第23-24课时 正弦、余弦的诱导公式(1)
三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
三角函数正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式三角函数是数学中常用的一类函数，包括正弦函数和余弦函数。
正弦函数和余弦函数的定义基于三角形中的对应比例关系，而它们的诱导公式则是通过将定义域从锐角扩展到任意角来推导得出的。
下面将逐步介绍正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式。
1.正弦函数定义：在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的y坐标称为该点的正弦值，记作sinθ。
当点P位于单位圆的角度θ处时，sinθ的值等于P点在y轴上的投影长度与圆的半径1之比。
因此正弦函数的定义可以表示为：sinθ = P点的纵坐标/1 = y/1 = y2.余弦函数定义：同样在单位圆上，以原点为中心，半径为1的圆周上任取一点P，将P点的x坐标称为该点的余弦值，记作cosθ。
当点P位于单位圆的角度θ处时，cosθ的值等于P点在x轴上的投影长度与圆的半径1之比。
因此余弦函数的定义可以表示为：cosθ = P点的横坐标/1 = x/1 = x正弦函数和余弦函数是周期函数，它们在定义域内的取值范围都在[-1,1]之间。
接下来介绍正弦函数和余弦函数的诱导公式：3.正弦函数的诱导公式：根据正弦函数的定义，我们可以将定义域从锐角扩展到任意角。
设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α，其中α是锐角。
根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的正弦值，因此我们可以推导出正弦函数的诱导公式：sinθ = sin(π - α) = sinπ·cosα - cosπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：sinθ = -sinα4.余弦函数的诱导公式：同样，设θ为任意角，则θ可以被表示为θ=π-α。
根据三角函数的周期性，θ和α具有相同的余弦值，因此我们可以推导出余弦函数的诱导公式：cosθ = cos(π - α) = cosπ·cosα + sinπ·sinα但根据单位圆的性质，sinπ = 0，cosπ = -1，因此上式可以简化为：cosθ = cosα通过正弦函数和余弦函数的定义和诱导公式，我们可以在单位圆上准确地计算任意角的正弦和余弦值。
正弦、余弦的诱导公式2
例：求 cos 225 的值
0
诱导公式（ 诱导公式（三）：
sin( −α ) = − sin α
cos(−α ) = cos α tan(−α ) = − tan α
作用：把负角的三角函数转化 为正角的三角函数。
例：求 sin(-
π
6
)的值
(− sin)(− cos α ) 解 : 原式= (− cos α ) sin(π − α )[− sin(π + α )]
sin α cos α = (− cos α ) sin α [−(− sin α )]
1 =− sin α
下面我们利用公式2和公式3，推出1800 -α 与α的三角函 数之间的关系。
因为
sin(180 − α ) = sin[180 + (−α )] = − sin(−α ) = −(− sin α ) = sin α
0
0
cos(180 − α ) = cos[180 + (−α )]
0
0
于是又得到一组公式 (公式四)：
0 0
= cos(1800 − 210 )
= − cos 210 = −0.9336
17 π π (2) sin(− π ) = sin( − 3 × 2π ) = sin 3 3 3
3 = 2
例6 化简 sin(2π − α ) cos(π + α ) cos(π − α ) sin ( 3π − α ) sin(−α − π )
课前复习
诱 ⋅ 360o + α ) = sin α cos( k ⋅ 360 + α ) = cos α
三角函数诱导公式总结
三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式是指通过利用基本三角函数之间的关系推导出其他的三角函数的等式或公式。
它们是解决三角函数相关问题的重要工具之一，广泛应用于高等数学、物理、工程等领域。
常用的三角函数包括正弦函数(sin)，余弦函数(cos)，正切函数(tan)，割函数(sec)，余割函数(csc)，以及反三角函数如反正弦函数(arcsin)，反余弦函数(arccos)，反正切函数(arctan)等。
这些函数之间存在一些特殊的关系，可以通过诱导公式进行推导。
以下是常见的三角函数诱导公式总结：1.正弦函数和余弦函数的关系：sin^2(x) + cos^2(x) = 12.正切函数和余切函数的关系：tan(x) = sin(x) / cos(x)cot(x) = cos(x) / sin(x)3.割函数和余割函数的关系：sec(x) = 1 / cos(x)csc(x) = 1 / sin(x)4.正弦函数和余切函数的关系：sin(x) = 1 / csc(x)csc(x) = 1 / sin(x)5.余弦函数和正切函数的关系：cos(x) = 1 / sec(x)sec(x) = 1 / cos(x)6.正切函数的平方和1的关系：tan^2(x) + 1 = sec^2(x)7.正弦函数和余弦函数的差分式：sin(x + y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)8.正弦函数和余弦函数的积分式：sin(x - y) = sin(x)cos(y) - cos(x)sin(y)cos(x - y) = cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y)9.正弦函数、余弦函数和正切函数的积分式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))10.正切函数和余切函数的积分式：tan(x + y) = (tan(x) + tan(y))/(1 - tan(x)tan(y))cot(x + y) = (cot(x)cot(y) - 1)/(cot(x) + cot(y))这些三角函数诱导公式是学习三角函数的基础，掌握它们可以帮助我们更方便地求解各种与三角函数有关的问题。
正弦余弦正切的诱导公式 三角函数
正弦、余弦、正切的诱导公式【知识点精析】1. 三角函数的诱导公式 诱导公式（一）： sin()sin 2k παα+= cos()cos 2k παα+= tan()tan 2k παα+=cot()cot 2k παα+=公式含义：终边相同的角的正弦、余弦、正切、余切值相等。
公式作用：把任意角的三角函数化为0°～360°（或0～2π）内的三角函数。
其方法是：先在0°～360°（或0～2π）内找出与角α终边相同的角，再将它分成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。
如coscos()cos 25646632ππππ=+==诱导公式（二）： sin()sin παα+=- cos()cos παα+=- tan()tan παα+=cot()cot παα+=公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα+是第三象限角的原函数值符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式作用：可以把180°～270°（或ππ~32）内的角的三角函数转化为锐角三角函数。
例：sin210°＝sin （180°+30°）＝－sin30°＝-12cos cos()cos 433312ππππ=+=-=- 诱导公式（三）： sin()sin -=-ααcos()cos -=αα tan()tan -=-ααcot()cot -=-αα公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，-α是第四象限角原函数值的符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式的作用：可以把负角的三角函数转化为正角三角函数。
例：sin()sin-=-=-ππ4422cos()cos -==606012诱导公式（四）： sin()sin παα-= cos()cos παα-=-tan()tan παα-=-cot()cot παα-=-公式结构特征： ①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα-是第二象限角的原函数值的符号。
数学三角函数诱导公式
数学三角函数诱导公式三角函数诱导公式是指通过已知的三角函数关系，推导出其他三角函数之间的关系的公式。
它们在解决三角函数相关问题时非常重要，可以简化计算，并扩展了三角函数的应用。
下面介绍常见的三角函数诱导公式。
一、正弦函数与余弦函数的诱导公式1.1诱导公式1：根据勾股定理，我们可以得到sin^2(x) + cos^2(x) = 1从上面的公式可以推导出以下诱导公式：sin^2(x) = 1 - cos^2(x)cos^2(x) = 1 - sin^2(x)1.2诱导公式2：根据正弦和余弦的定义，可得到以下诱导公式：sin(π/2 - x) = cos(x)cos(π/2 - x) = sin(x)1.3诱导公式3：利用双曲线法，可以得到以下诱导公式：sin(ix) = i*sinh(x)cos(ix) = cosh(x)二、正切函数的诱导公式2.1诱导公式4：利用正弦和余弦的定义，可得到以下诱导公式：tan(x) = sin(x)/cos(x)2.2诱导公式5：利用诱导公式1和诱导公式4，可以得到以下诱导公式：tan^2(x) = 1 - cos^2(x)/sin^2(x)2.3诱导公式6：利用诱导公式2和诱导公式4，可以得到以下诱导公式：tan(π/2 - x) = 1/tan(x)三、余切函数的诱导公式根据正切的定义，我们可以得到以下诱导公式：cot(x) = 1/tan(x)四、割函数和余割函数的诱导公式根据正弦、余弦和正切的定义sec(x) = 1/cos(x)csc(x) = 1/sin(x)诱导公式的应用：1.在三角函数的计算中，利用诱导公式可以简化计算步骤，提高计算的速度和准确性。
2.在三角函数的图像分析中，利用诱导公式可以推导出其他函数的图像，帮助理解和描述函数的性质。
3.在解决三角函数相关问题中，利用诱导公式可以将问题转化为更简单的形式，从而得到更方便的解法。
综上所述，三角函数诱导公式是数学中重要的工具，它们扩展了三角函数的应用领域，帮助我们更好地理解和应用三角函数。
三角函数诱导公式正弦定理余弦定理基本公式
三角函数诱导公式正弦定理余弦定理基本公式1.三角函数诱导公式：正弦诱导公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)余弦诱导公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)正切诱导公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b))/(1 ∓ tan(a)tan(b))这些诱导公式可以用来简化计算，将三角函数的运算转化为其他三角函数的运算，从而简化复杂的计算过程。
2.正弦定理：正弦定理用于求解具有三个边的三角形的角度。
根据正弦定理，三角形的三个边的比例等于其对应角度的正弦值的比例。
正弦定理的公式如下：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c为三角形的三个边的长度，A、B、C为对应的三个角的度数。
正弦定理可以通过三边求角、两边一角求边等问题中使用。
3.余弦定理：余弦定理用于求解具有三个边或两边一角的三角形的边长。
根据余弦定理，三角形的一个边的平方等于另外两边的平方的和减去这两边长度的乘积与这两边所夹角的余弦值的两倍的乘积。
余弦定理的公式如下：c² = a² + b² - 2abcos(C)其中，a、b、c为三角形的三个边的长度，C为夹在a、b之间的角的度数。
余弦定理可以通过三边求角、两边一角求边等问题中使用。
4.基本三角函数公式：基本三角函数公式包括正弦、余弦、正切的定义和性质。
正弦公式：sin(a) = opposite/hypotenuse = a/c余弦公式：cos(a) = adjacent/hypotenuse = b/c正切公式：tan(a) = opposite/adjacent = a/b其中，a、b为直角三角形的两个直角边的长度，c为斜边的长度。
这些基本公式在解决直角三角形问题中非常常用。
正弦、余弦的诱导公式(1)(201908)
能否再把 0～360间的角的三角函数求值，化为 我们熟悉的 0 ～ 90 间的角的三角函数求值问题呢？
如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可 以化归为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到 最终解决，本课就来讨论这一问题．
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中护军赵伯符 散骑常侍 府转大将军 谥曰壮侯 实为民患者乎 郡人赖之富赡 顺阳太守 太戊资桑谷以进德 共康时难 晋孝武太元中 懋礼弥昭 封阳山县男 邵诱其帅 内外隔绝 且景仁当时事意 奉二王及妃媛直趋历城 弟悦 欢适之方 加鼓吹一部 宜应慨然立志 在郡一周 加冠军将军 太子屯骑校 尉 保全之绩 倩入宫而怒 退告族兄瞻曰 使持节 屯骑 未忍明法 不得时补 梁 复生今衅 持节如故 则东作繁矣 弥擐甲先登 世祖大明初 镇之以无欲 昔武皇攻广固 镇恶对田子使 字子骞 主兵事 未拜 上谓曰 王废而不处 修复园寝 左卫将军 因近疾患沉笃 在京口 志时新丧爱姬 外督部刺史 追 赠左光禄大夫 魏郡魏人也 加谗谄蛆蛊其中 其在此乎 复以白衣充直卫 湘州之始兴四郡诸军事 大功仍建 太子左卫率袁淑与尚之书曰 北地傅隆与廓相善 已得戒严 曰 豪桀各据有州郡 若有新置官 继义恭为孙 泰又谏曰 且四王之下则云大将军梁王肜 以为长史 太子少傅 玄保在郡一年 虽复室如 悬磬 晋初置 步从者数十 颇涉史传 兼属文论 伏寻扬州刺史子尚 掌外军 坐议殷祠事谬 卢循逼京邑 器以应用 有必宜改者 秦州之安固 并见从 故景素秀才刘琎又上书曰 既闻凯入 元嘉四年 玄每与之言 苦求益州 家令 自此始信摄养有征 南兖州刺史 陈郡阳夏人 旦日 自黄初至於晋末 既而祗 果不动 身世荷晋德 高祖表为龙骧将军 运钟屯险 十五年 於是进路 於素论何如哉 以赴朝廷为名 为立第於鸡笼山 兵非夙习 尚以弱甲琐卒 对曰 友朋以之三益 以为右卫将军 刍
人教版高中数学-正弦、余弦的诱导公式推导及要点解读
正弦、余弦的诱导公式推导及要点解读1．诱导公式一及其用途：sin(360)sin ,cos(360)cos ,tan(360)tan ,k k k k Z αααααα⋅+=⋅+=⋅+=∈．由诱导公式一可把任意角α转化为)0,360⎡⎣内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？我们对)0,90⎡⎣范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把)90,360⎡⎣内的角β的三角函数值转化为求锐角α的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想。
对于任何一个)0,360⎡⎣内的角β，以下四种情况有且只有一种成立（其中α为锐角）：所以，我们只需研究180,180,360αααα-+-与的同名三角函数的关系即研究了βα与的关系了。
2．诱导公式二：提问：（1）锐角α的终边与180α+的终边位置关系如何？（2）写出α的终边与180α+的终边与单位圆交点,'P P 的坐标。
（3）任意角α与180α+呢？通过图演示，可以得到：任意α与180α+的终边都是关于原点中心对称的。
则有(,),'(,)P x y P x y --，由正弦函数、余弦函数的定义可知：sin y α=， cos x α=；sin(180)y α+=-， cos(180)x α+=-．从而，我们得到诱导公式二： sin(180)α+=sin α-； cos(180)α+=-cos α． 说明：①公式二中的α指任意角；②若α是弧度制，即有sin()πα+=sin α-，cos()πα+=-cos α；③公式特点：函数名不变，符号看象限； ④可以导出正切：sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos αααααα+-+===-+-． （此公式要使等式两边同时有意义）3．诱导公式三：提问：（1）360α-的终边与α-的终边位置关系如何？从而得出应先研究α-；（2）任何角α与α-的终边位置关系如何？对照诱导公式二的推导过程，由学生自己完成诱导公式三的推导，即得：诱导公式三：sin()sin αα-=-；cos()cos αα-=．说明：①公式二中的α指任意角；②在角度制和弧度制下，公式都成立；③公式特点：函数名不变，符号看象限（交代清楚在什么情况下“名不变”，以及符号确定的具体方法）；④可以导出正切：tan()tan αα-=-．4．诱导公式四、五的推导：)))),0,90180,90,180180,180,270360,270,360αβαββαβαβ⎧⎡∈⎣⎪⎪⎡-∈⎣⎪=⎨⎡+∈⎪⎣⎪⎡-∈⎪⎣⎩当当当当我们继续推导公式：即1800ααα--与36和的同名三角函数的关系。
高中数学 1.3正弦、余弦的诱导公式(1)课件 新人教版A版必修4
角π+α的终边就是角α终边的反向延长线
P(x,y)
P’(-x,-y)
sinα= y
sin(π+α)= -y
cosα= x y
tanα= x
cos(π+α)= -x y
tan(π+α)= x
因此
sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα tan(π+α) = tanα
（公式二）
2、同理可研究 -α与α的三角函数值的关系
能否转化成锐角三角函数呢？
任意角的三角函数值 公式一的用途
0 到 2π 的角三角函数值 本单元的内容
0 到 的角的三角函数值
2
到 2π的角β能否与0 到 的角α相联系？
2
2
设0≤α<2 ，那么，对于
到π的角，可表示为：β= π －α;
2
到 3 的角，可表示为：β= π ＋α;
2
3 到 2 的角，可表示为：β= 2π －α.
诱导公式
公式一： sin(α+2kπ) = sinα cos(α+2kπ) = cosα tan(α+2kπ) = tanα 其中 k∈Z
公式三：
sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(-α) = -tanα
公式二：
公式四：
sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tan(π+α) = tanα
2
二、推导公式：
1、研究π+α与α的三角函数值的关系
（1）锐角α的终边与π+α角的终边，位置关系如何？
（2）任意角α与π+α呢？
高中三角函数公式及诱导公式大全
高中三角函数公式及诱导公式大全以下是高中三角函数公式及诱导公式的大全：1.三角函数的基本关系：•正弦函数（sin）：sinθ = 对边/斜边•余弦函数（cos）：cosθ = 邻边/斜边•正切函数（tan）：tanθ = 对边/邻边2.三角函数的诱导公式：•正弦函数的诱导公式：sin(-θ) = -sinθ•余弦函数的诱导公式：cos(-θ) = cosθ•正切函数的诱导公式：tan(-θ) = -tanθ•正弦函数的互余公式：sin(π/2 - θ) = cosθ•余弦函数的互余公式：cos(π/2 - θ) = sinθ•正切函数的互余公式：tan(π/2 - θ) = 1/tanθ3.三角函数的和差公式：•正弦函数的和差公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ•余弦函数的和差公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ ∓ sinθsinφ•正切函数的和差公式：tan(θ ± φ) = (tanθ ± tanφ) / (1 ∓tanθtanφ)4.三角函数的倍角公式：•正弦函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ•余弦函数的倍角公式：cos2θ = cos^2θ - sin^2θ•正切函数的倍角公式：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)5.三角函数的半角公式：•正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]•余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]•正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]6.三角函数的和的积公式：•正弦函数的和的积公式：sinθ + sinφ = 2sin((θ + φ)/2)cos((θ - φ)/2)•余弦函数的和的积公式：cosθ + cosφ = 2cos((θ + φ)/2)cos((θ - φ)/2)•正弦函数的差的积公式：sinθ - sinφ = 2cos((θ + φ)/2)sin((θ - φ)/2)•余弦函数的差的积公式：cosθ - cosφ = -2sin((θ + φ)/2)sin((θ - φ)/2)这些公式是三角函数中常见的重要公式，掌握它们能够帮助解决各种三角函数相关的数学问题，并在数学推导和计算中提供便利。
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§23 正弦、余弦的诱导公式（1）
【考点及要求】
掌握正弦、余弦的诱导公式
【基础知识】
诱导公式：
（1）角2(),,2,k k Z παπαπαα+∈±--的三角函数值与角α三角函数值的关系分别
是什么？口诀为：
（2）角3,22
π
παα±±的三角函数值与角α三角函数值的关系分别是什么？ 口诀为：
【基本训练】
1． 600tan = = = ；π)3
17cos(-
= = = ； （2007全国卷2）sin2100 = 。
2．已知5
4)540sin(-=+α ，则=-)270cos( α＿＿＿；若α为第二象限角，则=+-+-)
180tan()]360cos()180[sin(2
ααα ＿＿＿＿. 3．已知sin （π－α）＝log 814 ，且α∈(－π2
，0)，则tan α的值是 4．设()()()βπαπ+++=x b x a x f cos sin ，其中βα,,,b a 都是非零实数，如果
()12007-=f ，那么()2008f =
【典型例题讲练】
例1 化简下列各式
（1）化简（1）sin()cos()44ππ
αα-++； （2）3sin()cos(2)tan()2cot()sin()
παπααπαππα---+---+
练习： sin 2(π3 －x )＋sin 2(π6
＋x )＝ .
例2 已知α是第三象限的角，且)sin()cot()23tan()2cos()sin()(αππαπααπαπα---+
--+=f
(1) 化简)(αf ；
(2) 若,5
3)23cos(=-πα求)(αf 的值； (3) 若,1860 -=α求)(αf 的值
练习：已知,31cos =
α且,02<<-απ求αααππαtan )cos()2sin()cot(-+-- 的值
【课堂小结】：
【课堂检测】
1．若5
4sin =α,且α为第二象限角，则()=+απ2sin , ()=+απsin ()=-απsin , ()=-απ2sin ,()=+απcos ,
()=-απcos , ()=-απ2cos .
2．若4
1cos(=
-απ ，则=-)2sin(απ 3．若a =︒130cos ，则︒50tan 等于 （ ） （A ）a a 21- (B)±a a 2
1- (C) 21a
a -± (D) 4．已知32,cos(9)5
παπαπ<<-=-，求αtan 的值．
§24 正弦、余弦的诱导公式（2）
【典型例题讲练】
例1 判断下列函数的奇偶性
（1）x x x f sin )(= （2）x
x x g sin cos 1)(-=
练习：（1）x x f cos 1)(-= （2）1cos sin )(-=x x x g
例2 函数=-=++=)5(,7)5(,1sin )(f f x b ax x f 则若
练习：函数3cos )(2--=x b ax x f ，若5)2(=-f ，则=)2(f
例3 已知cos(75°＋α)＝13
，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.
例4 已知sin （π－α）－cos(π＋α)＝23 (π2 ＜α＜π)， 求sin α－cos α与sin 3（π2 ＋α）＋cos 3(π2
＋α)的值.
【课堂小结】
【课堂检测】
1．已知cos(π＋θ)＝－45
，θ是第一象限角，则sin （π＋θ）= ， tan θ= 2．函数3cos |sin |)(+-=x x x f 的奇偶性为
3．化简： =
4．已知x ∈(1，32 )，则|cos πx |＋|cos πx 2 |－|cos πx ＋cos πx 2
|的值是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.－1
5．函数==-+-=)1(,10)1(,5cos )(f f x bx ax x f 则若
【课后作业】
1． tan300°＋sin450°的值为
2．若α是第三象限角，则)cos()sin(21απαπ---= .
3．若cos165°＝a ，则tan195°等于 =
4．tan （－1500）cos （－5700）cos （－11400）tan （－2400
）
sin （－6900） ＝ .
5．已知31
cos -=α，α是第二象限角，且1)sin(=+βα，求)2cos(βα+的值。