1.3.1解直角三角形(课件)
1
若 tan∠DBA= ,则AD的长为（ ）
5
A. 2 B.２ C.１ D.2 2
（2011安徽，19，10分）如图，某高速公路 建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地 面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得 正前方A、B两点处的俯角分别为60°和 45°．求隧道AB的长．
30. （2011安徽芜湖18）如图，某校数学兴 趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔 BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点的 仰角为45°，再沿着的方向后退20m至C处， 测得古塔顶端点的仰角为30°.求该古塔BD的 高度(结果保留一位小数).
（2007甘肃）把两块相同的含30°6 角6的三角尺
如图放置，若AD=
，求△ABC各边的长.
BC=6.求AQ BC=100，AE∥BC。求AE
两艘渔船分别从B港出发，B港 位于A港东偏北30°，甲船航 行了20海里到达A港处，乙船
行驶了 10 3 海里到达位于A
港正东方向的C处，这时乙船 调整方向，问至少还要行驶多 少路程才能到A港？
A
D 60°
⌒
450
75°
B
C
已知∠B=450，∠ACD=65060，BC=20cm， 求BCA=D2.0cm，求AD。
思考一：已知两 个特殊角的情况 下，再已知AD、 CD、AC、BC、AB、 BD六条边中1条 可求其余5条边.
(已知两角一边)
思考二：已知边 角的三个特殊条 件(必须有一边）， 求其余的边和角。 如：已知 AD= ,3DC=1, ∠B=450,求其余 的边角.
例2：如图:Rt△ABC中,∠C=900, AC=10, ∠ A = 30
求:AB，BC.
B
┐
C 10
A
(2)已知一锐角、邻边: 求对边，用锐角的正切； 求斜边，用锐角的余弦。
已知一锐角、对边:
• 例3 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°， ∠A=30°， a = 8 。解这个直角三角形
B
a
A
b
A 已知一直角边和所对的角 B 已知两个锐角
C 已知斜边和一个锐角
D 已知两直角边
2.在△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解这个直角三角形。
⑴∠A=600，斜边上的高CD= 3 ； B ⑵∠A=600，a+b=3+ 3 .
C┓
D 600
A
3. 如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°， ∠B=45°，求△ABC的面积。
由直角三角形中已知的元素求出未
知元素的过程，叫做解直角三角 形．
一、已知一锐角、斜边，
例1在 RtDABC 中 ， 已知 C = 90 °，c = 128 , B = 60°.
解这个直角三角形 (边长精确到0.01).
B
a
A
b
C
(1)已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦；
求邻边，用锐角的余弦。
已知一锐角、邻边:
b
C
（1）两锐角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
c
b c
，tanA=
a b
利用这些关系，如果知道直角三角形的哪几个
元素就可以求其他的元素了？
两个角 ×
两条边 √ 一边一角 √
两个元素(至少一个是边)
c ⑶已知∠A、 a，则b=___ta_n__A____;c=___s_in__A___。斜边
已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的正切； 求斜边，用锐角的正弦。
⑷已知a、b，则c=___a__2 ___b_2_。
⑸已知a、c，则b=___c_2___a_2__ 。
A 邻边b
B
对边
a
┏ C
1.在下列直角三角形中，不能解的是（B ）
B
c
a
┏
A
b
C
特殊角的三角函数值表
三角函数
锐角α
正弦sinα
余弦 cosα
300
1
3
2
2
450
2
2
2
2
600
3 2
1 2
正切tanα 3 3
1
3
交流与发现
在Rt△ABC 中，∠C =
B
90°,∠A,∠B，∠C 的对边分别
是a, b, c．除直角C外，你会
a
用含有这些字母的等式把5个元 A
素之间的关系表示出来吗？
⑴已知∠A、 c, 则a=__c__s_i_n_A___;b=_c__ c_o_s_A___。
已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦；
求邻边，用锐角的余弦。 b
⑵已知∠A、 b, 则a=__b__t_a_n__A__;c=___c_o__s_A__。
已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的正切；
求斜边，用a锐角的余弦。 a
由以上几种情况可以看出，只要已知条件适当，所 有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使 直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角 三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能 把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就 可以通过解直角三角形而获得解决 。
C
(3)已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的正切；
求斜边，用锐角的正弦。
已知两边
• 例4．在Rt△ABC中，已知∠C = 90° , a=12, b =24 ．解这个直角三角形
B
a
A
(4)已知a、b，则c=__a__2____b_2_。 b
C
⑸已知a、c，则b=___c__2____a_ 2。
在Rt△ABC中，∠C=90°：
A、B的一条直线。一外国船只在P点，在A点测
得∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问
此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国
海域.
P
45° A
┓ 60° B C
D
A 45o
60o C B
D
30° A
C 45°
B
C D
A
B
例6.(2008宁夏）如图，在等腰三角形中，
∠C=900,AC=6,D为AC上一点，
直角三角形性质
1、图形简单易理解 2、知识点内容丰富 3、实际应用广泛
勾股定理 及逆定理
锐角三角函数ຫໍສະໝຸດ 解直角三角形解斜三角形
4、体现多题归一
5、蕴涵多种数学思 想方法
A
45° B
60°
D
C
一变：类比法 三变：延伸法
D
60 C
45
A
B
二变：推广法 四变：弱化法
A
45 ° B
60 °
D
C
（2007甘肃）把两块相同的含30°角的三角 尺如图放置，若AD=6 6 ，求△ABC各边的 长.
（已知两边一角）
1 AD = 3 6 BD = 3
2CD =1
7ACD = 60
3 AB = 6
8B = 45
4 BC = 3 1
9BAC =15
5 AC = 2
10CAD = 60
A
45° B
60°
D
C
例5、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋
100海里以内的区域。如图，设A、B是我们的观
察站，A和B之间的距离为160海里，海岸线是过
若 tan∠DBA= ,则AD的长为（ ）
5
A. 2 B.２ C.１ D.2 2
（2011安徽，19，10分）如图，某高速公路 建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地 面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得 正前方A、B两点处的俯角分别为60°和 45°．求隧道AB的长．
30. （2011安徽芜湖18）如图，某校数学兴 趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔 BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点的 仰角为45°，再沿着的方向后退20m至C处， 测得古塔顶端点的仰角为30°.求该古塔BD的 高度(结果保留一位小数).
（2007甘肃）把两块相同的含30°6 角6的三角尺
如图放置，若AD=
，求△ABC各边的长.
BC=6.求AQ BC=100，AE∥BC。求AE
两艘渔船分别从B港出发，B港 位于A港东偏北30°，甲船航 行了20海里到达A港处，乙船
行驶了 10 3 海里到达位于A
港正东方向的C处，这时乙船 调整方向，问至少还要行驶多 少路程才能到A港？
A
D 60°
⌒
450
75°
B
C
已知∠B=450，∠ACD=65060，BC=20cm， 求BCA=D2.0cm，求AD。
思考一：已知两 个特殊角的情况 下，再已知AD、 CD、AC、BC、AB、 BD六条边中1条 可求其余5条边.
(已知两角一边)
思考二：已知边 角的三个特殊条 件(必须有一边）， 求其余的边和角。 如：已知 AD= ,3DC=1, ∠B=450,求其余 的边角.
例2：如图:Rt△ABC中,∠C=900, AC=10, ∠ A = 30
求:AB，BC.
B
┐
C 10
A
(2)已知一锐角、邻边: 求对边，用锐角的正切； 求斜边，用锐角的余弦。
已知一锐角、对边:
• 例3 在Rt△ABC 中，已知∠C=90°， ∠A=30°， a = 8 。解这个直角三角形
B
a
A
b
A 已知一直角边和所对的角 B 已知两个锐角
C 已知斜边和一个锐角
D 已知两直角边
2.在△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解这个直角三角形。
⑴∠A=600，斜边上的高CD= 3 ； B ⑵∠A=600，a+b=3+ 3 .
C┓
D 600
A
3. 如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°， ∠B=45°，求△ABC的面积。
由直角三角形中已知的元素求出未
知元素的过程，叫做解直角三角 形．
一、已知一锐角、斜边，
例1在 RtDABC 中 ， 已知 C = 90 °，c = 128 , B = 60°.
解这个直角三角形 (边长精确到0.01).
B
a
A
b
C
(1)已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦；
求邻边，用锐角的余弦。
已知一锐角、邻边:
b
C
（1）两锐角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °；
（2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ;
（3）角与边之间的关系：sinA= a ，cosA=
c
b c
，tanA=
a b
利用这些关系，如果知道直角三角形的哪几个
元素就可以求其他的元素了？
两个角 ×
两条边 √ 一边一角 √
两个元素(至少一个是边)
c ⑶已知∠A、 a，则b=___ta_n__A____;c=___s_in__A___。斜边
已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的正切； 求斜边，用锐角的正弦。
⑷已知a、b，则c=___a__2 ___b_2_。
⑸已知a、c，则b=___c_2___a_2__ 。
A 邻边b
B
对边
a
┏ C
1.在下列直角三角形中，不能解的是（B ）
B
c
a
┏
A
b
C
特殊角的三角函数值表
三角函数
锐角α
正弦sinα
余弦 cosα
300
1
3
2
2
450
2
2
2
2
600
3 2
1 2
正切tanα 3 3
1
3
交流与发现
在Rt△ABC 中，∠C =
B
90°,∠A,∠B，∠C 的对边分别
是a, b, c．除直角C外，你会
a
用含有这些字母的等式把5个元 A
素之间的关系表示出来吗？
⑴已知∠A、 c, 则a=__c__s_i_n_A___;b=_c__ c_o_s_A___。
已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦；
求邻边，用锐角的余弦。 b
⑵已知∠A、 b, 则a=__b__t_a_n__A__;c=___c_o__s_A__。
已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的正切；
求斜边，用a锐角的余弦。 a
由以上几种情况可以看出，只要已知条件适当，所 有的直角三角形都是可解的.值得注意的是，它不仅使 直角三角形的计算问题得到彻底的解决，而且给非直角 三角形图形问题的解决铺平了道路.不难想到，只要能 把非直角三角形的图形问题转化为直角三角形问题，就 可以通过解直角三角形而获得解决 。
C
(3)已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的正切；
求斜边，用锐角的正弦。
已知两边
• 例4．在Rt△ABC中，已知∠C = 90° , a=12, b =24 ．解这个直角三角形
B
a
A
(4)已知a、b，则c=__a__2____b_2_。 b
C
⑸已知a、c，则b=___c__2____a_ 2。
在Rt△ABC中，∠C=90°：
A、B的一条直线。一外国船只在P点，在A点测
得∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问
此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国
海域.
P
45° A
┓ 60° B C
D
A 45o
60o C B
D
30° A
C 45°
B
C D
A
B
例6.(2008宁夏）如图，在等腰三角形中，
∠C=900,AC=6,D为AC上一点，
直角三角形性质
1、图形简单易理解 2、知识点内容丰富 3、实际应用广泛
勾股定理 及逆定理
锐角三角函数ຫໍສະໝຸດ 解直角三角形解斜三角形
4、体现多题归一
5、蕴涵多种数学思 想方法
A
45° B
60°
D
C
一变：类比法 三变：延伸法
D
60 C
45
A
B
二变：推广法 四变：弱化法
A
45 ° B
60 °
D
C
（2007甘肃）把两块相同的含30°角的三角 尺如图放置，若AD=6 6 ，求△ABC各边的 长.
（已知两边一角）
1 AD = 3 6 BD = 3
2CD =1
7ACD = 60
3 AB = 6
8B = 45
4 BC = 3 1
9BAC =15
5 AC = 2
10CAD = 60
A
45° B
60°
D
C
例5、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋
100海里以内的区域。如图，设A、B是我们的观
察站，A和B之间的距离为160海里，海岸线是过
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1.3 解直角三角形(1)
AC
所以 AC＝ ＝
AB 2000 = ≈ 3111(米) cos 50° cos 50°
答：敌舰与A、B两炮台的距离分 敌舰与 、 两炮台的距离分 别约为3111米和 米和2384米. 别约为 米和 米
A
b C 3 a B
练习1 练习 :
在⊿ABC中，∠C=900，根据下列条件解直角三角 ⊿ABC中 形(长度保留到2个有效数字,角度精确到1度)
（1）c=10， ∠A=30° ） ， ° （2）b =4，∠ B =72° ） ， ° （3）a =5， c=7 ） ， （4）a =20， SinＡ=１／２ ） ， SinＡ １
练:
本题是已知 一边,一锐角. 一边,一锐角.
解: 在Rt△ABC中，因为 △ 中 ∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜， ＝ ゜ ＝ ゜ BC ＝tan∠CAB, ∠ AB BC＝AB•tan∠CAB 所以 ＝ ∠ =2000×tan50゜ × ゜ ≈2384(米). 米 又因为 AB = cos 50 ° ，
1.3解直角三角形 解直角三角形(1) 解直角三角形
解直角三角形
已知两条边； （1）已知两条边；
A
B c a ┌ b C
（2）已知一条边和一个锐角
C=90° 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ：如图， △ 中 解直角三角形. ∠A=50 °，AB=3, 解直角三角形 =50 （边长保留2个有效数字） 边长保留 个有效数字
A c
Байду номын сангаас
B a ┌ b C
例2：已知平顶屋面的宽度 为10m，坡顶的设 ：已知平顶屋面的宽度L为 ， 计高度h为 计高度 为3.5m，你能求出斜面钢条的长度和 ， 倾角a 倾角 。(长度精确到0.1米,角度精确到1度)
所以 AC＝ ＝
AB 2000 = ≈ 3111(米) cos 50° cos 50°
答：敌舰与A、B两炮台的距离分 敌舰与 、 两炮台的距离分 别约为3111米和 米和2384米. 别约为 米和 米
A
b C 3 a B
练习1 练习 :
在⊿ABC中，∠C=900，根据下列条件解直角三角 ⊿ABC中 形(长度保留到2个有效数字,角度精确到1度)
（1）c=10， ∠A=30° ） ， ° （2）b =4，∠ B =72° ） ， ° （3）a =5， c=7 ） ， （4）a =20， SinＡ=１／２ ） ， SinＡ １
练:
本题是已知 一边,一锐角. 一边,一锐角.
解: 在Rt△ABC中，因为 △ 中 ∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜， ＝ ゜ ＝ ゜ BC ＝tan∠CAB, ∠ AB BC＝AB•tan∠CAB 所以 ＝ ∠ =2000×tan50゜ × ゜ ≈2384(米). 米 又因为 AB = cos 50 ° ，
1.3解直角三角形 解直角三角形(1) 解直角三角形
解直角三角形
已知两条边； （1）已知两条边；
A
B c a ┌ b C
（2）已知一条边和一个锐角
C=90° 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ：如图， △ 中 解直角三角形. ∠A=50 °，AB=3, 解直角三角形 =50 （边长保留2个有效数字） 边长保留 个有效数字
A c
Байду номын сангаас
B a ┌ b C
例2：已知平顶屋面的宽度 为10m，坡顶的设 ：已知平顶屋面的宽度L为 ， 计高度h为 计高度 为3.5m，你能求出斜面钢条的长度和 ， 倾角a 倾角 。(长度精确到0.1米,角度精确到1度)
《解直角三角形》数学教学PPT课件(3篇)
b
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
获取新知
B
对边 a C
c 斜边
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外 还有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三 角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程 叫做解直角三角形.
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
B
①三边之间的关系
a
c
a2 b2 c2
C
A
b
已知任意两边可求出第
直角三角形中，未知的5个元素之间的关系
解：过点 A作 AD⊥BC于D.
在△ACD中，∠C=45°，AC=2，
∴CD=AD=sinC·AC=2sin45°= 2 .
在△ABD中，∠B=30°， ∴BD= AD 2 6
tan B 3
∴BC=CD+BD=3 2 + 6
A
D B
归纳总结
C
┐
AD
BB
A D
CE
┐
提 求解非直角三角形的边角问题，常通过添加适 示
解：∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°.
在Rt△ABC中，AB=2，∠B=60°,
BC
AB cosB
2 1
4，AC
AB
tanB
2
3.
2
△ABC的周长为2+ 2 3 +4=6+ 2 3 .
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 12 ，△ABC 5
的周长为45cm，CD是斜边AB上的高，求CD的长.（精 确到0.1 cm）
例5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形
的其他元素．(长度精确到0.01)
浙教版九年级下1.3.1解直角三角形课件(共16张PPT)
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2 3 ，a＝3，解这
个直角三角形． 解析：已知斜边和一条直角边的长，可以先利用勾股定理
求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的 度数．
（来自《点拨》）
解： 在Rt△ABC中，c＝ 2 3 ， a＝3， ∴ bc2a21293
∴b=AB·cosA=3cos50°≈1.9.
总结
知2－讲
已知斜边c和一锐角∠A，解直角三角形的一般步骤是：
(1)根据∠A＋∠B＝90°求出∠B；
(2)根据sin
A＝
a c
(3)根据cos A＝ b c
求出a； 求出b或根据勾股定理求出b.
（来自《点拨》）
知2－练
1 在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)若∠B＝60°, BC＝ 2 , 则∠A＝_______，AC＝ ________，AB＝________； (2)若∠A＝45°，AB＝2，则∠B＝________，AC＝ ________，BC＝________．
知两边解直角 三角形
形 添设辅助线解
直角三角形
知斜边一锐角解直 角三角形
知一直角边一锐角 解直角三角形
知两直角边解直 角三角形
知一斜边一直角 解直角三角形
实际 应用
直接抽象出直 角三角形
抽象出图形，再 添设辅助线求解
1.必做:完成教材P19作业题A组T1-T4 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
（来自《典中点》）
知1－练
2 在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)若c＝ 6 2 , a＝6，则b＝________，∠B＝______， ∠A＝________； (2)若a＝ 4 3 , b＝4，则∠A＝______，∠B＝______， c＝________．
You made my day!
我们，还在路上……
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝2 3 ，a＝3，解这
个直角三角形． 解析：已知斜边和一条直角边的长，可以先利用勾股定理
求出另一条直角边的长，再利用正弦或余弦求角的 度数．
（来自《点拨》）
解： 在Rt△ABC中，c＝ 2 3 ， a＝3， ∴ bc2a21293
∴b=AB·cosA=3cos50°≈1.9.
总结
知2－讲
已知斜边c和一锐角∠A，解直角三角形的一般步骤是：
(1)根据∠A＋∠B＝90°求出∠B；
(2)根据sin
A＝
a c
(3)根据cos A＝ b c
求出a； 求出b或根据勾股定理求出b.
（来自《点拨》）
知2－练
1 在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)若∠B＝60°, BC＝ 2 , 则∠A＝_______，AC＝ ________，AB＝________； (2)若∠A＝45°，AB＝2，则∠B＝________，AC＝ ________，BC＝________．
知两边解直角 三角形
形 添设辅助线解
直角三角形
知斜边一锐角解直 角三角形
知一直角边一锐角 解直角三角形
知两直角边解直 角三角形
知一斜边一直角 解直角三角形
实际 应用
直接抽象出直 角三角形
抽象出图形，再 添设辅助线求解
1.必做:完成教材P19作业题A组T1-T4 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
（来自《典中点》）
知1－练
2 在Rt△ABC中，∠C＝90°. (1)若c＝ 6 2 , a＝6，则b＝________，∠B＝______， ∠A＝________； (2)若a＝ 4 3 , b＝4，则∠A＝______，∠B＝______， c＝________．
第一学期《解直角三角形》PPT课件
探究培优
如图②，过点 B 作 BD⊥AC，交 AC 的延长线于点 D，
则 AD＝ 23AB＝2 3，BD＝12AB＝2，∴CD＝ 5， ∴AC＝AD－CD＝2 3－ 5，
∴S△ABC＝12AC·BD＝2 3－ 5. 故△ABC 的面积为 2 3＋ 5或 2
3－ 5.
同学们下课啦
授课老师：xxx
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1. 你真让人感动，老师喜欢你的敢想、敢说、敢问和敢辩，希望你继续保持下去。 2. 这么难的题你能回答得很完整，真是了不起！你是我们班的小爱因斯坦。 3. 你预习的可真全面，自主学习的能力很强，课下把你的学习方法介绍给同学们，好不好？ 4. 哎呀. 通过你的发言，老师觉得你不仅认真听，而且积极动脑思考了，加油哇！ 四、提醒类
(1)AD 和 AB 的长； 解：∵D 是 BC 的中点，CD＝2，∴BD＝DC＝2，BC＝4. 在 Rt△ACB 中，tan B＝ACCB＝34，∴A4C＝34，∴AC＝3. 由勾股定理得 AD＝ AC2＋CD2＝ 32＋22＝ 13， AB＝ AC2＋BC2＝ 32＋42＝5.
夯实基础
(2)sin ∠BAD 的值． 解：过点 D 作 DE⊥AB 于 E，∴∠C＝∠DEB＝90°， 又∠B＝∠B，∴△DEB∽△ACB， ∴DACE＝DABB，∴D3E＝25，∴DE＝65， 6 ∴sin ∠BAD＝DADE＝ 513＝66513.
夯实基础
【点拨】在 Rt△ABD 中，∵sin B＝AADB＝13，AD＝1，∴AB＝3. ∵BD2＝AB2－AD2，∴BD＝ 32－12＝2 2. 在 Rt△ADC 中，∵∠C＝45°，∴CD＝AD＝1. ∴BC＝BD＋DC＝2 2＋1. ∴S△ABC＝12·BC·AD＝12×(2 2＋1)×1＝1＋22 2，故选 C.
1.3 解直角三角形 课件1(数学浙教版九年级下册)
P60°Fra bibliotekA M C
牛刀小试，我能行
2、 如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望 塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处, 测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽 略不计,结果精确到1m).
解:如图,根据题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m. 设 CD=xm,则∠ADC=600,∠BDC=300, 在Rt△ADC中 tan∠ADC = AC
初三（2）全体同学
船有触礁的危险吗
A N B
·
R M P
Q C
九年级数学(下)第一章
直角三角形的边角关系
第四节 船有触礁的危险吗 第1课时
新世界中英文学校
授课人朱明福
想一想
船有触礁的危险吗
例：海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁. 今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西600的B 处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西300的C 处.之后,货轮继续向东航行 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
. ``z````xxk
北
A
·
东
B
20
C
D
想一想
实践出真知
• 1、如图海中有一小岛P，在距离P处 8 2海里范围内有暗礁，一 轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°方向， 且AP间的距离为16海里，若轮船继续向东航行，请计算轮船有 无触礁危险？如有危险，轮船自A处开始，至少沿东偏南多少度 方向航行才能安全通过这一海域？ 解
从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方 向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区 域为居民区。取MN上另一点B，测得BA的方向 为南偏东75°。已知MB＝400m，通过计算回答， 如果不改变方向，输水路线是否穿过居民区？
牛刀小试，我能行
2、 如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望 塔顶,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m至B处, 测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽 略不计,结果精确到1m).
解:如图,根据题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m. 设 CD=xm,则∠ADC=600,∠BDC=300, 在Rt△ADC中 tan∠ADC = AC
初三（2）全体同学
船有触礁的危险吗
A N B
·
R M P
Q C
九年级数学(下)第一章
直角三角形的边角关系
第四节 船有触礁的危险吗 第1课时
新世界中英文学校
授课人朱明福
想一想
船有触礁的危险吗
例：海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁. 今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西600的B 处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西300的C 处.之后,货轮继续向东航行 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?
. ``z````xxk
北
A
·
东
B
20
C
D
想一想
实践出真知
• 1、如图海中有一小岛P，在距离P处 8 2海里范围内有暗礁，一 轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°方向， 且AP间的距离为16海里，若轮船继续向东航行，请计算轮船有 无触礁危险？如有危险，轮船自A处开始，至少沿东偏南多少度 方向航行才能安全通过这一海域？ 解
从M到N的走向为南偏东30°，在M的南偏东60°方 向上有一点A，以A为圆心，500m为半径的圆形区 域为居民区。取MN上另一点B，测得BA的方向 为南偏东75°。已知MB＝400m，通过计算回答， 如果不改变方向，输水路线是否穿过居民区？
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
《1.3 解直角三角形》第二课时 课件 浙教版数学九年级下册
解: 在Rt△AOE中，
B
OA＝35cm，OE＝35-10＝25cm.
AE＝ 352－252 ≈24.5，
∴cos∠AOE＝
25 35
∴∠AOE≈44.4°，
∴∠AOC≈88.8°
S扇形OAC≈
88.8×352π 360
≈948.8(cm)，
S△AOC ≈21 ×2×24.5×25
≈612.5(cm2)
求AB的长 （精确到0.1cm）.
C
A
B
E
O
D
探究活动
如图，在圆内接正十边形中，AB是正十边形的一条边，M是∠ABO的平分线 与半径OA的交点. (1)设⊙O的半径为R，用关于R的代数式表示正十边形的边长AB. (2)你发现sin18°和黄金比有怎样的关系？
O
M AB
一展身手
1、如图是一污水管的横截面，已知污水管的内径为70cm．污水的高度为10cm．求污 水截面面积s．
小结
谈谈今天的收获
10 A
∴S＝S扇形OAC－S△AOC ≈948.8－612.5≈336(cm2)
答:污水截面面积约为336cm2.
O
E C
D 单位: 厘米
一展身手
2、已知在△ABC中，AB+AC=9cm，AB和AC的夹角为30°，设当AB为x（cm）时， △ABC的面积为S（cm2） （1）求S关于x的函数解析式； （2）问何时△ABC的面积最大？最大面积为多少？
设∠AOB=n°，
由弧长公式 l nR
180
作OC ⊥AB于点C
，可以得到 n 180l 180 45
R 36.3
∵OA=OB，
∴AC=BC， ∠AOC=1 ∠AOB=n
解直角三角形的应用(19张ppt)课件
选择合适的解法
根据实际情况选择合适的解法，如近似计算、 精确计算等。
注意单位统一
在实际应用中，要注意单位统一，避免计算 错误。
考虑多解情况
在某些情况下，解直角三角形可能存在多个 解，需要全面考虑。
06
练习与巩固
基础练习题
总结词
掌握基本概念和公式
直角三角形中的角度和边长关系
理解直角三角形中锐角、直角和钝角之间 的关系，以及边长与角度之间的勾股定理 。
利用三角函数定义求解
总结词
通过已知角度和邻边长度，求对边或 斜边长度。
详细描述
根据三角函数定义，已知一个锐角和它 所对的边，可以通过三角函数求出其他 两边。例如，已知∠A=30°和a=1，可 以通过三角函数sin(30°)求出对边b。
利用勾股定理求解
总结词
通过已知两边的长度，求第三边长度。
详细描述
向。
确定建筑物的角度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的角度和方向。
确定建筑物的长度
在建筑设计中，通过解直角三角形， 可以确定建筑物的长度和方向。
物理问题中的运用
确定物体的运动轨迹
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的运动轨 迹和方向。
确定物体的受力情况
在物理问题中，通过解直角三角形，可以确定物体的受力情 况和方向。
04
实际应用案例
测高问题
01
02
03
测量山的高度
通过测量山脚和山顶的仰 角，利用解直角三角形的 知识，可以计算出山的高 度。
测量楼的高度
利用解直角三角形的知识， 通过测量楼底和楼顶的仰 角，可以计算出楼的高度。
测量树的高度
通过测量树底部和树顶部 的仰角，利用解直角三角 形的知识，可以计算出树 的高度。
解直角三角形及其应用(第4课时)教学PPT
性质4
射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜 边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边 上的射影和斜边的比例中项。
03
解直角三角形方法论述
利用相似三角形法求解
01
02
03
04
寻找相似三角形
在已知直角三角形中，通过寻 找与待求三角形相似的三角形 ，建立相似关系。
设定未知数
在相似三角形中，设定待求的 边长或角度为未知数。
建立比例关系
根据相似三角形的性质，建立 已知边长与未知边长的比例关 系。
求解未知数
通过解比例关系式，求出未知 数的值。
利用三角函数法求解
确定已知量
在已知直角三角形中，确定已知的角度或边长。
建立三角函数关系式
将已知量与待求量通过三角函数关系式联系起来 。
选择三角函数
根据已知量，选择合适的三角函数（正弦、余弦 、正切等）。
分组讨论，分享解题思路和方法
学生分组讨论，分享各自的解题思路 和方法。
教师巡视各组讨论情况，给予必要的 指导和帮助。
鼓励学生互相学习、互相帮助，共同 进步。
教师点评，总结易错点和注意事项
教师对学生的练习和讨论进行点评，肯定优点和进 步。
针对学生在练习和讨论中出现的易错点和问题，进 行总结和归纳。
水坝设计
在水坝设计中，需要计算水坝的 高度和倾斜角度。通过测量水坝 顶部和底部的夹角以及水坝的长 度，可以利用解直角三角形的方
法进行计算。
其他领域应用举例
航海
物理
在航海中，需要确定船只的航向和距离。 通过测量船只与目标之间的夹角和距离， 可以利用解直角三角形的方法进行计算。
在物理学中，需要计算物体的运动轨迹和 速度。通过测量物体运动的夹角和距离， 可以利用解直角三角形的方法进行计算。