材料力学轴向拉伸和压缩第4节 强度条件
《建筑力学》第五章-轴向拉伸和压缩
总结词
随着科技的发展，新型材料不断涌现，对新 型材料的轴向拉伸和压缩性能进行研究，有 助于发现更具有优良力学性能的材料，为工 程应用提供更多选择。
详细描述
近年来，碳纤维复合材料、钛合金等新型材 料在轴向拉伸和压缩方面的性能表现引起了 广泛关注。通过深入研究这些材料的力学特 性，可以进一步挖掘其潜在应用价值，为建 筑、航空航天、汽车等领域提供更轻质、高
2. 弹性模量计算
根据应力-应变曲线的初始直线段，计算材料的弹性模量，用于评估材料的刚度和抵抗弹性变形的能力 。
实验步骤与实验结果分析
3. 泊松比分析
通过测量试样在拉伸和压缩过程中的 横向变形，计算材料的泊松比，了解 材料在受力时横向变形的性质。
4. 强度分析
根据应力-应变曲线中的最大应力值， 评估材料的抗拉和抗压强度，为工程 实践中选择合适的材料提供依据。
供理论支持，确保结构的安全性和稳定性。
智能化技术在轴向拉伸和压缩领域的应用研究
要点一
总结词
要点二
详细描述
随着智能化技术的不断发展，其在轴向拉伸和压缩领域的 应用研究逐渐成为热点，有助于提高测试精度和效率，为 实验研究和工程应用提供有力支持。
例如，利用智能传感器和机器学习技术对轴向拉伸和压缩 实验进行数据采集和分析，可以提高实验的精度和效率。 同时，智能化技术的应用还可以为实验数据的处理、分析 和预测提供新的方法和手段，为实验研究和工程应用提供 更加全面和准确的数据支持。
特性
轴向拉伸和压缩时，物体在垂直 于轴线方向上的尺寸保持不变， 而在轴线方向上的尺寸发生改变 。
轴向拉伸和压缩的分类
按变形程度
可分为弹性变形和塑性变形。弹性变形是指在外力撤销后，物体能够恢复原状的 变形；塑性变形是指外力撤销后，物体不能恢复原状的变形。
材料力学强度校核公式
材料力学强度校核公式1、轴向拉伸与压缩强度条件2、切应力强度条件Fr = ^<[r]A塑性材料：[r] =(0.5-0.7)[cr]脆性材料：[r]=(0.8-1.O)[cr]3、泊松比4、轴向拉伸和压缩的胡克定律O~=E E5、挤压强度条件r =+叵』塑性料材：K]=(1.5-2.5)[(T]脆性材料：[a bs>(O.9-1.5)[a] 6、外力偶矩7、薄壁圆筒横截面上的切应力8、剪切胡克定律9、弹性模量、泊松比、剪切弹性模量的关系10、圆轴扭转的切应力2（1 +户） Ip 为极惯性矩11、圆轴扭转的最大切应力（Wt 抗扭截面系数）12、扭转强度条件13、圆轴扭转时的变形及刚度计算ITl t T 180 r14、载荷集度、剪力和弯矩关系"⑴二花⑴二V 2 ~ 1 — 91 勺dx~ dx15、弯曲正应力公式Iz 为惯性矩（常用型钢查表可得）16、最大弯曲正应力Wz 为抗弯截面模量。
17、常见截面的I Z 和WZb 血19、广义胡克定律的一般形式J匚半一|ITp^i 此J•空心矩形截面用 2121218、梁在弯曲变形下的微分方程•圆截面•矩形截面 ,空心窗截面W -祭 S 1=（普苇）印+b,）］20、最大拉应力理论（第一强度理论）强度条件21、最大伸长线应变理论（第二强度理论）强度条件 5 -祖气+ %）〈全二［b］n22、最大切应力理论（第三强度理论）强度条件b】—强度条件24、欧拉公式的普遍形式（适用于细长杆）7T-EI临界应力27、中小柔度杆临界应力经验公式（系数a 、b 查表）28、平面图形形心坐标临界应力G CT25、细长杆稳定的临界压力(〃海C0.50226、压杆柔度—端自由 一端固定两端钗支—端铉支 一端固定两端固定临界 压力29、静矩30、惯性积31、平行移轴公式=l yz+况以32、转轴公式7 ■< k_i—cos 2a 一 I yz sin 2a I v - I 2 - cos 2a + I YZ sin 2a~ sin 2cf + 1 …coslaI + J I — 7 l Z ,I-*1 — n 士2 4引33、主惯性矩公式。
材料力学第4讲 拉伸与压缩2-8_2-11(考前复习突击)
[σ ] =
σu
n
n — 安全系数（factor of safety） 安全系数（
塑性材料 (ductile materials) 脆性材料 ( brittle materials)
[σ ] =
σs σb
n n
[σ ] =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3、强度条件（Strength condition)： 强度条件（ condition)：
α α ∆l 1 A2
A″ A' A1
以两杆伸长后的长度 BA1 和 CA2 为半径作圆弧相交于 A″， 即为A点的新位置.AA″ 即为A点的新位置.AA″ 就是A点的位移. 点的位移. 因变形很小，故可过 A1，A2 分别做两杆的垂线，相交于 A′ 分别做两杆的垂线， 因变形很小， 可认为
Fl AA′ = AA′′ ∆A = AA′ = ∆l1 = = 2 cosα 2EAcos α m (↓) 1.293m
F2
Ⅰ l1 A
F1
R
FN3 FN2
F2
F1
FN3 − R = 0 FN3 = −50kN (−)
F − F2 − FN2 = 0 1 FN2 = −15kN (−)
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
R
材料力学四个强度理论
四大强度准则理论：1、最大拉应力理论（第一强度理论）：这一理论认为引起材料脆性断裂破坏的因素是最大拉应力，无论什么应力状态，只要构件内一点处的最大拉应力σ1达到单向应力状态下的极限应力σb，材料就要发生脆性断裂。
于是危险点处于复杂应力状态的构件发生脆性断裂破坏的条件是：σ1=σb。
σb/s=[σ]所以按第一强度理论建立的强度条件为：σ1≤[σ]。
2、最大伸长线应变理论（第二强度理论）：这一理论认为最大伸长线应变是引起断裂的主要因素，无论什么应力状态，只要最大伸长线应变ε1达到单向应力状态下的极限值εu，材料就要发生脆性断裂破坏。
εu=σb/E；ε1=σb/E。
由广义虎克定律得：ε1=[σ1-u(σ2+σ3)]/E所以σ1-u(σ2+σ3)=σb。
按第二强度理论建立的强度条件为：σ1-u(σ2+σ3)≤[σ]。
3、最大切应力理论（第三强度理论）：这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素，无论什么应力状态，只要最大切应力τmax达到单向应力状态下的极限切应力τ0，材料就要发生屈服破坏。
τmax=τ0。
依轴向拉伸斜截面上的应力公式可知τ0=σs/2（σs——横截面上的正应力）由公式得：τmax=τ1s=（σ1-σ3）/2。
所以破坏条件改写为σ1-σ3=σs。
按第三强度理论的强度条件为：σ1-σ3≤[σ]。
4、形状改变比能理论（第四强度理论）：这一理论认为形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，无论什么应力状态，只要构件内一点处的形状改变比能达到单向应力状态下的极限值，材料就要发生屈服破坏。
发生塑性破坏的条件为：所以按第四强度理论的强度条件为：sqrt(σ1^2+σ2^2+σ3^2-σ1σ2-σ2σ3-σ3σ1)<[σ]。
工程力学课件 第6章 轴向拉伸与压缩
工程力学
12
二、拉压杆横截面上的正应力
在应力超过比例极限以后，图形出现了一段近似水平的小锯齿
形线段bc，说明此阶段的应力虽有波动，但几乎没有增加，却发生
了较大的变形。这种应力变化不大、应变显著增加的现象称为材料
的屈服。屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服
极限，以σs表示。
4.强度极限
经过了屈服极限阶段，图形变为上升的曲线，说明材料恢复了
工程力学
4
1.1.1 电路的组成
列出左段杆的平衡方程得 Nhomakorabea工程力学
5
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示，同样可得
1.1.1 电路的组成
实际上，FN与F′N是一对作用力与反作用力。因此，对同一截面， 如果选取不同的研究对象，所求得的内力必然数值相等、方向相反。
这种假想地用一个截面把杆件截为两部分，取其中一部分作为 研究对象，建立平衡方程，以确定截面上内力的方法，称为截面法。 截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：
1.1.1 电路的组成
(1)计算AB段杆的轴力。沿截面1－1将杆件截开，取左段杆为研 究对象，以轴力FN1代替右段杆件对左段的作用，如图(b)所示
列平衡方程
得
工程力学
7
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示
1.1.1 电路的组成
同样可得
(2)计算BC段杆的轴力，沿截面2－2将杆件截开，取左段杆为研 究对象，如图(d)所示
材料力学第04章 杆件变形分析
例4-2 桁架是由1、2杆组成，
通过铰链连接，在节点A承受 铅垂载荷F=40kN作用。已知
杆1为钢杆，横截面面积
A1=960mm2，弹性模量 E1=200GPa，杆2为木杆，横 截面面积A2=2.5×104mm2， 弹性模量E2=10GPa，杆2的杆 长为1m。求节点A的位移。
M (x) EI 24
d2w/dx2与弯矩的关系如图所示，坐标轴w以向上为正。由
该图可以看出，当梁段承受正弯矩时，挠曲线为凹曲线，如
图（a）所示，d2w/dx2为正。反之，当梁段承受负弯矩时， 挠曲线为凸曲线，如图（b）所示，d2w/dx2为负。可见， d2w/dx2与弯矩M的符号一致。因此上式的右端应取正号，即
于梁的高度，剪力对梁的变形影响可以忽略不计，上式仍可
用来计算横力弯曲梁弯曲后的曲率，但由于弯矩不再是常量，
上式变为
1 M (x)
(x) EI
即挠曲线上任一点处的曲率与该点处横截面上的弯矩成正比，
而与该截面的抗弯刚度（flexural rigidity）EI成反比。
23
由高等数学可知，平面曲线w=w(x)上任一点的曲率为
15
对于扭矩、横截面或剪切弹性模量沿杆轴逐段变化的圆 截面轴，其扭转变形为
n
Tili
i1 Gi I Pi
式中，Ti、li、Gi与IPi分别为轴段i的扭矩、长度、剪切弹 性模量与极惯性矩，n为杆件的总段数。
16
2．圆轴扭转的刚度条件
在圆轴设计中，除考虑其强度问题外，在许多情况下对刚 度的要求更为严格，常常对其变形有一定限制，即应该满足 相应的刚度条件。
材料力学之轴向拉伸和压缩
铸铁经球化处理成为球 墨铸铁后, 力学性能有 显著变化, 不但有较高 的强度, 还有较好的塑 性性能。
国内不少工厂成功地用 球墨铸铁代替钢材制造 曲轴、齿轮等零件。
2.6.4 金属材料在压缩时的力学性能
低碳钢压缩时的弹性模量E和屈服极限ss都与拉
伸时大致相同。屈服阶段以后, 试样越压越扁, 横截面面积不断增大, 试样抗压能力也继续增高, 因而得不到压缩时的强度极限。
冷作时效不仅与卸载 后至加载的时间间隔 有关, 而且与试样所处 的温度有关。
2.6.3 其它金属材料在拉伸时的力学性能
工程上常用的塑性材 料, 除低碳钢外, 还有 中碳钢、高碳钢和合 金钢、铝合金、青铜、 黄铜等。
其中有些材料, 如Q345 钢, 和低碳钢一样, 有 明显的弹性阶段、屈 服阶段、强化阶段和 局部变形阶段。
并用s0.2来表示, 称为名义屈
服应力。
铸铁拉伸时的力学性能
灰口铸铁拉伸时的应 力—应变关系是一段微 弯曲线, 没有明显的直 线部分。
它在较小的拉应力下就 被拉断, 没有屈服和缩 颈现象, 拉断前的应变 很小, 伸长率也很小。 灰口铸铁是典型的脆性 材料。
铸铁拉断时的最大应力 即为其强度极限, 没有屈
比较图中的Oabcdef和d'def两条曲线, 可见在第 二次加载时, 其比例极限(亦即弹性阶段)得到了 提高, 但塑性变形和伸长率却有所降低。这种现 象称为冷作硬化。冷作硬化现象经退火后又可 消除。
工程上经常利用 冷作硬化来提高 材料的弹性阶段。 如起重用的钢索 和建筑用的钢筋, 常用冷拔工艺以 提高强度。
在屈服阶段内的 最高应力和最低 应力分别称为上 屈服极限和下屈 服极限。
材料力学之四大基本变形
P bs bs Abs
许用挤压应力 挤压面面积
例 图示拉杆，用四个直径相同的铆钉连接，校核铆钉和拉杆 的剪切强度。假设拉杆与铆钉的材料相同，已知P=80KN， b=80mm，t=10mm，d=16mm，[τ]=100MPa，[σ]=160MPa。 构件受力和变形分析： 假设下板具有足够 的强度不予考虑 上杆（蓝杆）受拉 d b P
该截面弯矩
该点到中性轴 距离
横截面上 某点正应力
My Iz
max
M WZ
该截面惯性矩
某截面上最大 弯曲正应力发生在截 面的上下边界上：
IZ WZ 称为抗弯截面模量，Z 为中性轴. WZ ymax
一、变形几何关系
y ( y)d d d
d
CL2TU10
解: N1 N2 N3 2 A2 30 252 18.75KN
N 1l1 N 2 l2 N 3l3 l E A1 E A2 E A3
18750 0.2 0.4 0.2 9 2 2 2 210 10 0.02 0.025 0.012 4 4
拉杆危险截面 t P
最大拉力为 P 位置在右边第一个铆钉处。 N P 80 1000 拉杆强度计算： 125MPa A b d t 80 16 10 铆钉受剪切 工程上认为各个铆钉平均受力 剪切力为 P/4 铆钉强度计算:
4Q 4 P / 4 80 1000 2 99.5 MPa 2 2 d d 16
1、剪切强度的工程计算 工程上往往采用实用计算的方法
F A
上式称为剪切强度条件
其中，F 为剪切力——剪切面上内力的合力
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解：取节点 C 为研究对 象，作出其受力图
1）求各杆的轴力
n
Fix 0
i1 n
Fiy 0
i1
FN1 cos 30 FN2 0 FN1 sin 30 F 0
解得： FN1 2F（拉） FN2 3F（压）
2）求许可的最大载荷FF来自1 A1[1]F 96 kN
FN2 A2[ 2 ]
F 92.4 kN
故： [F ]max 92.4 kN
截面面积。
解： 1）求各杆 的轴力：
取节点 C为研究对 象, 作出其 受力图
1）求各杆的轴力
n
Fix 0
i1 n
Fiy 0
i1
FN1 cos 30 FN2 cos 30 0 FN1 sin 30 FN1 sin 30 F 0
解得： FN1 F 50 kN（拉） FN 2 50 kN（压）
即屈服极限 s 。
• 脆性材料的强度极限 b 、塑性材料屈服极限 s
称为构件失效的极限应力。
二、安全系数的概念
为了保证构件具有足够的强度，构件在外力作 用下的最大工作应力必须小于材料的极限应力。在 强度计算中，把材料的极限应力除以一个>1的系数 n — 称为安全系数，作为构件工作时所允许的最大
2）求各杆横截面上的应力
1
FN1 A1
139 ΜΡa
[1]
2
FN2 A2
97.6 ΜΡa
[ 2 ]
故：此结构的强度足够。
例2-6 如图所示，三角架受载荷F = 50kN作用，
AC 杆是钢杆，其许用应力[1] = 160MPa；BC杆的材 料是木材，其许用应力[2] = 8MPa，试设计两杆的横
解：
1）求各杆 的轴力：
取节点 A为研究对 象, 作出其 受力图
1）求各杆的轴力
n
Fix 0
i1 n
Fiy 0
i1
FN2 sin 30 FN1 sin 45 0 FN1 cos 45 FN2 cos 30 G 0
解得： FN1 10.4 kN FN 2 14.6 kN
一、材料的极限应力
• 脆性材料制成的构件，在拉力作用下，当变形很 小时就会突然断裂，脆性材料断裂时的应力即强
度极限 b ；
• 塑性材料制成的构件，在拉断之前已出现塑性变 形，在不考虑塑性变形力学设计方法的情况下， 考虑到构件不能保持原有的形状和尺寸，故认为 它已不能正常工作，塑性材料到达屈服时的应力
45 MPa 。若只考虑链环两边所受的拉 力，试确定圆钢的直径 d 。
解：用截面法求链环每边截面上的轴力
FN
1 2
F
25 kN
FN FN
拉压强度条件
max
FN m ax A
[ ]
拉压强度条件
FN [ ]
A
FN 25 kN
A
d 2
4
FN
[ ]
d
4FN
[ ]
应力，称为材料的许用应力，以[ ]表示。
安全系数的确定除了要考虑载荷变化，构件加 工精度不够，计算不准确，工作环境的变化等因素 外，还要考虑材料的性能差异（塑性材料或脆性材 料）及材质的均匀性等。
二、安全系数的选取
安全系数的选取，必须体现既安全又经济的设计 思想，通常由国家有关部门制订，公布在有关的规范 中供设计时参考，一般在静载下：
4 12 3.14
.5 10 3 45 106
m
18.8 mm
FN FN
例2-5 如图所示一结构由钢杆1和铜杆2在A、B、 C处铰接而成，在节点A点悬挂一个G = 20kN的重物。 钢杆AB的横截面面积为A1 = 75mm2，铜杆的横截面
面积为A2 = 150mm2。材料的许用应力分别为[1]=160 MPa，[2] = 98MPa，试校核此结构的强度。
2）设计各杆的截面
AAC
FN1
[1]
3.13
c m2
ABC
FN 2
[ 2 ]
62.5 cm2
例2-8 如图所示的三角架由钢杆AC和木杆BC在 A、B、C处铰接而成，钢杆AC的横截面面积 A1 = 12
cm2，许用应力[1] = 160MPa，木杆BC的横截面面积 A2 = 200cm2，许用应力[2] = 8MPa，求C点允许起吊
[ ]
杆件受轴向拉伸或 压缩时的强度条件
三强 类度 问计 题算
• 强度校核 • 设计截面尺寸 • 确定许用载荷
A FNmax
[ ] F A[ ]
例2-4 如图所示起重机的起重链条由
圆钢制成，承受的最大拉力为F 25 kN 。
已知圆钢材料为 Q235 钢，考虑到起重时
链条可能承受冲击载荷，取许用应力[ ]
脆性材料
[ ] b
nb
nb 2.0 ~ 5.0
塑性材料
[
]
s
ns
ns 1.5 ~ 2.0
nb 、ns 分别为脆性材料、塑性材料对应的安全系数。
三、轴向拉伸和压缩的强度计算
为了保证构件在外力作用下安全可靠地工作，必 须使构件的最大工作应力小于材料的许用应力，即：
max
FN m ax A