人教版初三数学上册二次函数应用(一)
人教版九年级上册数学二次函数知识点归纳及练习 (1)
二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4.()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的在联系：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少练习一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3 6. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数(教案)
此外，我也注意到，在解答学生疑问时，需要更加耐心和细致。有些学生对于二次函数的理解可能还不够深入，这就需要我在课后给予他们更多的关注和指导，帮助他们真正掌握这部分内容。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如篮球投篮的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
5.二次函数的实际应用：求解最值问题。
二、核心素养目标
1.理解并掌握二次函数的定义、图像与性质，培养直观想象和逻辑推理能力；
2.学会运用二次函数顶点式及其图像变换，提高问题解决能力和数学建模素养；
3.通过二次函数的实际应用，培养数据分析、数学抽象及数学应用素养，增强解决实际问题的能力；
4.在探索二次函数图像与性质的过程中，培养数学运算和数学探究素养，提高合作交流与反思评价的能力。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数：
1.二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数；
2.二次函数的图像与性质：开口方向、顶点、对称轴、最小（大）值；
3.二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k；
4.二次函数的图像变换：平移、伸缩；
九年级上册人教版数学《学练优 湖北专版》习题讲评 第22章 第20课时 二次函数的实际应用(1)
(1)求出抛物线型拱桥的解析式． 解：建立如答图的直角坐标系．
设抛物线形拱桥的解析式为 y＝ax2(a≠0)． 将点(2，－2)代入， 得 4a＝－2，解得 a＝－12， ∴抛物线形拱桥的解析式为 y＝－12x2.
(2)若水面下降 2.5 米，则水面宽度将增加多少米？
解：当 y＝－4.5 时，－12x2＝－4.5，解得 x＝±3， ∴此时水面宽度为 6 米，∴水面宽度将增加 2 米．
解：由题意，得 3.05＝－15x2＋3.5，即 x2＝2.25， ∵篮圈中心在第一象限，∴x＝1.5. ∴他与篮底的距离 l 为 1.5＋2.5＝4(m)．
5．如图是抛物线拱桥，点 P 处有一照明灯，水面 OA 宽 4 m，以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴建立平面 直角坐标系，已知点 P 的坐标为3，32.
3．如图，某学生推铅球，铅球出手(点 A 处)的高度 是53 m，出手后的铅球沿一段抛物线弧运行，当运行到高 度 y＝3 m 时，水平距离是 x＝4 m．求：
(1)铅球行进高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数解 析式；
解：设二次函数的解析式为 y＝a(x－4)2＋3. 把点 A0，53代入解析式，解得 a＝－112. ∴铅球行进高度 y(m)与水平距离 x(m)之间的函数解 析式为 y＝－112(x－4)2＋3.
与水平距离 x(m)之间的关系式是 y＝－112x2＋23x＋53.求他 将铅球推出时的高度和成绩是多少米．
解：铅球推出时的高度是53m. 当 y＝0 时，－112x2＋32x＋53＝0， 解得 x1＝10，x2＝－2(不合题意，舍去)． 所以推铅球的成绩是 10 m.
变式 1 在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作 是抛物线 y＝－14x2＋bx＋c 的一部分，如图，其中出球点 B 离地面点 O 的距离是 1 m，球落地点 A 到点 O 的距离 是 4 m，求这条抛物线的解析式和羽毛球飞行的最大高 度．
人教版九年级上册数学课件：二次函数的应用
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
y=ax2+bx+c (1)a确定抛物线的开口方向：
y
•(0,c)
0
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解:(6)
y
由图象可知
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0
•(-3,0) • • (-1,-2)
•(1,0) x
0
•(0,-3–) 2
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解 ：（4）由对称性可知
y
MA=MB=√22+22=2√2
• • AB=|x1-x2|=4
A(-3,0) D B(1,0) x
∴ ΔMAB的周长=2MA+AB
0
=2 √2×2+4=4 √2+4 Δ=M—12 A×B4面×积2==4—12AB×MD
3
• •C(0,-2–) • M(-1,-2)
人教版九年级上册数学课件：二次函 数的应 用
人教版初三数学上册二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质(1)
x1+x2 2
O
y1x2 6x21 2
5
10 x
牛刀小试：
对于上面抛物线
y1x2 2
6x21,
已知(2,11)关于对称轴直线x=6
对称点的坐标是 (10,11)
利用配方法求下列抛物线的对称轴 和顶点坐标并指出它的最值和增减
性。 (1) y=x2+4x-1
(2) y=-2x2-4x+1
欢迎各位老师光临指导
苏桥中学 张善书 2016.10.9
一般地，抛物线y=a(x-h)2 +k与 y=ax2的 形状 相同， 位置 不同
上加下减 y=ax 2
y=a(x-h)2 +k
左加右减
抛物线 a(-xh)2k有如下特点:
1.当a﹥0时，开口向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ，
2.对称轴是直线X=h ；
(配方法—确定抛物线的对称轴和顶点坐标)
y
o
x
y1x2 6x21 2
你知道是怎样配 方的吗？
配
(1)“提”：提出二次项系数；
方
得
( 2 )“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式。
1
2
y= — (x―6) +3
2
问题导入：
如何画出
y=
—1
2
(x―6)
+3 的图象呢?
2
平移方法一：
↗5y1
点B(9.1,y2)；比较y1
和y2的大小？
O
5
10 x
y1(x6)2 3 2
请找出关于对称轴x=6两个对 y
称点，比如 (5,3.5)、（7，3.5）
x= 5+7 2
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质(1)》教学设计
人教版数学九年级上册22.1《二次函数的图象和性质（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第22.1节《二次函数的图象和性质（1）》是本册教材的重要内容，主要介绍二次函数的一般形式、图象特点以及一些基本性质。
通过本节内容的学习，学生可以掌握二次函数的基本知识，为后续学习二次函数的应用打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，具备一定的函数知识基础。
但二次函数相对复杂，学生对其理解和掌握可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过观察、思考、探索等方式，自主发现和总结二次函数的性质。
三. 教学目标1.理解二次函数的一般形式和图象特点。
2.掌握二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的概念。
3.能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。
四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特点。
2.二次函数的顶点坐标、开口方向和判别式的理解与应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探索等方式自主学习。
2.利用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图象和性质。
3.注重数学语言的训练，引导学生规范表达。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学模型来描述这些问题。
例如，抛物线运动、物体抛掷等。
从而引出二次函数的概念。
2.呈现（10分钟）利用多媒体课件，呈现二次函数的一般形式和图象特点。
引导学生观察并总结二次函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过计算器或者绘图软件，自己动手绘制一些二次函数的图象，并观察其性质。
同时，教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生运用所学的二次函数知识解决问题。
教师及时批改并给予反馈，帮助学生巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）引导学生思考二次函数在实际生活中的应用，例如抛物线射门、跳水运动等。
数学人教版九年级上册二次函数实际应用
22．3实际问题与二次函数第1课时【教学目标】知识与技能1.能够能够根据具体实际问题情景建立二次函数的数学模型.2.掌握利用顶点坐标解决实际问题中最大值（或最小值）问题的方法.过程与方法1.通过探究生活中的实际问题，让学生体会数学建模思想的构建.2.通过探究二次函数解决实际问题，体会数学知识的现实意义，提高分析问题、解决问题的能力，培养数学应用意识.情感、态度与价值观1.通过将二次函数的最值的知识灵活应用于实际，让学生体会学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣.2.通过小组合作交流，提高合作意识，培养创新精神.3.让学生体会数学知识与现实世界的联系.【重点难点】重点：利用顶点坐标解决实际问题中最大值（或最小值）问题的方法.难点：根据具体实际问题情景建立二次函数的数学模型.【教学准备】教师准备：教材图22.3-1；学生准备：预习教材P49-50【教学过程】一、教学导入导入一：复习提问1．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1)y＝6x2＋12x； (2)y＝－4x2＋8x－102.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?3.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当a>0时，图像开口向____，函数有最____值，等于________；当a<0时，图像开口向____，函数有最____值，等于________.导入二：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)之间的关系式h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？【设计意图】通过复习二次函数一般式的最值，为本节课的学习做铺垫，由实际问题导入新课，让学生体会数学与实际问题之间的关系，很自然地构建出新知识，激发学生的兴趣和求知欲望，二、新知构建1.共同探究一：[过渡语]如何解决上面导入二中的问题？教师引导，可以借助函数图象解决问题，画出函数图象，观察图象，抛物线的顶点就是抛物线的最高点，即t 取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.学生活动：画出这个函数的图象，观察图象，直接求出小球最高值及此时t 的值，小组交流答案.方法一：观察函数图象得，当t=-ab 2=-)5(230-⨯=3时，h 有最大值a b ac 442-=45)5(4302=-⨯-，即小球运动的时间是3s 时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m.方法二：配方得h=30t-5t 2=-5（t-3)2+45，∵-5＜0，∴当t=3时，h 有最大值为45，即小球运动的时间是3s 时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m.【设计意图】通过教师引导，学生动手操作，给学生提供解决此类问题的思路，让学生在问题解决的过程中体会二次函数与实际问题的联系，用二次函数的最大值等知识刻画实际问题中的最大高度.2.结合问题，拓展一般：思考：对于二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)，如何求出它的最小（大）值呢？师生活动：学生思考，合作交流，共同归纳，教师点评.（课件1展示）一般地，当a>0（a<0）时，抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点，即当x=-ab 2时，y=ax 2+bx+c 有最小（大）值a b ac 442-. 【设计意图】学生通过合作交流得出求二次函数的最值的结论，体会由特殊到一般的思想方法，培养归纳总结能力.3.类比引入，探究问题：思路一：用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，思考：（1）矩形的长为10m ，它的面积是多少？（2）矩形的长分别为10m 、20m ，它的面积分别是多少？（3）从上面两个问题中你发现了什么？学生独立回答，体会两个变量之间的关系.(4)你能用学过的数学知识表示矩形的面积与一边长之间的数量关系吗？（5）你能找到篱笆围成的矩形是最大面积吗？师生活动：教师引导学生分析与矩形面积有关的量，小组活动交流，教师特别关注学生能否准确的建立函数关系，能否用函数知识求出最大面积，及时引导，学生展示成果.(课件2展示）解：矩形的一边长为l ，则另一边长为（260-l ）m ，根据题意，得S=l(30-l ），即S=-l2+30l （0<l<30)，因此，当l=-ab 2=-)1(230-⨯-=15时，S 有最大值ab ac 442-=)1(4302-⨯-=225.所以当l 是15m 时，场地的面积S 最大.思路二：用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化.当l 是多少米时，场地的面积S 最大？思考：（1）实际问题中有哪两个变量之间的关系？（2）你能用学过的数学知识表示矩形的面积与一边长之间的数量关系吗？（3）如何利用矩形的面积与一边长之间的数量关系求出“当l 是多少米时，场地的面积S 最大”？师生活动：学生针对思考的问题学生讨论交流，教师帮助有困难的学生，学生板书过程，教师进行点评.【设计意图】借助问题，指导学生解决此类问题的基本过程和方法，加深对本题数量关系的理解，便于他们今后应用这一数学模型解决实际问题.4.归纳结论：问题：利用二次函数解决实际问题的过程是什么？如何利用二次函数的最大（小）值解决实际问题？师生活动：教师引导学生整理上面问题的步骤，分析出利用二次函数解决实际问题的一般方法，学生思考后回答，师生共同归纳：（1）根据题意找等量关系，列出二次函数的解析式，求出符合题意的自变量的取值范围.（2）在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.【设计意图】引导学生自主学习，对解决问题的基本策略进行反思，培养学生归纳总结的能力，养成良好的数学思维习惯.【知识拓展】1.求二次函数最值最常用的方法有两种：（1）配方法：y=ax 2+bx+c=a(x 2+a b x)+c=a(x 2+a b x+224a b )-a b 42+c=a(x+a b 2)2+a b ac 442-. 若a>0，则当x=-a b 2时，y 最小值=a b ac 442-；若a<0，则当x=-ab 2时，y 最大值=a b ac 442-. （2）公式法：直接利用上述关系式经过配方得出结论.2.本节知识用到了转化思想及数学建模思想，如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系.3.数形结合思想在本节中得到了广泛的应用.三、课堂小结4.本节知识用到了转化思想及数学建模思想，如将实际问题中的数量关系转化为数学问题中的函数关系.5.数形结合思想在本节中得到了广泛的应用.1.函数解析式是解决的关键.2.函数思想、数形结合思想都是很重要的数学思想，运用这些思想可以解决生活中的有关实际问题.四、检测反馈1．抛物线22-=x y 的顶点坐标为（ ）A ．（2，0）B ．（-2，0）C ．（0，2）D ．（0，-2）解析：抛物线y=a （x-h)2+k 的顶点坐标是（h ，k)，所以抛物线22-=x y 的顶点坐标为（0，-2），故选D.2．如图，△ABC 是直角三角形，∠A=90°， AB=8cm ，AC=6cm ，点P 从点A 出发，沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1cm/s 的速度向点C 运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则△APQ 的最大面积是（ ）A ．8cm 2 B. 16cm 2 C.24cm 2 D.32cm 2解析：根据题意沿AB 方向以2cm/s 的速度向点B 运动；同时点Q 从点A 出发，沿AC 方向以1cm/s 的速度向点C 运动，∴AP=2t ，AQ=t ，S △APQ =t 2，∵0＜t ≤4，∴三角形APQ 的最大面积是16cm 2．故选B ．3.在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度v 0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：s=v 0t-21gt 2(其中g 是常数，通常取10m/s 2).若v 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m.5.已知AB=2，C 是AB 上一点，四边形ACDE 和四边形CBFG ，都是正方形，设BC=x ，（1）AC=______;（2）设正方形ACDE 和四边形CBFG 的总面积为S ，用x 表示S 的函数表达式为S=_____.（3）总面积S 有最大值还是最小值？这个最大值或最小值是多少？（4）总面积S 取最大值或最小值时，点C 在AB 的什么位置？ 解：由题意（1）AC=2-x （0≤x ≤2）；（2）S=AC 2+AB 2=（2-x ）2+x 2=2（x-1）2+2，（3）由图象可知：当x=1时，s 最小=2；当x=0或x=2时，s 最大=4；（4）当x=1时，C 点恰好在AB 的中点上，总面积最小；当x=0时，C 点恰好在B 处、当x=2时，C 点恰好在A 处，总面积最大.五、板书设计第1课时1.例1：求函数最值的方法.2.例2：利用二次函数解决实际问题的过程.六、布置作业（一）教材作业必做题教材第51-52页习题22.3的1、4、5题.选做题教材第54页习题22.3的7题.备课资料：1.现实世界到处都有变化的量，而函数是刻画现实世界中数量之间变化规律的一种常见的数学模型.“函数”是初中数学的核心内容之一，本节课的主要内容是应用二次函数的概念、图象和性质等知识通过建立数学模型解决有关实际问题.教学设计中设置的两个问题都是从熟悉的生活场景中抽取的，其本质体现的都是二次函数的关系，通过学习，让学生进一步加深对二次函数的运用和理解，更深层次体会建模的数学思想，在前面已经学习了二次函数的概念、图象和性质的基础上，经历“建立函数模型，运用函数模型解决实际问题”的过程,体现二次函数是解决实际问题的有效数学工具，为以后进一步学习函数知识打下坚实的基础.2.本节课的难点是把实际问题利用二次函数转化为数学问题加以解决，通过思考教师设计的小问题，小组活动，讨论交流，共同探究的学习方式逐层分散难点，同时培养了学生与他人合作的能力，活跃了课堂，提高了用数学解决问题的能力.本节课的学习架起了抽象的数学与精彩的生活之间的桥梁,让学生深刻体会数学来源于生活，又应用于生活中去.。
人教版初中九年级数学上册第二十二章《二次函数》经典习题(含答案解析)(1)
一、选择题1．已知()()()112233,,,,,x y x y x y 是抛物线245y x x =--+图像上的任意三点，在以下哪个取值范围中，分别以1y 、2y 、3y 为长的三条线段不一定能围成一个三角形的是（ ） A ．5122x -<< B ．7122x -<<- C ．30x -<< D ．41x -<<-2．()11,y -()20,y ()34,y 是抛物线22y x x c =-++上三点的坐标，则1y ，2y ，3y 之间的大小关系为（ ） A ．123y y y << B ．213y y y <<C ．312y y y <<D ．321y y y << 3．二次函数(2)(3)y x x =--与x 轴交点的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如图是函数y ＝x 2+bx+c 与y ＝x 的图象，有下列结论：（1）b 2﹣4c ＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3；（4）当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．一次函数y cx b =-与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为（ ）A ．26B ．3C ．6D ．427．已知抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表，给出下列结论：①抛物线y =ax 2+bx +c 经过原点；②2a +b =0；③当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2；④若点P （m ，n ）在该抛物线上，则am 2＋bm ≤a +b ．其中正确结论的个数是（ ）x… ﹣1 0 1 2 3 … y … 3 0 ﹣1 0 3 …A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 8．如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（ ）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0A ．1B ．2C ．3D ．49．我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E ，点P ）以及点A ，点B 落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF ）与第2根栏杆未涂色部分（PQ ）长度相等，则EF 的长度是（ ）A ．13米B ．12米C ．25米D ．35米 10．抛物线2(3)y a x k =++的图象如图所示．已知点()15,A y -，()22,B y -，()36.5,C y -三点都在该图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．231y y y >> 11．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x =-+上的三点，1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．321y y y >>D ．312y y y >> 12．如图所示的抛物线形构件为某工业园区的新厂房骨架，为了牢固起见，构件需要每隔0.4m 加设一根不锈钢的支柱，构件的最高点距底部0.5m ，则该抛物线形构件所需不锈钢支柱的总长度为（ ）A ．0.8mB ．1.6mC ．2mD ．2.2m 13．函数()20y ax a a =-≠与()0y ax a a =-≠在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．14．关于抛物线223y x x =-+-，下列说法正确的是（ ）A ．开口方向向上B ．顶点坐标为()1,2-C ．与x 轴有两个交点D ．对称轴是直线1x =-15．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所尔，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（ ）A ．0ac >B ．方程20ax bx c ++=的两根是1213x x =-=， C ．20a b -=D ．当x>0时，y 随x 的增大而减小．二、填空题16．抛物线y ＝﹣12（x +1）2+3的顶点坐标是_____． 17．已知函数223y x x =--，当函数值y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是______．18．高尔夫球运动是一项具有特殊魅力的运动，运动员会利用不同的高尔夫球杆将高尔夫球打进球洞，从而使其在优美的自然环境中锻炼身体，并陶冶情操. 如图，某运动员将一只高尔夫球沿某方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线. 如果不考虑空气阻力等因素，小球的飞行高度 h （单位：米）与飞行时间 t （单位：秒）之间满足函数关系2205h t t =- .则小球从飞出到落地瞬间所需的时间为________秒.19．设A （﹣1，y 1），B （0，y 2），C （2，y 3）是抛物线y ＝﹣x 2+2a 上的三点，则y 1，y 2，y 3由小到大关系为_____．20．如图，抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ，B 两点（点A 在B 的左侧），点C 为抛物线上任意一点．．．．（不与A ，B 重合），BD 为ABC 的AC 边上的高线，抛物线顶点E 与点D 的最小距离为1，则抛物线解析式为______．21．小明从如图所示的二次函数()20y ax bx c a =++≠图象中，观察得出了下面五条信息：①32a b =；②240b ac -=；③ 0ab >；④0a b c ++<；⑤20b c +>．你认为正．确．信息的有_______________．（请填序号）22．如图，是一座拱形桥的竖直截面图，水面与截面交于AB 两点，拱顶C 到AB 的距离为4m ，AB=12m ，DE 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到AB 的距离为5cm ，则DE 的长度为______________ m ．23．已知二次函数()232y x m x m =-+-+的顶点在y 轴上，则其顶点坐标为___________．24．在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()24y a x k =-+与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且//AB x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为_____．25．2251=-+-y x x 的图象不经过__________象限；26．如图，抛物线2y x 与直线y x =交于O ，A 两点，将抛物线沿射线OA 方向平移42个单位．在整个平移过程中，抛物线与直线3x =交于点D ，则点D 经过的路程为______．三、解答题27．已知二次函数21y x mx n =++的图象经过点()3,1P -，对称轴是直线1x =-．（1）求m ，n 的值；（2）如图，一次函数2y x b =+的图象经过点P ，与二次函数的图象相交于另一点B ，请求出点B 的坐标，并观察图象直接写出12y y ≥的x 的取值范围．28．已知二次函数21122y x kx k =++-． （1）求证：不论k 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴总有公共点；（2）若该二次函数的图象与x 轴有两个公共点A ，B ，且A 点坐标为()3,0，求B 点坐标．29．二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a ≠）的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x … 3-2- 1- 0 1 … 2y ax bx c =++ …52 4 92 4 m … 根据以上列表，回答下列问题：（1）直接写出c ，m 的值；（2）求此二次函数的解析式．30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x m =-+的图象过点()1,3A ，且与x 轴交于点B ．（1）求m 的值和点B 的坐标；（2）若二次函数2y ax bx =+图象过A ，B 两点，直接写出关于x 的不等式2ax bx x m +>-+的解集．。
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德尔教育2014年国庆九年级数学辅导资料
二次函数的应用 姓名：________ 得分：_______
一、选择题：
1、抛物线2
y x 12=-+（）的顶点坐标是（ ）
A ．（－1，2）
B ．（－1，－2）
C ．（1，－2）
D ．（1，2）
2、抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标是(－l ，0)和(3，0)，则这条抛物线的对称轴是（ ）
A ．直线x=－1 8．直线x=0 C ．直线x=1 D ．直线x= 3
3、关于x 的二次函数()()y=x+1x m -，其图象的对称轴在y 轴的右侧，则实数m 的取值范围是（ ） A. m <1- B. 1<m<0- C. 0<m<1 D. m >1
4、已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（ ）
A ．第四象限
B ．第三象限
C ．第二象限
D ．第一象限 5、抛物线2y ax bx 3=+-经过点（2，4），则代数式8a 4b 1++的值为（ ）
A ．3
B ．9
C ．15
D ．15-
6、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则函数值y 0<时x 的取值范围是（ ）
A ．x 1<-
B ．x ＞3
C ．－1＜x ＜3
D ．x 1<-或x ＞3
7、 对于二次函数y 2(x 1)(x 3)=+-，下列说法正确的是（ ）
A. 图象的开口向下
B. 当x>1时，y 随x 的增大而减小
C. 当x<1时，y 随x 的增大而减小
D. 图象的对称轴是直线x=－1 8、如图，设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点， 则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）
A ．213y y y >>
B ．312y y y >>
C ．321y y y >>
D ．312y y y >> 9、如图为二次函数y=ax 2
+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法： ①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x ＜3时，y ＞0 其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10、已知二次函数y=2（x ﹣3）2+1．下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣3；③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
11、如图，二次函数y=（x ﹣2）2+m 的图象与y 轴交于点C ，点B 是点C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b 的图象经过该二次函数图象上点A （1，0）及点B ． （1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x ﹣2）2+m 的x 的取值范围．
12、杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路
线是抛物线23
y=x 3x 15－＋＋的一部分，如图。
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由。
13、如图，抛物线y =
2
1x 2
+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；
14、如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;
⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.
15、如图，已知二次函数c bx x y ++-=22
1
的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式
（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连结BA 、BC ，求△ABC 的面积。
16、如图，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交与A(2,0),B(- 4，0)两点。
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值.若没有，请说明理由.
第14题
A
B
C。