《3.2 简单的三角恒等变换》一课一练1
简单的三角恒等变换习题课
三角变换的基本题型 — —化简、求值和证明
1化简．
三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量 少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含 三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式； 能求出的值应尽量求出值． 依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法： 异角化同角；异名化同名；异次化同次；高次降次．
4sin2cos2cosx
＝cos2x－sin2xcxos2x＋sin2x·sin2x cos2cosx
＝cos22x－xsin22xsin2x cos2·cosx x
＝ cosxx·sin2 ＝tan2x. cos2·cosx
四 解综合问题
【例 3】已知－π2＜x＜0，sinx＋cosx＝15. (1)求 sinx－cosx 的值； (2)求3sin22x－ta2nsxin＋2xctao1ns2xx＋cos22x的值．
＝2 sinα2－cosα22＋ 4cos2α2
＝2|sinα2－cosα2|＋2|cosα2|，
且α2∈(π4，π2)，
所以原式＝2(sinα2－cosα2)＋2cosα2＝2sinα2.
三角函数式的化简问题
例1 (1） 已知 π<α<32π，化简：
1＋sinα
＋
1＋cosα－ 1－cosα
1－sinα 1＋cosα＋ 1－cosα.
α 又 4tanα2＝1－tan2α2⇒tanα＝1－2tatann22α2＝21，
所以 tan(α＋β)＝1，又 0＜α＋β＜π2，所以 α＋β＝π4.
三 三角恒等式的证明
【 例 2 】 (1) 已 知 2sinβ ＝ sinα ＋ cosα ， sin2γ ＝ 2sinα·cosα.求证：cos2γ＝2cos2β；
2021年高中数学 3.简单的三角恒等变换课时作业 新人教A版必修4
2021年高中数学 3.2简单的三角恒等变换课时作业 新人教A 版必修4一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．下列各式中，值为12的是( )A ．sin15°cos15°B ．cos 2π6－sin 2π6C.tan30°1－tan 230°D.1＋cos60°2解析：A 中，原式＝12sin30°＝14；B 中，原式＝cos π3＝12；C 中，原式＝122tan30°1－tan 230°＝12tan60°＝32；D 中，原式＝cos30°＝32，故选B. 答案：B2．设a ＝12cos6°－32sin6°，b ＝2sin13°cos13°，c ＝1－cos50°2，则有( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．a <c <bD ．b <c <a解析：由题意可知，a ＝sin24°，b ＝sin26°，c ＝sin25°，而y ＝sin x 在[0°，90°]上为增函数，∴a <c <b ，故选C.答案：C3．sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝( )A ．－79B ．－13C.13D.79解析：cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1.∵(π6－α)＋(π3＋α)＝π2， ∴cos(π3＋α)＝sin(π6－α)＝13.∴cos(2π3＋2α)＝2×(13)2－1＝－79.故选A. 答案：A4．设函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a (a 为实常数)在区间[0，π2]上的最小值为－4，那么α的值等于( )A ．4B ．－6C ．－4D ．－3解析：f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1.当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]，∴f (x )min ＝2·(－12)＋a ＋1＝－4.∴a ＝－4.答案：C5．函数y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1是( )A ．周期是2π的奇函数B ．周期是π的偶函数C ．周期是π的奇函数D ．周期是2π的偶函数解析：y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1＝1＋cos 2x －π62＋1－cos 2x ＋π62－1＝cos 2x －π6－cos 2x ＋π62＝cos2x cos π6＋sin2x sin π6－cos2x cos π6＋sin2x sinπ62＝sin2x2. ∵T ＝2π2＝π，且sin(－2x )＝－sin2x .故选C. 答案：C6．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1解析：∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0， ∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β) ＝2sin αcos2β＝0. 答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．(sin α2＋cos α2)2＋2sin 2(π4－α2)的值等于________．解析：原式＝1＋sin α＋2·1－cosπ2－α2＝1＋sin α＋1－sin α＝2. 答案：28．已知：cos(π6－α)＝33，则sin 2(α－π6)－cos(5π6＋α)的值为________．解析：∵sin 2(α－π6)＝1－cos 2(π6－α)＝1－(33)2＝23， cos(5π6＋α)＝cos[π－(π6－α)]＝－cos(π6－α)＝－33，∴sin 2(α－π6)－cos(5π6＋α)＝23＋33＝2＋33.答案：2＋339．设α是第二象限角，且cos α2＝－1－cos 2π－α2，则α2是第________象限角．解析：2k π＋π2<α<2k π＋π(k ∈Z )，∴k π＋π4<α2<k π＋π2(k ∈Z )．∴α2为第一、三象限角， 又－1－cos2π－α2＝－1－sin2α2＝－cos 2α2＝cos α2，∴cos α2<0，即α2为第三象限角． 答案：三三、解答题(共计40分，其中10题10分，11、12题各15分)10．已知tan2θ＝－22，π<2θ<2π，求2cos 2θ2－sin θ－12sin θ＋π4.解：2cos 2θ2－sin θ－12sin θ＋π4＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ，∵tan2θ＝－22，∴2tan θ1－tan 2θ＝－2 2.∴2tan 2θ－tan θ－2＝0.∴tan 2θ－22tan θ－1＝0. ∴tan θ＝2或tan θ＝－22. ∵π<2θ<2π，∴π2<θ<π，∴tan θ<0.∴tan θ＝－22. ∴原式＝1－－221－22＝3＋2 2.11．已知函数f (x )＝sin x －cos xsin2xsin x.(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝sin x －cos xsin2xsin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin2x －cos2x －1＝2sin(2x －π4)－1，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )．由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )．所以f (x )的单调递增区间为[k π－π8，k π)和(k π，k π＋3π8](k ∈Z )．12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． (1)sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17° (2)sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° (3)sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°(4)sin 2(－18°)＋cos 248°－sin 2(－18°)cos 248° (5)sin 2(－25°)＋cos 255°－sin 2(－25°)cos 255° ①试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．②根据①的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。
人教A版数学必修四《3.2简单的三角恒等变换》一课一练1.docx
3.2 简单的三角恒等变换一、填空题 1．若25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________2．已知sin θ=－53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________．3．已知sin 2α+cos 2α=－53，且2π5＜α＜3π，则cot 4α的值为____________．4．已知α为钝角、β为锐角且sin α=54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________．5． 设5π＜θ＜6π，cos 2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________二、解答题 6．化简θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．7．求证：2sin （4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．8．求证：αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a ．9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值．11． 设－3π＜α＜－2π5，化简2)πcos(1--α．12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2． 13． 求证：4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ．14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos2x的值．15． 已知sin α=1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2β．参考答案一、填空题 1．215+． 2．－3 3． 251- 4． 65657 5．－21a -二、解答题6．解：原式=θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=1)-(+⋅+)-(-⋅+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θθθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+⋅2+⋅ =)cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+⋅)+(⋅ =tan θ．7．证明：左边=2sin （4π－x ）·sin （4π+x ） =2sin （4π－x ）·cos （4π－x ） =sin （2π－2x ） =cos2x=右边，原题得证． 8．证明：左边=αααα22sin cos cos sin 21-⋅-=)sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+⋅-⋅-+ =)sin )(cos sin (cos )sin (cos 2αααααα+-- =ααααsin cos sin cos +-=ααtan 1tan 1+-=右边，原题得证． 9．证明：∵cos A =Bb a bB a cos cos ⋅--⋅，∴1－cos A =Bb a B b a cos )cos 1()(⋅--⋅+，1+cos A =Bb a B b a cos )cos 1()(⋅-+⋅-．∴)cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +⋅--⋅+=+-． 而2tan 2cos 22sin 2cos 1cos 1222A B AA A ==+-， 2tan cos 1cos 12BB B =+-，∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B，即b a b a B A-+=2tan 2tan 22．10．解：因为15°是第一象限的角，所以sin15°=4264)26(43482322231230cos 12-=-=-=-=-=︒-， cos15°=4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=︒+， tan15°=︒+︒-30cos 130cos 1=2－3．11．解：∵－3π＜α＜－2π5，∴－2π3＜2α＜－4π5，cos 2α＜0． 又由诱导公式得cos （α－π）=－cos α， ∴2+=--ααcos 12)πcos(1=－cos 2α． 12．证明：左边=1+2cos 2θ－cos2θ=1+2·22cos 1θ+－cos2θ=2=右边．13．证明：左边=4sin θ·cos 22θ=2sin θ·2cos 22θ=2sin θ·（1+cos θ） =2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin2θ=右边． 14．解：因为25sin 2x +sin x －24=0， 所以sin x =2524或sin x =－1． 又因为x 是第二象限角， 所以sin x =2524，cos x =－257． 又2x是第一或第三象限角， 从而cos2x =±225712cos 1-±=+x =±53． 15．解：∵0＜α＜2π，∴cos α=135sin 12=-α． 又∵0＜α＜2π，0＜β＜2π， ∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜2π， ∵sin （α+β）＜sin α，∴α+β＜α不可能． 故2π＜α+β＜π．∴cos （α+β）=－53． ∴cos β=cos ［（α+β）－α］=cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=－53·54135+·65331312=， ∵0＜β＜2π， ∴0＜2β＜4π． 故cos656572cos 1=+=2ββ．。
三角恒等变换-知识点+例题+练习
三角恒等变换-知识点+例题+练习编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（三角恒等变换-知识点+例题+练习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1）C(α－β）：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；(2）C（α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β; (3）S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β;(4)S（α－β）：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；(5)T（α＋β）：tan（α＋β)＝错误!；(6）T（α－β)：tan（α－β）＝错误!。
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α;（2）C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α;（3）T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.3．有关公式的逆用、变形等（1)tan α±tan β＝tan（α±β）（1∓tan_αtan_β）；（2)cos2α＝错误!，sin2α＝错误!；（3)1＋sin 2α＝（sin α＋cos α）2，1－sin 2α＝(sin α－cos α）2，sin α±cos α＝错误!sin错误!。
4．函数f(α)＝a cos α＋b sin α（a,b为常数），可以化为f（α)＝a2＋b2sin （α＋φ)或f（α）＝a2＋b2cos(α－φ）,其中φ可由a，b的值唯一确定．两个技巧(1）拆角、拼角技巧:2α＝（α＋β)＋(α－β）；α＝(α＋β)－β；β＝错误!－错误!；错误!＝错误!－错误!.（2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”．(2）变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．（3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分"、“分解与组合"、“配方与平方”等．双基自测1．（人教A 版教材习题改编）下列各式的值为14的是( ）． A ．2cos 2 错误!－1B ．1－2sin 275°C 。
教案：3.2简单的三角恒等变换(含答案)
整体设计教学分析本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.三维目标1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.教学过程导入新课复习导入：三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.提出问题①α与2a 有什么关系? 主备人科目 数学 年级班次 课题 3.2 简单的三角恒等变换课时 共1课时②如何建立cosα与sin 22a 之间的关系？ ③sin 22a =2cos 1a -，cos 22a =2cos 1a +，tan 22a =a a cos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？ ④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?⑤证明(1)sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sinθ+sinφ=2sin 2cos 2ϕθϕθ-+. 并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin 22a ,将公式中的α用2a 代替,解出sin 22a 即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2a 的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cosα=1-2sin 22a , 所以sin 22a =2cos 1a -. ① 在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2a 代替α,即得 cosα=2cos 22a -1, 所以cos 22a =2cos 1a +. ② 将①②两个等式的左右两边分别相除,即得tan 22a =aa cos 1cos 1+-. ③ 教师引导学生观察上面的①②③式，可让学生总结出下列特点：(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为:sin 2a =±2cos 1a -,cos 2a =±2cos 1a +,tan 2a =±aa cos 1cos 1+-,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2a 所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ后，解相应的以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=2ϕθ+，β=2ϕθ-,代入(1)式即得(2)式. 证明:(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,将以上两式的左右两边分别相加,得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ,即sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)]. (2)由(1),可得sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ.①设α+β=θ,α-β=φ,那么α=2ϕθ+,β=2ϕθ-. 把α,β的值代入①,即得sinθ+sinφ=2sin2ϕθ+cos 2ϕθ-. 讨论结果：①α是2a 的二倍角. ②sin 22a =1-cos 2cos 1a -. ③④⑤略(见活动）.应用示例例1 化简:.cos sin 1cos sin 1xx x x ++-+ 解:原式=)2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 化简:sin50°(1+3tan10°).解:原式=sin50° 10cos )10sin 2310cos 21(250sin 10cos 10sin 31+•=+ =2sin50°·10cos 10sin 30cos 10cos 30sin + =2cos40°·10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1.例2 已知sinx-cosx=21,求sin 3x-cos 3x 的值. 解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41, 即1-2sinxcosx=41,∴sinxcosx=83. ∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x) =21(1+83)=1611. 已知sinθ+cosθ=51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是______________. 答案:257- 例3 已知1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+AB A B B A B A 求证. 证明一:∵1sin sin cos cos 2424=+BA B A , ∴cos 4A·sin 2B+sin 4A·cos 2B=sin 2B·cos+B.∴cos 4A(1-cos 2B)+sin 4A·cos 2B=(1-cos 2B)cos 2B,即cos 4A-cos 2B(cos 4A-sin 4A)=cos 2B-cos 4B.∴cos 4A-2cos 2Acos 2B+cos 4B=0.∴(cos 2A-cos 2B)2=0.∴cos 2A=cos 2B.∴sin 2A=sin 2B. ∴=+AB A B 2424sin sin cos cos cos 2B+sin 2B=1. 证明二:令BA aB A sin sin ,cos cos cos 22==sin α, 则cos 2A=cosBcos α,sin 2A=sinBsin α.两式相加,得1=cosBcos α+sinBsin α,即cos(B-α)=1.∴B-α=2k π(k ∈Z ),即B=2k π+α(k ∈Z ).∴cos α=cosB,sin α=sinB.∴cos 2A=cosBcos α=cos 2B,sin 2A=sinBsin α=sin 2B. ∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 变式训练在锐角三角形ABC 中,ABC 是它的三个内角,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S<1. 证明:∵S=BA B A B A B A B A tan tan tan tan 1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1+++++=+++++又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°.∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0,∴tanA·tanB>1.∴S<1.例4 证明x x cos sin 1+=tan(4π+2x ). 活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角2x ，三角函数的种类为正切.解：方法一：从右边入手，切化弦，得 tan(4π+2x )=2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()22sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos 2x +sin 2x ,得 x x x x x x x x cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos 2+=-++ 方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得2sin 2cos 2sin 2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos cos sin 12x x x x x x x x x x x x -+=-++=+ 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos 2x ,得 2tan 4tan 12tan 4tan 2tan 12tan 1x x x x ππ-+=-+=tan(4π+2x ). 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法. 变式训练已知α,β∈(0,2π)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解法一:3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β, ① 3sin2α-2sin2β=0⇒3sinαcosα=sin2β, ② ①2+②2:9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1,∴sin 2α=91.∵α∈(0,2π),∴sinα=31. ∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin 2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin 2α+cos 2α)=3×31=1.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π. 解法二:3sin 2α+2sin 2β=1⇒cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α,3sin2α-2sin2β=0⇒sin2β=23sin2α=3sin αcos α, ∴cos(α+2β)=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α·3sin 2α-sin α·3sin αcos α=0.∵α,β∈(0,2π),∴α+2β∈(0,23π).∴α+2β=2π. 解法三:由已知3sin 2α=cos2β,23sin2α=sin2β, 两式相除,得tan α=cot2β,∴tan α=tan(2π-2β). ∵α∈(0,2π),∴tan α>0.∴tan(2π-2β)>0. 又∵β∈(0,2π),∴2π-<2π-2β<2π. 结合tan(2π-2β)>0,得0<2π-2β<2π. ∴由tan α=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π. 例5 求证:αββαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+a 证明:证法一:左边=βαβαβαβαβ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ ==-=-=-aa a a 222222222222tan tan 1cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin ββββββ=右边.∴原式成立. 证法二:右边=1-βββββ2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos a a -= =βββββ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin a a a a -+ =βββ22cos sin )sin()sin(++a a =左边.∴原式成立. 变式训练1.求证:θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1sin 24cos 4sin 1-++=-+. 证明:原等式等价于θθθθθ2tan 4cos 4sin 14cos 4sin 1=++-+.而上式左边θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++==tan2θ右边.∴上式成立,即原等式得证.2.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=mm -+11tanα. 证明:由sinβ=msin(2α+β)⇒sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]⇒sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m 0[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα]⇒(1-m)·sin(α+β)cosα=(1+m)·cos(α+β)sinα⇒tan(α+β)=mm -+11tanα. 知能训练 1.若sinα=135,α在第二象限,则tan 2a 的值为( ) A.5 B.-5 C.51 D.51- 2.设5π<θ<6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( ) A.21a + B.21a - C.21a +- D.21a -- 3.已知sinθ=53-,3π<θ<27π,则tan 2θ_________________. 解答:1.A2.D3.-3课堂小结1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结:本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段.作业课本习题3.2 B 组2.设计感想1.本节主要学习了怎样推导半角公式、积化和差、和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形.还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等.2.在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查.特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方.考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用.从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换.。
32简单的三角恒等变换一课一练1
3.2 简单的三角恒等变换一、填空题’卄 5 11 .小 4 ...a1 .右—nV aV — n, sin2 a=——，求tan ——2 4 5 22 .已知sin 9= —3,3 nV V 匕，贝V tan^ 的值为______________ .5 2 23 .已知sin竺+cos色= ---- 匚，且5—V aV 3 n,贝V cot乞的值为_______________ .2 2 V5 2 44. ________________________________________________________________________ 已知a为钝角、B为锐角且sin a=4, sin 3=12，则cos 的值为 ____________________________5 13 25. 设5 nV 9V 6 n cos^ =a，贝U sin ?的值等于 __________________24、解答题1 sin 2V-COS2：11 si n2 v cos2v7.求证：n . n2sin ( —x) sin ( +x) =cos2x.4 48.求证：1 -2sin、f cos、f 1 -ta n^.2~ ・2一cos —sin a1 tan:-9 .在△ ABC 中，已知 cosA= a C0S B -，求证: a — b cos B 10. 求 sin 15 ； cos15 ° tan15 的值.212.求证：1+2cos 0— cos2 (=2 .e2 —13.求证：4sin 0 •os 、=2sin 0+sin2 0.14.设 25sin 2x+sinx — 24=0 , x 是第二象限角，求 cos —的值.24 2 A P15.已知 sin o= — , sin (o +® = — , a 与 B 均为锐角，求 cos —.13 5 211.设一 3 n< a< —，化简1 COS (： - n)2 A tan 2— 2 __TB tan 2 -2 a b a -b一、填空题、解答题1 SIn2 J -cos2 J6 .解：原式=—1 +si n2日 +cos20 _ 1 2sin v COS J - 1 -2 sin 2 n 1 2sin v COST2cos 2.1：=2sin 日 cos 日+2sin 20 2sin v cos V 2 cos 2 =2sin 日(cos 日 +sin 日) 2cos v (sin v COS T ) =tan 0.nn7 .证明：左边=2sin (— x ) sin (+x )44=2sin ( — x ) cos (— x )4 4n=sin ( — — 2x )2 =cos2x=右边，原题得证. 8.证明：左边严严于cos « -sin «_ cos 2 _：i gin 2 : - 2sin _：i cos 二 (cos: -sin :■) (cost 亠sin :)(cosa -sina)2(cos ： -sin ⑶(cos'：亠sin ⑶ _ cos ： -sin J cos = " sin : =1 —tan a 1 tan -■ =右边，原题得证.参考答案.5 1 22.- 33. J 54762655.12a•. 1 - cosA= (a b) (1 —cosB) a -b cos B (a —b) (1 +cosB) 1+cosA= —a —b cosB. 1 _cosA (a b) (1 -cosB) 1 cos A (a - b) (1 cos B)1 -cosB2 B10•解：因为15。
简单的三角恒等变换习题课共49页
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才ຫໍສະໝຸດ 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
简单的三角恒等变换一课一练1
3.2 简单的三角恒等变换一、填空题1．假设25π＜α＜411π,sin2α=－54,求tan 2α________________2．sin θ=－53,3π＜θ＜2π7,那么tan 2θ的值为___________．3．sin2α+cos 2α=－53,且2π5＜α＜3π,那么cot 4α的值为____________．4．α为钝角、β为锐角且sin α=54,sin β=1312,那么cos 2-βα的值为____________．5． 设5π＜θ＜6π,cos2θ=a ,那么sin 4θ的值等于________________二、解做题6．化简θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．7．求证：2sin 〔4π－x 〕·sin 〔4π+x 〕=cos2x ．8．求证：αααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a ．9．在△ABC 中,cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅,求证：b a b a B A-+=2tan 2tan 22．10． 求sin15°,cos15°,tan15°的值．11． 设－3π＜α＜－2π5,化简2)πcos(1--α．12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2．13．求证：4sin θ·cos 22θ=2sin θ+sin2θ．14． 设25sin 2x +sin x －24=0,x 是第二象限角,求cos2x 的值．15． sin α=1312,sin 〔α+β〕=54,α与β均为锐角,求cos 2β．参考答案一、填空题1． 215+． 2．－3 3． 251- 4． 65657 5．－21a - 二、解做题6．解：原式=θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =1)-(+⋅+)-(-⋅+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θθθθθθ22cos 2cos sin 2sin cos sin 2+⋅2+⋅ =)cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+⋅)+(⋅ =tan θ．7．证实：左边=2sin 〔4π－x 〕·sin 〔4π+x 〕 =2sin 〔4π－x 〕·cos 〔4π－x 〕 =sin 〔2π－2x 〕 =cos2x=右边,原题得证．8．证实：左边=αααα22sin cos cos sin 21-⋅- =)sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+⋅-⋅-+ =)sin )(cos sin (cos )sin (cos 2αααααα+-- =ααααsin cos sin cos +- =ααtan 1tan 1+- =右边,原题得证．9．证实：∵cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅, ∴1－cos A =B b a B b a cos )cos 1()(⋅--⋅+, 1+cos A =B b a B b a cos )cos 1()(⋅-+⋅-． ∴)cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +⋅--⋅+=+-． 而2tan 2cos 22sin 2cos 1cos 1222A B AA A ==+-, 2tan cos 1cos 12B B B =+-, ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B ,即b a b a B A -+=2tan 2tan 22．10．解：由于15°是第一象限的角,所以sin15°=4264)26(43482322231230cos 12-=-=-=-=-=︒-, cos15°=4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=︒+, tan15°=︒+︒-30cos 130cos 1=2－3． 11．解：∵－3π＜α＜－2π5,∴－2π3＜2α＜－4π5,cos 2α＜0． 又由诱导公式得cos 〔α－π〕=－cos α, ∴2+=--ααcos 12)πcos(1=－cos 2α． 12．证实：左边=1+2cos 2θ－cos2θ=1+2·22cos 1θ+－cos2θ=2=右边． 13．证实：左边=4sin θ·cos 22θ=2sin θ·2cos 22θ=2sin θ·〔1+cos θ〕 =2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin2θ=右边．14．解：由于25sin 2x +sin x －24=0,所以sin x =2524或sin x =－1． 又由于x 是第二象限角, 所以sin x =2524,cos x =－257． 又2x 是第一或第三象限角, 从而cos2x =±225712cos 1-±=+x =±53． 15．解：∵0＜α＜2π,∴cos α=135sin 12=-α． 又∵0＜α＜2π,0＜β＜2π, ∴0＜α+β＜π．假设０＜α+β＜2π, ∵sin 〔α+β〕＜sin α,∴α+β＜α不可能． 故2π＜α+β＜π．∴cos 〔α+β〕=－53． ∴cos β=cos ［〔α+β〕－α］ =cos 〔α+β〕cos α+sin 〔α+β〕sin α=－53·54135+·65331312=, ∵0＜β＜2π, ∴0＜2β＜4π． 故cos656572cos 1=+=2ββ．。
高中数学人教A版必修四课时训练：3.2 简单的三角恒等变换 3.2 Word版含答案.docx
§3.2 简单的三角恒等变换课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．1．半角公式(1)S α2：sin α2＝____________________；(2)C α2：cos α2＝____________________________；(3)T α2：tan α2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)．2．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B.1－cos α2C ．－1＋cos α2 D.1＋cos α22．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值是( ) A ．2B ．1C.12D. 33．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为( ) A ．－2B ．－3C ．－2D ．－14．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6B.π3C.π2D.2π35．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12B.12C ．2D ．－2题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______．8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________．9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于____． 三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．12．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8的值． 能力提升13．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( ) A.32B ．－32C.13D ．4 14．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a (或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)． 3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a 、b 应熟练掌握．例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4；sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等． §3.2 简单的三角恒等变换知识梳理1．(1)±1－cos α2 (2)±1＋cos α2(3)±1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α1－cos αsin α2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2 点(a ，b )作业设计 1．C2．B [y ＝2sin x cos π3＝sin x ．]3．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1.] 4．D [f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin2x .]5．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )， 令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，56π.] 6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.]7．π解析 f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x )＝22sin2x ＋22cos2x － 2＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π2＝π.8.459解析 设α为该等腰三角形的一底角，则cos α＝23，顶角为180°－2α.∴sin(180°－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 9．3解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎡⎦⎤12(180°－α)＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－α2＝1tan α2＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3. 10.725解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15.由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75.∴cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725.11．解 (1)∵f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }．12．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝21＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8－1， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝1625. ∵π<θ<2π， ∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45. 13．B [y ＝2cos x －3sin x ＝13⎝⎛⎭⎫213cos x －313sin x ＝13(sin φcos x －cos φsin x )＝13sin(φ－x )，当sin(φ－x )＝1，φ－x ＝2k π＋π2时，y 取到最大值．∴φ＝2k π＋π2＋x ，(k ∈Z )∴sin φ＝cos x ，cos φ＝－sin x ，∴cos x ＝sin φ＝213，sin x ＝－cos φ＝－313.∴tan x ＝－32.]14．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos60°＋5cos(x ＋20°)sin60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°)＝⎝⎛⎭⎫1122＋⎝⎛⎭⎫5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.。
第3节第二课时 简单的三角恒等变换(经典练习及答案详解)
第二课时 简单的三角恒等变换考点一 三角函数式的化简1.sin （180°＋2α）1＋cos 2α·cos 2αcos （90°＋α）等于( ) A.－sin αB.－cos αC.sin αD.cos α 答案 D解析 原式＝－sin 2α·cos 2α2cos 2α（－sin α）＝－2sin αcos α·cos 2α2cos 2α（－sin α）＝cos α. 2.化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________. 答案 12cos 2x解析 原式＝12（4cos 4x －4cos 2x ＋1）2·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝（2cos 2x －1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x . 3.化简：(1tan α2－tan α2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan α·tan α2＝________.答案 2sin α解析 (1tan α2－tan α2)·(1＋tan α·tan α2)＝(cos α2sin α2－sin α2cos α2)·(1＋sin αcos α·sin α2cos α2)＝cos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2·cos αcos α2＋sin αsin α2cos αcos α2＝2cos αsin α·cos α2cos αcos α2＝2sin α.感悟升华 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.考点二 三角函数式的求值角度1 给值求值【例1】 (1)(2020·武汉检测)已知sin 4x ＋3cos 4x sin 2x －3cos 2x ＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －2π3＝( ) A.58 B.－78 C.－58D.14 (2)(2021·潍坊模拟)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55，则tan α＝________. 答案 (1)B (2)3解析 (1)sin 4x ＋3cos 4x sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－12，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝14. 而sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝14， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －2π3＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－1＝18－1＝－78.故选B. (2)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4>0，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝12. 所以tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tan π4＝12＋11－12×1＝3. 角度2 给角求值【例2】求下列各式的值：(1)cos π9cos 2π9cos 3π9cos 4π9；(2)sin 235°－12cos 10°·cos 80°；(3)sin 50°(1＋3tan 10°).解 (1)cos π9cos 2π9cos 3π9cos 4π9＝12cos π9cos 2π9cos 4π9＝12×8sin π9cos π9cos 2π9cos 4π98sin π9＝12×4sin 2π9cos 2π9cos 4π98sin π9＝12×2sin 4π9cos 4π98sin π9＝12·sin 8π98sin π9＝12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π98sin π9＝12·sin π98sin π9＝116.(2)sin 235°－12cos 10°·cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°·sin 10° ＝－cos 70°2sin 10°·cos 10°＝－sin 20°sin 20°＝－1.(3)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10° ＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1. 角度3 给值求角【例3】 (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<π2，则β＝________.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________.答案 (1)π3 (2)－3π4解析 (1)∵0<β<α<π2，∴0<α－β<π2，sin α＝437.又cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝3314. ∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. 又0<β<π2，∴β＝π3.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0，又α∈(0，π)，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0， ∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.感悟升华 1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好. 【训练1】 (1)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝32，则3sin α＋cos α3cos α－sin α＝( ) A.19 B.39 C.13 D.33(2)(多选题)下列各式中值为12的是( )A.1－2cos 275°B.sin 135°cos 15°－cos 45°cos 75°C.tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°D.cos 35°1－sin 20°2cos 20°(3)(2021·石家庄综合训练)若cos α(1＋3tan 10°)＝1，则α的一个可能值为( )A.70°B.50°C.40°D.10°答案 (1)B (2)BD (3)C解析 (1)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝32， 所以tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3 ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－tan π31＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3tan π3＝32－31＋32×3＝－35.所以3sin α＋cos α3cos α－sin α＝3tan α＋13－tan α＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋13＋35＝39. (2)对于A ，1－2cos 275°＝－cos 150°＝cos 30°＝32，A 错误； 对于B ，sin 135°cos 15°－cos 45°cos 75°＝sin 45°sin 75°－cos 45°cos 75°＝－cos120°＝12，B 正确；对于C ，∵tan 45°＝1＝tan 20°＋tan 25°1－tan 20°tan 25°，∴1－tan 20°tan 25°＝tan 20°＋tan 25°，∴tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1，C 错误；对于D ，cos 35°1－sin 20°2cos 20°＝cos 35°（cos 10°－sin 10°）22（cos 10°＋sin 10°）（cos 10°－sin 10°）＝cos 35°2（cos 10°＋sin 10°）＝cos 45°cos 10°＋sin 45°sin 10°2（cos 10°＋sin 10°）＝22（cos 10°＋sin 10°）2（cos 10°＋sin 10°）＝12，D 正确；故选BD.(3)cos α(1＋3tan 10°)＝cos α⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin 10°cos 10°＝cos α·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝ cos α·2sin （10°＋30°）cos 10°＝1， 即2sin 40°cos α＝cos 10°＝sin 80°＝2sin 40°cos 40°，所以cos α＝cos 40°，则α的一个可能值为40°，故选C.考点三 三角恒等变换的应用【例4】已知函数f (x )＝24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋64cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x . (1)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2上的最值； (2)若cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3的值. 解 (1)由题意得f (x )＝24·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋64cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝22×[12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＋32cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ]＝－22·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π12. 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2，所以x －7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，11π12， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1， 所以－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －7π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，64， 即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π2上的最大值为64，最小值为－22. (2)因为cos θ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，所以sin θ＝－35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425， 所以cos 2 θ＝cos 2θ－sin 2θ＝1625－925＝725，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3－7π12 ＝－22·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4 ＝－12(sin 2θ－cos 2θ)＝12(cos 2θ－sin 2θ)＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫725＋2425＝3150. 感悟升华 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a ，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性.【训练2】已知函数f (x )＝cos 2x sin x ＋cos x＋2sin x . (1)在△ABC 中，cos A ＝－35，求f (A )的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及其图象的对称轴的方程.解 (1)由sin x ＋cos x ≠0得x ≠k π－π4，k ∈Z .因为f (x )＝cos 2x sin x ＋cos x＋2sin x ＝cos 2x －sin 2x sin x ＋cos x＋2sin x ＝cos x ＋sin x ，在△ABC 中，cos A ＝－35<0，所以π2<A <π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝45，所以f (A )＝sin A ＋cos A ＝45－35＝15.(2)由(1)可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π.因为函数y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，又由x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋π4，k ∈Z ，所以f (x )的对称轴的方程为x ＝k π＋π4，k ∈Z .A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·重庆诊断)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－35，且sin α·cos α>0，则1－sin 2α＋2＋2cos 2α的值等于( )A.95B.75C.65D.3答案 A解析 根据三角函数的定义得sin α＝－35，由同角三角函数的基本关系及sin αcos α>0，得cos α＝－45，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝725，所以1－sin 2α＋2＋2cos 2α＝1－2425＋2＋2×725＝15＋85＝95. 2.(2020·汉中模拟)化简：sin 10°1－3tan 10°＝( ) A.14B.12C.1D.－33 答案 A解析 sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin （30°－10°）＝14，故选A. 3.(多选题)(2021·威海调研)函数f (x )＝sin x cos x 的单调递减区间可以是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π4，k π－π4(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋π2(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z ) 答案 AB解析 f (x )＝sin x cos x ＝12sin 2x ，由π2＋2k π≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得π4＋k π≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，∴函数f (x )＝sin x cos x 的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )， ∵函数的周期是k π(k ≠0)，故A 也正确.故选AB.4.已知0<α<π2，－π2<β<0，cos(α－β)＝－513，sin α＝45，则sin β＝( ) A.725B.－725C.5665D.－5665答案 D解析 因为sin α＝45，0<α<π2，所以cos α＝35，因为－π2<β<0，0<α<π2，所以α－β∈(0，π)，所以sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1213，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513－35×1213＝－5665.故选D. 5.若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝45，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝( ) A.－2425B.1225C.－1225D.2425答案 A解析 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝45且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝35， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6 ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝－2425.故选A. 6.(2021·郑州模拟)设α＝7π18，若β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则β＝( )A.5π18B.π3C.7π18D.4π9答案 A 解析 由tan α＝1＋sin βcos β得sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，即sin(α－β)＝cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， α＝718π，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，π2－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 由sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α，得α－β＝π2－α， 所以2α－β＝π2，所以β＝518π.故选A.二、填空题7.(2020·沧州模拟)若角α满足cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，则tan α1＋tan 2α＝________. 答案 718解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝22(cos α－sin α)＝13， ∴cos α－sin α＝23，∴2sin αcos α＝79，∴tan α1＋tan 2α＝sin αcos α1＋sin 2αcos 2α＝sin αcos α＝718. 8.已知180°<α<360°，化简：（1＋sin α＋cos α）⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α＝________. 答案 cos α解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α24cos 2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2. 因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°，所以cos α2<0，所以原式＝cos α.9.已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则β＝________.答案 π4解析 因为α，β均为锐角，所以－π2<α－β<π2.又sin(α－β)＝－1010，所以cos(α－β)＝31010.又sin α＝55，所以cos α＝255，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. 所以β＝π4.三、解答题10.化简：sin （2α＋β）sin α－2cos(α＋β). 解 原式＝sin （2α＋β）－2sin αcos （α＋β）sin α＝sin[α＋（α＋β）]－2sin αcos （α＋β）sin α＝sin αcos （α＋β）＋cos αsin （α＋β）－2sin αcos （α＋β）sin α＝cos αsin （α＋β）－sin αcos （α＋β）sin α＝sin[（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α. 11.已知tan α＝－13，cos β＝55，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值.解 由cos β＝55，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 得sin β＝255，tan β＝2.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－13＋21＋23＝1.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 所以π2<α＋β<3π2，所以α＋β＝5π4.B 级 能力提升12.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋β＝－1213，则 cos(α＋β)＝________.答案 －3365解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213， 又∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513， ∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋βsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝513×35－1213×45＝－3365.13.(2020·海南模拟)已知α，β满足sin(2α＋β)＝3sin β，若1tan β－1tan α＝λtan α，则实数λ的值为( )A.2B.3C.4D.6答案 A解析 由sin(2α＋β)＝3sin β可得，sin 2αcos β＋cos 2α·sin β＝3sin β， 两边同时除以cos β得sin 2α＋cos 2αtan β＝3tan β，即(3－cos 2α)tan β＝sin 2α，所以1tan β＝3－cos 2αsin 2α，由正弦和余弦的二倍角公式可得，sin 2α＝2sin αcos α，3－cos 2α＝3(sin 2α＋cos 2α)－(cos 2α－sin 2α)＝4sin 2α＋2cos 2α，所以1tan β＝4sin 2α＋2cos 2α2sin αcos α，等式的右边分子、分母同时除以cos 2α可得， 4sin 2α＋2cos 2α2sin αcos α＝4tan 2α＋22tan α＝2tan α＋1tan α，所以1tan β＝2tan α＋1tan α，即1tan β－1tan α＝2tan α，所以λ＝2，故选A.14.已知0<α<π2<β<π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝13，sin ()α＋β＝45. (1)求sin 2β的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值. 解 (1)法一 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos π4cos β＋sin π4sin β＝22cos β＋22sin β＝13，所以cos β＋sin β＝23，所以1＋sin 2β＝29，所以sin 2β＝－79.法二 sin 2β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2β＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4－1＝－79. (2)因为0<α<π2<β<π， 所以π4<β－π4<34π，π2<α＋β<3π2.所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4>0，cos(α＋β)<0， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝223，cos(α＋β)＝－35. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（α＋β）－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82-315.。
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3.2 简单的三角恒等变换
一、填空题
1．若
25π＜α＜411π，sin2α=－54，求tan 2α________________
2．已知sin θ=－
53，3π＜θ＜2π7，则tan 2θ的值为___________．
3．已知sin
2α+cos 2α=－53，且2π5＜α＜3π，则cot 4α的值为____________．
4．已知α为钝角、β为锐角且sin α=
54，sin β=1312，则cos 2-βα的值为____________．
5． 设5π＜θ＜6π，cos
2θ=a ，则sin 4θ的值等于________________
二、解答题
6．化简
θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+．
7．求证：2sin （
4π－x ）·sin （4π+x ）=cos2x ．
8．求证：
α
ααααtan 1tan 1sin cos cos sin 2122+-=-⋅-a ．
9．在△ABC 中，已知cos A =B b a b B a cos cos ⋅--⋅，求证：b a b a B A
-+=2tan 2tan 2
2
．
10． 求sin15°，cos15°，tan15°的值．
11． 设－3π＜α＜－
2
π5，化简2)πcos(1--α．
12． 求证：1+2cos 2θ－cos2θ=2．
13． 求证：4sin θ·cos 2
2θ=2sin θ+sin2θ．
14． 设25sin 2x +sin x －24=0，x 是第二象限角，求cos
2x 的值．
15． 已知sin α=
1312，sin （α+β）=54，α与β均为锐角，求cos 2
β．
参考答案
一、填空题
1． 2
15+． 2．－3 3． 251- 4． 65657 5．－21a - 二、解答题
6．解：原式=θ
θθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+ =1)
-(+⋅+)-(-⋅+θθθθθθ22cos 2cos sin 21sin 21cos sin 21 =θ
θθθθθ2cos 2cos sin 2sin cos sin 2+⋅2+⋅ =)
cos (sin cos 2sin cos sin 2θθθθθθ+⋅)+(⋅ =tan θ．
7．证明：左边=2sin （
4π－x ）·sin （4π+x ） =2sin （
4π－x ）·cos （4π－x ） =sin （2
π－2x ） =cos2x
=右边，原题得证．
8．证明：左边=α
ααα22sin cos cos sin 21-⋅- =)
sin (cos )sin (cos cos sin 2sin cos 22αααααααα+⋅-⋅-+ =)
sin )(cos sin (cos )sin (cos 2
αααααα+-- =
ααααsin cos sin cos +- =α
αtan 1tan 1+- =右边，原题得证．
9．证明：∵cos A =
B b a b B a cos cos ⋅--⋅， ∴1－cos A =
B b a B b a cos )cos 1()(⋅--⋅+， 1+cos A =
B b a B b a cos )cos 1()(⋅-+⋅-． ∴)
cos 1()()cos 1()(cos 1cos 1B b a B b a A A +⋅--⋅+=+-． 而2
tan 2cos 22sin 2cos 1cos 1222
A A
A A ==+-， 2
tan cos 1cos 12B B B =+-， ∴tan 2)()(2b a b a A -+=·tan 22B ，即b a b a B A -+=2
tan 2tan 2
2．
10．解：因为15°是第一象限的角，所以
sin15°=4264)26(43482322231230cos 12-=-=-=-=-=︒-， cos15°=4264)26(43482322231230cos 12+=+=+=+=+=︒+， tan15°=︒
+︒-30cos 130cos 1=2－3． 11．解：∵－3π＜α＜－2π5，∴－2π3＜2α＜－4π5，cos 2α＜0． 又由诱导公式得cos （α－π）=－cos α， ∴2+=--ααcos 12)πcos(1=－cos 2
α． 12．证明：左边=1+2cos 2θ－cos2θ=1+2·2
2cos 1θ+－cos2θ=2=右边． 13．证明：左边=4sin θ·cos 2
2θ=2sin θ·2cos 22θ=2sin θ·（1+cos θ） =2sin θ+2sin θcos θ=2sin θ+sin2θ=右边．
14．解：因为25sin 2x +sin x －24=0，
所以sin x =25
24或sin x =－1． 又因为x 是第二象限角， 所以sin x =
2524，cos x =－257． 又2
x 是第一或第三象限角， 从而cos
2x =±225712cos 1-±=+x =±53． 15．解：∵0＜α＜
2π，∴cos α=135sin 12=-α． 又∵0＜α＜2π，0＜β＜2
π， ∴0＜α+β＜π．若０＜α+β＜
2π， ∵sin （α+β）＜sin α，∴α+β＜α不可能． 故2
π＜α+β＜π．∴cos （α+β）=－53． ∴cos β=cos ［（α+β）－α］ =cos （α+β）cos α+sin （α+β）sin α=－
53·54135+·65331312=， ∵0＜β＜
2π， ∴0＜2β＜4
π． 故cos
656572cos 1=+=2ββ．。