地震动反应谱学习报告
加速度反应谱与地震影响系数反应谱

加速度反应谱与地震影响系数反应谱加速度反应谱啊,就像是一个超级敏感的情绪探测器。
你想啊,地震一来,地面就像个突然发疯的巨人开始乱晃,加速度反应谱就像个小机灵鬼,把地面加速度的各种变化都给记下来。
它就像个八卦记者,不放过任何一点加速度的风吹草动,不管是微小的颤动还是剧烈的摇晃,都被它整理成一份独家“报道”,这份报道就是加速度反应谱啦。
而地震影响系数反应谱呢,就像是加速度反应谱的时尚变身。
如果把加速度反应谱比作是素颜的邻家小妹,那地震影响系数反应谱就是化了精致妆容准备去走红毯的大明星。
它在加速度反应谱的基础上,加入了各种建筑结构的“审美标准”,就像是给小妹穿上了不同风格的华丽礼服,来适应不同建筑结构这个“舞台”的需求。
加速度反应谱有时候像个莽撞的小怪兽。
它只管一股脑地把地震加速度的信息收集起来,不管这些信息是不是会让那些看它的工程师们眼花缭乱。
就像小怪兽横冲直撞,它可不管后果,只是把最原始的数据呈现出来,等着被整理和驯服。
地震影响系数反应谱则像个贴心的小管家。
它深知建筑结构的各种小心思,知道哪些数据对建筑来说是合适的,哪些是需要调整的。
它就像管家在为挑剔的主人挑选最合适的东西一样,精心地从加速度反应谱中筛选和加工,为建筑结构提供恰到好处的影响系数。
加速度反应谱像是一群调皮的孩子在操场上乱跑乱跳记录下来的轨迹。
地震一来,地面上各个点的加速度就像那些孩子,毫无规律地到处蹦跶,而加速度反应谱就把这些杂乱无章的蹦跶轨迹都描绘了出来,让人看了既觉得头疼又觉得有趣。
地震影响系数反应谱呢,就像是学校里的教导主任。
它看着加速度反应谱这个调皮的班级,开始给他们制定规则,把那些杂乱的轨迹按照建筑结构这个“校规”进行整理,让它们变得有序,这样建筑结构这个“好学生”就能根据教导主任给的标准来好好表现,在地震这个“大考试”中不被淘汰。
加速度反应谱像个装满各种口味糖果的大口袋,里面有甜的(小的加速度数据)、酸的(中等的加速度数据)、辣的(大的加速度数据),什么味道都有,杂乱地混在一起。
某隧道爆破地震动的测试和反应谱分析

进行微分运算获取加速度 波形, 进行反应谱 计算 。与天然地震反应谱进行 比较 , 出爆破地震反 应谱与天 然地震反应谱 不 同, 得 直
接套用地震烈度表 来评 估爆破震 动对房屋 的危 害程度 方法是 不科 学的。 [ 关键词] 爆破 地震动 速度 加速度 反应谱
Te ta d Re po s p c r m a y i f aTu e a tn b a in s n s n e S e t u An l sso nn lBls i g学家在研究 自然地震工程结 O 构物的动力反应 中建立起 的震 动 曲线 理论 , 所谓反 应谱 曲线
就是在地震地面运动 的作用下 ( 输入 ) 不同频率振子产生的振
动反应 ( 出) 输 的单边最大振 幅 ( 对值 ) 绝 连成 的 曲线 , 反应谱 曲线 的谱值 与阻尼有关 , 给定 一个 阻尼 即可得 到一条 曲线 , 反 应谱建立 了地 面运动频谱 与工程结 构 固有频 率 的密 切关系 ,
极限加速度为 lO s , 足爆破 振动 的频响及 动态 范围要 Om/ 2满 求 。本次测试采样率采用 1 KHz 采样率 , 对各选 取 的测点 均 采集质点 的振动速度参量 。各测点质点运动峰值及 中间测点 ( 测点 4 的竖 向振速度时域波形和幅值谱分别详见表 1图 1 ) 、 。
表 1 青 岙 隧 道 全 断 面 爆破 振 动 测试 质 点 运动 峰 值 及 主频 统 计 结果
竖 向 径 向 切 句
■建筑 结构
福建建设科技 21. o4 02N .
2 3
某隧道爆破地震动 的测试和反应谱分析
林茜 ( 福建 省建 筑科 学研 究 院
[ 摘
福建 省绿 色建筑 技术 重点 实验 室
抗震设计中反应谱的应用

抗震设计中反应谱的应用一.什么就是反应谱理论在房屋工程抗震研究中,反应谱就是重要的计算由结构动力特性所产生共振效应的方法。
它的书面定义就是“在给定的地震加速度作用期间内,单质点体系的最大位移反应、速度反应与加速度反应随质点自振周期变化的曲线。
用作计算在地震作用下结构的内力与变形”,反应谱理论考虑了结构动力特性与地震动特性之间的动力关系,通过反应谱来计算由结构动力特性(自振周期、振型与阻尼)所产生的共振效应,但其计算公式仍保留了早期静力理论的形式。
地震时结构所受的最大水平基底剪力,即总水平地震作用为:FEK = kβ(T)G式中,k为地震系数,β(T)则就是加速度反应谱Sa(T)与地震动最大加速度a的比值,它表示地震时结构振动加速度的放大倍数。
β(T)=Sa(T)/a反应谱理论建立在以下基本假定的基础上:1)结构的地震反应就是线弹性的,可以采用叠加原理进行振型组合;2)结构物所有支承处的地震动完全相同:3)结构物最不利地震反应为其最大地震反应:4)地震动的过程就是平稳随机过程。
二.实际房屋抗震设计中的应用为了进行建筑结构的抗震设计,必须首先求得地震作用下建筑结构各构件的内力。
一般而言,求解建筑结构在地震作用下构件内力的方法主要有两种,一种就是建立比较精确的动力学模型进行动力时程分析计算,这种方法比较费时费力,其精确度取决于动力学模型的准确性与所选取地震波就是否适当,并且对于工程技术人员来说,这种方法不易掌握;第二种方法就是根据地震作用下建筑结构的加速度反映,求出该结构体系的惯性力,将此惯性力作为一种反映地震影响的等效力,即地震作用,然后进行抗震计算,抗震规范实际上采用了第二种方法,即地震作用反应谱法。
实践也证明此方法更适合工程技术人员采用。
由于目前抗震规范中的地震作用反应谱仅考虑结构发生弹性变形情况下所得的反应谱,因此当结构某些部位发生非线性变形时,抗震规范中的反应谱就不能适用,而应采用弹塑性反应谱来进行计算。
地震动位移反应谱分析及抗震设计谱

03
抗震设计谱基础
抗震设计谱定义
地震动位移反应谱是一种描述结构在地震动作用下,各个方 向和各个频率地震动加速度、速度和位移反应的曲线。
抗震设计谱是基于地震动位移反应谱,针对特定结构和场地 条件,进行结构抗震设计和分析的工具。
抗震设计谱特性
地震动峰值和频谱形状:这些特性可以根据场地条件和 地震危险性评估来确定。
非线性特性是由于地震动强度与结构 位移反应之间的非线性关系所导致的 。在地震动强度较小的情况下,结构 位移反应与地震动强度呈线性关系; 而在地震动强度较大的情况下,结构 位移反应的增长速度会逐渐放缓。
随机性特性是由于地震动的随机性所 导致的。地震动是一种复杂的自然现 象,其运动规律难以精确预测,因此 地震动位移反应谱也是随机的。
结构阻尼矩阵:结构阻尼矩阵可以包括质量阻尼矩阵和 刚度阻尼矩阵,用于描述结构在地震动作用下的振动特
性。
抗震设计谱通常具有以下特性
结构自振频率和阻尼比:这些特性可以根据结构类型和 尺寸来确定。
抗震设计谱编制方法
基于地震动位移反应谱的抗震设计谱编 制方法通常包括以下步骤
根据位移反应谱,进行结构抗震设计和 分析,得到结构的抗震性能指标和设计 参数。
地震动位移反应谱分析及抗 震设计谱
2023-11-08
目录
• 引言 • 地震动位移反应谱基础 • 抗震设计谱基础 • 地震动位移反应谱与抗震设计谱的关系 • 应用案例分析 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
地震是一种严重的自然灾害,给人类社会带来了巨大的损失。因此,对地震动位 移反应谱进行分析,对抗震设计谱进行研究,对于减轻地震灾害具有重要意义。
抗震设计谱编制
根据地震动位移反应谱,结合建筑物的抗震 设防要求,编制出适用于该地区行分析,评估其合理性和有 效性,确保其能够充分考虑地震动的特性和 规律,为建筑物的抗震设计提供科学依据。
地震学习情况汇报

地震学习情况汇报
最近一段时间,我对地震学的学习有了一些新的进展和收获,在此汇报给大家。
首先,我通过系统学习了地震的基本知识,包括地震的定义、成因、分类、地
震波的传播等内容。
我了解到地震是地球内部能量释放的结果,主要由地壳运动引起,而地震波则是地震能量传播的载体,可以分为纵波和横波。
这些基础知识为我深入学习地震学打下了坚实的基础。
其次,我深入学习了地震的预测、监测和防范知识。
我了解到地震的预测是地
震学的重要内容之一,虽然目前尚无法准确预测地震的发生时间和具体地点,但通过对地震活动规律的研究和监测,可以在一定程度上提高地震的预警能力,从而减少地震带来的损失。
同时,我也学习了地震应急预案的制定和实施,了解了地震对人类社会的影响和应对措施,这些知识对我提高地震防范意识和自救能力有着重要的指导作用。
另外,我还关注了地震灾害的救援和恢复重建工作。
我了解到地震灾害往往会
给受灾地区带来严重的人员伤亡和财产损失,因此及时的救援和有效的灾后重建工作显得尤为重要。
我学习了地震灾害救援的组织和实施方式,了解了救援工作中的技术手段和方法,同时也关注了受灾地区的恢复重建工作,包括基础设施的修复和重建、灾后心理援助等内容。
总的来说,通过这段时间的学习,我对地震学有了更深入的了解,不仅扩展了
自己的知识面,也增强了自己的地震防范和救援意识。
我将继续努力,不断学习,为今后更好地应对地震灾害做好准备,为地震防灾工作贡献自己的一份力量。
以上就是我最近的地震学习情况汇报,谢谢大家的聆听。
希望大家也能够关注
地震学知识,增强地震防范意识,共同为减少地震灾害损失而努力。
地震作用下结构相应自学报告

地震作用下结构相应自学报告运动方程反应量反应时程反应谱位移,伪速度与伪加速度反应谱联合反应谱反应谱应用-确定结构峰值反应反应谱与设计反应谱1.运动方程图1 地面运动时结构响应示意如图单自由度结构,在地面运动时质点处于动平衡状态,根据达朗贝尔原理,质点动平衡方程可以表示为:f I+f D+f S=0(1-1)其中,f I为惯性力,f D为阻尼力,f S为结构给质点的弹性回复力。
在平衡关系的三项中,惯性力取决于质点的绝对加速度,而弹性回复力和阻尼力则分别取决于结构变形和变形速度,即相对变形和相对速度。
因此,式(1-1)可表达为:mu t+cu+ku=0(1-2)其中,上标t的量为绝对坐标系下的量,无上标的量为地面参考系下的量。
对于加速度而言,由于地面参考系与绝对加速度没有相对转动,因此有u t=u+u g(1-3)其中u g为地面运动的加速度。
将式(1-3)代入(1-2)并进行整理,得到一般单自由度线弹性结构在地震激励下的运动方程:u+2ζωn u+ωn2u=−u g(1-4)2.反应量对于工程结构在地震中的响应,我们一般关心结构在地震中的内力和变形,而对于一些振动敏感的仪器设备,还会关注该处的绝对加速度。
对于给定结构,结构内力和变形取决于相对位移,同时相对速度对结构的阻尼力也起到了绝对作用。
因此地震中我们应关注结构的相对量u,u和u以及绝对量u t,u t和u t。
3.反应时程反应时程是指在一次地震中某个结构的特定物理量随时间变化的情况。
在单自由度体系中,由结构的质量、刚度性质和地震动的具体输入,可以通过动力学方法计算出位移随时间的变化规律。
另一方面,为了简化计算过程并且不失真实的表达结构的振动情况,使用等效静力法来计算结构的内力,这里引入了伪加速度A的概念,其量纲与加速度u相同,数值上为ωn2u,作用在质点上以为静外力对结构内力进行计算。
A=ωn2u(3-1)4.反应谱对于一给定地震动,我们在考察结构在该地震动下的响应时,最关心结构的最大响应,包括最大位移、最大速度和最大加速度,此时结构的最大响应只与结构的固有周期和结构的阻尼比有关。
地震学实验报告(3篇)

第1篇实验名称:地震波传播特性研究实验目的:1. 了解地震波的传播特性。
2. 掌握地震波的记录和分析方法。
3. 熟悉地震仪器的使用。
实验时间:2023年X月X日实验地点:地震实验室实验仪器:地震仪、地震波记录系统、地震波发生器、传感器、信号放大器、计算机等。
实验原理:地震波是一种弹性波,主要包括纵波(P波)和横波(S波)。
地震波在地球内部传播时,会携带地震源的信息,通过分析地震波的传播特性,可以了解地震的成因、震源位置和震级等信息。
实验步骤:一、地震波发生器的安装与调试1. 将地震波发生器安装在实验室内,确保其固定牢固。
2. 调整地震波发生器的频率和振幅,使其符合实验要求。
3. 连接地震波发生器与传感器,确保信号传输稳定。
二、传感器的布置与连接1. 在实验室内布置多个传感器,确保其分布均匀。
2. 将传感器与信号放大器连接,放大地震波信号。
3. 将放大后的信号输入地震仪,记录地震波传播过程。
三、地震波记录与分析1. 启动地震仪,记录地震波传播过程中的纵波和横波信号。
2. 利用地震波记录系统,对地震波信号进行放大、滤波、数字化等处理。
3. 分析地震波传播过程中的速度、振幅、频率等参数,了解地震波的传播特性。
四、实验结果与讨论1. 根据实验数据,绘制地震波传播曲线,分析地震波在实验室内传播过程中的速度、振幅、频率等参数。
2. 比较不同传感器的记录结果,分析地震波在实验室内传播过程中的传播路径和传播速度。
3. 结合地震学理论,对实验结果进行讨论,分析地震波在地球内部传播的规律。
实验结果:一、地震波传播速度实验结果显示,地震波在实验室内传播速度约为V=2000m/s,与理论值相符。
二、地震波振幅与频率实验结果显示,地震波在传播过程中的振幅逐渐减弱,频率逐渐降低,符合地震波传播规律。
三、地震波传播路径通过分析不同传感器的记录结果,发现地震波在实验室内传播过程中,传播路径基本呈直线,说明实验室内环境对地震波传播的影响较小。
典型地震反应谱参数分析

典型地震反应谱参数分析地震反应谱是一种用于描述地震动力学特性的图像或函数,它反映了地震对结构物产生的力或位移随时间的变化规律。
地震反应谱参数分析是对地震反应谱进行统计和分析,以评估地震对结构物的可能影响,并为工程设计和地震工程防护提供依据。
在进行典型地震反应谱参数分析时,常见的参数包括峰值加速度、峰值速度、峰值位移、特征周期等,这些参数可以通过对地震反应谱曲线进行解析和计算得到。
首先,峰值加速度是反应谱曲线中离地面最大加速度的数值。
它是衡量地震对结构物产生的震动强度的重要指标。
在地震工程设计中,通常通过地震加速度响应谱曲线的峰值来判断结构物的耐震性能,并选择合适的设计加速度。
峰值加速度的值越大,表示地震对结构物的影响越强烈。
其次,峰值速度是地震加速度响应谱曲线中离地面最大速度的数值。
它是描述地震动力学效应的另一个重要参数。
峰值速度的值可以通过将加速度响应谱曲线进行一次积分得到。
在地震工程中,峰值速度的大小可以用来评估结构物的损伤程度和破坏概率。
峰值位移是地震加速度响应谱曲线中离地面最大位移的数值。
它是描述结构物在地震作用下产生位移变化的指标。
峰值位移可以通过对加速度响应谱曲线进行二次积分得到。
在地震工程中,峰值位移的大小通常用来判断结构物的破坏程度和变形情况。
特征周期是地震反应谱曲线中的一个重要参数,它是指加速度响应谱曲线中对应峰值加速度的周期。
特征周期是用来描述结构物振动特性的指标,可以通过对地震反应谱曲线进行周期化分析得到。
特征周期的选择对于结构物的抗震设计和地震防护具有重要意义,不同结构物对地震的响应特征周期有不同的要求。
除了上述参数,地震反应谱参数分析还可以包括剪切强度、硬度指标、阻尼比等其他参数。
这些参数的分析可以提供更加全面和详细的地震动力学特性信息,对于结构物的抗震设计和地震工程防护具有重要的参考价值。
总结起来,典型地震反应谱参数分析是对地震反应谱进行统计和分析,通过计算和解读峰值加速度、峰值速度、峰值位移、特征周期等参数,评估地震对结构物的可能影响,并为工程设计和地震工程防护提供依据。
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对谱进行平滑化,首先要搞清两件事。一是原来ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ谱值和平滑后值之间的差。二 是边叶的影响。考虑到这两个影响因素,引入了关窗法。下面两图便是运用关窗 法对埃尔森特罗地震波傅里叶谱处理后的结果。
六、 反应谱
1. 什么是反应谱 反应谱是单自由度弹性系统在给定地震动作用下的最大反应随结构自振周 期或频率的变化曲线。 2. 反应谱的计算理论 单自由度弹性系统在地震作用下的运动方程为
其中第一项A0 2为全体采样值的平均,也可以说成是整个波形对零线的偏离, 没有振动的偏移。令������������ = ������∆������ ,则上式可以写成 ������0 x ������ = + 2
������ 2−1 ������
������������ ������������������2������������������ t + ������������ ������������������2������������������ ������ +
四、 功率谱
平均功率用有限傅里叶稀疏表示可以写成 1 ������
������−1 2 ������������ m=0 ������ 2−1
= ������0
2
+2
k=0
������k
2
+ ������������
2 2
在式子两边乘以波的持续时间������ = ������∆t,得到
������−1 2 ������������ m=0 ������ 2−1
做出的图形,叫做功率谱。 式子∆f = ������∆t ,表示频率间隔。 把埃尔森特罗地震波的功率谱画成图,如下所示:
1
功率谱与傅里叶谱在本质上并无区别,与傅里叶谱相比,在纵坐标上近似存 在平方的关系, 因此我们可以理解为功率谱相对傅里叶谱更加强调了各成份波对 结构物的影响。 但是功率谱仅仅与振幅有关, 对时间轴的移动来说是一个不变量, 所以相对于傅里叶振幅谱和傅里叶相位谱,仅凭靠功率谱无法得到特定的波。
上图傅里叶谱使是对频率坐标画出来的,下图是对周期的对数坐标画出的。 这样表示的意义, 一是从时间过程中检出频率分量,二是进行了由时域到频域的 变换。 对于频率分量的检出, 可以得到波中含有什么样的频率分量以及哪些分量 的振幅大以便推测出这个地震波对结构物的影响。 用频域表示时域是还需要结合 傅里叶相位谱。 利用傅里叶谱在频域上分析地震波或者分析结构物在地震波下的 反应,较在时域上分析速度非常快,但也存在一定的问题。当数据的个数不是 2 的乘幂时就失去了快速分析的优势。
地震动反应谱学习报告
一、 周期-频度谱
相对频度按周期用折线画出,这就是周期-相对频度曲线,也叫做周期-频度 谱。周期-频度谱可由零交法和峰点法得到。 测出曲线和零线相交点的时间间隔, 乘以 2 倍求得周期的方法, 叫做零交法。 零交法是从波形与零线的相交点着眼以取得波形所含的周期信息的, 但是波中会 叠加一些非常短、 周期非常小的涟波, 由此得到的周期-频度与实际周期有差别。 单连波的存在也可以认为是一种优点,在分析过程中去掉一些次要的东西,抓住 波的整体的主要特征,更直观、清晰的得到频谱曲线。 以峰与峰之间的时间作为周期,并计算各级间内的峰出现次数,连涟波的波 形也统计在内,由此得出波形的周期特性,这种方法称为峰点法。对于同一条地 震波,按照峰点法和零交法分析,得到的结果有相当大的差别。峰点法存在高频 容易被检测出来的倾向,因此整个曲线向短周期一侧靠拢。 零交法和峰点法在进行周期-频度分析时,都只注意到波的周期性质,没有 考虑波的振幅。
有限傅里叶近似式为 ������0 x ������ = + 2
������ 2−1
������������ ������������������
������ =1
������������ 2 2������������������ 2������������������ 2������(������ 2)������ + ������������ ������������������ + ������������������ ������∆������ ������∆������ 2 ������∆������
七、 利用 matlab 绘制埃尔森特罗地震波的反应谱
Matlab 源代码: clc clear close all load elcen.dat; t=elcen(:,1); xg=elcen(:,2); xg=xg/100; %单位转换 m/s^2 TA=0.001:0.05:6; kesi=0.05; j=1 for T=0.001:0.05:6 omiga=2*pi/T; % 结构圆频率 %结构自振周期 % 结构阻尼比
∆t = ������ ������0
2
+2
k=0
������ ������k
2
+ ������ ������������
2 2
把这个式子的右边各项,对照 k = 0,1,2, … ������ 2 ������������ = ������∆������ ������������ = 2������������������ = 2������������∆������
max
则可以得出相对位移反应谱S������ T,ς 和绝对加速度反应谱S������ T,ς 将分别为 S������ T, ς = 1 PSV(T, ς) ������
S������ T, ς = ωPSV(T, ς) 运算过程在结构动力学中学习过,在此仅仅列出地震反应谱的表达式。
3. 反应的数值计算方法 当地震动加速度u t 的时间过程给出时, 计算单质点系的反应过程可以用褶积计 算法、傅里叶变换法、直接积分法三种计算方法。相比较此三种方法,线型加速 度法的直接积分法比其他两种方法计算时间少很多。 4. 反应谱的意义 1) 傅里叶谱只表示地震波本身的频率特性,与结构物的概念没有任何的联系。 反应谱可以表现出地震波对单质点系所代表的结构物的最大影响。 2) 加速度反应谱给出了作用于结构物的力,在谱上可以直接得到最大绝对加速 度,从而能够求得最大剪力。 3) 速度反应谱代表了地震动给予结构物的最大能量。所以可以得到谱烈度。 4) 位移反应谱表示位移,与结构物中引起的应力有关,将它乘以弹簧常数 k 便 可以得到最大剪力。 5) 复杂的多质点系结构物的振动也可以分解成简单的单质点系,求出每个振型 的分量反应合成便得到复杂振型的反应。
������ =1
������������ 2 ������������������2������������������ 2 ������ 2
此处������������ 表示一秒时间内的往复次数,即频率又叫做周波数。
由于采样点数有限, ������������ 2 是能够检出的频率分量的界限, 表示一种分辨能力。 钙频率称为奈奎斯特频率。 但是波中含有比奈奎斯特频率更高的频率分量,不能 简单的检出,而且还会给有限傅里叶系数带进计算麻烦,而引起误差。 通过三角函数的数学计算,可以得到 ������k = ������������ ������������������������������ ������k = ������������ ������������������������������ ������������ 是代表 k 次分量的振动大小,即为振幅,k 表示振型。 对于由有限傅里叶系数������k 、������k 、求得的振幅������������ ,通常情况下乘上 0.5T 后的 结果表示,该图称为傅里叶振幅谱。 傅里叶谱的意义 埃尔森特罗地震波的傅里叶谱图形如下图所示:
������ 0
������������ (������)������ −������������
������−������
������������������������������ (������ − ������)������������
������������ (������)������ −������������
max
这是绝对加速度反应谱。利用相同的方法可得到相对加速度反应谱S������ ,相对位移 反应谱S������ 。令准速度反应谱为 PSV(T, ς) = ������������ (������)������−������������ ������−������ ������������������������������ (������ − ������)������������ t
二、 概率密度谱
在一个地震波中,包含着各种大小振幅成份的波。有的地震波中大振幅的波 反复的多次出现,而有的波中,大的振幅只出现一两次,之后持续的都是一些振 幅很小的波。 在各式各样波中的大小振幅的混杂情况下,我们研究地震波关心的 不是幅值本身,而是分布问题。波的概率密度分布曲线就是概率密度谱。
三、 傅里叶谱
������−������
������������������ ������������ ������ − ������ + 2������ ������������
假设有一组 N 个自振周期T������ (i=1,2,3……)各不相同而阻尼比ξ相同的单自 由度体系,在某一给定的地震动过程u������ t 的作用下,各个体系的最大绝对值加 速度反应为S������ (T������ ,ς),(i=1,2,3……)为 S������ T������ ,ς = u������ t + u t
������ 0
������−������
������������������ ������������ ������ − ������ + ������ ������������
������2 u������ t + u t = + ������������