尽可能不加班。
在重要性上，设备C 是设备B 的3倍。
此题中只有设备A 是刚性约束，其余都是柔性约束。
首先，最重要的指标是企业的利润，将它的优先级列为第一级；其次是Ⅰ、Ⅱ两种产品的产量保持1：2的比例，列为第二级；再次，设备B 、C 的工作时间要有所控制，列为第三级。
在第三级中，设备B 的重要性是设备C 的3倍，因此它们的权重不一样，设备B 的系数是设备C 的3倍。
该计划问题可用数学模型表示为：目标函数 min )33()(433322211++-+--+++++=d d d p d d p d p z 满足约束条件 2122x x + 12≤15003002001121=-+++-d d x x022221=-+-+-d d x x14x 1633=-++-d d 155442=-++-d d x3,2,1,0,,,21=≥+-i d d x x i iLINGO程序为：model:sets:!集合定义部分（从“sets:”开始，到“endsets”结束）：定义集合变量及其元素（含义类似数组的下标）和属性（含义类似于数组）。
level/1..3/:p,z,goal;！level说明的是目标规划的优先级，有三个变量p，z，和goal。
其中p表示优先级，goal表示相应优先级时的最优目标值。
！“1 ..3”的意思是从1到3的所有整数。
！基本集合的定义格式为：setname[/member_ list/][:attribute_list];其中setname为定义的集合名，member_list为元素列表，attribute_list为属性列表。
在“[]”中的内容，表示是可选的项，即该项可以有也可以没有。
variable/1..2/:x;！x为决策变量向量。
h_con_num/1..1/:b;！在目标规划中，约束有两类。
一类是对资源有严格限制的，同线性规划的处理相同，用严格的等式或者不等式约束来处理，称此约束为刚性约束（hard constraint）。
b表示的是刚性约束的资源向量。
s_con_num/1..4/:g,dplus,dminus;！另一类约束是可以不严格限制的，连同原线性规划的目标，构成柔性约束（soft constraint）。
g表示的是柔性约束的资源向量，dplus,dminus是偏差变量。
在目标规划中，用偏差变量（deviational variables）来表示实际值与目标值之间的差异，dplus为超出目标的差值，称为正偏差变量，dminus为未达到目标的差值，称为负偏差变量。
h_cons(h_con_num,variable):A;！刚性约束的价值向量。
s_cons(s_con_num,variable):c;！柔性约束的价值向量。
obj(level,s_con_num):wplus,wminus;！柔性约束在不同优先级下的权重。
endsetsdata:！数据输入部分（从“data：”开始，到“enddata”结束）：作用在于对集合的属性（数组）输入必要的常数数据。
p=? ? ?;！常数列表中的数据之间可以用“，”或者“空格”或者“回车”分开。
如果想在运行时才对参数赋值，可以在数据段使用输入语句，但这仅用于对单个变量赋值，而不能用于属性变量（数值）。
输入语句格式为“变量名=？；”。
goal=? ? 0;b=12;g=1500 0 16 15;a=2 2;c=200 300 2 -1 4 0 0 5;！LINGO中的数据是按列赋值的，而不是按行赋值的。
wplus=0 0 0 00 1 0 00 0 3 1;wminus=1 0 0 00 1 0 00 0 3 0;enddatamin=@sum(level:p*z);！目标函数（“min=”后面所接的表达式）是用求和函数“@sum(集合下标：关于集合属性的表达式)”的方式定义的。
这个函数的功能是对语句中冒号“：”后面的表达式，按照“：”前面的集合指定的下标（元素）进行求和。
这里“@sum”相当于求和符号“∑”。
@for(level(i):z(i)=@sum(s_con_num(j):wplus(i,j)*dplus(j))+@sum(s_con_num(j):wminus(i,j)*dminus(j)));！约束是用循环函数“@for(集合（下标）：关于集合的属性的约束关系）”的方式定义的。
意思是对冒号“：”前面的集合的每个元素（下标），冒号“：”后面的约束关系式都要成立。
@for(h_con_num(i):@sum(variable(j):a(i,j)*x(j))<=b(i));@for(s_con_num(i):@sum(variable(j):c(i,j)*x(j))+dminus(i)-dplus(i)=g(i););@for(level(i)|i#lt#@size(level):@bnd(0,z(i),goal(i));！限制0〈=z（i）〈=goal（i）);！这个限制条件与集合之间有一个“|”分开，称为过滤条件。
限制条件“i#lt#@size（level）”是一个逻辑表达式，意思是i〈@size（level）。
#lt#是逻辑运算符号，意思是“小于”；@size （level）表示集合level元素的个数。
End3、下面开始用LINGO中的图标或者Solve命令编译模型，当程序运行时，会出现一个对话框，如图。
在作第一级目标计算时，p（1），p（2），p（3）分别输入1，0，0，goal （1）和goal（2）输入两个较大的值（例如100000），表明这两项约束不起作用。
运行状态窗口如图，相应信息含义见实验一表。
图 LINGO的实时参数窗口图:LINGO运行状态窗口计算结果如下：Global optimal solution found.Objective value:Total solver iterations: 1Variable Value Reduced Cost P( 1)P( 2)P( 3)Z( 1)Z( 2)Z( 3)GOAL( 1)GOAL( 2) 1000000.GOAL( 3)X( 1)X( 2)B( 1)G( 1)G( 2)G( 3)G( 4)DPLUS( 1)DPLUS( 3)DPLUS( 4)DMINUS( 1)DMINUS( 2)DMINUS( 3)DMINUS( 4)A( 1, 1)A( 1, 2)C( 1, 1)C( 1, 2)C( 2, 1)C( 2, 2)C( 3, 1)C( 3, 2)C( 4, 1)C( 4, 2)WPLUS( 1, 1)WPLUS( 1, 2)WPLUS( 1, 3)WPLUS( 1, 4)WPLUS( 2, 1)WPLUS( 2, 2)WPLUS( 2, 3)WPLUS( 2, 4)WPLUS( 3, 1)WPLUS( 3, 2)WPLUS( 3, 3)WPLUS( 3, 4)WMINUS( 1, 1)WMINUS( 1, 2)WMINUS( 1, 3)WMINUS( 1, 4)WMINUS( 2, 1)WMINUS( 2, 2)WMINUS( 2, 3)WMINUS( 2, 4)WMINUS( 3, 1)WMINUS( 3, 2)WMINUS( 3, 3)WMINUS( 3, 4)Row Slack or Surplus Dual Price 13456789第一级的最优偏差为0，进行第二级计算。
在第二级目标计算时，p（1），p（2），p （3）分别输入0，1，0。
由于第一级的偏差为0，因此goal（1）的输入值为0，goal（2）输入一个较大的值（例如100000）。
计算结果如下：Global optimal solution found.Objective value:Total solver iterations: 2Variable Value Reduced CostP( 1)P( 2)P( 3)Z( 1)Z( 2)Z( 3)GOAL( 1)GOAL( 2)GOAL( 3)X( 1)X( 2)B( 1)G( 1)G( 2)G( 3)G( 4)DPLUS( 1)DPLUS( 2)DPLUS( 3)DPLUS( 4)DMINUS( 1)DMINUS( 2)DMINUS( 3)DMINUS( 4)A( 1, 1)A( 1, 2)C( 1, 2)C( 2, 1)C( 2, 2)C( 3, 1)C( 3, 2)C( 4, 1)C( 4, 2)WPLUS( 1, 1)WPLUS( 1, 2)WPLUS( 1, 3)WPLUS( 1, 4)WPLUS( 2, 1)WPLUS( 2, 2)WPLUS( 2, 3)WPLUS( 2, 4)WPLUS( 3, 1)WPLUS( 3, 2)WPLUS( 3, 3)WPLUS( 3, 4)WMINUS( 1, 1)WMINUS( 1, 2)WMINUS( 1, 3)WMINUS( 1, 4)WMINUS( 2, 1)WMINUS( 2, 2)WMINUS( 2, 3)WMINUS( 2, 4)WMINUS( 3, 1)WMINUS( 3, 2)WMINUS( 3, 3)WMINUS( 3, 4)Row Slack or Surplus Dual Price123456789第二级的最优偏差为0，进行第三级计算。