第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形
2）极限载荷法 上述分析可知，对塑性材料制成的超静定结构或应力非均匀 分布的构件，当其危险点一点处相当应力达到材料屈服强度时，
整个构件或结构仍能继续承受更大的载荷。这样，极限应力法在
此已无法分析构件或结构发生弹塑性变形后的承载能力，需要研 究新的分析方法。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力
1）极限扭矩 2）残余应力
x
T0 s I s p s T0 Ip
(0 s ) ( s R) (14 - 11)
由式(14-11)可见，虽然扭矩已完 全卸掉，但横截面上仍然存在应力， 称此应力为残余切应力。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-5 梁的弹塑性弯曲 塑性铰 1）极限弯矩 当截面上各点应力均达到 s 时，梁进入塑性极限状态，此 时的弯矩即为极限弯矩 M zu。 At s Ac s 因为横截面上没有轴力 At Ac
M zu y sdA y sdA
At Ac
2）设杆1与杆3已屈服，杆 2未屈服。此时，载荷 F 有使 刚性梁绕C点转动的趋势。 MC 0 , M D 0 F FN1s 2 FN2s 3 A s
例
FN 2 2 FN1s FN3s 3 A s FN2s 这种状态也不可能出现。
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Fu
表
F [ Fu ]
式中
[ Fu ] Fu n
(14 -1)
(14 - 2)
n 为安全系数 采用式(14-1)来计算构件或结构发生塑性变形时的强度的方 法，称为极限载荷法。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料
E s
Ts R sI p 1 3 s Ts πR s (14 - 7) Ip R 2 当扭矩继续增加，截面边缘处应力不 再增大，而靠近边缘的各点应力在增 大，塑性区域向内延伸，截面分成了 塑性区 Ap 与弹性区 Ae 两个区域
2 A sdA A s s dA T
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14-5 梁的弹塑性弯曲 塑性铰
x
Mz y Iz
1）极限弯矩
当弹性弯曲时，横截面上最大应力在离中性轴最远的点上。 当最大应力达到屈服点时，该处材料开始屈服，相应的弯矩值 sIz 为屈服弯矩
M zS
ymax
sWz
(14 - 12)
弯矩继续增加，由于是理想 弹塑性材料，已进入屈服状态的 点的应力不再增大；而附近点的 应力在增大并达到屈服点。这样， 横截面出现了塑性区与弹性区， 其应力分布如图
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力
1）极限扭矩 2）残余应力 卸载时，横截面上各点切应力的减少正比于切应变的减少。 根据几何方程，卸载后切应变的减少可写成
d D x D( ) dx d D x GD( ) dx
即卸载时横截面上各点切应力的减 少量 D x与成正比。若设截面上扭矩的 减少量为DT DT D x Ip
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力
即
1）极限扭矩 2）残余应力 如果卸载开始时横截面的扭矩为 T0 ，完全卸载后扭矩为零， DT ，那么 T0 T
D x
0
Ip
这样，卸载后横截面各点切应力为 T0 (0 s ) s I s p x s T0 ( s R) Ip (14 - 11)
p e
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力
2 1 A SdA A s s dA T 3 6T 3 s 4 R 完成积分，解得 s
p e
1）极限扭矩
π s
(T TS )
(14 - 8)
由
d dx
s
3 6T G 4 R π s
1 3
(14 - 9)
在式(14-9)中，显然d/dx 不应该 为无穷大。因此，对于理想弹塑性材料 的圆轴，扭矩的上限，即极限扭矩应为 2π Tu s R 3 (14 - 10) 3 当截面扭矩 T Tu 时，s 0 ， 横截面上切应力均匀分布，均等于τ s
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形
材料进入塑性状态后，应力与应变之间不仅成非线性关系， 而且不一一对应。力对构件的作用效果不只取决于力的最终值， 而且还与力的作用历史以及作用的先后顺序有关。 以轴向拉压杆为例
先加 F1 后加 F2 先加 F2 后加 F1
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 2）极限载荷法 图中所示的一次超静定结构，各杆的横截面相同并均为理想 弹塑性材料，a b 。设各杆均处于弹形变形状态时，杆1、杆2、 杆3的内力分别为 FN 、FN 、FN ，可以分析得到，在外力一定 F 时， N FN FN 。 当外力增大使杆3屈服时，杆3已失去承载能力。由于杆2和杆1 尚未屈服，它们组成一静定结构，仍可继续承受增加的载荷。
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料 2）理想刚塑性材料 3）线性强化材料
E E ( s ) s
( s ) ( s ) (14 - 5)
E E
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料 2）理想刚塑性材料 3）线性强化材料 4）幂函数强化材料
( s ) ( s ) (14 - 3)
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料 2）理想刚塑性材料
0 s
( p 0) ( p 0) (14 - 4)
p 为塑性应变
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
1 2 3 1 2 3
直到杆2也 屈服 ，该结 构才失去抵 抗变形能力 而成为几何 可变“机构”
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 2）极限载荷法 由于塑性变形所形成的几何可变“机构”，称为塑性机构。 使构件或结构变成塑性机构时的载荷称为极限载荷。
与塑性机构相应的状态称为塑性极限状态。 若以塑性极限状态作为构件或结构的危险状态，并用 示极限载荷，那么相应的强度条件应为
s ( S t Sc ) (14 - 13)
At 为横截面上拉应力区面积
Ac 为横截面上压应力区面积
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
图示的超静定结构，由刚性梁 BE 与横截面面积分别为 A 的 A1、A2、A3 的杆1、杆2、杆3组成，且， 1 A3 A , A2 2 A 。各杆的 材料相同，其拉、压屈服强度均为 s。试求该结构的极限载荷。 3）设杆2与杆3已屈服，杆 1未屈服。此时，载荷 Fu 有使 刚性梁绕B点转动的趋势。 MB 0 , MD 0 Fu ( FN2s 3FN3s ) / 2 2.5 A s FN1 ( FN2s FN3s ) / 2 0.5 A s FN1s
例
F 3FN1s 2 FN2s 7 A s FN 3 2 FN1s FN2s 4 A s FN3s
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14-3 超静定桁架的极限载荷
图示的超静定结构，由刚性梁 BE 与各杆的横截面面积分 A 别为 A1、A2、A3 的杆1、杆2、杆3 组成，且， 1 A3 A , A2 2 A 。各杆 的材料相同，其拉、压屈服强度均为 s 。试求该结构的极限载荷。 杆3的轴力超过其屈服值 FN3s， 故这种状态不可能出现。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念
1）弹塑性变形
事实上，对塑性材料制成的应力非均匀分 布的构件或超静定结构，例如图中所示的简支 梁，当危险截面Ⅰ-Ⅰ上危险点A或B处应力等于 材料的屈服强度 s或 0.2时，便出现塑性变形。 但是，由于Ⅰ-Ⅰ截面上应力线性分布，整个截 面除 A 、 B 两点外，其他各点应力并没有达 到 s或 0，仍处于弹形变性状态。此时，可 .2 继续增大载荷，梁Ⅰ-Ⅰ上会有更多的点进入塑 性变形状态，形成了塑性区域，梁进入了弹塑 性变形状态。
这种状态能出现。故 极限载荷
例
Fu 2.5 A s
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力 1）极限扭矩 假如材料是理想弹塑性，当圆轴的扭矩增加时，横截面上的 切应力也在增大。当截面边缘处的最大切应力达到材料的屈服点 时，边缘处各点首先进入屈服状态。此刻，截面上应力分布为
n次超静定结构的求解，需要n个补充条件。这里再加上欲 求的极限载荷，则共需要 n+1个补充条件。而当n次超静定桁架 处 于 塑 性 极 限 状 态 时 ， 已 屈 服 的 n+1 根 杆 的 内 力 成 为 已 知 （ F N Ai s (i 1,2,3 , n 1) ），这恰好提供了n+1个补充条件。 i 这样，超静定桁架的极限载荷可根据塑性极限状态时平衡条件求 得。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
图示的超静定结构，由刚性梁 BE 与各杆的横截面面积分 A 别为 A1、A2、A3 的杆1、杆2、杆3 组成，且， 1 A3 A , A2 2 A 。各杆 的材料相同，其拉、压屈服强度均为 s 。试求该结构的极限载荷。 解：一次超静定结构，有两根 杆屈服才进入塑性极限状态。 故有三种可能的极限状态。 1）设杆1与杆2已屈服，杆 3未屈服。此时，载荷 F 有使 刚性梁绕E点转动的趋势。 ME 0 , MD 0
理论力学中的弹塑性体与变形分析
理论力学中的弹塑性体与变形分析弹塑性体是指在受力作用下既存在弹性变形又存在塑性变形的物体，其变形行为十分复杂。
在理论力学中，对弹塑性体的变形分析是研究材料力学性质与工程实际问题中的重要内容。
本文将从弹性体与塑性体的基本特征入手，探讨弹塑性体的变形分析方法，并介绍一些应用案例。
1. 弹性体的特征弹性体是指在受力作用下能够发生可逆变形的物体。
它具有以下特征：(1) 线弹性：满足胡克定律，应力与应变之间呈线性关系；(2) 同性性质：各个方向的弹性模量相同；(3) 可逆性：在去除外力后能够完全恢复初始形状。
2. 塑性体的特征塑性体是指在受力作用下发生不可逆变形的物体。
它具有以下特征：(1) 非线性：应力与应变之间呈非线性关系；(2) 强度依赖：材料的强度决定了其塑性变形的能力；(3) 历史依赖：材料的变形受到之前经历的载荷历史的影响。
3. 弹塑性体的变形分析方法对于弹塑性体的变形分析，常用以下两种方法：(1) 弹性分析法：将塑性变形忽略，仅考虑弹性变形。
通过施加边界条件和力学方程求解，得到变形场；(2) 弹塑性分析法：综合考虑弹性变形和塑性变形。
通常采用有限元方法进行数值计算，得到变形和应力分布。
4. 应用案例接下来，我们将介绍两个应用案例以展示弹塑性体的变形分析方法的实际应用。
案例一：桥梁变形分析考虑一座悬索桥，由于自重和车辆荷载作用，桥梁可能产生弹塑性变形。
为了保证桥梁的安全性和稳定性，需要对其变形进行分析。
通过有限元方法建立桥梁的模型，考虑材料的弹塑性本性和边界条件，计算得到桥梁的应力和变形分布，进而评估其结构的可靠性。
案例二：金属成形过程分析在金属成形过程中，材料经历了强烈的力量和变形，即弹性变形和塑性变形。
为了探究金属材料的变形行为和优化成形工艺，使用弹塑性分析方法进行模拟。
通过输入材料的本构方程和工艺参数，结合数值计算方法，得出金属材料在成形过程中的应力、应变和变形情况，为生产和工程优化提供依据。
弹塑性力学总结
弹塑性力学总结弹塑性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段和塑性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。
并且弹塑性力学是以后有限元分析、解决具体工程问题的理论基础，这就要求我们掌握其必要的基础知识和具有一定的计算能力。
通过一学期的弹塑性力学的学习，对其内容总结如下：一、弹性力学1、弹性力学的基本假定求解一个弹性力学问题，通常是已知物体的几何形状（即已知物体的边界），弹性常数，物体所受的外力，物体边界上所受的面力，以及边界上所受的约束；需要求解的是物体内部的应力分量、应变分量与位移分量。
求解问题的方法是通过研究物体内部各点的应力与外力所满足的静力平衡关系，位移与应变的几何学关系以及应力与应变的物理学关系，建立一系列的方程组；再建立物体表面上给定面力的边界以及给定位移约束的边界上所给定的边界条件；最后化为求解一组偏分方程的边值问题。
在导出方程时，如果考虑所有各方面的因素，则导出的方程非常复杂，实际上不可能求解。
因此，通常必须按照研究对象的性质，联系求解问题的范围，做出若干基本假定，从而略去一些暂不考虑的因素，使得方程的求解成为可能。
（1）假设物体是连续的。
就是说物体整个体积内，都被组成这种物体的物质填满，不留任何空隙。
这样，物体内的一些物理量，例如：应力、应变、位移等，才可以用坐标的连续函数表示。
（2）假设物体是线弹性的。
就是说当使物体产生变形的外力被除去以后，物体能够完全恢复原来形状，不留任何残余变形。
而且，材料服从虎克定律，应力与应变成正比。
（3）假设物体是均匀的。
就是说整个物体是由同一种质地均匀的材料组成的。
这样，整个物体的所有部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性模量和泊松比才不随位置坐标而变。
（4）假设物体是各向同性的。
也就是物体内每一点各个不同方向的物理性质和机械性质都是相同的。
（5）假设物体的变形是微小的。
即物体受力以后，整个物体所有各点的位移都小于物体的原有尺寸，因而应变和转角都远小于1。
弹塑性力学
M bh s M p
2
13
对于静定梁，当跨中截面，即出现一个
塑性铰，则该梁形成破坏机构，丧失继 续承载的能力。若为超静定梁，则需要 形成足够多的塑性铰才能使梁成为破坏 机构。
14
10-1-3 弯矩与曲率的关系
当梁的截面处于弹性状态时， E ，可得
K
在z h处 = s时，由上式得
10
塑性铰
由于跨中截面的上下两个塑性区互相沟通将使跨
中左右两边的截面产生相对转动正如普通结构铰 的作用一样跨中出现了塑性铰。 塑性铰与结构铰的比较： 相同点：允许梁产生转动。 不同点：①结构铰不能承受弯矩，而塑性铰则 能承受基本不变的弯矩；②结构铰集中于一点， 而塑性铰则有一定的长度；③结构铰可在两个 方向产生转动，而塑性铰则是单向铰，且转动 方向与弯矩作用方向相同。
10-1 梁的弹塑性弯曲
SJ1217班 结构工程专业 第一组
当荷载达到一定值时，结构中的“危险点”将
进入塑性变形阶段，此种状态称为结构的弹性 极限状态，相应的荷载称为弹性极限荷载。 随着荷载的逐渐增大，结构中进入塑性状态的 材料越来越多，即塑性区域不断扩大。 如果材料是理想塑性的（理想刚塑性和理想弹 塑性的），则结构可能发生这样的变形，即当 荷载增加到某一数值时，变形将无限制的发展 而荷载却不能继续增加。此时，我们称结构达 到了塑性极限状态，相应的荷载称为塑性极限 荷载。
Ke M s = 3 1 Ks M p
1/2
当he 0时，M s M p , K s K p , 该截面出现无约束 的塑性变形(即形成塑性铰)。
16
弯矩与曲率的关系
Ks M s 3 1 Kp M p
工程弹塑性力学课件
目 录
• 弹塑性力学基础 • 弹性力学基本理论 • 塑性力学基本理论 • 工程应用实例 • 工程弹塑性力学展望
01
弹塑性力学基础
弹塑性力学定义
弹塑性力学
弹塑性力学是一门研究材料在弹 性极限和塑性极限内应力、应变 行为的科学。它广泛应用于工程 领域，为各种结构设计和分析提
供理论基础。
有限差分法
将物体的位移表示为离散的点的 差分形式，通过求解这些点的位 移来近似求解整个物体的位移。
边界元法
将物体的边界离散化为有限个小 的单元，通过求解这些单元的力 学行为来近似求解整个物体的边 界力学行为。
03
塑性力学基本理论
塑性力学基本概念
01
02
03
塑性力学
塑性力学是研究材料在达 到屈服点后，发生不可逆 变形时行为和特性的学科 。
边界元法
通过在边界上离散化求解微分方程的方法，可以减少未知数的数量 ，提高求解效率。
有限差分法
将微分方程转化为差分方程，通过迭代求解的方法得到近似解。
04
工程应用实例
桥梁工程弹塑性分析
总结词
桥梁结构稳定性
详细描述
桥梁工程弹塑性分析主要关注桥梁结构的稳定性，通过分 析桥梁在不同载荷下的弹塑性响应，评估其承载能力和安 全性。
总结词
材料非线性
详细描述
桥梁工程中的材料多为金属或复合材料，这些材料的弹塑 性行为呈现出非线性特征。在分析过程中，需要考虑材料 在不同应力水平下的弹塑性变形和破坏。
总结词
结构优化设计
详细描述
基于弹塑性分析的结果，可以对桥梁结构进行优化设计， 提高其承载能力和稳定性，同时降低制造成本和维护成本 。
弹塑性变形与极限载荷分析
弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
图示的超静定结构，由刚性梁 BE 与各杆的横截面面积分 A1 A3 A , A2 2 A 。各杆 别为 A1、A2、A3 的杆1、杆2、杆3 组成，且， 的材料相同，其拉、压屈服强度均为 s 。试求该结构的极限载荷。 解：一次超静定结构，有两根 杆屈服才进入塑性极限状态。 故有三种可能的极限状态。 1）设杆1与杆2已屈服，杆 3未屈服。此时，载荷 F 有使 刚性梁绕E点转动的趋势。 ME 0 , MD 0 例
E E ( s ) s
( s ) ( s ) (14 - 5)
E E
弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料
2）理想刚塑性材料 3）线性强化材料 4）幂函数强化材料
s s
弹塑性变形与极限载荷分析
14-1 弹塑性变形与极限载荷法概念 2）极限载荷法 图中所示的一次超静定结构，各杆的横截面相同并均为理想 弹塑性材料，a >b 。设各杆均处于弹形变形状态时，杆1、杆2、 杆 3 的内力分别为 FN 、FN 、FN ，可以分析得到，在外力一定 FN1 FN 2 FN 3 。 时， 当外力增大使杆3屈服时，杆3已失去承载能力。由于杆2和杆1 尚未屈服，它们组成一静定结构，仍可继续承受增加的载荷。
m
(14 - 6)
弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
由对 14-1 节中一次超静定桁架的分析可知，当其中一根杆 （多余约束的杆）屈服时，便变为静定杆件结构。此时增大载荷， 若再有一根杆屈服，结构便处于塑性极限状态。以此类推，对于 n 次超静定桁架，如果有 n+1 根杆屈服，该结构便处于塑性极限 状态。
弹塑性力学PPT课件
◆ 应力的表示及符号规则
正应力： 剪应力： 第一个字母表明该应力作用截面 的外法线方向同哪一个坐标轴相 平行，第二个字母表明该应力的 指向同哪个坐标轴相平行。
.
*
③.应力张量
数学上，在坐标变换时，服从一定坐标变换式 的九个数所定义的量，叫做二阶张量。根据这一定 义，物体内一点处的应力状态可用二阶张量的形式 来表示，并称为应力张量，而各应力分量即为应力 张量的元素，且由剪应力等定理知，应力张量应是 一个对称的二阶张量，简称为应力张量。
以受力物体内某一点（单元体）为研究对象
单元体的受力—— 应力理论； 单元体的变形—— 变形几何理论； 单元体受力与变形 间的关系——本构理 论；
建立起普遍适用的理论与解法。
1、涉及数学理论较复杂，并以其理论与解法的严 密性和普遍适用性为特点； 2、弹塑性力学的工程解答一般认为是精确的； 3、可对初等力学理论解答的精确度和可靠进行度 量。
.
*
①、应力的概念: 受力物体内某点某截面上内力的分布集度
3.应力、应力状态、应力理论
.
*
应力
正应力
剪应力
必须指明两点： 1.是哪一点的应力； 2.是该点哪个微截面的应力。
.
*
②、应力状态的概念：受力物体内某点处所取 无限多截面上的应力情况的总和，就显示和表 明了该点的应力状态
或
ANSYS弹性及塑性分析非常经典
目录什么是塑性 (1)路径相关性 (1)率相关性 (1)工程应力、应变与真实应力、应变 (1)什么是激活塑性 (2)塑性理论介绍 (2)屈服准则 (2)流动准则 (3)强化准则 (3)塑性选项 (5)怎样使用塑性 (6)ANSYS输入 (7)输出量 (7)程序使用中的一些基本原则 (8)加强收敛性的方法 (8)查看结果 (9)塑性分析实例（GUI方法） (9)塑性分析实例（命令流方法） (14)弹塑性分析在这一册中,我们将详细地介绍由于塑性变性引起的非线性问题--弹塑性分析,我们的介绍人为以下几个方面:•什么是塑性•塑性理论简介•ANSYS程序中所用的性选项•怎样使用塑性•塑性分析练习题什么是塑性塑性是一种在某种给定载荷下,材料产生永久变形的材料特性,对大多的工程材料来说,当其应力低于比例极限时,应力一应变关系是线性的。
另外,大多数材料在其应力低于屈服点时，表现为弹性行为，也就是说，当移走载荷时，其应变也完全消失。
由于屈服点和比例极限相差很小，因此在ANSYS程序中，假定它们相同。
在应力一应变的曲线中，低于屈服点的叫作弹性部分，超过屈服点的叫作塑性部分，也叫作应变强化部分。
塑性分析中考虑了塑性区域的材料特性。
路径相关性：即然塑性是不可恢复的，那么这种问题的就与加载历史有关，这类非线性问题叫作与路径相关的或非保守的非线性。
路径相关性是指对一种给定的边界条件，可能有多个正确的解—内部的应力，应变分布—存在，为了得到真正正确的结果，我们必须按照系统真正经历的加载过程加载。
率相关性：塑性应变的大小可能是加载速度快慢的函数，如果塑性应变的大小与时间有关，这种塑性叫作率无关性塑性，相反，与应变率有关的性叫作率相关的塑性。
大多的材料都有某种程度上的率相关性，但在大多数静力分析所经历的应变率范围，两者的应力－应变曲线差别不大，所以在一般的分析中，我们变为是与率无关的。
工程应力，应变与真实的应力、应变：塑性材料的数据一般以拉伸的应力—应变曲线形式给出。
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
x
d dx
d x S S dx d S G x GS
S
d dx
s
1 3
dx
(14 - 9)
3 6T G 4 R π s 圆轴弹塑性扭转变形公式
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-4 圆轴的弹塑性扭转 1）极限扭矩 残余应力
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-3 超静定桁架的极限载荷
图示的超静定结构，由刚性梁 BE 与各杆的横截面面积分 A 别为 A1、A2、A3 的杆1、杆2、杆3 组成，且， 1 A3 A , A2 2 A 。各杆 的材料相同，其拉、压屈服强度均为 s 。试求该结构的极限载荷。 解：一次超静定结构，有两根 杆屈服才进入塑性极限状态。 故有三种可能的极限状态。 1）设杆1与杆2已屈服，杆 3未屈服。此时，载荷 F 有使 刚性梁绕E点转动的趋势。 ME 0 , MD 0
( s ) ( s ) (14 - 3)
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-2 应力-应变关系曲线的简化 1）理想弹塑性材料 2）理想刚塑性材料
0 s
( p 0) ( p 0) (14 - 4)
p 为塑性应变
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
第14章 弹塑性变形与极限载荷分析
14-4 圆轴的弹塑性扭转 残余应力
即
1）极限扭矩 2）残余应力 如果卸载开始时横截面的扭矩为 T0 ，完全卸载后扭矩为零， DT ，那么 T0 T
D x
0
Ip
这样，卸载后横截面各点切应力为 T0 (0 s ) s I s p x s T0 ( s R) Ip (14 - 11)
极限弯矩和塑性铰
3.可破坏荷载：形成某一机构时的荷载。 4. 机构条件：极限状态时结构变成了机构。 5. 结构到达极限状态形成破坏机构的瞬时，还要满足平衡条件。 6. 相互关系
机构条件 极限荷载 平衡条件 可破坏荷载≥极限荷载
塑性铰与普通铰的不同之处：
①塑性铰是单向铰，只能向一致方向发生有限的转动。
②塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。
③塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的长度。
4.静定梁的极限状态和极限弯矩 （1）静定梁的极限状态
静定梁出现一个塑性铰，成为一个自由度的可变体系。
（2）用平衡弯矩法求静定梁的极限弯矩
M max f (P, q) M J (P, q) f 1(M J )
I bh3 /12 bh2
W
ymax b / 2
6
*塑性分析：截面中性轴上、下各点达到材料的屈服应力。
中性轴位置可由N=0推出，即
N A下 S A上 S 0
A上 A下
塑性分析的中性轴把截面面积分成上、下相等的两部分， 弹性分析的中性轴通过截面形心。
M J A上 S y上 A下 S y下 ( A上y上 A下y下) S (S上 S下) S
V ql M J 2l
V
Q ql M J qx 0 2l
x l MJ 2 ql
q
θ MJ θ 2θ
M max
( ql 2
MJ l
)( l 2
MJ ql
)
1 2
q( l 2
MJ ql
结构力学 第十四章 结构塑性分析的极限荷载
(
FP 2 L 4
Mu 2
)
FP L 4
Mu
解得：
FP 2
FP
6M u L
(a)
即：
FPu
6M u L
2)超静定梁的极限荷载
由前已由叠加方法得出了式(a)所示单跨 超静定梁的极限荷载。观察梁的最后极 限 弯 矩 图 (g) ， 既 是 所 叠 加 的 两 弯 矩 图 (c)、(e)的叠加结果。利用梁的极限弯 矩图的平衡条件，可得：
解： 1)基本方法用破坏机构法
可能机构I：
FP1
L 3
3M u
0
(a)
FP1
9M u L
注意：在突变截面处的塑性铰的极限弯 矩为较小极限弯矩。
可能机构II：
FP 2
L 3
(M
` u
M u )
Mu
0
由几何关系知： 2 代入上式，得：
FP 2
3(M u `3M u ) 2L
(b)
可能机构III：
1
1
5
M C 4 (2FPu ) 6 2 FPu 2 FPu
即
5 2 FPu
Mu
则
2 FPu 5 M u
b.破坏机构法
荷载和极限弯矩在虚位移上所作的总外力 虚功方程为：
2FPu
3
FPu 2
2
Mu
2
0
解该虚功方程，得：
FPu
2 5
M
u
c.关于静定梁极限荷载的求解
由于静定结构只要出现一个塑性铰即达到 其塑性极限状态，即静定梁的极限状态时 弹性阶段最大弯矩截面形成塑性铰，且弯 矩图分布与弹性阶段相同，因此可由弹性 阶段的弯矩图一次确定极限弯矩图。