二阶偏微分方程的常规解与特殊解
标准二阶椭圆型偏微分方程
标准二阶椭圆型偏微分方程：解析、性质与应用一、引言偏微分方程是数学物理领域中的一个重要研究对象，尤其是二阶椭圆型偏微分方程，具有非常丰富的理论和实际应用价值。
标准二阶椭圆型偏微分方程是二阶椭圆型偏微分方程的一种特殊形式，具有独特的性质和广泛的应用领域。
本文将对标准二阶椭圆型偏微分方程进行详细解析，包括其定义、性质、解析方法以及在实际问题中的应用。
二、标准二阶椭圆型偏微分方程的定义在数学中，标准二阶椭圆型偏微分方程的一般形式可以表示为：Au_{xx} + 2Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + Fu = G。
其中，A, B, C, D, E, F, 和G 是关于x 和y 的函数，并且满足一定的条件以保证方程是椭圆的。
当这些系数函数满足一定条件时，我们称这样的方程为标准二阶椭圆型偏微分方程。
三、标准二阶椭圆型偏微分方程的性质1. 椭圆性：对于标准二阶椭圆型偏微分方程，其解的存在性和唯一性与其椭圆性密切相关。
椭圆性条件保证了方程在一定区域内具有解的存在性和唯一性。
2. 正则性：标准二阶椭圆型偏微分方程的解具有一定的正则性，即解的光滑程度与方程的系数函数和边界条件有关。
这一性质为数值求解提供了理论依据。
3. 最大原理和边界值问题：最大原理是研究二阶椭圆型偏微分方程解的重要工具，它给出了方程解在区域内部和边界上的性质。
边界值问题则是二阶椭圆型偏微分方程在实际应用中的一个重要方面。
四、解析方法对于标准二阶椭圆型偏微分方程的解析方法，主要有以下几种：1. 分离变量法：适用于具有特定对称性的方程，通过将多元函数的偏微分方程转化为一元函数的常微分方程来求解。
2. 有限差分法：将连续的问题离散化，构造差分格式来逼近微分方程的解。
这是一种常用的数值求解方法。
3. 有限元法：将连续的问题离散化为有限个单元，并在每个单元上构造近似解。
这是一种广泛应用于工程和科学计算的数值方法。
4. 变分法：通过寻找泛函的极值来求解偏微分方程，具有深刻的物理背景和广泛的应用领域。
二阶偏微分方程的常规解与特殊解
株洲师范高等专科学校2010届毕业论文材料系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称:讲师专业：物理教育班级：07 物理教育2010年5月目录1、毕业论文课题任务书 (2)2、毕业论文开题报告 (4)3、指导教师评阅表 (8)4、评阅教师评阅表 (9)5、答辩及最终成绩评定表 (10)6、毕业论文 (11)2010届毕业论文课题任务书系：物理与电子工程系专业：物理教育株洲师范高等专科学校毕业论文开题报告系部_______物理与电子工程系____ 专业物理教育题目二阶偏微分方程的常规解与特殊解学生姓名__刘进萍学号04107103_指导教师周昕___职称__ 讲师_____2010年5月20日说明：开题报告作为毕业论文（设计）答辩委员会对学生答辩资格审查的依据材料之一，此报告应在导师指导下，由学生填写，将作为毕业论文（设计）成绩考查的重要依据，经导师签署意见及系审查后生效。
株洲师专2010届毕业论文指导教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文评阅教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文答辩及最终成绩评定表系（公章）：物理与电子工程系株洲师范高等专科学校2007届毕业论文弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称讲师专业：物理教育班级：物理教育班完成时间：2010年5月弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解物理与电子工程系物理教育专业2007级刘进萍指导老师周昕摘要：对于弦振动的二阶偏微分方程，一般采用分离变法来解。
如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v, 从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。
该种方法物理意义明确，求解过程相对简化。
关键词：二阶偏微分方程；推迟因子；弦振动；波的传播Abstract: For the partial differential equation of two ranks, we often use separation reform to solution. If we consider its physical significance, from the source X0 wave is the source of vibration in time delayed t = X0 / v, which will be the source of vibration equation introduced delay partial differential equations, the factor of offspring will meet equation, the vibration equation is the partial differential equations of the solution. This method has clear physical meaning and the solving process is relatively simple.Keywords:partial differential equation of two ranks; suspend gene; libration of string; transmit ion of wave前言在解弦振动的二阶偏微分方程时, 在数学上，一般采用分离变法来解，这是一种纯数学的方法。
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结
第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结§1 二阶方程的分类1． 证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后2211212a a a -=∆的符号不变。
证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为fcu u b u b u a u a u a y x yy xy xx =+++++212212112经可逆变换 ⎩⎨⎧==),(),(y x y x ηηξξ0),(),(≠y x D D ηξ 化为 f u c u b u a u a u a =++++ηηηξηξξ22212112其中 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+++=++=22212211222212111222212211112)(2y y x x y y x y y x x x yy x x a a a a a a a a a a a a ηηηηηξηξηξηξξξξξ所以 y x y x y x y x x y y xa a a a a a a ηηξξηηξξηξηξ2211112222122221112222)(+-+=-=∆22221112222222211),(),())(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=--=+-y x D D a a a a a x y y x y x y x ηξηξηξηξξη因0),(),(2>⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x D D ηξ，故∆与∆同号，即类型不变。
2． 判定下述方程的类型（1）022=-yy xx u y u x （2）0)(2=++yy xx u y x u （3）0=+yy xx xyu u（4）)010001(sgn 0sgn 2sgn ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==++x x x x xu u yu yyxy xx(5) 0424=+++-zz yy xz xy xx u u u u u 解：(1)022=-yy xx u y u x因 022>=∆y x 当0,0≠≠y x 时0,0=>∆x 或0=y 时0=∆。
3. 二阶偏微分方程
§3 二阶偏微分方程一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程考虑二阶偏微分方程()0),,,,,,(111,2=∂∂∂∂+∂∂∂∑=n nnj i j i ij x u x u u x x F y x u x a (1) 式中a ij (x )=a ij (x 1,x 2,…,x n )为x 1,x 2,…,x n 的已知函数.[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面]代数方程()01,=∑=nj i jiijaa x a称为二阶方程(1)的特征方程；这里a 1,a 2,…,a n 是某些参数，且有012≠∑=ni ia.如果点x ︒=(x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)满足特征方程，即()01,o =∑=nj i jiijaa x a则过x ︒的平面()01o=-∑=nk kk k x x a 的法线方向l :(a 1,a 2,…,a n )称为二阶方程的特征方向；如果一个(n 1-)维曲面，其每点的法线方向都是特征方向，则称此曲面为特征曲面；过一点的(n 1-)维平面，如其法线方向为特征方向，则称这个平面为特征平面，在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面.[n 个自变量方程的分类与标准形式] 在点P (x 1︒,x 2︒,…,x n ︒)，根据二次型()∑=nj i jinijaa x x x a 1,o o 2o 1,,, (a i 为参量)的特征根的符号，可将方程分为四类：(i) 特征根同号，都不为零，称方程在点P 为椭圆型.(ii) 特征根都不为零，有n 1-个具有同一种符号 ，余下一个符号相反，称方程在点P 为双曲型.(iii) 特征根都不为零，有m n -个具有同一种符号(n >m >1)，其余m 个具有另一种符号，称方程在点P 为超双曲型.(iv) 特征根至少有一个是零，称方程在点P 为抛物型.若在区域D 内每一点方程为椭圆型，双曲型或抛物型，则分别称方程在区域D 内是椭圆型、双曲型或抛物型.在点P 作自变量的线性变换可将方程化为标准形式：椭圆型：∑==+∂∂ni ix u1220Φ双曲型：∑==+∂∂-∂∂n i ix ux u 22120Φ超双曲型：()10112222>>=+∂∂-∂∂∑∑=+=m n x ux u mi nm i ii Φ抛物型：()00122>=+∂∂∑-=m x umn i iΦ式中Φ为不包含二阶导数的项.[两个自变量方程的分类与标准形式] 方程的一般形式为0,,,,222222122211=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂y u x u u y x F y u a y x u a x u a (2) a 11,a 12,a 22为x ,y 的二次连续可微函数，不同时为零. 方程a 11d y 22-a 12d x d y +a 22d x 2=0称为方程(2)的特征方程.特征方程的积分曲线称为二阶方程(2)的特征曲线. 在某点P (x 0,y 0)的邻域D 内，根据Δ=a 122－a 11a 12的符号将方程分类： 当Δ>0时，方程为双曲型； 当Δ=0时，方程为抛物型； 当Δ<0时，方程为椭圆型.在点P 的邻域D 内作变量替换，可将方程化为标准形式：（i ） 双曲型：因Δ>0，存在两族实特征曲线11),(c y x =ϕ，22),(c y x =ϕ，作变换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=和,,ηηξ-=+=s t s 方程化为标准形式),,,,(2222t us u u t s t u s u ∂∂∂∂=∂∂-∂∂Φ 或),,,,(12ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂∂uu u u （ii ） 抛物型: 因Δ=0，只存在一族实的特征曲线c y x =),(ϕ，取二次连续可微函数),(y x ψ，使0),(),(≠∂∂y x ψϕ，作变换),(y x ϕξ=，),(y x ψη=，方程化为标准形式),,,,(222ηξηξΦη∂∂∂∂=∂∂uu u u （iii ） 椭圆型：因Δ<0，不存在实特征曲线，设c y x i y x y x =+=),(),(),(21ϕϕϕ为11221121212d d a a a a a x y -+=的积分，y x ϕϕ,不同时为零，作变量替换),(1y x ϕξ=，),(2y x ϕη=,方程化为标准形式),,,,(32222ηξηξΦηξ∂∂∂∂=∂∂+∂∂uu u u u二、 极值原理·能量积分·定解问题的惟一性定理椭圆型方程、抛物型方程的极值原理及双曲型方程的能量守恒原理是相应方程的解所具有的最基本性质之一，在定解问题的研究中起着重要的作用. [椭圆型方程的极值原理与解的惟一性定理]1︒ 极值原理 设D 为n 维欧氏空间E n 的有界区域，S 是D 的边界，在D 内考虑椭圆型方程()()()()x x x x f u c x ub x x u a Lu ni i i n j i j i ij =+∂∂+∂∂∂≡∑∑==11,2式中a ij (x ),b i (x ),c (x ),f (x )在D 上连续，c (x )≤0且二次型()∑=nj i j i ij a a a 1,x 正定，即存在常数μ>0，i ()∑∑==≥ni i n j i j i ij a a a a 121,μx定理1 设u (x )为D 内椭圆型方程的解，它在D 内二次连续可微，在D 上连续，且不是常数，如f (x )≤0（或f (x )≥0），则u (x )不能在D 的内点取非正最小值（或非负最大值）.如果过边界S 上的任一点P 都可作一球，使它在P 点与S 相切且完全包含在区域D 内，则有 定理2 设u (x )为椭圆型方程在D 内二次连续可微，在D 上连续可微的解，且不是常数，并设f (x )≤0（或f (x )≥0）.若u (x )在边界S 上某点M 处取非正最小值（或非负最大值），只要外法向导数错误！未定义书签。
二阶线性偏微分方程的解法和特解
二阶线性偏微分方程的解法和特解在数学领域中，二阶线性偏微分方程是一种重要的方程类型。
它在物理学、工程学以及其他领域的建模和问题求解中具有广泛的应用。
解决这类方程的问题既有理论上的方法，也有实用的数值解法。
本文将介绍二阶线性偏微分方程的求解方法，包括一般解法和特解法。
一、一般解法对于形如：\[a(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + b(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x \partial y}} + c(x, y) \frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}} + d(x, y) \frac{{\partial u}}{{\partial x}} + e(x, y) \frac{{\partial u}}{{\partial y}} + f(x, y) u = g(x, y)\]的二阶线性偏微分方程，其中\(a(x, y), b(x, y), c(x, y), d(x, y), e(x, y), f(x, y), g(x, y)\)是已知函数，我们希望求解未知函数\(u(x, y)\)满足该方程。
首先，我们可以采用变量分离法将方程化简。
令\(u(x, y) = X(x)Y(y)\)，代入原方程，可以得到两个方程：\[ a(x) \frac{{X''(x)}}{{X(x)}} + d(x) \frac{{X'(x)}}{{X(x)}} + f(x) = -\lambda \]\[ c(y) \frac{{Y''(y)}}{{Y(y)}} + e(y) \frac{{Y'(y)}}{{Y(y)}} +\lambda = -g(x, y) \]其中\(\lambda\)是常数。
我们先考虑第一个方程，它可以化为一个常系数齐次线性微分方程：\[ a(x) X''(x) + d(x) X'(x) + \left(f(x) + \lambda\right) X(x) = 0 \]接下来根据常系数线性微分方程的解法，可以求得\(X(x)\)的解。
第二节 两个自变量的二阶线性偏微分方程
四、 Auxx Buxy Cuyy D( x, y)的通解求法
Auxx Buxy Cuyy D( x, y)
的齐次方程(2)的通解与(6)的特解之和。 例4：u xx 4u xy 4u yy e
y
(5)
(5)是非齐次线性方程，易得到(5)的通解等于它所对应
y
Auxx Buxy Cuyy 0
(2)
分析： 引入变量 ，, (2)等价变形为：
Au Bu C u Du E u 0 (3)
2 2 A A x B x y C y B 2 A x x B x y y x 2C y 2 2 C A x B x y C y D A B C xx xy yy E A xx B ( x, y)) g ( ( x, y))
。 注意： ( x, y), ( x, y)就是特征线的左端函数
2. 0时，标准型都为 0, 原方程的通解为 当 u :
u( x, y) ( x, y) f ( ( x, y)) g ( ( x, y))
y
dy dy 特征方程：A B C 0 dx dx
2
： B 2 4 AC 0时，
a1x b1 y c1 a1x b1 y 求出特征线： ,引入变量 a2 x b2 y c2 a2 x b2 y
2
ax by 求出特征线：ax by c,引入变量 dx ey
d , e的选取保证J 0
显然A B D E 0, C 0
标准型为： u 0
二阶偏微分方程求解
二阶偏微分方程求解二阶偏微分方程是指含有两个自变量和二阶导数的偏微分方程。
通常形式可以表示为：A(x,y,u,u_x,u_y,u_{xx},u_{xy},u_{yy})=0其中，u表示未知函数，u_x表示u关于x的一阶导数，u_y表示u关于y的一阶导数，u_{xx}表示u关于x的二阶导数，u_{xy}表示u 关于x和y的混合二阶导数，u_{yy}表示u关于y的二阶导数。
要求解二阶偏微分方程，一般会采用分离变量法或特征方程法。
分离变量法是指将方程中的未知函数u表示为两个只与自变量x 和y有关的函数的积，然后将其带入方程中，再将等式两边的含有x 或y的项移到等号的一边，将与u无关的项移到等号的另一边，从而得到两个只与自变量x和y有关的方程。
特征方程法是针对特殊形式的方程，通过假设解具有特定的形式来求解。
假设解具有形式：u(x,y) = F(p,q)其中，p和q是通过变换或代换得到的新的自变量。
将此形式的解带入方程中，然后通过求解特征方程得到p和q的表达式，最后通过对F(p,q)进行积分得到u(x,y)的表达式。
解二阶偏微分方程的方法还包括变换法、齐次化法、特解叠加法等。
具体的方法选择取决于方程的形式和具体情况。
解二阶偏微分方程需要注意以下几点：1.解的存在性和唯一性：对于某些特殊的边界条件或初值条件，解可能不存在或者不唯一。
2.常数的确定：在求解中可能会需要确定一些常数，可以通过给定的边界条件或初值条件来确定。
3.解的性质：解的性质可以通过对方程进行分析得到，例如解的连续性、二阶导数的正负性等。
4.数值解法：对于复杂的二阶偏微分方程，可能无法通过解析的方法求得解，可以借助数值方法进行求解，如有限元法、有限差分法等。
总之，解二阶偏微分方程需要根据方程的具体形式选择适当的方法，并对解存在性和唯一性、常数的确定、解的性质等进行分析。
同时可以借助计算工具进行数值求解。
二阶线性偏微分方程的分类与总结
特点
1
偏微分方程的意义
2
3
描述现实问题中多个变量之间的动态关系。
建立数学模型，为解决实际问题提供理论支持。
通过求解偏微分方程，可以预测未来的发展趋势，为决策提供依据。
二阶线性偏微分方程的分类
02
特征方程为多项式形式
特征方程为三角函数形式
分离变量法
适用范围：积分变换法适用于具有特定边界条件的二阶线性偏微分方程，如周期性边界、狄利克雷边界等。基本思想：利用傅里叶变换、拉普拉斯变换等积分变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程，从而简化求解过程。步骤选择适当的积分变换函数，如傅里叶变换、拉普拉斯变换等。对原方程进行积分变换，得到变换后的常微分方程。求解常微分方程，得到原方程的解。通过反变换得到原方程的通解。
二阶线性偏微分方程的展望与发展
05
有限差分法
通过离散化偏微分方程，将连续的空间离散为多个离散点，并使用差分近似公式来计算每个离散点处的数值解。
有限元法
将连续的空间离散为多个小的单元，每个单元内使用线性函数来近似解，从而将偏微分方程转化为线性方程组进行求解。
谱方法
利用傅里叶变换等函数变换方法，将偏微分方程转化为常微分方程进行求解，具有高精度和高分辨率的优点。
《二阶线性偏微分方程的分类与总结》
xx年xx月xx日
CATALOGUE
目录
二阶线性偏微分方程概述二阶线性偏微分方程的分类二阶线性偏微分方程的求解方法二阶线性偏微分方程的应用领域二阶线性偏微分方程的展望与发展二阶线性偏微分方程的案例分析
二阶线性偏微分方程概述
01
VS
二阶线性偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程，且方程中未知函数的最高阶偏导数不超过二阶。
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株洲师专2010届毕业论文指导教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文评阅教师评阅表系：物理与电子工程系株洲师专2010届毕业论文答辩及最终成绩评定表系（公章）：物理与电子工程系株洲师范高等专科学校2007届毕业论文弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解系、部：物理与电子工程系学生姓名：刘进萍指导教师：周昕职称讲师专业：物理教育班级：物理教育班完成时间：2010年5月弦振动二阶偏微分方程的常规解与特殊解物理与电子工程系物理教育专业2007级刘进萍指导老师周昕摘要：对于弦振动的二阶偏微分方程，一般采用分离变法来解。
如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v, 从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。
该种方法物理意义明确，求解过程相对简化。
关键词：二阶偏微分方程；推迟因子；弦振动；波的传播Abstract: For the partial differential equation of two ranks, we often use separation reform to solution. If we consider its physical significance, from the source X0 wave is the source of vibration in time delayed t = X0 / v, which will be the source of vibration equation introduced delay partial differential equations, the factor of offspring will meet equation, the vibration equation is the partial differential equations of the solution. This method has clear physical meaning and the solving process is relatively simple.Keywords:partial differential equation of two ranks; suspend gene; libration of string; transmit ion of wave前言在解弦振动的二阶偏微分方程时, 在数学上，一般采用分离变法来解，这是一种纯数学的方法。
如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v,即引入推迟因子t,从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。
电磁波也是一种波，其振动应该也满足该理论。
从而讨论了电磁波的振动的推迟与能量的推迟。
1 弦的振动设:有一根均匀柔软的细弦,平衡时沿直线拉紧,而且除受不随时间而变的张力作用及弦本身的重力外,不受外力影响.如图1所示，设弦上具有横坐标x 的点在时间t 时的位置为M,位移MN 记作u,显然u 为x 、t 的函数，记为u(x,t).在弦上任取一弦段'MM ,其长为ds ,ρ为弦向线度,弦段'MM 两端的所受的张力记作T,T '.由于假定弦柔软,所以任一点处的弦力方向为沿弦该点的切线方向.现在考虑'MM 在t 时刻的受力情况.[1]图 1在x 轴方向, 'MM 受力的总和为''cos cos TT αα-+,由于弦只作横向振动,所以''cos cos 0T T αα-=,由α很小,由麦克劳林函数24211cos 1 (1) (12141)(2)!nn αααα=-+++-∙+= (1)同理'cos 1α≈ (2)得T=T '在u 方向弦段'MM 受力的总和''sin sin T T egds αα--- (3)∵'0αα≈=,(,)sin tan u x t xαα∂≈=∂ (4)(,)''sin tan u x dx t xαα∂+==∂(5)ds (6)小弦段在时刻t 沿u 方向运动的加速度近似为2(,)u x t x∂∂,小弦段的质量为ds ρ.∴2(,)''sin sin 2u x t T T egds eds xαα∂-+-=∙∂ (7) 变化可得22(,)(,)22Tu x t u x t gx tρ∂∂∙≈+∂∂ (8)∵ g 相对于22u t∂∂很小, ∴g 忽略,得22222u u t x α∂∂=∂∂2Tαρ=(9)加上初始条件222,0,2200,00(),(),000u u x L t t x U U t x L x u U x x x Lt t t αψ∂∂=∂∂====∂==ψ≤≤==∂⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩＜＜＞0 ︱，︱＞︱︱（10）这样就建立了上述偏微分方程，加上初始条件与边界条件，就只需对上述方程求解，下面通过两种方法求解。
一种是在数学物理方程中，采用纯数学的方法来解，即分离变量法;另一种是应用其特殊的物理意义提出推迟因子来求解，先介绍第一种方法.2 常规解利用分离变量法求解: [2]令(,)()()x t x t U X T = (11)则2''()()2x t u X T t ∂=∂ 2''()()2x t u X T x∂=∂ (12) 代入(10)中''2''()()()()x t x t X T a X T =∙ 变形得''''()()2()()X T x t X a T x t λ==- (13) 得''20(14)()()''0(15)()()T a T t t X X x x λλ+=+=⎧⎪⎨⎪⎩1. 对(11)式求解,加入边界条件''()()(0)()00x x i X X X X λ⎧+=⎪⎨==⎪⎩ (16) ⑴λ＜0时,()x X A B e =∙+∙代入边界条件得0,0A B A B A B e +==-⎧⎪⎨∙+∙=⎪⎩(17) ∴得 A=B=0, 不符,舍去. ⑵λ＞0时,令λ=2β, 得()cos sin x X A x B x ββ=+ (18)代入电解条件得 A=Osin 0B l β= (19)n lπβ=(n=1.2.3.........)∴()sin x n X Bn x lπ= (n=1.2.3......) (20)2. ()()22''2()()2(0)()0()021,(0)22t t t x t x n T a T l u U x l t πϕϕ==⎧+=⎪⎪⎨∂⎪==≤≤⎪∂⎩︱同理可求得其通解为''()cossinn a n a T t C n t D n tn llππ=∙+∙(n=1.2.3.....)(23)cos sin sin(,)()()n a n a n x U T X Cn t Dn t n x t n t x l l l πππ=∙=∙+∙∙⎛⎫ ⎪⎝⎭(24)将所有函数Un(x,t)叠加起来 (∵解满足叠加原理)cos sin sin (,)1n a n a n a U Cn t Dn t n x t n l l l πππ∞∑=∙+∙∙=⎛⎫ ⎪⎝⎭(25)(,)0()1sin n x t t x n n U Cn x lπϕ∞===∙=∑︱ (26)sin 0()1u n a n Dn x t x n t l lππϕ∞∂∑=∙===∂︱ (27)由傅立叶级数2sin (28)0()2sin (29)0()n l Cn xdx x l l n l Dn xdx x n lπϕπϕπα=∙⎰=∙⎰⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(,)22sin cos sin sin sin 00()()1x t n n a n n a n l l xdx t xdx t x x x n l l l n l l lU πππππϕϕπα∞∑∙∙+∙∙⎰⎰=⎛⎫= ⎪⎝⎭(30)这是一种纯数学的方法。
该方法在数学计算上是相当的繁琐，对数学知识要求高，没有反映出物理本质。
如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X 0/v,即引入推迟因子t,从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解，从而引入特殊解法。
3 特殊解法(推迟因子)由于平面简谐波为平面波特解，在离震源x 处的点，其振动就是相对于震源推迟了X/V 。
现在对22222u u a t x∂∂=∂∂ 提出尝试解cos ()x u A t vω=-可转化为cos ()xu A t vω=- （31）如果我们考虑其物理意义，波在离振源X0处的振动就是振源在时间上推迟了t=X0/v,即引入推迟因子t,从而将振源的振动方程引入推迟因子后代入偏微分方程中，一定会满足方程，则该振动方程就是此偏微分方程的解。
令w/v=kU cos()A t kx ω=-()i t kx Aeω-=i tikxAeeω-=∙ (32)222i tikxu A eetωω-∂=∙∂ (33)222i t ikxu Ak e e xω-∂=∙∂(34)由22Ta vρ==(35)则v =(β为线密度,T 为张力)[3]代入上式中得222222i t ikx i t ikx i t ikx A e e Ak e e v Av e evωωωωω---∙=∙∙=∙∙∙ (36) 等式显然成立由此可知尝试解为此微分方程的解 而为什么会是它的解？提出推迟因子ikxe-2(,)ixi tvx t U A eeωω-=∙ w/v=k (37)令()cos i tt T AeA t ωω== (38)为振源的振动方程令()i tx X eω= 为推迟因子从而可知该种方法与推迟因子的引入是完全正确的,下面对比前一种方法来进行讨论.4、两种解的讨论4.1 波的传播即本质为振动的传播，能量的传播，在离震源x 处的点，其振动就是相对于震源推迟了kx ，令x=0，即为震源的振动方程。