25.3解直角三角形(1)
25.3解直角三角形(坡度、坡角)
D
4米
12米
C
30°
A
45°
E
F
B
若该路基长500米，要完成该路基需要多少土方？ 若要在该路基两侧绿化草坪，每平方米草坪的造价是 50元，种植草坪共需多少费用？
一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米.台阶被拆除 后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的规定， 轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过30°．从斜坡的起点 至楼门的最短的水平距离该是多少？（精确到0.1米）
本节课你有什么收获?
收获经验
1、学以致用
我们学习数学的目的就是解决实际生活中存在的数学问题， 因此，在解题时首先要读懂题意，把实际问题转化为数学问题。
对于生活中存在的解直角三角形的问题，关键是找到与已知 和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）。
D M 6米 N C
A
E
F
B
思考：如图是某公路路基的设计简图,等腰梯形 ABCD表示它的横断面,原计划设计的坡角为 A=22°37′,坡长AD=6. 5米,现考虑到在短期内车流 量会增加,需增加路面宽度,故改变设计方案,将图中 1,2两部分分别补到3,4的位置,使横断面EFGH为等 腰梯形,重新设计后路基的坡角为32°,全部工程的 用土量不变,问:路面宽将增加多少? 5 12 (选用数据:sin22°37′≈ ,cos22°37′ ≈ , 13 13 5 D C G tan 22°37′ ≈ , H 12 3 4别忽略我哦！Ａb
a tanA＝ b
b cotA＝ a
i= h : l
坡面
1、坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α 。
α
h
沪教版(上海)九年级第一学期 教案 25.3解直角三角形(1)
预案：学生可能会用 求 ，问你用的是原始数据吗？
学生用计算器算出b、∠A.
生答：
（1）取原避中，用正切容易出现误差.
（2）用 .
（3）正弦或余弦.
无弦用切.
学生练习.
1. ，
，
2．
.
3.
,
.
学生思考
学生计算器计算：
（6米）
预设：
（1）直角三角形中的等量关系；
（2）在解直角三角形时，除直角外，至少需要知道两个元素，并且至少一条是边，才能求出其它的元素．
我们已经掌握了直角 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，就可以由已知元素求未知元素．
问1：对于一个直角三角形，除直角外的五个元素中，至少需要知道几个元素，才能求出其它的元素？
问2：两个什么元素？两个元素都是角吗？
问３：为什么？一边一角可以吗？
归纳：在直角三角形中，利用以上关系式，知道其中除直角外的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素.这就是我们这堂课要学习的内容.
（3）十六字口诀．
联系实际、创设问题情境，激发学生的求知欲.
这三条关系是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．
这样的导语可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，激发了学生的学习热情．
解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立思考，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生分析比较各种方法中哪些较好，选一种板演．
板书：2.解直角三角形
（1）定义：由直角三角形中除直角外的两个已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
25.3-25.4 解直角三角形
25.3-25.4 解直角三角形及其应用【学习目标】1、理解解直角三角形的意义，会用锐角互余、锐角三角比和勾股定理等解直角 三角形和解决一些简单的实际问题。
2、了解测量中的概念，并能灵活应用相关知识解决某些实际问题，而在将实际问题转化为直角三角形问题时，•怎样合理构造直角三角形以及如何正确选用直角三角形的边角关系是本节难点，也是中考的热点．3、正确地建立解直角三角形的数学模型以及熟悉测量，航海，航空，•工程等实际问题中的常用概念是解决这类问题的关键．（1）准确理解几个概念：①仰角，俯角；②坡角；③坡度；④方位角． （2）将实际问题抽象为数学问题的关键是画出符合题意的图形．（3）在一些问题中要根据需要添加辅助线，构造出直角三角形，•从而转化为解直角三角形的问题．【主要概念】【1】勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
【2】如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：【3】任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
【4】任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边CA90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A【5】0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值【6】解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222cba=+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)【7】应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
(2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。
用字母i表示，即hil=。
坡度一般写成1:m的形式，如1:5i=等。
25.3解直角三角形
c
中，至少需要知道几个元素，才能求出其它
a
的元素？
两个
两个元素
一边一角 √
两角
×
Ａ bＣ
至少有一条边
两边
√
解直角三角形
定义:
由直角三角形中除直角外的两个已知元素， 求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
例题1 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=38°, a =10,
求这个三角形的其他边和角。
有弦用弦，无弦用切；宁乘毋除，取原避中. （4）数形结合，帮助思考，防止出错．
五.布置作业
练习册25.3(1)
a, c
a
10
c sin A sin 600
20 3
3.
tan A a , b
b
a tan A
10 tan 600
10 3
3.
c a
Ａ
b
Ｃ
(2)∵∠A+∠B=90°， ∠B=43 °21’,
∴∠A=90°-∠B=90°-43°21’=46°39’.
sin B b , b c sin B 27.01sin 43021' 18.54.
解这个直角三角形.
Ｂ
解： 在Rt△ABC中，∵∠C=90°，a2 b2 c2
b c2 a2 7.342 5.282 5099
c=7.34
sin A a 0.7193 ∴∠A≈46°0’. c
a=5.28
∴∠B=90°-∠A≈90°- 46°0’=44°0’.
rtabc三边关系角角关系边角关系已知元素求未知元素对于一个直角三角形除直角外的五个元素中至少需要知道几个元素才能求出其它的元素
25.3解直角三角形及应用(第一课时)
如果知道了五个元素中的两个元素（至少有一个是边）， 就可以求出其余的三个元素。
定义：在直角三角形中，除直角外， 由已知元素求出未知元素的过程，叫 做解直角三角形。
例1在Rt ABC中，C 90 , B 426' , c 287.4 解这个直角三角形。
解：A 90 42 6 47 54.
C、已知两锐角 D、已知一锐角和任意一边 2、在Rt △ABC中，∠C=90°,由下列条件解直角三角形。 （1）已知a=2,b=3 (2)已知b=1,c=2 (3)已知b=4, ∠B=6°
(4) ∠A=50°,c=2
3、在△ABC中，∠C=90°,sinB=4/5,AB=20,求AC、 BC的值
交流平台
' '
a 由 cos B , 得 c
a c cos B 287.4 0.7420 213.3
b 由sinB= , 得 c
b c sin B 287.4 0.6704 192.7
1、下列条件不能解直角三角形的是（ A、已知两直角边
）
B、已知斜边 和一直角边
☞
B
a C
（一）已知两边解直角三角形
1.在Rt△ABC中，∠C=90°
c
b a tanA= ⑴已知a, b, 则c=______,由___________求出 a2 b2 b 900 -∠A ∠A, ∠B=___________。
A
a sinA= ⑵已知a, c ,则b=______,由___________求出 C a c 0 -∠A 90 ∠A, ∠B=___________。
2 AB=9× =3，∠PAB=90°-60°=30°， 6 ∠PBC=90°-45°=45°，∠PCB=90°． ∴PC=BC． 在Rt△APC中，
25.3解直角三角形
＝cos50° AB 2000 AC＝ cos 50 cos 50
AB AC
≈3111（米）．
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例3一个钢球沿坡角31 ° 的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的 高度是(单位：米)（ B ） 5cos31 ° B. 5sin31 ° C. 5tan31 ° D. 5cot31 °
25.3解直角三角形
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1
复习
直角∠C所对的边AB称为斜边，用c表示，另
两条直角边分别为∠A的对边与邻边，用a、 b表示 ， ∠B的对边与邻边，用b 、 a表示 锐角三角函数
A的对边 sinA＝ 斜边
A的邻边 cosA＝ 斜边
B c a
A的对边 tanA＝ A的邻边
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仰角-俯角
在进行测量时，
从下向上看，视线与水平线的
视线 仰角 俯角 视线
夹角叫做仰角； 铅 从上往下看，视线与水平线的 直 线 夹角叫做俯角.
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方位角
北 30° 东 A
西
O
45°
B
南
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课堂练习
1如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高
1．2米的测角仪CD，测得电视塔的顶端A的仰角为 42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔 的顶端A的仰角为 61°，求这个电视塔的高度 AB．（精确到1米）
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（第 14 题）
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20
A
30°
60°
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25.3 解直角三角形(1)
课题：2 5.3 解直角三角形（1 ）累计课时（6 ）授课班级_______ 授课时间_______ 授课教师_______ 审核人_______【学习目标】1.通过具体的一些实例，能将实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系。
2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．渗透数形结合的数学思想3.培养学生良好的学习，思维习惯．培养学生用数学的意识；【学习重难点】【学习过程】一、 自主学习1、直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)三边之间关系： (勾股定理) (2)锐角之间关系： ．(3)边角之间关系：_______________________________________________________________________________2、△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，AC=3，BC=6，求：sin ∠BCD 、cos ∠BCD 和tan ∠BCD 的值。
CB A D 二、 合作探究1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知∠A=30°，BC=8cm ，则 AB= ， AC= ；（2）已知a ＝156， b ＝56，求c= ;（3）已知c ＝30， ∠A ＝60°，求a = ；像这样，在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做 .2、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，由下列条件解直角三角形：（1）已知a ＝20，c ＝220，求∠B= ；（2）已知b ＝15，∠A ＝30°，求a= ．（3）已知∠A=60°，AC=3cm ，求AB= ，BC= 。
3、如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，2=AC ，6=BC ，解这个直角三角形三、 教师精点1、如图6-27，在离地面高度5米处引拉线固定电线杆，拉线和地面成60°角，求拉线AC 的长以及拉线下端点A 与杆底D 的距离AD = (精确到0.01米)．2、归纳：a:“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程。
25.3解直角三角形(原卷版)【沪教版】[001]
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2021-2022学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【沪教版】专题25.3解直角三角形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021•上城区校级一模）已知在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝50°，AB ＝10，那么BC 的长为（ ）A ．10cos50°B ．10sin50°C ．10tan50°D ．10cot50°2．（2020秋•嘉定区期末）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列四个选项中，不正确的是（ ）A ．AC AB =√32 B ．BC CD =√32 C ．BD CD =√33 D ．BC AC =√333．（2020秋•嘉定区期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P （1，3），点P 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为α（0°＜α＜90°），那么tan α的值是（ ）A ．√1010B ．13C ．3√1010D ．34．（2020秋•静安区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是高，如果AB ＝m ，∠A ＝α，那么CD 的长为（ ）A ．m •sin α•tan αB ．m •sin α•cos αC ．m •cos α•tan αD ．m •cos α•cot α5．（2020秋•杨浦区期末）在△ABC 中，如果sin A =12，cot B =√33，那么这个三角形一定是（ ）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形6．（2020秋•徐汇区校级期中）如图，直线OA 过点（2，1），直线OA 与x 轴的夹角为α，则tan α的值为（ ）A ．√55B ．12C ．2D ．√57．（2019秋•虹口区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果BC ＝2，tan B ＝2，那么AC ＝（ ）A ．1B ．4C ．√5D ．2√58．（2019秋•崇明区期末）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果AC ＝8，BC ＝6，那么∠B 的余切值为（ ）A ．34B ．43C ．35D ．45 9．（2019秋•金山区期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy 内有一点A （2，3），那么OA 与x 轴正半轴的夹角α的余切值是（ ）A ．32B ．23C ．3√1313D ．2√131310．（2019秋•松江区期中）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 是AC 边上的高，cos C =13，则△BCD 与△ABD 的面积比是（ ）A ．1：3B ．2：7C ．2：9D ．2：11二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020秋•金山区期末）在△ABC 中，AB ：AC ：BC ＝1：2：√5，那么tan B ＝ ．12．（2021•滨湖区模拟）在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝8，∠B ＝60°，则△ABC 的面积是 ．13．（2020秋•徐汇区期末）如图，点P 在线段BC 上，AB ⊥BC ，DP ⊥AP ，CD ⊥DP ，如果BC ＝10，AB ＝2，tan C =12，那么DP 的长是 ．14．（2020秋•闵行区期末）在直角坐标平面内有一点A （12，5），点A 与原点O 的连线与x 轴的正半轴的夹角为θ，那么cosθ＝．15．（2020秋•崇明区期末）已知锐角△ABC中，AB＝5，BC＝7，sin B=45，那么∠C＝度．16．（2020秋•徐汇区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝120°，AB＝12，点D在边AC上，点E在边BC上，sin∠ADE=45，ED＝5，如果△ECD的面积是6，那么BC的长是．17．（2021•杨浦区二模）如图，已知在正方形网格中，点A、B、C、D在小正方形的顶点上，线段AB与线段CD相交于点O，那么tan∠AOC＝．18．（2020秋•虹口区期末）如图，图中提供了一种求cot15°的方法．作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC ＝30°，再延长CB到点D，使BD＝BA，联结AD，即可得∠D＝15°．如果设AC＝t，则可得CD＝（2+√3）t，那么cot15°＝cot D=CDAC=2+√3．运用以上方法，可求得cot22.5°的值是．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021•嘉定区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cos A=35．D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．（1）求线段CE的长；（2）求sin∠BDE的值．20．（2021•虹口区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cot B=32，BC＝10．（1）求AB的长；（2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值．21．（2021•青浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求AD的长；（2）求∠EBC的正切值．22．（2021•奉贤区二模）如图，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，点D是AC的中点，联结BD并延长至点E，使∠E＝∠BAC．（1）求sin∠ABE的值；（2）求点E到直线BC的距离．23．（2020秋•上海期末）如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝5，求：△ABC的面积和∠C的度数．24．（2020秋•崇明区期末）如图，已知⊙O的半径为√2，在⊙O中，OA、OB是圆的半径，且OA⊥OB，点C在线段AB的延长线上，且OC＝AB．（1）求线段BC的长；（2）求∠BOC的正弦值．。
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25.3（1）解直角三角形
一、教学内容分析
本课时的内容是解直角三角形，首先是了解直角三角形中的边角的关系和什么是解直角三角形，以及在解直角三角形时，选择合适的工具解，即优选关系式.从而能提高学生分析问题和解决问题的能力.
二、教学目标设计
1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力．
3．渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯．
三、教学重点及难点
教学重点：直角三角形的解法．
教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用．
四、教学过程设计
一、 情景引入
1．观察
引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为222410 ＝26 ， 26＋10＝36所以，
大树在折断之前的高为36米.
2．思考
1．在三角形中共有几个元素？
2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这
五个元素间有哪些等量关系呢？
3．讨论复习
师白：Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系分别是什
么？
总结：直角三角形的边与角之间的关系
(1)两锐角互余∠A ＋∠B ＝90°；
(2)三边满足勾股定理a 2＋b 2＝c 2；
(3)边与角关系sinA ＝cosB ＝a c ，cosA ＝sinB ＝b c
， tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝b a
. 二、学习新课
1．概念辨析
师白：我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．
定义：我们把由已知元素求出所有末知元素的过程，叫做解直角三角形.
2．例题分析
例题1 在Rt △ABC 中，∠C=900，∠B=380，a=8，求这个直角三角形的其它边和角.
分析：本题已知直角三角形的一个锐角和一条直角边，那么首先要搞清楚这两个元素的位置关系，再分析怎样用合适的锐角三角比解决问题，在本题中已知边是已知角的邻边，所以可以用的锐角三角比是余弦和正切.
解：∵∠A+∠B=900
∴∠A=900－∠B=900－380=52
0 ∵cosB=
c a ∴C=B a cos =15.1038
cos 80≈ ∵tanB=a
b ∴b=atanB=8tan380≈6.250
例题2 在Rt △ABC 中，∠C=900，c=7.34，a=5.28，解这个直角三角形.
分析：本题已知直角三角形的一条直角边和斜边，当然首先用勾股定理求第三边，怎样求锐角问题，要记住解决问题最好用原始数据求解，避免用间接数据求出误差较大的结论.
解：在Rt △ABC 中，
∵∠C=900，∴a 2＋b 2＝c
2 ∴b=099.528.534.72222≈-=-a c
∵sinA=7193.034
.728.5≈=c a ∴∠A=460
∴∠B=900－∠A ≈900－460=440.
[说明] 我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？激发了学生的学习热情．
3．问题拓展
例题3 如图，东西两炮台A 、B 相距2000米，同时发现入侵敌舰C ，炮台A 测得敌舰C 在它的南偏东40°的方向，炮台B 测得敌舰C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l 米). 分析：本题中，已知条件是什么?(AB ＝2000米， ∠CAB ＝90°－ ∠CAD ＝50°)，那么求AC 的长是用
“弦”还是用“切”呢?求BC 的长呢?显然，AC 是直
角三角形的斜边，应该用余弦，而求BC 的长可以用正切，也可以用余切.
讲解后让学生思考以下问题：
(1)在求出后，能否用勾股定理求得BC ； (2)在这题中，是否可用正弦求AC ，是否可以用余切求得BC.
[说明] 通过这几道例题的分析和挖掘，使学生明确在求解直角三角形时可以根据题目的具体条件选择不同的“工具”以达到目的.
从上面的几道题可以看出，若知道两条边利用勾股定理就可以求出第三边，进而求出两个B C
A
锐角，若知道一条边和一个锐角，可以.利用边角关系求出其他的边与角.所以，解直角三角形无非以下两种情况：
(1)已知两条边，求其他边和角.
(2)已知一条边和一个锐角，求其他边角
三、巩固练习
1、课本P73练习1、2
2、由下列条件解题：在Rt △ABC 中，∠C=90°：
（1）已知a=4，b=8，求c ．(c=54)
（2）已知b=10，∠B=60°，求a ，c ．
（3）已知c=20，∠A=60°，求a ，b ．
四、课堂小结
本节课我们利用直角三角形的边与边、角与角、边与角的关系，由已知元素求出未知元素，在做题目时，学生们应根据题目的具体条件，正确选择上述的“工具”，求出题目中所要求的边与角.
五、作业布置
练习册25.3（1）按照学生情况分层选作
反思：
解直角三角形是整个章节的重点，要求前几节课的基础，而且要运用于实际，基础知识掌握的比较牢固的学生对于例题的理解相对好一点，前面基础没有打好的学生相对薄弱，所以针对这点我课后罗列了一些分层题，帮助不同层次的学生来提高。
3320,3310==c a 10
,310==b a。