定点数与浮点数
5 浮点与定点—li
1 引入
计算机不仅要处理整数运算，还需处理小数运算。 如何处理小数点位置是十分重要的，通常有定点与 浮点两种方法。 定点数：通俗的说，小数点固定的数。以人民币为 例，我们日常经常说到的如123.45￥，789.34￥等 例，我们日常经常说到的如123.45￥，789.34￥等 等，默认的情况下，小数点后面有两位小数，即角， 分。如果小数点在最高有效位的前面，则这样的数 称为纯小数的定点数，如0.12345，0.78934等。如 称为纯小数的定点数，如0.12345，0.78934等。如 果小数点在最低有效位的后面，则这样的数称为纯 整数的定点数，如12345，78934等。 整数的定点数，如12345，78934等。
阶符 阶码 尾符 尾数
Pf 0 阶码正 ห้องสมุดไป่ตู้ 阶码负
Sf
. ←小数点隐含 1 尾数负
0 尾数正
例1：(-18.75)10=(-10010.11)2=(-0.1001011)×2+101 设尾数用8位二进制表示，阶码用4位二进制表示，均含符 号位，尾数用原码表示。则有：
0
101
1
1001011
3 浮点表示法
1 引入
浮点数：一般说来，小数点不固定的数。比较容易 的理解方式是，考虑以下我们日常见到的科学记数 法，拿我们上面的数字举例，如123.45，可以写成 法，拿我们上面的数字举例，如123.45，可以写成 以下几种形式： 12.345x101 1.2345 x102 0.12345 x103 …… 为了表示一个数，小数点的位置可以变化，即小数 点不固定。
称该浮点数为规格化了的浮点数。 当 1/2≤ | S | ＜１，称该浮点数为规格化了的浮点数。 表明： 小数点后面的第1位一定是 位一定是1，不能是0。 表明： 小数点后面的第 位一定是 ，不能是 。 即尾数S原码的最高位为 原码的最高位为1。 即尾数 原码的最高位为 。
浮点数和定点数的区别
cloudseawang定点数与浮点数区别最近做HDR时，经常要用NV提供的16位纹理，它的说明书16位能达到24位的精度，就很奇怪？一直搞不懂浮点数的精度怎么算的？今天认真看了一下IEEE float point的标准，终于明白是什么了1. 什么是浮点数在计算机系统的发展过程中，曾经提出过多种方法表达实数。
典型的比如相对于浮点数的定点数（Fixed Point Number）。
在这种表达方式中，小数点固定的位于实数所有数字中间的某个位置。
货币的表达就可以使用这种方式，比如99.00 或者00.99 可以用于表达具有四位精度（Precision），小数点后有两位的货币值。
由于小数点位置固定，所以可以直接用四位数值来表达相应的数值。
SQL 中的NUMBER 数据类型就是利用定点数来定义的。
还有一种提议的表达方式为有理数表达方式，即用两个整数的比值来表达实数。
定点数表达法的缺点在于其形式过于僵硬，固定的小数点位置决定了固定位数的整数部分和小数部分，不利于同时表达特别大的数或者特别小的数。
最终，绝大多数现代的计算机系统采纳了所谓的浮点数表达方式。
这种表达方式利用科学计数法来表达实数，即用一个尾数（Mantissa ），一个基数（Base），一个指数（Exponent）以及一个表示正负的符号来表达实数。
比如123.45 用十进制科学计数法可以表达为1.2345 × 102 ，其中1.2345 为尾数，10 为基数，2 为指数。
浮点数利用指数达到了浮动小数点的效果，从而可以灵活地表达更大范围的实数。
提示: 尾数有时也称为有效数字（Significand）。
尾数实际上是有效数字的非正式说法。
同样的数值可以有多种浮点数表达方式，比如上面例子中的123.45 可以表达为12.345 ×101，0.12345 × 103 或者1.2345 × 102。
因为这种多样性，有必要对其加以规范化以达到统一表达的目标。
02-定点与浮点数据表示课件
第二章 2.2 定点与浮点数据表示
2 浮点数据表示 N = (-1)S 2 E-127 1.M
E=0 , M =0 ：表示机器零； E=0 , M 0 ：则N = (-1)S 2 -126 0.M,非规格化的浮点数； 1 E 254 ：N = (-1)S 2 E-127 1.M ，规格化的浮点数；
计算机组成原理
第二章 数据表示
2.2 定点与浮点数据表示
第二章 2.2 定点与浮点数据表示
1 定点数据表示
01
可表示定点小数和整数
02
表现形式：X0.X1X2X3X4……..Xn
定点小数
定点整数
03
定点小数表示数的范围(补码为例)： -1 ≤ x ≤ 1-2-n
定点整数表示数的范围(补码为例)：-2 n ≤ x ≤2n-1
保存S、E、M
从32位二进制序列中分离出S、E、 M
单精度IEEE754
第二章 2.2 定点与浮点数据表示
2 浮点数据表示 例2
将十进制数20.59375转换成32位IEEE754格式浮点数的二进制格式。
解: 先将十进制数换成二进制数： 20.59375=10100.10011 移动小数点，使其变成1.M的形式 10100.10011=1.010010011×2 4
得到： S=0, e = 4，E= 100+01111111 =10000011，M = 010010011
最后得到32位浮点数的二进制存储格式为： 0100 0001 1010 0100 1100 0000 0000 0000 = 41A4C000H
M: 尾数位数,决定数的精度
第二章 2.2 定点与浮点数据表示
2 浮点数据表示 例1
计算机中的二进制表示（定点数,浮点数）
计算机中的⼆进制表⽰（定点数,浮点数）1 规则及表⽰⽅法⾸先是对有符号数⽽⾔:1. ⼆进制的最⾼位是符号位：0–>正，1–>负2. 正数的原码，反码，补码⼀样3. 负数的反码==原码的符号位不变，其他的位取反4. 负数的补码==反码+15. 0的反码，补码都是0。
数值0的补码只有⼀个，即：0的补码=00000000B6. 计算机运算的时候都是以补码的⽅式运算的。
2 补充1. （-128）没有相应的原码和反码。
(-128)=(1000 0000)补码2. 采⽤补码的原因:1. 使⽤补码可以使符号位与其他位统⼀进⾏处理。
2. 减法可以按照加法处理。
如果最⾼位（符号位）有进位，则进位就舍弃。
3. 已知补码，求原码:补码的补码。
（因为：对于⼆进制来说先减1后取反和先取反后加1得到的结果是⼀样的）浮点数⼆进制表⽰根据国际标准IEEE 754，任意⼀个⼆进制浮点数V可以表⽰成下⾯的形式：V = (-1)s * M * 2E1. (-1)s表⽰符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
2. M表⽰有效数字，⼤于等于1，⼩于2。
3. 2E表⽰指数位。
(其中2也可以换成别的基),E是⼩数点左移的位数举例来说：⼗进制的-5.0，写成⼆进制是-101.0，相当于-1.01×22。
那么，s=1，M=1.01，E=2。
IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最⾼的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。
对于64位的浮点数，最⾼的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。
规则及表⽰⽅法IEEE 754对有效数字M和指数E，还有⼀些特别规定。
前⾯说过，1≤M<2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表⽰⼩数部分。
IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第⼀位总是1，因此可以被舍去，只保存后⾯的xxxxxx部分。
关于浮点数与定点数的理解
定点数与浮点数计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。
1. 定点数表示法(fixed-point)所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。
在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。
一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。
定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。
若数据x 的形式为x = x0.x1x2…x n( 其中x0为符号位，x1～x n是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为：一般说来，如果最末位x n = 1，前面各位都为0 ，则数的绝对值最小，即|x|mi n = 2-n。
如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|ma x =1-2-n 。
所以定点小数的表示范围是：2- n ≤ | x| ≤ 1 - 2- n定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。
若数据x 的形式为x = x0x1x2…x n ( 其中x0为符号位，x1～x n是尾数，x n为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为：定点整数的表示范围是：1≤ | x| ≤ 2n - 1当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。
计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原成实际数值。
若比例因子选择不当，往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。
用定点数进行运算处理的计算机被称为定点机。
2. 浮点数表示法(floating-point number)4与科学计数法相似，任意一个J进制数N，总可以写成N = J E × M式中M称为数N 的尾数(mantissa)，是一个纯小数；E为数N 的阶码(e x ponent)，是一个整数，J称为比例因子J E 的底数。
数定点表示和浮点表示
计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。
1. 定点数表示法(fixed-point)所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。
在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。
一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。
定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。
若数据x的形式为x=x0.x1x2…xn(其中x0为符号位，x1～xn是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为：一般说来，如果最末位xn= 1，前面各位都为0，则数的绝对值最小，即|x|min= 2-n。
如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|max=1-2-n。
所以定点小数的表示范围是：2-n≤|x|≤1 -2-n定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。
若数据x的形式为x=x0x1x2…xn(其中x0为符号位，x1～xn是尾数，xn为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为：定点整数的表示范围是：1≤|x|≤2n-1当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。
计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原成实际数值。
若比例因子选择不当，往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。
用定点数进行运算处理的计算机被称为定点机。
2. 浮点数表示法(floating-point number)与科学计数法相似，任意一个J进制数N，总可以写成N = J E×M式中M称为数N的尾数(mantissa)，是一个纯小数；E为数N的阶码(exponent)，是一个整数，J称为比例因子J E的底数。
fpga中浮点数和定点数
fpga中浮点数和定点数
FPGA中存在两种表示数字的方式：浮点数和定点数。
浮点数是用科学计数法来表示数字的一种方法。
在FPGA中，浮点数通常采用IEEE 754标准来表示。
这种表示方法使用了符号位、阶码和尾数三个部分来表示一个浮点数。
符号位表示正负号，阶码表示要移动的小数点的位数，尾数表示数据的有效位数。
定点数是一种固定小数点位置的表示方法。
在FPGA中，定点数通常使用固定位宽的二进制数来表示。
定点数使用了整数部分和小数部分来表示一个数字，小数点的位置是固定的，不会随着数值的变化而改变。
浮点数和定点数在FPGA中各有优势和局限。
浮点数能够表示很大或者很小的数字，并且具有较高的精度，但是需要更多的硬件资源来实现。
定点数具有简单的表示方式和计算方法，并且占用的硬件资源较少，但是在表示范围和精度方面有一定的限制。
在选择浮点数还是定点数时，需要根据应用的需求和资源情况进行权衡。
如果应用需要更高的精度和更大的数值范围，或者硬件资源充足，那么可以选择使用浮点数。
如果应用对精度和数值范围的要求较低，并且需要节省硬件资源，那么可以选择使用定点数。
总之，在FPGA中，浮点数和定点数是两种用于表示数字的不同方法，各有优势和局限，选择合适的表示方法需要根据具体的应用需求来决定。
01-3数的定点表示和浮点表示
1 1 符 号
1
0
1
1
0
1
数值位(n位)
2-n |N| 1－2－n
纯小数
小数点 1 1 符 号 1 0 1 1 0 1
1 |N| 2n
数值位(n位) 小数点
纯整数
定点机中，一切参加运算的数及最后结果， 都不能超出其域范围，否则会出现错误结果。
若运算数(或结果)小于2－n (或1) 则计算机
作0处理；若大于1－2－n (或2n )。机器作溢出处 理，迫使机器停止运行或转入出错处理程序。
1.3.2 数的浮点表示
受机器数位的限制，定点数的数域
较小。若既要能表示较小的数，又能表 示很大的数，定点表示不适合了，应采 用浮点表示的数。
浮点数表示法 先以十进制数为例：
N = 25.0 = 100×25.0 = 101×2 . 5 = 102×0 . 25
指数部 尾数部 分10J 分S
浮点数由两部分组成：N = 10J×S
其中：S为数N的尾数，即它的符号和有 效数位。指数10 J ，其中10为十进制数的基数， J为其指数(或称J为N的阶)，10J决定小数点浮 动的位置。J为正数小数点左移。反之右移。
类此，二进制浮点数的表示形式为：
N = 2J × S 此中，J若以二进制代码表示，则J称N的阶 码。
1.3.3 浮点数与定点数的比较
• 浮点数的表示范围比定点数大 • 浮点数的运算精度比定点数高 • 浮点数的运算比定点数复杂。
(要分阶码和尾数两部分进行运算)
小型机－－采用定点数
大、中型机－－采用浮点数
欢迎进入1.4学习。
1.3
数的定点表示与浮点表示
数的定点表示 数的浮点表示 浮点数与定点数的比较
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定点数与浮点数
计算机处理的数值数据多数带有小数，小数点在计算机中通常有两种表示方法，一种是约定所有数值数据的小数点隐含在某一个固定位置上，称为定点表示法，简称定点数；另一种是小数点位置可以浮动，称为浮点表示法，简称浮点数。
1. 定点数表示法(fixed-point)
所谓定点格式，即约定机器中所有数据的小数点位置是固定不变的。
在计算机中通常采用两种简单的约定：将小数点的位置固定在数据的最高位之前，或者是固定在最低位之后。
一般常称前者为定点小数，后者为定点整数。
定点小数是纯小数，约定的小数点位置在符号位之后、有效数值部分最高位之前。
若数据x 的形式为x = x0.x1x2…x n( 其中x0为符号位，x1～x n是数值的有效部分，也称为尾数，x1为最高有效位)，则在计算机中的表示形式为：
一般说来，如果最末位x n = 1，前面各位都为0 ，则数的绝对值最小，即|x|mi n = 2-n。
如果各位均为1，则数的绝对值最大，即|x|ma x =1-2-n 。
所以定点小数的表示范围是：
2- n ≤ | x| ≤ 1 - 2- n
定点整数是纯整数，约定的小数点位置在有效数值部分最低位之后。
若数据x 的形式为x = x0x1x2…x n ( 其中x0为符号位，x1～x n是尾数，x n为最低有效位)，则在计算机中的表示形式为：
定点整数的表示范围是：
1≤ | x| ≤ 2n - 1
当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。
计算机采用定点数表示时，对于既有整数又有小数的原始数据，需要设定一个比例因子，数据按其缩小成定点小数或扩大成定点整数再参加运算，运算结果，根据比例因子，还原成实际数值。
若比例因子选择不当，往往会使运算结果产生溢出或降低数据的有效精度。
用定点数进行运算处理的计算机被称为定点机。
2. 浮点数表示法(floating-point number)
与科学计数法相似，任意一个J进制数N，总可以写成
N = J E × M
式中M称为数N 的尾数(mantissa)，是一个纯小数；E 为数N 的阶码(e x ponent)，是一个整数，J称为比例因子J E 的底数。
这种表示方法相当于数的小数点位置随比例因子的不同而在一定范围内可以自由浮动，所以称为浮点表示法。
底数是事先约定好的(常取2)，在计算机中不出现。
在机器中表示一个浮点数时，一是要给出尾数，用定点小数形式表示。
尾数部分给出有效数字的位数，因而决定了浮点数的表示精度。
二是要给出阶码，用整数形式表示，阶码指明
小数点在数据中的位置，因而决定了浮点数的表示范围。
浮点数也要有符号位。
因此一个机器浮点数应当由阶码和尾数及其符号位组成：
其中E S 表示阶码的符号，占一位，E1～E n为阶码值，占n位，尾符是数N 的符号，也要占一位。
当底数取2 时，二进制数N 的小数点每右移一位，阶码减小1，相应尾数右移一位；反之，小数点每左移一位，阶码加1，相应尾数左移一位。
若不对浮点数的表示作出明确规定，同一个浮点数的表示就不是唯一的。
例如11.01 也可以表示成0.011012-3，0.1101×2-2等等。
为了提高数据的表示精度，当尾数的值不为0 时，其绝对值应大于等于0.5，即尾数域的最高有效位应为1，否则要以修改阶码同时左右移小数点的方法，使其变成这一要求的表示形式，这称为浮点数的规格化表示。
当一个浮点数的尾数为0 时，不论其阶码为何值，或者当阶码的值遇到比它能表示的最小值还小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成0 值，称为机器零。
浮点数所表示的范围比定点数大。
假设机器中的数由8 位二进制数表示(包括符号位)：在定点机中这8 位全部用来表示有效数字(包括符号)；在浮点机中若阶符、阶码占 3 位，尾符、尾数占 5 位，在此情况下，若只考虑正数值，定点机小数表示的数的范围是0.0000000 到0.1111111，相当于十进制数的0 到127／128，而浮点机所能表示的数的范围则是 2 - 11×0.0001 到211×0.1111，
相当于十进制数的1／128 到7.5 。
显然，都用8 位，浮点机能表示的数的范围比定点机大得多。
尽管浮点表示能扩大数据的表示范围，但浮点机在运算过程中，仍会出现溢出现象。
下面以阶码占 3 位，尾数占 5 位(各包括 1 位符号位)为例，来讨论这个问题。
图2-1 给出了相应的规格化浮点数的数值表示范围。
图2-1 规格化浮点数分布示意图
图2-1 中，“可表示的负数区域”和“可表示的正数区域”及“0”，是机器可表示的数据区域；上溢区是数据绝对值太大，机器无法表示的区域；下溢区是数据绝对值太小，机器无法表示的区域。
若运算结果落在上溢区，就产生了溢出错误，使得结果不能被正确表示，要停止机器运行，进行溢出处理。
若运算结果落在下溢区，也不能正确表示之，机器当0 处理，称为机器零。
一般来说，增加尾数的位数，将增加可表示区域数据点的密度，从而提高了数据的精度；增加阶码的位数，能增大可表示的数据区域。