面面平行的判定定理
面面平行的判定
面面平行的判定基础知识：1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示：a βb βa ∩b = P β∥αa ∥αb ∥α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。
典型例题：例1、设直线l 、m ，平面α、β，下列条件能得出βα//的是（ ）．A ．α⊂l ，α⊂m ，且β//l ，β//mB ．α⊂l ，β⊂m ，且m l //C ．α⊥l ，β⊥m ，且m l //D ．α//l ，β//m ，且m l //分析：选项A 是错误的，因为当m l //时，α与β可能相交．选项B 是错误的，理由同A ．选项C 是正确的，因为α⊥l ，l m //，所以α⊥m ，又∵β⊥m ，∴βα//．选项D 也是错误的，满足条件的α可能与β相交．答案：C说明：此题极易选A ，原因是对平面平行的判定定理掌握不准确所致．本例这样的选择题是常见题目，要正确得出选择，需要有较好的作图能力和对定理、公理的准确掌握、深刻理解，同时要考虑到各种情况．变式题：1、如果平面α内的两条相交直线与平面β所成的角相等，那么这两个平面的位置关系是__________．分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究．解：设a 、b 是平面α内两条相交直线．(1)若a 、b 都在平面β内，a 、b 与平面β所成的角都为︒0，这时α与β重合，根据教材中规定，此种情况不予考虑．(2)若a 、b 都与平面β相交成等角，且所成角在)90,0(︒︒内；∵a 、b 与β有公共点，这时α与β相交．若a 、b 都与平面β成︒90角，则b a //，与已知矛盾．此种情况不可能．(3)若a 、b 都与平面β平行，则a 、b 与平面β所成的角都为︒0，α内有两条直线与平面β平行，这时βα//．综上，平面α、β的位置关系是相交或平行．2、下列命题错误的是A 、平行于同一条直线的两个平面平行或相交B 、平行于同一个平面的两个平面平行C 、平行于同一直线的两条直线平行D 、平行于同一平面的两条直线平行或相交解析：D例2、试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．已知：α平面∉A ，求证：过A 有且只有一个平面αβ//．分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟一的，缺一不可．证明：在平面α内任作两条相交直线a 和b ，则由α∉A 知，a A ∉，b A ∉．点A 和直线a 可确定一个平面M ，点A 和直线b 可确定一个平面N ． 在平面M 、N 内过A 分别作直线a a //'、b b //'，故'a 、'b 是两条相交直线，可确定一个平面β．∵α⊄'a ，α⊂a ，a a //'，∴α//'a ．同理α//'b ．又β⊂'a ，β⊂'b ，A b a ='' ，∴αβ//．所以过点A 有一个平面αβ//．假设过A 点还有一个平面αγ//，则在平面α内取一直线c ，c A ∉，点A 、直线c 确定一个平面ρ，由公理2知：m =ρβ ，n =ργ ，∴c m //，c n //，又m A ∈，n A ∈，这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立， 所以平面β只有一个．所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．例3、如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 已知：γα//，γβ//，求证：βα//．分析：本题考查面面平行的判定和性质定理以及逻辑推理能力．由于两个平面没有公共点称两平面平行，带有否定性结论的命题常用反证法来证明，因此本题可用反证法证明．另外也可以利用平行平面的性质定理分别在三个平面内构造平行且相交的两条直线，利用线线平行来推理证明面面平行，或者也可以证明这两个平面同时垂直于某一直线．证明一：如图，假设α、β不平行，则α和β相交．∴α和β至少有一个公共点A ，即α∈A ，β∈A ．∵γα//，γβ//，∴γ∉A ．于是，过平面γ外一点A 有两个平面α、β都和平面γ平行，这和“经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行”相矛盾，假设不成立。
如何证面面平行的判定定理
如何证面面平行的判定定理如何证面面平行的判定定理一、引言在几何学中，平行线是一个非常重要的概念。
平行线可以用来描述两条直线之间的关系，也可以用来描述一个角度和一条直线之间的关系。
而面面平行则是指两个平面之间没有交点，且它们的法向量相同。
在本文中，我们将介绍如何证明面面平行的判定定理。
二、定义1. 平面：在三维空间中，由无数个点组成的二维图形称为平面。
2. 法向量：与一个平面垂直的向量称为该平面的法向量。
3. 面面平行：当两个平面没有交点且它们的法向量相同时，这两个平面被称为“面面平行”。
三、定理如果两个平面有公共点，则这两个平面不可能同时与第三个不与这两个相交的平面相交；反之亦然。
四、证明假设有三个不共线的点A、B、C，并且有两个不同的平面P和Q，其中P包含点A和B，Q包含点B和C。
如果P和Q有公共点D，则D 一定在AB上，并且D也在BC上。
因此，D是AB和BC共同拥有的一个点。
现在我们假设有一个第三个平面R，它不与P和Q相交，并且R包含点D。
因为P和Q都包含点B，所以它们的法向量必须相同。
又因为R包含点D，所以它的法向量与P和Q的法向量垂直。
因此，我们可以得出结论：如果两个平面有公共点，则这两个平面不可能同时与第三个不与这两个相交的平面相交；反之亦然。
五、应用1. 在建筑设计中，面面平行的概念可以用来描述墙壁、地板等结构的关系。
2. 在计算机图形学中，面面平行的概念可以用来进行三维建模和渲染。
3. 在物理学中，面面平行的概念可以用来描述电场、磁场等物理现象。
六、总结本文介绍了如何证明面面平行的判定定理。
该定理指出：如果两个平面有公共点，则这两个平面不可能同时与第三个不与这两个相交的平面相交；反之亦然。
该定理在建筑设计、计算机图形学和物理学等领域都有广泛应用。
面面平行定理和判定定理
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感谢支持！(Thank you fordownloading and checking it out!)面面平行定理和判定定理一、面面平行定理面面平行定理的定义：面面平行定理是立体几何中的一个重要定理，它描述了空间中两个平面之间的平行关系。
具体来说，面面平行定理是指，如果一个平面同时与两个平行平面相交，那么它与这两个平行平面的交线也是平行的。
面面平行定理的表述：面面平行定理可以表述为：在空间中，如果平面α与平面β平行，并且平面α与平面γ相交于一条直线l，那么平面β与平面γ也平行，且它们的交线m也与直线l平行。
面面平行定理的证明方法：面面平行定理的证明通常采用反证法。
首先假设平面β与平面γ不平行，那么它们必须相交于一条直线n。
根据平面与直线的位置关系，直线l与直线n 都在平面α内，因此直线l与直线n平行。
但是这与假设直线l与直线n不平行相矛盾。
因此，假设不成立，平面β与平面γ必须平行。
同理，可以证明平面β与平面γ的交线m也与直线l平行。
这样，面面平行定理得证。
二、判定定理面面平行定理和判定定理是空间几何中的重要理论，其中判定定理包括线线平行定理、线面平行定理和面面平行定理。
这些定理在空间几何图形的判定和空间几何问题的求解中具有广泛的应用。
判定定理的种类线线平行定理是指，如果两条直线在同一平面内，且它们的交线与第三条直线平行，则这两条直线平行。
线面平行定理是指，如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线上的所有点都与这个平面平行。
面面平行定理是指，如果两个平面上的对应线段平行，则这两个平面平行。
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
符合表示： βββ////a b a b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号表示：b a b a a a ////⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊂⊄βαβααI 二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号表示： βα//////⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫==N n m M b a a m b n I I 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。
符号表示： d l d l ////⇒⎪⎭⎪⎬⎫==γβγαβαI I （更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
符号表示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a I ＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号表示：PA a A oA a po oA a ⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⊥⊥⊂⊂ααα2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
βααβ⊥⇒⊂⊥a a ,2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，尽管人智慧有其局限，爱智慧却并不因此就属于徒劳。
智慧果实似乎是否定性：理论上——“我知道我一无所知”；实践上——“我需要我一无所需”。
然而，达到了这个境界，在谦虚和淡泊哲人胸中，智慧痛苦和快乐业已消融为了一种和谐宁静了。
线面、面面平行和垂直的八大定理-平面八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理之邯郸勺丸创作
一、线面平行。
1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条
直线与这个平面平行。
符合暗示：
2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和
这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
符号暗示：
二、面面平行。
1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个
平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。
符号暗示：
2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们
的交线平行。
符号暗示：（更加实用的性质：一个平面内的任一直线平行另一平面）
三、线面垂直。
1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂
直，那么这条直线垂直这个平面。
符号暗示： α⊥⇒⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫=⊥⊥a M c b b a c a
＄：三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
符号暗示： 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。
（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。
）
四、面面垂直。
1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。
2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
βαβαβα⊥⇒⊥⊂=⋂⊥a b a a b ,,，。
面面平行判定定理
面面平行判定定理
面面平行判定定理（Angle-Angle Parallel criterion）是在几何学里一个重要定理。
它可以判断两个三角形是否具有平行的角，从而判断两个三角形是否为同体（Congruent）。
它表述为：如果两个三角形中两个角（即角α和角β）相等，那么这两个三角形的
其他三条边（即边c和边d）也是平行的。
即：设ABC与A'B'C'两个三角形，若∠A=∠A'，∠B=∠B'，则BC∥B'厶，AC∥A'C'。
证明:此假设可以根据费马小定理：A、B、C两两形成的三个数据中，有且只有其中一对为费马整数的表示方式，即BC=mA'+nB'。
于是就可以得到：
如果AC∥A'C'，则三角形ABC和A'B'C'具有相同长宽。
因此可以得出：当两个三角
形中有两个角相等时，这两个三角形就是同一个（congruent）。
（1）若两个平行四边形内角相等，则被角平分的两条边也是平行的。
（2）若一个四边形中内角都相等，则它是个正方形。
（3）若ABC和A'B'C'两个三角形内角相等，则它们的角平分线必定平行。
（4）如果两个梯形的两个腰角相等，则2个梯形是相等的。
从上面，可以看出面面平行判定定理是一个非常强有力的定理。
它不仅可以判断两个
三角形是否是同体，还可以判断平行四边形、正方形、和梯形的关系。
线和平面平行的判定定理
线和平面平行的判定定理
1. 垂直平行线定理，如果一条直线和平面上的两条平行线垂直
相交，那么这条直线与该平面平行。
2. 平行线的截距定理，如果一条直线与两条平行线分别相交，
且这两个交点到两条平行线的距离相等，那么这条直线与这两条平
行线平行。
3. 平行线的倾斜定理，如果一条直线与两条平行线分别相交，
且这两个交点到两条平行线的距离之比相等于一个常数k，那么这
条直线与这两条平行线平行。
4. 平行线的夹角定理，如果一条直线与两条平行线分别相交，
那么这两个交点所成的两个内角互为对应角，即它们相等。
这些定理提供了判定线和平面是否平行的方法，通过这些定理
我们可以在几何问题中判断线和平面的平行关系，从而解决相关问题。
这些定理在实际问题中有着广泛的应用，例如在建筑设计、工
程测量和地理空间分析等领域都有着重要的作用。
通过深入理解和
灵活运用这些定理，我们可以更好地理解空间关系，解决实际问题。
线面平行的性质定理和判定定理
线面平行的性质定理和判定定理
面面平行的性质定理：
一、线线平行
1、同位角成正比两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所封盖，如果
内错角成正比，那么这两条直线平行。
2、内错角相等两直线平行：在同一平面内，两条直线被第三条直线所截，如果同旁
内角互补，那么这两条直线平行。
3、同旁内角优势互补两直线平行。
二、线面平行
1、利用定义：证明直线与平面并无公共点；
2、利用判定定理：从直线与直线平行得到直线与平面平行；
3、利用面面平行的性质：两个平面平行，则一个平面内的'直线必平行于另一个平面。
平行平面间的距离处处相等。
已知：α∥β，ab⊥α，dc⊥α，且a、d∈α，b、
c∈β求证：ab=cd证明：连接ad、bc由线面垂直的性质定理可知ab∥cd，那么ab和cd
构成了平面abcd∵平面abcd∩α=ad，平面abcd∩β=bc，且α∥β∴ad∥bc（定理2）
∴四边形abcd是平行四边形∴ab=cd。
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2、平行于同一个平面的两个平面平行。
问题1:若两个平面平行,则一个平面内的直线与另一个平面内的直线具有什么位置关系？
学生借助长方体模型思考、交流得出结论:异面或平行。
问题2:分别在两个平行平面内的两条直线满足什么条件时平行？(共面) 问题3:长方体中,平面ABCD 内哪些直线会与直线D B '
'平行？怎么样找到这些直线？
(平面ABCD 内的直线只要与D B ''共面即可)
(二)研探新知
例1、如图,已知平面α、β、γ满足b a ==γβγαβαI I ,,//,求证:a // b 。
证明:因为b a ==γβγαI I ,,所以βα⊂⊂b a ,,又因为βα//,所以a ,b 没有公共点,又因为a ,b 同在平面γ内,所以a // b 。
归纳(两个平面平行的性质定理)如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号语言:b a b a //,,//⇒==γβγαβαI I 。
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行。
课堂练习1:判断下列命题就是否正确。
(1)如果a ,b 就是两条直线,且a // b ,那么a 平行于经过b 的任何平面。
(2)如果直线a 与平面α满足a // α,那么a 与α内的任何直线平行。
(3)如果直线a ,b 与平面α满足a // α,b // α,那么a // b 。
(4)如果直线a ,b 与平面α满足a // b ,a // α,b α⊄,那么b // α。
例2、求证夹在两个平行平面间的平行线段相等。
已知:ββααβα∈∈∈∈D B C A CD AB ,,,,//,//,求
证:AB = CD 。
证明:因为AB // CD ,所以过AB 、CD 可作平面γ,且平面γ与平面α与β分别相交于AC 与B D,因为α // β,所以BD // AC ,因此,四边形ABDC 就是平行四边形,所以AB = CD 。
变式1:如图,α // β // γ,直线a 与b 分别交α ,β ,
γ于点A 、B 、C 与点D 、E 、F ,求证:EF
DE BC AB 。
例3:如图,ABCD 与BAFE 就是两个全等的正方形,点M 在AC
上,点N 在FB 上,AM =
FN ,求证:MN // 平面BCE 。
变式2:如图,P 为平行四边形
ABCD 所在平面外一点,M 、N 分
别就是AB 、PC 的中点,
平面PAD 平面PBC = l 。
(1)求证:BC // l ;
(2)MN 与平面PAD 就是否平行？试证明您的结论。
(三)课堂训练
1.平面α与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,则m,n 的位置关系就是( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.平行或异面
2.已知α∥β,a ⊂α,B ∈β,则在β内过点B 的所有直线中( )
A.不一定存在与a 平行的直线
B.只有两条与a 平行的直线
C.存在无数条与a 平行的直线
D.存在唯一一条与a 平行的直线
3、下列命题正确的就是( )
A 、两个平面有无数个公共点,则这两个平面重合
B 、若一个平面内有两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行
C 、若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行
D 、若两个平面平行,则其中的一个平面与另一个平面内的无数条直线平行
4、已知α∥β,AB 交α,β于A,B,CD 交α,β于C,D,AB ∩CD=S,SA=6,AB=9, SD=8,求CD 、
(四)归纳小结
1、平面与平面平行的几条性质:
(1)性质定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。