三角形培优训练100题集锦(学生用)

精心整理

精心整理

三角形培优训练专题

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】

123456、71解:∴∆∵即2∴41 AD

2、如图，ABC ∆中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DF DE ⊥，D 是中点，试比较CF BE +与EF 的大小。

证明：延长FD 到点G ，使DF DG =，连接BG 、EG ∵CD BD =，DG FD =，CDF BDG ∠=∠ ∴CDF BDG ∆≅∆

∴CF BG =

E

F

E

C

A

B

D

图1

C

图2

∵DF DE ⊥

∴EG EF =

在BEG ∆中，EG BG BE + ∵CF BG =，EG EF = ∴EF CF BE +

3、如图，ABC ∆中，AC DC BD ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠. 证明方法一：利用相似论证。 证明：∵AC DC BD == ∴∵E ∴∴∴∵∴∴∴即∴∴∴∴∴即AD 平分BAE ∠

4、以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，︒=∠=∠90CAE BAD ，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点。探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系。

（1）如图1当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是，线段AM 与DE 的数量关系是； （2）将图1中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒θ（︒︒︒900 θ）后，如图2所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。

精心整理

∵AD 平分BAC ∠ ∴CAD BAD ∠=∠ 在ADC ∆和ADM ∆中

AM AC =，CAD BAD ∠=∠，AD AD = ∴ADC ADM ∆≅∆

∴︒=∠=∠90ADM ACD 即:AC CD ⊥

6、如图，BD AC //，EA ，EB 分别平分CAB ∠，DBA ∠，CD 过点E ，求证：BD AC AB +=

精心整理

证明：在AB 上截取AC AF =，连接EF

在CAE ∆和FAE ∆中

⎪⎩

⎪

⎨⎧=∠=∠=AE AE FAE CAE AF AC ∴

∴∴即在∴∴∴7，BQ 分别是∠∵∴∴又∴在AP ∴∴即∴8、如图，在四边形ABCD 中，BA BC ，CD AD =，BD 平分ABC ∠. 求证：︒=∠+∠180C A

解：过点D 作BC DE ⊥于E ，过点D 作AB DF ⊥交BA 的延长线于F ∵BD 平分ABC ∠

∴DF DE =，︒=∠=∠90DEB F

在CDE Rt ∆和ADF Rt ∆中 ∴≅∆CDE Rt ADF Rt ∆（HL ） ∴C FAD ∠=∠

∴︒=∠+∠=∠+∠180FAD BAD C BAD E

F

D

C A B

精心整理

9、如图，在ABC ∆中，AC AB ，CAD BAD ∠=∠，P 为AD 上任意一点。

求证：PC PB AC AB --

判断AE AD +与BC 的关系并证明你的结论。

周长记为B P .求证：A B P P .

证明：延长BA 到F ，使AC AF =,连接EF ∵AD 为ABC ∆的角平分线 ∴CAD BAD ∠=∠ ∵AD MN ⊥

∴CAE CAD BAD FAE ∠=∠-︒=∠-︒=∠9090 ∵AC AF =，AE AE = ∴ACE AFE ∆≅∆ ∴EC EF = F

N

M

D E

A

C

B

精心整理

∵BF EF BE +

∴AC AB AF AB EC BE +=++

∴BC+BE+CE>AB+AC+BC BC AC AB BC EC BE ++++ ∴ABC ∆的周长小于EBC ∆的周长，即A B P P

12、已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．

（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关系是； （2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明

解：（1（2

易证△∴ED =∵AB =∴∠2=∴∠∵∠∴∠=360°∴∠8=又AD =∴∠∵MF =13、如图，已知在ABC ∆中，︒=∠60B ，ABC ∆的角平分线AD ，CE 相交于点O . 求证：OD OE =

证明：在AC 上取点F ，使AE AF =，连接OF ∵AD 是A ∠的平分线 ∴FAO EAO ∠=∠ ∵AO AO = ∴AFO AEO ∆≅∆

∴FO EO =，AOF AOE ∠=∠ ∵CE 是C ∠的平分线 F

O

D

E

A

B E

9

精心整理

O P A

M

N

E

B

C

D F

A

C

E

F

B D

图①

图②

图③ ∴FCO DCO ∠=∠

∵︒=∠60B

∴︒=∠+∠120ACB BAC

∴=

∠+∠=∠OCA CAO COD ()︒=∠+∠602

1

ACB BAC ∴︒=︒-︒-︒=∠-∠-︒=∠606060180180AOF COD COF ∴COD COF ∠=∠ ∵OC OC =

∴OCF OCD ∆≅∆ ∴OF OD =

∴

14F .（1）说明BE （1∵∴∵∴∴∴（2∴∴∴∴∴a 15（1）如图②，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，︒=∠60B ，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F 。请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；

（2）如图③，在ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

解：（1）FE 与FD 之间的数量关系为

FD FE =

（2）答：

（1）中的结论

FD FE =仍然成立。

精心整理

证法一：如图1，在AC 上截取AE AG =，连结FG ∵21∠=∠，AF 为公共边， ∴AGF AEF ∆≅∆

∴AFG AFE ∠=∠，FG FE =

∵

∴∴∴∵∴∴∴∵∴∴∴16的度数。 ∴∴∴∴17、。 （1）当MDN ∠绕点D 转动时，求证：DF DE =； （2）若2=AB ，求四边形DECF 的面积。

分析：（1）连CD ，根据等腰直角三角形的性质得到CD 平分ACB ∠，AB CD ⊥，︒=∠45A ，DA CD =，则︒=∠45BCD ，︒=∠90CDA ，由DN DM ⊥得︒=∠90EDF ，根据等角的余角相等得到ADF CDE ∠=∠，根据全等三角形的判定易得ADF DCE ∆≅∆，即可得到结论；（2）由ADF DCE ∆≅∆，则ADF DCE S S ∆∆=，于是四边形DECF 的面积ACD S ∆=，由而2=AB 可得1==DA CD ，根据三角形的面积公式易求得ACD S ∆，从而得到四边形DECF 的面积。 解：（1）连CD ，如图，

∵D 为等腰ABC Rt ∆斜边AB 的中点

精心整理

图1

A B C

D

E F

M N A

B C

D

E F

M N

图2

F

E A

N

D

C

B 图3

∴CD 平分ACB ∠，AB CD ⊥，︒=∠45A ，DA CD =

∴︒=∠45BCD ，︒=∠90CDA ∵DN DM ⊥ ∴︒=∠90EDF ∴ADF CDE ∠=∠ 在

∴∴（2∴S 而∴性质。

18D 为顶

∴∵∴∴在∴∴∴6=+=++=++AC AB AN BM NC MN AN AM ∴AMN ∆的周长为6

19、已知四边形ABCD 中，AD AB ⊥，CD BC ⊥，BC AB =，︒=∠120ABC ，︒=∠60MBN ，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD 、DC （或它们的延长线）于E 、F ．

（1）当MBN ∠绕B 点旋转到CF AE =时（如图1），易证EF CF AE =+．

（2）当MBN ∠绕B 点旋转到CF AE ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若

成立，请给予证明；若不成立，线段AE 、CF 、EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜

想，不需证明。

解：（1）∵AD AB ⊥，

精心整理

CD BC ⊥，BC AB =，CF AE =

∴CBF ABE ∆≅∆（SAS ）； ∴CBF ABE ∠=∠，BF BE = ∵︒=∠120ABC ，︒=∠60MBN

∴︒=∠=∠30CBF ABE ，BEF ∆为等边三角形 ∴BF EF BE ==，BE AE CF 2

1==

∴EF BE CF AE ==+

（2）图2成立，图3不成立。

证明图2，延长DC 至点K ，使AE CK =，连接BK 则

∴∵∴∴∴∴∴∴图20的两侧。 （1（2AB ，可得PAD ≅∆于G ，在Rt ∆P D F 中，（2）将P A D ∆绕点A 顺时针旋转︒90，

得到AB P '∆，PD 的最大值即为B P '的最大值，故当P '、P 、B 三点共线时，B P '取得最大值，根据PB P P B P +'='可求B P '的最大值，此时︒='∠-︒=∠135180P AP APB ．

解：（1）①如图，作PB AE ⊥于点E

∵PAE Rt ∆中，︒=∠45APB ，2=PA ∴()

12

22

==

=PE AE

∵4=PB ∴3=-=PE PB BE E

P

A

D

C

B

图1

N M A

D C

B 图2

N M A

D C

B

图3

N

M

A C

B

在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB

∴1022=+=BE AE AB

②解法一：如图，因为四边形ABCD 为正方形，可将将PAD ∆绕点A 顺时针旋转︒90得到AB P '∆，，可得AB P PAD '∆≅∆，B P PD '=，A P PA '=

∴︒='∠90P PA ，︒='∠45P AP ，︒='∠90PB P ∴2='P P ，2=PA

∴52422222=+=+'='=PB P P B P PD ；

于G ． 在在在（2 ∵此='P P B P 6此

时

=∠APB 21、︒=60，

=∠BDC 关系及

（1）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DN DM =时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；

__________=L

Q

； 此

时

（2）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DN DM ≠时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；

P ′

P

A C

B

D

E

C

（3）如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时，若x AN =，则_____=Q （用x 、L 表示）．

分析：（1）如果DN DM =，DNM DMN ∠=∠，因为DC BD =，那么︒=∠=∠30DCB DBC ，也就有︒=︒+︒=∠=∠903060NCD MBD ，直角三角形MBD 、NCD 中，因为DC BD =，DN DM =，根据HL 定理，两三角形全等。那么NC BM =，︒=∠=∠60DNC BMD ，三角形NCD 中，︒=∠30NDC ，NC DN 2=，在三角形DNM 中，DN DM =，︒=∠60MDN ，因此三角形DMN 是个等边三角形，因此

BM NC NC DN MN +===2，三角形AMN 的周长=++=MN AN AM Q

AB AC AB NC MB AN AM 2=+=+++，三角形ABC 的周长AB L 3=，因此3:2:=L Q ．

（2BM =，连接DE CE MB =CDE ，=∠EDN ，因为

CN NE =（3，三角形CD =，MD =MDB ∠，因此∠︒=60，

那么NM =AC AN + （2∵∴又∴在⎪⎩

⎪

⎨⎧∠∴∴

∴︒=∠-∠=∠60MDN BDC EDN

在MDN ∆与EDN ∆中

∴EDN MDN ∆≅∆（SAS ）∴BM NC NE MN +==

故AMN ∆的周长=++=MN AN AM Q ()()AB AC AB NC AN BM AM 2=+=+++ 而等边ABC ∆的周长AB L 3=∴

3

232==AB AB L Q （3）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若x AN =，则L x Q 3

22+=（用x 、L 表示）．

22、、E 三点共线，AE 交CD 于G ，BD AC 于F 。 ∴， AE=BD 。

∴ ∴∠ACD=

-

23。

，

∴∠BMN=∠MDA 又∵BN 平分∠CBE， ∴∠MBN=

又由P 、M 分别为AD 、AB 的中点，ABCD 是正方形，得△PAM 是等腰直角三角形，故∠DPM=

。

∴∠DPM=∠MBN， ∴△DPM≌△MBN， ∴DM=MN 。

说明： 本题中DM 和MN 所在的三角形不全等，这时就要考虑作出它们所在的新三角形，证明这两个新三角形全等。

24、如图2-7-3，△ABC 中，∠ABC=2∠C，∠BAC 的平分线交 BC 于D 。求证：AB+BD=AC

思路1：延长AB 到E ，使BD ，证明△AED≌△ACD。

证法1：延长AB到E，使BE=BD，连结ED，则∠E=∠BDE。

∴∠ABD=∠E+∠BDE=2CE

又∵∠ABC=2∠C，∴∠C=∠E

∵∠AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，

又∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC，∴AC=AE。即AC=AB+BE=AB+BD。

思路2：在AC上取一点E，使AE=AB，证明△AED≌△ABD。

证法2：在AC上取点E，使AE=AB，连结CD。由AD平分∠BAC得∠1=∠2

又∵AD=AD，∴△ADB≌△ADE，∴∠AED=∠ABC，DE=DB，

又∵∠ABC=2∠C，∴∠AED=2∠C又∵∠AED=∠EDC+∠C，∴∠EDC=∠C，

∴ED=EC，∴EC=BD，∴AB+BD=AE+EC+AC。

说明：要证明AB+BD=AC，一般来说有两种方法，一种方法是作出一条线段，使其长度为AB+BD，如证法

法。

25、

求证：

思路：集中在同一三角形中，利用证明：

即

26、E，连结DE。

证法1，∠BCG=∠A=-

△，

思路2

证明△ADE≌△ANE。

证法2：过A作AN⊥AC，交CE延长线于N。

∵∠ACN=∠CBD，AC=CB，∴Rt△ACN≌Rt△CBD，∴∠CDF=∠ANE，CD=AN=AD，

又∵∠CAE=∠EAN=，AE=AE，∴△ADE≌△AN E，∴∠ADE=∠ANE，∴∠CDF=∠ADE。

27、在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.

（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；

（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

分析：（1）AD⊥MNBE⊥MN∴∠ADC＝∠CEB＝90°∴∠DAC＋∠DCA＝90°

又∵∠ACB ＝90°∴∠DCA ＋∠ECB ＝90°∴∠DAC ＝∠ECB

∵AC ＝BC ∴△ADC ≌△CEB ∴DC ＝BEAD ＝CE ∴DE ＝DC ＋CE ＝BE ＋AD

（2）与（1）同理△ADC ≌△CEB ∴CD ＝BEAD ＝CE ∵DE ＝CE －CD ＝AD －BE

（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3位置时与（1）（2）同理可知 CE ＝AD ，BE ＝CD ∵DE ＝CD －CE ＝BE －AD

28、已知：△ABC 为等边三角形，M 是BC 延长线上一点，直角三角尺的一条直角边经过点A ，且60o 角的顶点E 在BC 上滑动，（点E 不与点B 、C 重合），斜边和∠ACM 的平分线CF 交于点F （1）如图（1）当点E 在BC 边得中点位置时（6分） 1)猜想AE 与EF 满足的数量关系是。（１分）

2)3)

29、（1（230BM ⊥（1 （2）PN =（3还成立

分析（1）证明：①如图2.

BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，90BMN CNM ∴∠=∠=°

． BM CN ∴∥．MBP ECP ∴∠=∠．

又P 为BC 边中点，.BP CP ∴=又BPM ∠②BPM CPE △≌△12PM PE PM ME ∴=∴=∴在Rt MNE △中，1

2

PN =PN =

（2）成立.如图3.

证明：延长MP 与NC 的延长线相交于点E . BM ⊥直线a 于点M ，CN ⊥直线a 于点N ，

又P 为BC 中点，BP CP ∴=．

又BPM CPE ∠=∠，BPM CPE ∴△≌△．

1

2

PM PE PM ME ∴=∴=．． 则在Rt MNE △中，1

2

PN ME =．∴PM PN =． （3）PM PN =成立.

31、如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边DE 上，连接AE GC ，． （1）试猜想AE 与GC 有怎样的位置关系，并证明你的结论. 题图1 题图2 题图3

（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE

和GC．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

.解：（1）答：.

AE GC

⊥····························（1分）

证明：延长GC交AE于点.

H

在正方形ABCD与正方形DEFG中，

∴.

ADE CDG

△≌△

∴1 2.

∠=∠ ··································（3分）

∵2390

∠+∠=°.

∴1390

∠+∠=°.

∴()

∠=∠+∠=︒︒=︒

°-.

AHG

18013180-9090

····················· 8分

··············（10分）

重合），

中

中

中

⊥直线m ,CE ⊥直线m ,垂足分别为点D 、E .证明:DE =BD +CE .

(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上,并且有∠BDA =∠AEC =∠BAC =a ,其中a 为任意锐角或钝角.请问结论DE =BD +CE 是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

(3)拓展与应用：如图(3)，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合）,点F 为∠BAC 平分线上的一点,且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ,若

形，得

，所以

︒，得（3）由（2）知，△ADB ≌△CEA ，BD =AE ，∠DBA=∠CAE ∵△ABF 和△ACF 均为等边三角形∴∠ABF =∠CAF=60° ∴∠DBA+∠ABF =∠CAE+∠CAF ∴∠DBF =∠F AE ∵BF =AF ∴△DBF ≌△EAF ∴DF =EF ，∠BFD =∠AFE

∴∠DFE =∠DF A +∠AFE =∠DF A +∠BFD =60°∴△DEF 为等边三角形. 点拨：利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法.

三角形培优训练专题

（图3）

D

【三角形辅助线作法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】

1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。

2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思3

457、8、 1、2、. 3、4、以∆90,=︒连接DE ，（1）如图①当为直角三角形时，探究：AM 与DE 的位置关系和数量关系；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转︒

θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

5、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC

6、如图，AD ∥BC ，EA,EB 分别平分∠DAB,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB

＝AD+BC 。

7、如图，已知在△ABC 内，0

60BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是

BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

8、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 9、;AB-AC

＞10、

11、AD 周长记

为A P 12、EC ，取（1 （213、AD,CE

14、DE ⊥AB

于E ，（1BE 的

长.

15OP 所（1CE 分（2

16、正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD .

17、D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN （1） 当MDN ∠绕点D 转动时，求证DE=DF 。 （2） 若AB=2，求四边形DECF 的面积。

18、如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆0，以D 为顶点O P

A

M

N E B C D F 图①

做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN ∆的周长。

19、已知四边形ABCD 中，AB AD ⊥，BC CD ⊥，AB BC =，

120ABC =∠，60MBN =∠，MBN ∠绕B 点旋转，它的两边分别交AD DC ，（或它们的延长线）于E F ，．

当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF =时（如图1），易证AE CF EF +=． 当MBN ∠绕B 点旋转到AE CF ≠时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE CF ，，EF 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．

20、

D 两点(1)(2),及相应∠APB 21、M 、N ，D ABC

∠MDN ,=∠BDC 分别在直线AB 、AC 上移动时，、NC 、MN 之间的数量关系及的周长L 的关系．

（I DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是；此时L

Q

（II （若22、、AE 交CD 23、24、于D 。求证：25、AD 上任26、如图2-7-5，从等腰Rt△ABC 的直角顶点C 向中线BD 作垂

线，交BD 于F ，交AB 于E ，连结DE 。 求证：∠CDF=∠ADE。

27、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN

于D ，BE ⊥MN 于E.

（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE ＝AD ＋BE ；

（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE ＝AD －BE ；

（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出（图1） （图3）