第4章弯曲内力作业
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弯曲内力
1 FS ( x = 3a ) = - qa 2
-
(+) E
FS - 图
1 2 qa 8
(-) -qa
- qa 2
(-)
-
dM 5 = - qa + qa - a( x - a ) dx 2
1 qa 2
= FQ ( x ) = 0 5 \ x= a 2
(-) (+)
5 1 2 \ M ( x = a ) = qa 2 8
弯曲内力/剪力和弯矩
如以右侧梁作为研究对象，则： q
M 2 = 2qa 2
Fsc = q ?2a
FBy
M sc
FQc
C a
= - qa
M C = FBy ?2a 2qa ?a M2
B
FBy
= 2qa 2
为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。
弯曲内力/剪力和弯矩
M 1 = 2qa
由此式知：弯矩图曲线上一点的斜率等 于梁上相应 截面处的剪力 FS 。
弯曲内力/弯矩、剪力和分布荷载集度之间的关系
M (x)
FS ( x )
FS ( x ) + dFS
M ( x ) + dM
å
MC = 0
dx - M ( x ) - FS ( x )dx - q( x )dx ? [ M ( x ) + dM ( x )] = 0 2 2 dx 略去二阶微量 q( x ) ( ) ，得： 2 dM ( x ) = Fs ( x ) dx
弯曲内力/剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
y
F=qa q A a FAy x 2a
FBy
2、列出梁的剪力方程和弯矩方程 CA段: B x
材料力学B 第4章 弯曲内力 [自动保存的]
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4、剪力和弯矩的计算规律 (1) 求剪力的规律 梁内任一截面上的剪力FS，在数值上等于该截面一侧（左 侧或右侧）所有外力在平行于剪力方向投影的代数和。
FS Fi 左
F S (+)
FS(+)
F
或
Fs Fi 右
F
外力取正、负号的方法是： 外力绕该截面顺时针转向取正，逆时针转向取负。 或：左上右下---正，反之---负。 作用在梁上的力偶对剪力没有影响。
第4章
弯曲内力
西南科技大学 土建学院力学教研室
1
第4章
弯曲内力
§4.1 弯曲的概念和工程实例 了解
§4.2 剪力与弯矩
重点掌握
§4.3 剪力图和弯矩图 重点掌握
§4.4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 重点掌握
§4.5 叠加法绘制弯矩图 掌握
2
重要概念
梁，弯曲变形、平面弯曲、剪力、弯矩
本章重点
解得：
FAy
P (l a ) l
FB y
Pa l
23
FBy
Pa l
P (l a ) FAy l
a
A C
P (l a ) Fy 0 , FS FAy l
②求内力——截面法
P
Bx FBy
P (l a ) x MC 0 , M FAy x l
M
M=qa2 1 2
A 1 2 C a
q 4 3
3 B D
B
0,
a 0 2
FR A 2a M qa FR A 3qa 4
FRA
a FRB 4 a
F
y
0,
FRB FRA qa 0
第四章弯曲内力精品文档
(Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l.
a
求距A端x处截面上内力.
解: 求支座反力
Fx 0 , FRAx 0
A l
Fa M A 0 , FRB l
上的剪力和弯矩.
F1=F
FRA
FRB F2=F
C
A
D
B
b
a c
解：（1）求支座反力
2019/10/F 26R A F R B F 6k 0N
27
(Internal forces in beams)
（2）计算C 横截面上的剪力FSC和弯矩 MC
看左侧
F S C F 1 6k 0N M C F 1 b 6 . 0 k m N
解得 FSEFRA MFc 2019/10/26 E R A
FRA
FSE
ME
A
E
c
20
(Internal forces in beams)
FRA
A
FSE ME
E
c
取右段为研究对象
FSE
F1
ME
EC
F2
FRB
D
B
a-c b-c l-c
Fy 0 F S E F R B F 1 F 2 0
（3）计算D横截面上的剪力FSD 和弯矩 MD
看左侧
F S D F R A F 1 6 6 0 0 0
M D F R A ( c a ) F 1 c F 1 . 8 k a 3 m
材料力学 弯曲内力 作业
材料力学主要分为弹性力学和塑性力学两大类。
弹性力学研究材料在外力作用下产生的弹性变形，以及材料抵抗外力的能 力。
塑性力学研究材料在外力作用下产生的塑性变形，以及材料在塑性变形过 程中的力学行为。
材料力学的重要性
材料力学是工 程设计和安全
的基础
材料力学在各 个工程领域都
有广泛应用
材料力学的发 展推动了科技
根据剪力和弯矩绘制剪力图 和弯矩图
根据应力分布图、剪力图和 弯矩图绘制弯曲内力图
绘制实例
绘制步骤：确定截面位置、计算截面内力、绘制内力图 绘制方法：截面法、叠加法 绘制技巧：注意内力符号、标注轴向分力、标注扭矩 绘制实例：以悬臂梁为例，展示弯曲内力图的绘制过程
06
弯曲内力与变形关系
弯曲内力与变形关系概述
新型桥梁结构研究：研究新型桥梁结构形式，如悬索桥、斜拉桥等，以适应更复杂的环境和荷载 条件
建筑结构中的应用
梁的弯曲内力分析
梁的截面设计
梁的加固与防护
梁在建筑结构中的其 他应用
其他工程领域的应用
桥梁工程：桥梁的弯曲内力分析 是确保桥梁安全的重要环节，可 以评估桥梁的承载能力和稳定性。
机械工程：在机械工程中，弯曲 内力分析可用于评估机械零件如 轴、齿轮等的承载能力和稳定性， 以确保机械设备的正常运行和使 用寿命。
学院
材料力学弯曲内力
单击添加副标题
汇报人：
目录
01
单击添加目录项标题
02
03
弯曲内力基本概念
04
05
弯曲内力图绘制
06
07
弯曲内力在工程中的应用
材料力学概述 弯曲内力分析 弯曲内力与变形关系
01
添加章节标题
弹性力学研究材料在外力作用下产生的弹性变形，以及材料抵抗外力的能 力。
塑性力学研究材料在外力作用下产生的塑性变形，以及材料在塑性变形过 程中的力学行为。
材料力学的重要性
材料力学是工 程设计和安全
的基础
材料力学在各 个工程领域都
有广泛应用
材料力学的发 展推动了科技
根据剪力和弯矩绘制剪力图 和弯矩图
根据应力分布图、剪力图和 弯矩图绘制弯曲内力图
绘制实例
绘制步骤：确定截面位置、计算截面内力、绘制内力图 绘制方法：截面法、叠加法 绘制技巧：注意内力符号、标注轴向分力、标注扭矩 绘制实例：以悬臂梁为例，展示弯曲内力图的绘制过程
06
弯曲内力与变形关系
弯曲内力与变形关系概述
新型桥梁结构研究：研究新型桥梁结构形式，如悬索桥、斜拉桥等，以适应更复杂的环境和荷载 条件
建筑结构中的应用
梁的弯曲内力分析
梁的截面设计
梁的加固与防护
梁在建筑结构中的其 他应用
其他工程领域的应用
桥梁工程：桥梁的弯曲内力分析 是确保桥梁安全的重要环节，可 以评估桥梁的承载能力和稳定性。
机械工程：在机械工程中，弯曲 内力分析可用于评估机械零件如 轴、齿轮等的承载能力和稳定性， 以确保机械设备的正常运行和使 用寿命。
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材料力学概述 弯曲内力分析 弯曲内力与变形关系
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第4章 弯曲内力
§4.3 剪力、弯矩方程及剪力图和弯矩图
一、剪力方程和弯矩方程
在一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截
面的位置而变化。
M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A
E
C
F
B
D
1m 1m
2m
1m 1m
因此，剪力和弯矩均可表示为截面位置x的函数，即
FQ FQ (x), M M (x)
称为剪力方程和弯矩方程
x
AB段:
a
B a
Cx
FQ (x) 0 (0 x a)M (x) m a (0 x a)BC段:
m=Pa P
FQ (x) P (a x 2a) M (x) m P(x a)
A
xB a
a
2Pa Px (a x 2a)
2、作梁的剪力图和弯矩图
3、求
FQ
和M
max
max
第四章 弯曲内力
目录
§4-1 平面弯曲的概念和梁的计算简图
§4.1.1 平面 弯曲的概念
起重机大梁
q
P
A
B
工程实际中的弯曲问题
P
P
P
以弯曲变形为主的杆件通常称为梁
受力特点：在构件的纵向对称平面内，受 到垂直于梁的轴线的力或力偶作用，使构 件的轴线在此平面内弯曲为曲线，这样的 弯曲称为平面弯曲。
内力偶M是与横截面垂直的内力系的合
力偶矩，有使梁产生弯曲的趋势，故称 力偶矩M弯矩。
4.2.3 剪力与弯矩正负号规定
同一位置处左、右侧截面上内力分量必须具有相同的正负号。
剪力Q ：截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为 顺时针转向时，剪力为正；反之为负。 概括 为“左段下右段上，剪力为正”。
第四章 弯曲内力
（3）画剪力图和弯矩图
(a x l )
Pb l
M max Pab l
x
FS max
例5
画出图示梁的FS图和M图。
y
A
RA
（1）先求出约束反力： 解：
a
x
C x
M
b
（2）剪力方程和弯矩方程：
M RA l
M RB l
B
x
l
RB
M l Ma l
AC段： FS M FS1 ( x) RA (0 x a ) l Mx M 1 ( x) R A x (0 x a ) l CB段： M (a x l ) M FS 2 ( x) RA l M M 2 ( x) R A x M xM l (a x l )
0 x3
x
M ( x) P(4 x) 3(4 x) 3 x 4
（3）作剪力和弯矩图；
x
3kN m
dM ( x) 2 2x 0 dx
当 x 1m 时
M | x1m 1kN m
—— 极值点
§4. 5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
图示简支梁，建立如图坐标系。 约定： 分布力q向上为正，向下为负。
M | x 0 0
—— 斜直线 1 2 M | x l ql 2 —— 二次抛物线
x
ql 2 2
FS
max
ql
M
max
ql 2 2
例4
画出图示梁的FS图和M图。
y
（1）先求出约束反力： 解：
a
A
P
C x l
Pb l Pa l
Pab l
第四章 弯曲内力(土建)
qdx dFS
dFS q dx
28
q
A
x dx
C
B M FS C dx M + dM FS + dFS
1 FSdx q(dx) 2 M [M dM ] 0 2 dM FS 略去高阶微量得： dx
dFS d 2 M q 2 dx dx
29
M
0,
(1) 当q = 0 ，FS =常数， FS 图为水平直线； M 为一次函数，M 图为斜直线；
即可画出剪力图和弯矩图。
30
不同载荷q作用下剪力图和弯矩图的特征
31
突 变 规 律(从左向右画)
1、集中力作用处，FS图突变，方
向、大小与力同；M图斜率突 变，突变成的尖角与集中力F的 箭头是同向。
2、集中力偶作用处，M图发生
突变，顺下逆上，大小与M 同，FS图不发生变化。
32
根据M、FS与q之间的关系画剪力图和弯矩图的步骤 1. 取整体，求支座反力（悬臂梁此步可省）； 2. 将梁分段：凡是集中力、集中力偶作用点 ，分布载荷 两端，支座处都应取作分段点； 3. 用截面法求出每段梁两端截面的剪力和弯矩 ，由FS = 0 确定弯矩抛物线顶点所对应的截面位置，并求出该截面的弯 矩值；
的弯矩为正，反之为负。
12
FS ⊕
FS FS
－ ○
FS M
⊕
MM
－ ○
M
剪力正负的规定 内力通过平衡方程计算。 x A D FSD MD C
弯矩正负的规定
F M
y
0; FAy FSD 0,
FSD FAy
FAy
C
0; M D FAy x 0,
四章弯曲内力
§4-4 剪力图和弯矩图
例题5-2
q
悬臂梁受均布载荷作用。
x
l
q
试写出剪力和弯矩方程，并
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
x
FS
M x
剪力和弯矩 方程
FS x＝qx
0 x l
FS x
ql
M x＝qx2 / 2 0 x l
依方程画出剪力图和弯矩图
Ma / l
FAy＝M / l FBy＝ -M / l
2．写出剪力和弯矩方程
AC FS x1＝M / l 0 x1 a
M x1＝Mx1 / l 0 x1 a
Mb / l
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
d
2M (x) dx2
dFs (x) dx
q(x)
5
目录
26
§4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
载荷集度、剪力和弯矩关系：
d 2M (x) dx2
dFs (x) dx
q(x)
1. q＝0，Fs=常数， 剪力图为直线； M(x) 为 x 的一次函数，弯矩图为斜直线。
2.q＝常数，Fs(x) 为 x 的一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 的二次函数，弯矩图为抛物线。
FSE
FBy
F 3
FAy
5F 3
O
ME
分析右段得到：
FAy
FBy
ME
O
FSE
Fy 0 FSE FBy 0
F
FBy
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A
q
Me=qa2 B C
AC段：
M ( x1 ) qa 2 qx1
CB段： Fs ( x2 ) 0
(0 x2 a) (0 x2 a)
Fs 2qa ㈩ M
x1
2a
x2
a
M ( x2 ) qa 2
（2）作梁的剪力图和弯矩图 （3）确定梁的最大剪力和最大弯矩值
x qa2 ㈩
(0 x2 a) (0 x2 a)
Fs
x1
a
2F ㈩
x2
a
M ( x2 ) Fa
（2）作梁的剪力图和弯矩图 （3）确定梁的最大剪力和最大弯矩值
M
x Fa ㈩ ㈠ x
F M
max max
2F FaFa来自-2 （c）解：（1）列梁的剪力和弯矩方程
Fs ( x1 ) qx1 (0 x1 2a) x1 2 (0 x1 2a)
思考题
答：
思考题
答：
思考题 4.7 为什么垂柳的枝条细长，而杨树的枝条粗而短（考虑风载作用下树枝的受力状况）？
答：
杨树枝向上生长，受风载作用时，其根部的弯矩值 随 增大而增大，其值为
1 M l 2 (q1 cos q2 sin ) 2
因此，其枝条相比于柳枝要粗得多，方能承受风载作用。
㈠
F max 2qa M
max
qa
2
x
qa2
q
4-2 （g）解：（1）列梁的剪力和弯矩方程
求支座约束力 FA
Fs ( x1 )
3qa qa ,FB 8 8
A
x1 a/2
C a/2
x2
B
3qa qx1 (0 x1 a / 2) 8 AC段： x 3qa M ( x1 ) x1 qx1 1 (0 x1 a / 2) 8 2
a
1 2
a
C
0
a aFD M e 2aF q a 0 2 FD 2.5qa
q A
Me=qa2
D
F=qa
1
C 2
B
Fs1 q a qa
M 1 q a a 1 qa 2 2 2
a
FC
a
a
FD
Fs2 F FD qa 2.5qa 1.5qa
4-1 求指定截面上的剪力和弯矩
（c） 解：
Fs1 q a F 2qa
A
Me=qa2 1 2 C 2 1 q F=qa B
a 3 M 1 q a Fa qa 2 2 2
Fs2 Fs1 2qa
（f ）
M
1 M 2 M 1 M e qa 2 2
M 2 F a Me qa2 qa2 2qa2
4-2 （a）解：（1）列梁的剪力和弯矩方程
(0 x1 a) A AC段： Fs ( x1 ) 2F M ( x1 ) Fa 2Fx1 (0 x1 a)
2F C
Me=Fa B
CB段： Fs ( x2 ) 0
16
㈩ x
用简便法作弯曲内力图 4-2 解：（b） 分两段： AC 、 CB
A
q C a Fs a B
㈠
x
qa M
㈠
x
qa 2 2 3qa 2 2
用简便法作弯曲内力图 4-2 解：（l） 分两段： AC 、 CB
A
q C a Fs
qa2 B a
㈠
x
qa
qa 2
M
㈠
2
㈩
㈠
x
qa 2 2
qa 2 2
4-19 （b）解：
q
F qa
Fy
Fs FN
M
a a
q
qa 2 F qa, M 2
qa 2 M 2
Fx
Fx qa sin , Fy qa cos
列曲杆的轴力、剪力和弯矩方程
FN ( ) qa sin ,
Fs ( ) qa cos ,
qa 2 M ( ) qa 2 sin 2 0
FA
3qa
FB
8
Fs ㈩ M
qa CB段： Fs ( x2 ) 8 qa M ( x2 ) x2 8
(0 x2 a / 2) (0 x2 a / 2)
5a
8
㈠
9qa 2 128 qa
2
x
qa 8
（2）作梁的剪力图和弯矩图 （3）确定梁的最大剪力和最大弯矩值 3qa F max 8 9qa 2 M max 128
q
Me=qa2 B C
AC段：
M ( x1 ) qa 2 qx1
CB段： Fs ( x2 ) 0
(0 x2 a) (0 x2 a)
Fs 2qa ㈩ M
x1
2a
x2
a
M ( x2 ) qa 2
（2）作梁的剪力图和弯矩图 （3）确定梁的最大剪力和最大弯矩值
x qa2 ㈩
(0 x2 a) (0 x2 a)
Fs
x1
a
2F ㈩
x2
a
M ( x2 ) Fa
（2）作梁的剪力图和弯矩图 （3）确定梁的最大剪力和最大弯矩值
M
x Fa ㈩ ㈠ x
F M
max max
2F FaFa来自-2 （c）解：（1）列梁的剪力和弯矩方程
Fs ( x1 ) qx1 (0 x1 2a) x1 2 (0 x1 2a)
思考题
答：
思考题
答：
思考题 4.7 为什么垂柳的枝条细长，而杨树的枝条粗而短（考虑风载作用下树枝的受力状况）？
答：
杨树枝向上生长，受风载作用时，其根部的弯矩值 随 增大而增大，其值为
1 M l 2 (q1 cos q2 sin ) 2
因此，其枝条相比于柳枝要粗得多，方能承受风载作用。
㈠
F max 2qa M
max
qa
2
x
qa2
q
4-2 （g）解：（1）列梁的剪力和弯矩方程
求支座约束力 FA
Fs ( x1 )
3qa qa ,FB 8 8
A
x1 a/2
C a/2
x2
B
3qa qx1 (0 x1 a / 2) 8 AC段： x 3qa M ( x1 ) x1 qx1 1 (0 x1 a / 2) 8 2
a
1 2
a
C
0
a aFD M e 2aF q a 0 2 FD 2.5qa
q A
Me=qa2
D
F=qa
1
C 2
B
Fs1 q a qa
M 1 q a a 1 qa 2 2 2
a
FC
a
a
FD
Fs2 F FD qa 2.5qa 1.5qa
4-1 求指定截面上的剪力和弯矩
（c） 解：
Fs1 q a F 2qa
A
Me=qa2 1 2 C 2 1 q F=qa B
a 3 M 1 q a Fa qa 2 2 2
Fs2 Fs1 2qa
（f ）
M
1 M 2 M 1 M e qa 2 2
M 2 F a Me qa2 qa2 2qa2
4-2 （a）解：（1）列梁的剪力和弯矩方程
(0 x1 a) A AC段： Fs ( x1 ) 2F M ( x1 ) Fa 2Fx1 (0 x1 a)
2F C
Me=Fa B
CB段： Fs ( x2 ) 0
16
㈩ x
用简便法作弯曲内力图 4-2 解：（b） 分两段： AC 、 CB
A
q C a Fs a B
㈠
x
qa M
㈠
x
qa 2 2 3qa 2 2
用简便法作弯曲内力图 4-2 解：（l） 分两段： AC 、 CB
A
q C a Fs
qa2 B a
㈠
x
qa
qa 2
M
㈠
2
㈩
㈠
x
qa 2 2
qa 2 2
4-19 （b）解：
q
F qa
Fy
Fs FN
M
a a
q
qa 2 F qa, M 2
qa 2 M 2
Fx
Fx qa sin , Fy qa cos
列曲杆的轴力、剪力和弯矩方程
FN ( ) qa sin ,
Fs ( ) qa cos ,
qa 2 M ( ) qa 2 sin 2 0
FA
3qa
FB
8
Fs ㈩ M
qa CB段： Fs ( x2 ) 8 qa M ( x2 ) x2 8
(0 x2 a / 2) (0 x2 a / 2)
5a
8
㈠
9qa 2 128 qa
2
x
qa 8
（2）作梁的剪力图和弯矩图 （3）确定梁的最大剪力和最大弯矩值 3qa F max 8 9qa 2 M max 128