5.3异方差的检验56100
异方差的诊断及修正
异方差的诊断与修正—甘子君 经济1202班 1205060432一、异方差的概念：异方差性（heteroscedasticity ）是相对于同方差而言的。
所谓同方差，是为了保证回归参数估计量具有良好的统计性质，经典线性回归模型的一个重要假定：总体回归函数中的随机误差项满足同方差性，即它们都有相同的方差。
如果这一假定不满足，即：随机误差项具有不同的方差，则称线性回归模型存在异方差性。
在回归模型的经典假定中，提出的基本假定中，要求对所有的i （i=1，2，…，n ）都有2)(σ=i u Var也就是说iu 具有同方差性。
这里的方差2σ度量的是随机误差项围绕其均值的分散程度。
由于)(=i u E ，所以等价地说，方差2σ度量的是被解释变量Y 的观测值围绕回归线)(i Y E =kik i X X βββ+++ 221的分散程度，同方差性实际指的是相对于回归线被解释变量所有观测值的分散程度相同。
设模型为ni u X X Y iki k i i ,,2,1221 =++++=βββ如果其它假定均不变，但模型中随机误差项iu 的方差为).,,3,2,1(,)(22n i u Var i i ==σ则称iu 具有异方差性。
也称为方差非齐性。
二、内容根据1998年我国重要制造业的销售利润与销售收入数据，运用EV 软件，做回归分析，用图示法，White 检验模型是否存在异方差，如果存在异方差，运用加权最小二乘法修正异方差。
三、过程：（实践过程、实践所有参数与指标、理论依据说明等）（一） 模型设定为了研究我国重要制造业的销售利润与销售收入是否有关，假定销售利润与销售收入之间满足线性约束，则理论模型设定为：i Y =1β+2βi X +i μ其中，i Y 表示销售利润，i X 表示销售收入。
由1998年我国重要制造业的销售收入与销售利润的数据，如图1：1988年我国重要制造业销售收入与销售利润的数据 （单位：亿元）（二）参数估计1、双击“Eviews”，进入主页。
实验四异方差的检验
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w1=1/e
表一
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w2=1/e^2
表二
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3、分析
由表一的估计结果如下
Y i 374.89340.737423X i
（211.4532 ） (0.039238)
t = (1.772938) (18.7937)
R20.982523 R 2 =0.999889 F=989.2625
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2、构造子样本区间，建立回归模型。
本题中样本容量n=20，删除中间的 1/4(20/4=5)的观测值，因为余下的观测 值要平分样本容量n1=n2=8.
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实验四
下表列出了某年中国部分省市城镇居民每 个家庭平均全年可支配收入X与消费性支出Y的 统计数据
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（1）使用最小二乘法建立消费性支出与 可支配收入的线性模型；
（2）检验模型是否存在异方差； （3）如果存在异方差，是采用适当的方
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（2）再点击 “view→Representations”，得到居 民人均消费支出与可支配收入的线性模型：
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由表知参数估计线 性方程为：
Y i 2 7 2 .3 6 3 5 0 .7 5 5 1 2 5 X i
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第五章_异方差性及检验
7
（四）截面数据中总体各单位的差异 例如利用截面数据研究消费与收入的关系时，不同
情况下，无法判断是哪个变量引起的异方差。
27
三、White检验
（一）基本思想： 不需要关于异方差的任何先验信息，只需要
在大样本的情况下，将OLS估计后的残差平方对 常数、解释变量、解释变量的平方及其交叉乘积 等构成一个辅助回归，利用辅助回归建立相应的 检验统计量来判断异方差性。
28
（二）检验步骤： 以一个二元线性回归模型为例，设模型为：
( xi
)2
Xi
Var(ˆ2
)
2xi2
X
2 i
(xi2 )2
于是
Var(ˆ2 ) Var(ˆ2 )
(
2xi2
xi Xi
)2
xi2
X
2 i
由于
(
xi Xi
)2
xi2
X
2 i
(
xi Xi
xi
Xi
)
(xi2 )2
所以
Var(ˆ2 Var(ˆ2
) )
1
第五章 异方差性
1
本章讨论四个问题： ●异方差的实质和产生的原因 ●异方差产生的后果 ●异方差的检测方法 ●异方差的补救
2
第一节 异方差性的概念
一、什么是异方差性
在简单线性回归模型和多元线性回归模型的基 本假定中，有同方差假定：
异方差实验报告步骤(3篇)
第1篇一、实验目的1. 掌握异方差性的基本概念和检验方法。
2. 学会运用统计软件进行异方差的检验和修正。
3. 提高对计量经济学模型中异方差性处理能力的实践应用。
二、实验原理1. 异方差性：在回归分析中，若回归模型的误差项（残差）的方差随着自变量或因变量的取值而变化，则称模型存在异方差性。
2. 异方差性的检验方法：图形检验、统计检验（如F检验、Breusch-Pagan检验、White检验等）。
3. 异方差性的修正方法：加权最小二乘法（WLS）、广义最小二乘法（GLS）等。
三、实验步骤1. 数据准备1. 收集实验所需数据，确保数据质量和完整性。
2. 对数据进行初步处理，如剔除异常值、缺失值等。
2. 模型设定1. 根据研究问题，选择合适的回归模型。
2. 利用统计软件（如Eviews、Stata等）进行初步的回归分析。
3. 异方差性检验1. 图形检验：绘制散点图，观察残差与自变量或因变量的关系，初步判断是否存在异方差性。
2. 统计检验：- F检验：检验回归系数的显著性。
- Breusch-Pagan检验：检验残差平方和与自变量或因变量的关系。
- White检验：检验残差平方和与自变量或因变量的多项式关系。
4. 异方差性修正1. 若检验结果表明存在异方差性，则需对模型进行修正。
2. 选择合适的修正方法：- 加权最小二乘法（WLS）：根据残差平方与自变量或因变量的关系，计算权重，加权最小二乘法进行回归分析。
- 广义最小二乘法（GLS）：根据残差平方与自变量或因变量的关系，选择合适的方差结构，广义最小二乘法进行回归分析。
5. 结果分析1. 对修正后的模型进行回归分析，观察回归系数的显著性、拟合优度等指标。
2. 对实验结果进行分析，解释实验现象，验证研究假设。
6. 实验报告撰写1. 撰写实验报告，包括以下内容：- 实验目的- 实验原理- 实验步骤- 实验结果- 分析与讨论- 结论2. 实验报告应结构清晰、逻辑严谨、语言简洁。
5.3异方差的检验
检验的步骤
以一元线性回归模型为例。
(1)用OLS法估计模型，求出ei
(2)用 ei
与解释变量X
的不同幂次进行回归模拟
i
ei 0 1Xi vi
ei 0 1Xi1 2 vi
ei 0 1Xip vi 其中vi是随机误差项，p是确定的常数。
用OLS法估计各回归模型，利用样本可决系数R2、 t统计量对模型进行显著性检验。若存在某一种 函数形式，使得模型通过了检验，则说明原模型 存在异方差。
（1）用Y-X的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂
型趋势（即看是否在一个固定的带型域中）， 如图5.1所示。
图5.1 异方差的类型
(2)ei2 X的散点图进行判断 观察残差平方的基本变动趋势，从而进行判断。
2、戈德菲尔德-夸特(Goldfeld-Quandt)检验
G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量 较大、异方差递增或递减的情况。
nR2
2
(5)，则拒绝原假设H
，表明随机误差项
0
存在异方差。
4、Glejser检验
检验的基本思想： 由OLS法得到残差，取得绝对值，然后对某个（或 多个）解释变量作回归，根据显著性检验来判断模型 是否存在异方差。 检验的特点： 不仅能对异方差的存在进行判断，而且还能对异 方差随某个解释变量变化的函数形式进行诊断。
第三节 异方差的检验
检验思路：
由于异方差性就是相对于不同的样本点， 也就是相对于不同的解释变量观测值，随机 误差项具有不同的方差。那么：
检验异方差性，也就是检验随机误差项的 方差与解释变量观测值之间的相关性。
各种检验方法都是在这个思路下发展起来的。
计量经济学第五章异方差讲解
计量经济学-第五章-异方差讲 解
第5章 异方差
异方差概念
异方差来源与后果
异方差检验（Goldfeld-Quandt 检验、 white检验、Glejser检验）
异方差的修正方法（GLS、WLS） 异方差案例分析
5.1异方差概念
同方差假定：模型的假定条件⑴ 给出Var(u) 是一个对角矩阵，且 主对角线上的元素都是常数且相等。
若 T R 2 2 (5), 接受H0（ut 具有同方差） 若 T R 2 > 2 (5), 拒绝H0（ut 具有异方差）
5.4 异方差检验
（3）Glejser检验（直接拟合法）
5.5 异方差的修正方法（GLS）
5.5 异方差的修正方法（GLS）
（第2版教材第115页） （第3版教材第94页）
例5.1 个人储蓄（Y）与可支配（X）收入模型
（课本第125页） Goldfeld-Quandt 检验
去掉中间9个观测值。
用第1个子样本回归：
，SSE1=150867.9
用第2个子样本回归：
，SSE2=958109.4
H0: ut 具有同方差， H1: ut 具有递增型异方差。
③ 构造F统计量。
因为F =6.35 > F0.05 (9, 9) = 3.18，存在异方差。
2 统计量进行异方差检验。以二元回归模型为例，White检验的具 体步骤如下。
yt = 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + ut ①首先对上式进行OLS回归，求残差ut 。 ②做如下辅助回归式，
= 0 + 1 xt1 + 2 xt2 + 3 xt12 + 4 xt22 + 5 xt1 xt2 + vt 即用 对原回归式中的各解释变量、解释变量的平方项、交叉积项进 行③OWLhSi回te检归验。的注零意假，设和上备式择中假要设保是留常数项。求辅助回归式的可决系数R2。
异方差定义及检验
• 检验统计量：
• F服从分布
2 1
n c k 1 2 2 RSS2 F (4.1.1) 2 2 RSS1 RSS1 n c 2 k 1
nc nc F (k 1), (k 1) 2 2
方式2：在方程窗口中点击Estimate\Options\Weighted, 并在权数变量栏输入权数变量；
3)利用White检验判断是否消除了异方差性 权数变量的确定：依据Pack检验和Gleiser检验的结 果，或直接取成1/ei
作业四：
• 第五章3/4/6/8。
三、异方差的检验
★1.图形分析： (1)观察Y、X相关图：SCAT Y X（Graph） (2)残差分析:观察回归方程的残差图 在方程窗口直接点击Residual按钮； 或：点击View\Actual,Fitted,Residual\Table 若残差序列有放大或缩小的趋势，说明模型存在 异方差。 (3)观察残差平方序列与X序列的相关图
2 RSS2
RSS RSS • 其中 为小值样本组的残差平方和； 为大值样本组的残差平方和。F值大于临 界值，异方差存在。 • Eviews实现：分段回归
2 2
3.怀特（White）检验
原理：利用辅助回归模型判断方差与解释变量之 间是否有明显的因果关系。 例：二元模型的辅助模型为
2 ei2 0 1 x1i 2 x2i 3 x12i 4 x2i 5 x1i x2i i
异方差检验基本思路
• 所谓异方差性，即相对于不同的样本点，也就 是相对于不同的解释变量观测值，随机误差项 具有不同的方差。检验异方差性的基本思路， 也就是检验随机误差项的方差与解释变量观测 值之间的相关性。 如有相关，认为模型存在异 方差。 • 随机误差项的方差。一般的处理方法是首先采 用普通最小二乘法估计模型，以求得随机误差 项的估计量（即残差 ei 。注意，此残差是不严 ei2 表 格的），我们称之为“近似估计量”，用 示随机误差变量方差的近似值。
异方差的检验与修正
西安财经学院本科实验报告学院（部）统计学院实验室313课程名称计量经济学学生姓名学号1204100213专业统计学教务处制2014年12 月15 日《异方差》实验报告五、实验过程原始记录（数据、图表、计算等) 一．选择数据1.建立工作文件并录入数据File\New\workfile, 弹出Workfile create 对话框中选择数据类型.Object\new object\group,按向上的方向键，出现两个obs 后输入数据.中国内地2006年各地区农村居民家庭人均纯收入与消费支出 单位：元城市 y x1 x2 城市 y x1 x2 北京 5724。
5 958.3 7317。
2 湖北 2732。
5 1934。
6 1484。
8 天津 3341。
1 1738.9 4489 湖南 3013。
3 1342.6 2047 河北 2495。
3 1607。
1 2194。
7 广东 3886 1313。
9 3765.9 山西 2253.3 1188。
2 1992.7 广西 2413。
9 1596。
9 1173。
6 内蒙古 2772 2560.8 781.1 海南 2232。
2 2213。
2 1042.3 辽宁 3066。
9 2026。
1 2064。
3 重庆 2205。
2 1234.1 1639。
7 吉林 2700.7 2623。
2 1017。
9 四川 2395 1405 1597.4 黑龙江 2618。
2 2622.9 929.5 贵州 1627。
1 961。
4 1023。
2 上海 8006 532 8606.7 云南 2195.6 1570。
3 680。
2 江苏 4135.2 1497。
9 4315.3 西藏 2002。
2 1399.1 1035.9 浙江 6057。
2 1403.1 5931。
7 陕西 2181 1070。
4 1189。
8 安徽 2420。
9 1472。
8 1496。
3 甘肃 1855.5 1167。
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戈里瑟检验的优点是，不仅检验了异方差 性是否存在，同时还给出异方差存在时的具 体形式。但是，由于构造的回归式是探测性 的，如果实验模型选择不好，则可能检验不 出是否存在异方差。
5.斯皮尔曼（Spearman）等级相关系数检验
基本思路：通过检验|et|与|Xtj|之间的等级相关性， 判断|et|与|Xtj|的相关性。其步骤如下：
•
2、阅读一切好书如同和过去最杰出的 人谈话 。10:4 4:1210: 44:1210 :4412/ 12/2020 10:44:12 AM
•
3、越是没有本领的就越加自命不凡。 20.12.1 210:44: 1210:4 4Dec-20 12-Dec-20
•
4、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的 错儿。 10:44:1 210:44: 1210:4 4Saturday, December 12, 2020
T
6 dt2
r 1 1 , T3 T
r -1,1
5判断，即对r进行显著性检验。提出原假设H0 : 0,这时，
r
N
0,
T
1 1
,
Z
1
r T 1
N 0,1
给定显著性水平，查正态分布表得临界值Z 2,当Z
Z
2，
否定H0，说明r显著不为0，即模型存在异方差；否则，接
受H
，无异方差。
0
•
1、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。20.1 2.1220. 12.12Sa turday, December 12, 2020
第三节 异方差的检验
检验思路：
由于异方差性就是相对于不同的样本点， 也就是相对于不同的解释变量观测值，随机 误差项具有不同的方差。那么：
检验异方差性，也就是检验随机误差项的 方差与解释变量观测值之间的相关性。
各种检验方法都是在这个思路下发展起来的。
问题在于用什么来表示随机误差项的方差
一般的处理方法：
首先采用OLS法估计模型，以求得随机误差 项的估计量--残差e（i 注意，该估计量是不严格 的），从残差ei出发来找随机误差项方差的代表， 于是有
Var(ui ) E(ui2 ) ei2
ei Yi (Yˆi )OLS
即用ei2来表示随机误差项的方差。
几种异方差的检验方法：
1、图示法
（1）用Y-X的散点图进行判断 看是否存在明显的散点扩大、缩小或复杂型
1 用OLS法估计模型，计算ut估计值et Yt Yˆt
2
取et
绝对值，分别将认为对异方差有关的解释变量X
与
tj
et 按升序(或降序）划分等级，并用自然数表示其等级。
3 按Xtj的等级依次排列。排列时，et 的等级与Xtj等级按原
样本点的对应关系进行排列。
4
计算X与Biblioteka tjet的等级差dt
, 计算等级相关系数
都进行检验。
3、White检验
基本思想： 先用OLS法估计模型，将估计后的残差平方对常 数项、解释变量、解释变量的平方及其交叉乘积等 构成一个辅助回归，利用辅助回归建立相应的检验 统计量来判断异方差性。
检验特点： 不需要关于异方差的任何先验信息。
检验的基本步骤：
以二元线性回归模型为例，设模型为：
如果随机误差项是同方差的，则两个子样的 残差平方和应该大致相同；如果二者之间存在显 著差异，则表明是异方差。
G-Q检验的步骤：
（1）将n对样本观察值(Xi,Yi)按观察值Xi的大小 排队（按递增顺序）。
（2）将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩 下的观察值平均分成两个子样本，每个子样样 本容量均为(n-c)/2。
可以证明，在原假设成立的情况下，nR2 2 (5)，
其中自由度5表示辅助回归模型中解释变量的个数。
(4)给定显著性水平，查表得临界值2 (5)，如果
nR2
2
(5)，则拒绝原假设H
，表明随机误差项
0
存在异方差。
4、Glejser检验
检验的基本思想： 由OLS法得到残差，取得绝对值，然后对某个 （或多个）解释变量作回归，根据显著性检验来判断 模型是否存在异方差。 检验的特点： 不仅能对异方差的存在进行判断，而且还能对异 方差随某个解释变量变化的函数形式进行诊断。
趋势（即看是否在一个固定的带型域中），如 图5.1所示。
图5.1 异方差的类型
(2)ei2 X的散点图进行判断
看是否形成一斜率为零的直线。
2、戈德菲尔德-夸特(Goldfeld-Quandt)检验
G-Q检验以F检验为基础，适用于样本容量较 大、异方差递增或递减的情况。
G-Q检验的基本思想：
先按某一解释变量对样本排序，再将排序后 的样本一分为二，对两个子样分别作OLS回归， 然后利用两个子样的残差平方和之比构造F统计 量进行异方差检验。
Yi = β0 + β1 X1i + β2 X 2i + ui
(1)估计二元线性回归模型，并计算残差ei； (2)做如下辅助回归：
ei2
0
1 X1i
2 X 2i
3
X
2 1i
4
X
2 2i
5 X1i X 2i
i
其中
为随机误差项；
i
(3)计算统计量nR2的值，n为样本容量，R2为辅助 回归模型的可决系数。
检验的步骤
以一元线性回归模型为例。
(1)用OLS法估计模型，求出ei
(2)用
ei
与解释变量X
的不同幂次进行回归模拟
i
ei 0 1X i vi
ei
0
1
X
1 i
2
vi
ei
0
1
X
p i
vi
其中vi是随机误差项，p是确定的常数。
用OLS法估计各回归模型，利用样本可决系数R2、 t统计量对模型进行显著性检验。若存在某一种 函数形式，使得模型通过了检验，则说明原模型 存在异方差。
~
F(nc 2
k
1, n c 2
k
1)
2
（5）给定显著性水平，确定临界值F(v1,v2)， 若F> F(v1,v2)， 则拒绝同方差性假设，表明存
在异方差，反之，不存在异方差。
G-Q检验的特点：
●要求大样本 ●异方差的表现既可为递增型，也可为递减型 ●检验结果取决于数据删除的个数c的大小，但
c的最优选择不明显。 ●在多个解释变量的情况下，需要对每一个变量
（3）对每个子样分别进行OLS回归，并计算各 自的残差平方和。
分别用ESS1与ESS2表示较小与较大的残差平方和， 这两个残差平方和的自由度均为 n c k 1，
2 其中k为解释变量个数。
（4）构造如下满足F分布的统计量
ESS2 F
ESS1
( n c k 1) 2
( n c k 1)
ESS2 ESS1