函数的基础知识大全(完整)(包括函数在高考中所有考点知识)

由映射和函数的定义可知，函数是一类特殊的映射， 它要求 A、B 非空且皆为数集.
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4.映射的概念中象、原象的理解：(1) A 中每一个元素 都有象;(2)B 中每一个元素不一定都有原象，不一定只 一个原象；(3)A 中每一个元素的象唯一。 1．映射：注意:①第一个集合中的元素必须有象；②一 对一或多对一. 2 求函数定义域一般有三类问题： （1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有 意义的自变量的取值集合； （2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式 有意义外，还应考虑使实际问题有意义； （3）已知 f (x) 的定义域求 f [g(x)]的定义域或已知 f [g(x)]的定 义域求 f (x) 的定义域： 掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数 函数、三角函数）的定义域； （1）分式的分母不为 0；（2）偶次方根的被开方 数不小于 0；（3）对数函数的真数大于 0；（4） 指数函数、对数函数的底数大于 0 且不等于 1；（5） 零指数、负指数幂的底数不等于 0. ②① 若 f(x)的定义域为［a，b］,则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a ≤ g(x) ≤ b 解出
2
x (a x) (b x) 确定”）对称. 2
推广三：函数 y f a x， y f b x 的图像关于直线 x b a （由 2 8
a x b x 确定）对称.
推广四：函数 y f x与函数 y A f x 的图像关于直线 y A 对 2
称（由“
y
和的一半
y
[
cx d
⑩判别式法 ⑾.导数法： 6 ．复合函数：若 y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n), 那么 y=f[g(x)]称为复合函数，u 称为中间变量，它的取值范 围是 g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定：
①首先将原函数 y f [g(x)]分解为基本函数：内函数 u g(x) 与外函数 y f (u)
（2）三角函数的周期：① y sin x : T 2 ；② y cos x : T 2 ；
③ y tan x : T ；
④ ；⑤ y Asin(x ), y Acos(x ) : T 2 | |
式：
， f (x) f (x) 0
f (x) 1
f (x)
讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原
点对称，要重视这一点；
（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y
轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性
2.奇偶函数的性质：
（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶
性的必要条件
sin x 、cos x 等）；⑨平方法；⑩ 导数法（11）分离常数法；
（12）反函数法；（13）数形结合法。
3 求函数值域的各种方法
函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的 其类
型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)
求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数
作某些“运算”而得函数的值域
2
（3 ）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关 系. 2.求函数解析式的题型有： （1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； （2）已知 f (x) 求 f [g(x)]或已知 f [g(x)]求 f (x) ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式； （4） f (x) 满足某个等式，这个等式除 f (x) 外还有其他未知 量，需构造另个等式解方程组法； （5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 求函数解析式的常用方法： 1、换元法（ 注意新元的取值范围） 2、待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、 反比例函数等） 3、整体代换（配凑法） 4.赋值法： 3.映射的定义： 一般地，设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应关系 f， 对于集合 A 中的任何一个元素，在集合 B 中都有唯一 的元素和它对应，那么，这样的对应（包括集合 A、B， 以及集合 A 到集合 B 的对应关系 f）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f:A→B.
x
不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求 值域 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方 法来求值域 ⑨逆求法（反求法）：通过反解，用 y 来表示 x，再由 x 的取值范围，通过解不等式，得出 y 的取值范围；常用 来解，型如： y ax b , x (m, n)
为增函数； f ’(x) 0，（x A) f (x) 在 A 内为减函数。
③复合函数法；
复合函数 y f g(x)在公共定义域上的单调性：
①若 f 与 g 的单调性相同，则 f g(x)为增函数；“同则增”
②若 f 与 g 的单调性相反，则 f g(x)为减函数。“异则减”
注意：先求定义域，单调区间是定义域的子集。
一奇一偶函数之积（商）为奇函数；两个奇（偶）函数 之和、差为奇（偶）函数。
即奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇 （8）偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数 在关于原点对称的区间上单调性一致. （9）f(x)既是奇函数又是偶函数的充要条件是 f(x)=0.
3.奇、偶性的推广： （1）函数 y f x与函数 y f x的图像关于直线 x 0（ y 轴）对称. 推广一：函数 y=f(x)对于定义域内任一 x 都有 f a x f a x , 则 y=f(x)的图象关于 x=a 对称，即 y=f(a+x)为偶函数; 推广二：如果函数 y f x对于一切 x R ，都有 f a x f b x 成 立，那么 y f x的图像关于直线 x a b （由“ x 和的一半
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②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性
③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在
其定义域内的单调性.
4．分段函数：
在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，
有着不同的对应关系，这样的函数通常叫分段函数。
值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，
再下结论。
5.函数的奇偶性
1．（1）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形
函数的基础知识大全(完整)(包 括函数在高考中所有考点知识)
函数基础知识大全 §1.2.1、函数的概念 1、设 A、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关
系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中 都有惟一确定的数 f x和它对应，那么就称 f : A B 为 集合 A 到集合 B 的一个函数，记作： y f x, x A. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域. 如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一 致，则称这两个函数相等. 3.两个函数的相等：函数的定义含有三个要素，即定义 域 A、值域 C 和对应法则 f.当函数的定义域及从定义域 到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定. 因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且 仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两 个函数才是同一个函数. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. 1.函数的三种表示法 （1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等 式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析 式. （2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关 系.
①直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R；
反比例函数 y k (k 0) 的定义域为{x|x 0} ，值域为{y|y x
0}； 二次函数 f (x) ax2 bx c(a 0) 的定义域为 R，
当 a>0 时，值域为{ y | y (4ac b2 ) }； 4a
f
( x)]
[A 2
f
( x)]
确定”）.
(2) 函数 y f x与函数 y f x的图像关于直线 y 0 （ x 轴）
对称.
推广一：函数 y=f(x)对定义域内任一 x 都有 f a x f a x ,则
y=f(x)的图象关于点(a,0)成中心对称，即 y=f(a+x)为奇函数。
推广二：函数 y=f(x)对定义域内任一 x 都有 f a x f a x 2b ，
④图像法
注：证明单调性主要用定义法和导数法。
（3）性质
①奇函数在其对称区间上的单调性相同；
②偶函数在其对称区间上的单调性相反；
③在公共定义域内：
增函数 f (x) 增函数 g(x) 是增函数；减函数 f (x) 减函数 g(x)
是减函数；
增函数 f (x) 减函数 g(x) 是增函数；减函数 f (x) 增函数 g(x)
①定义法：一般要将式子 f (x1) f (x2 ) 化为几个因式作积或 作商的形式，以利于判断符号；
设 x1, x2 A且x1 x2 ；作差 f (x1) f (x2 ) （一般结果要分解为若干 个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断
出）；判断正负号。
②导数法（见导数部分）；
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若 f (x) 在某个区间 A 内有导数，则 f ’ (x) 0，（x A) f (x) 在 A 内
是减函数。
④ 函 数 在 y ax b (a 0,b 0) x
,
b a
或
b a
,
上
单
调
递
增
；
在
b a
,
0
或
0， b a
上是单调递减。
⑤复合函数 y f g(x)在公共定义域上的单调性：
①若 f 与 g 的单调性相同，则 f g(x)为增函数；
②若 f 与 g 的单调性相反，则 f g(x)为减函数。
②若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域， 相当于 x∈[a,b]时，求 g(x)的值域. 2．函数值域的求法：