26.3-4二次函数的图像
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二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
上海教育版数学九上26.3《二次函数y=ax2+bx+c的图像》(第4课时)ppt课件
⑶ a，b决定对称轴的位置: b 抛物线对称轴是直线x =
2a
a，b同号,对称轴在y轴左侧； b=0,对称轴是y轴； a，b异号,对称轴在y轴右侧
6
练
习
1、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示， 根据图象信息你能得到关于系数 a ， b ， c 的一 些什么结论？
y
-1
.
.
1
x
y
x o D -3
y
x
-3
9
小
结
开口方向
当a > 0时，抛物线开口向上 当a < 0时，抛物线开口向下 直线
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
对称轴
顶点坐标
x =
b 2a
开口向上，顶点是最低点 开口向下，顶点是最高点
a＞0,开口向上，a＜0,开口向下 c＜0,图象与y轴交点在x轴下方 c＞0,图象与y轴交点在x轴上方 c =0,图象过原点 a，b同号,对称轴在y轴左侧； b=0,对称轴是y轴； a，b异号,对称轴在y轴右侧
4
思考与归纳
2 y ax bx c 的图象如图所示，则( 抛物线
)
A. a>0，b>0，c>0 C. a<0，b>0，c>0
B. a>0，b<0，c>0 D. a<0，b&
5
思考与归纳
⑴ a决定抛物线开口方向：a＞0,开口向上 a＜0,开口向下
⑵ c决定抛物线与y轴交点的位置： c＜0,图象与y轴交点在x轴下方 c＞0,图象与y轴交点在x轴上方 c =0,图象过原点
顶点坐标
a>0时，对称轴左侧部分是下降的，右侧部分是上升的 a<0时，对称轴左侧部分是上升的，右侧部分是下降的
2a
a，b同号,对称轴在y轴左侧； b=0,对称轴是y轴； a，b异号,对称轴在y轴右侧
6
练
习
1、已知函数y = ax2 +bx +c的图象如下图所示， 根据图象信息你能得到关于系数 a ， b ， c 的一 些什么结论？
y
-1
.
.
1
x
y
x o D -3
y
x
-3
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小
结
开口方向
当a > 0时，抛物线开口向上 当a < 0时，抛物线开口向下 直线
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4a
对称轴
顶点坐标
x =
b 2a
开口向上，顶点是最低点 开口向下，顶点是最高点
a＞0,开口向上，a＜0,开口向下 c＜0,图象与y轴交点在x轴下方 c＞0,图象与y轴交点在x轴上方 c =0,图象过原点 a，b同号,对称轴在y轴左侧； b=0,对称轴是y轴； a，b异号,对称轴在y轴右侧
4
思考与归纳
2 y ax bx c 的图象如图所示，则( 抛物线
)
A. a>0，b>0，c>0 C. a<0，b>0，c>0
B. a>0，b<0，c>0 D. a<0，b&
5
思考与归纳
⑴ a决定抛物线开口方向：a＞0,开口向上 a＜0,开口向下
⑵ c决定抛物线与y轴交点的位置： c＜0,图象与y轴交点在x轴下方 c＞0,图象与y轴交点在x轴上方 c =0,图象过原点
顶点坐标
a>0时，对称轴左侧部分是下降的，右侧部分是上升的 a<0时，对称轴左侧部分是上升的，右侧部分是下降的
二次函数的图像和性质PPT课件
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都
是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在
空中所经过的路线y .
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
y=x2
y
o
x
y=－x2的图像叫做抛物线y=－x2.
实际上,二次函数的图像 o
x
都是抛物线.
达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
下列哪些函数是二次函数？哪些是一次函数？
(1) y=3x-l (2) y=2x² (3) y=x²+6 (4) y=-3x²-2x+4
（1）一次函数的图象是一条__直__线_， (2) 通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线 (3) 二次函数的图象是什么形 状呢？
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1
2
3
4
5
x
图像.
请画函数y=－x2的图像 解:(1) 列表
(2) 描点
(3) 连线
根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点(x,y), 再用平滑曲线顺次连接 各点,就得到y=-x2的图
像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
二次函数的图像和性质PPT课 件
创设情境，导入新课
问题：
上面的图片都是二次函数的图片， 与我们生活密切相关
你们喜欢篮球吗？：投篮时，篮球运动的路 线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点 时的高度？
今天让我们来研究一下二次函数的图像 和性质吧
二次函数:
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函 数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表
二次函数二次函数及其图象二次函数
05
二次函数的求根公式 与判别式
求根公式与解的个数
求根公式
二次函数的一般形式为$ax^2+bx+c$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
解的个数
根据判别式的值，二次函数有两个解、一个解或无解。判别式$b^2-4ac$大于等于0时，函数有两个不同的实数 解；等于0时，函数有一个解；小于0时，函数没有实数解。
与坐标轴的交点
与x轴交点
二次函数与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0)，其中x1,x2为方程ax^2+bx+c=0的两个根。当方程有实 数解时，与x轴的交点存在；当方程无实数解时，与x轴的交点不存在。
与y轴交点
二次函数与y轴的交点坐标为(0,c)，其中c为常数项。
03
绘制二次函数的图象
直接绘制法
要点二
详细描述
通过观察二次函数的图像，可以发现其开口方向、对 称轴和顶点坐标，从而可以根据函数的图像特点，求 解与不等式相关的应用问题。例如，当函数的图像在x 轴上方时，可以得出对应的不等式成立；当函数的图 像在x轴下方时，可以得出对应的不等式不成立。
与方程相关的应用拓展
总结词
二次函数与方程的关系
详细描述
二次函数与方程之间存在密切的联系。通过观察二次函 数的图像，可以发现其开口方向、对称轴和顶点坐标， 从而可以用来求解一些与方程相关的应用问题。例如， 可以通过观察函数的图像来确定方程的根的个数和位置 ；也可以通过函数的图像来求解一些与方程相关的应用 拓展问题。
THANK YOU
•k
二次函数图像的顶点纵坐标
互为反函数的解析式
如果一个函数的反函数存在，那么函 数和它的反函数在同一直角坐标系中 的图像是关于直线 y = x 对称的。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质二次函数是数学中的一个重要概念，它在中学数学中占据着重要的地位。
本文将从二次函数的图像和性质两个方面进行论述，旨在帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用二次函数。
一、二次函数的图像二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a不等于0。
我们先来讨论二次函数的图像。
1. 开口方向二次函数的图像可以是开口向上的，也可以是开口向下的。
当a大于0时，二次函数的图像开口向上；当a小于0时，二次函数的图像开口向下。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1和g(x) = -x^2 + 2x + 1，它们的图像分别如下所示：（插入图片：开口向上和开口向下的二次函数图像）2. 对称轴和顶点二次函数的图像总是关于一个垂直于x轴的直线对称的。
这条直线称为二次函数的对称轴，它的方程可以通过求解二次函数的x坐标的平方项系数的相反数除以2倍的平方项系数得到。
对称轴上的点称为二次函数的顶点，它的横坐标和纵坐标可以通过代入对称轴的方程求解得到。
例如，考虑函数f(x) = -2x^2 + 4x - 1，它的对称轴方程为x = -b/2a = -4/(2*(-2))= 1。
代入对称轴方程可以求得顶点的坐标为(1, -3)。
3. 判别式和根的性质二次函数的判别式可以通过求解一元二次方程的判别式得到，它的表达式为Δ = b^2 - 4ac。
判别式的正负决定了二次函数的根的性质。
当判别式大于0时，二次函数有两个不相等的实根；当判别式等于0时，二次函数有两个相等的实根；当判别式小于0时，二次函数没有实根，但有两个共轭复根。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 2x + 1，它的判别式为Δ = (-2)^2 - 4*1*1 = 0。
由于判别式等于0，该二次函数有两个相等的实根x = 1。
二、二次函数的性质除了图像外，二次函数还有一些重要的性质，我们将在下面进行讨论。
1. 单调性和极值点二次函数的单调性是由二次函数的开口方向决定的。
二次函数的图像与性质ppt课件
函数的凹凸性
当a>0时，函数凹；当a<0时，函数凸。
函数的零点和方程
零点是方程y=0的解，方程求解可以用二次公式。
二次函数的应用
1
抛物线运动
抛物线可以描述物体在空中的轨迹，如
弹性系数
2
抛出物体的运动轨迹。
二次函数可以表示材料的弹性特性，如
描述力和变形的关系。
3
跳水成绩预测
通过二次函数建模，可以预测跳水运动
二次函数的图像与性质 ppt课件
通过本课件，你将深入了解二次函数的定义和表达式，并学习二次函数的图 像特征，如开口方向、对称轴、最值点和零点等。还将探究二次函数的性质， 如增减性、凹凸性、最值和零点方程。从抛物线运动到报价模型，掌握二次 函数的应用。最后，了解二次函数的变形与拓展，包括平移、缩放、翻转和 混合运用。同时，我们将解决常见错误和实际问题应用。
常见错误和解决方法
1 符号错误
检查符号的正确使用，特别是a的正负。
3 图像理解错误
注意开口方向、对称轴和最值点的判断。
2 方程解法错误
仔细检查求解方程是否正确，特别是二次方 程。
4 实际问题应用
将数学模型应用到实际问题时，需考虑问题 的实际情况并合理使用二次函数。
开口方向
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时， 抛物线开口向下。
最值点
最值点是抛物线的最高点（当a>0）或最 低点（当a<0）。最值点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
二次函数的性质
函数的增减性
当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调 递减。
函数的最值
最值主要由最值点确定，注意开口方向和a的值 来确定最值。
二次函数的图像及性质ppt课件
同一数值时，这两个
7
函数的函数值之间有
6
什么关系?反映在图
象上，相应的两个点
5
之间的位置又有什么 4
关系?
3
y 2x2 1
（0，1）
2 y 2x2
1
24
函数y＝2x2＋1和y＝2x2的图象有什么联系? 1、函数y＝2x2＋1与y＝2x2的图象开口方向、对称轴相同，
但顶点坐标不同，函数y＝ 2x2的图象的顶点坐标是(0，
6
y=2x²的图象有
5
什么关系？
4
y 2x2 1
3
（0，1）
2 y 2x2
1
23
x … –1.5 –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 … y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 … y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
问题1：当自变量x取
y 1 (x 2)2 y 1 (x 2)2
2
2
观察三条抛物线的相互关系,并分别指
出它们的开口方向,对称轴及顶点.
6
y 1 x 22
2
5
4
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
3
2
1
-8
-6
-4
-2 B
-1
2
4
6
37
在同一坐标系中作出下列二次函数:
y 1 x 2 y 1 (x 2)2
5
3、画函数图像的基本步骤是： 列表 、 描点 、 连线 。
6
7
1. y=ax2的函数图像
8
1、画函数y=x2的图像； 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质在我们学习数学的过程中，二次函数是一个非常重要的概念。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，在实际生活中，比如物理、经济等方面也经常能看到它的身影。
今天，咱们就来好好聊聊二次函数的图像与性质。
二次函数的一般形式是 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0）。
当 a ＞ 0 时，函数图像开口向上；当 a ＜ 0 时，函数图像开口向下。
这就好像一个碗，如果开口向上，就能往里装东西；开口向下，东西就容易掉出来。
先来说说二次函数图像的对称轴。
对称轴的方程是 x ＝ b ／ 2a 。
这条对称轴把二次函数的图像分成了两个对称的部分，就像镜子里的反射一样。
比如说，对于函数 y ＝ x² 2x ＋ 1 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，那么对称轴就是 x ＝（－2) ／（2×1) ＝ 1 。
接下来看看顶点。
顶点就是二次函数图像的最高点或者最低点。
当a ＞ 0 时，顶点是图像的最低点；当 a ＜ 0 时，顶点是图像的最高点。
顶点的坐标可以通过把对称轴的 x 值代入函数中求得。
还是以 y ＝ x²2x ＋ 1 为例，对称轴 x ＝ 1 ，把 x ＝ 1 代入函数，得到 y ＝ 1² 2×1 ＋1 ＝ 0 ，所以顶点坐标就是(1, 0) 。
再说说二次函数的截距。
当 x ＝ 0 时，y ＝ c ，这个 c 就是函数在y 轴上的截距。
比如函数 y ＝ 2x²＋ 3x 1 ，这里的 c ＝－1 ，也就是说函数图像与 y 轴的交点是(0, －1) 。
二次函数的图像还与判别式Δ ＝ b² 4ac 有着密切的关系。
如果Δ＞ 0 ，函数图像与 x 轴有两个交点；如果Δ ＝ 0 ，函数图像与 x 轴有一个交点；如果Δ ＜ 0 ，函数图像与 x 轴没有交点。
比如说，对于函数 y ＝ x² 2x 3 ，其中 a ＝ 1 ，b ＝－2 ，c ＝－3 ，那么Δ ＝（－2)² 4×1×（－3) ＝ 16 ＞ 0 ，所以函数图像与 x 轴有两个交点。
二次函数的图像与性质
06
二次函数与一元二次方程的关 系
一元二次方程的基本概念
1 2
一元二次方程的标准形式
ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是系数，且a≠0 。
判别式
Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程的实数根 的个数。
3
根的求解
通过配方或公式法求解，若Δ > 0，方程有两个 实数根，若Δ = 0，方程有一个实数根，若Δ < 0 ，方程没有实数根。
顶点式
表达式
$y = a(x - h)^{2} + k$
描述
顶点式表示二次函数的顶点坐标，其中$(h, k)$是顶点坐标，$a$是二次项系数。
焦点式
表达式
$y = a\sqrt{x^{2} + 2ax + b}$
描述
焦点式主要用于描述二次函数的 焦点位置和形状，其中$a$和$b$ 分别是二次项和一次项的系数。
05
二次函数的应用
求最值问题
定义
设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)，当a>0时，函数f(x)的图像是 一个开口向上的抛物线；当a<0时， 函数f(x)的图像是一个开口向下的抛物 线。
顶点
极值点
当a>0时，二次函数f(x)的图像在x=b/2a处取得最小值f(-b/2a)；当a<0 时，二次函数f(x)的图像在x=-b/2a处 取得最大值f(-b/2a)。
对称
二次函数图像的对称主要改变函数的单调性。如果一个二次函数图像关于y轴对 称，那么它的单调性将发生改变；如果一个二次函数图像关于x轴对称，那么它 的单调性不变。
04
二次函数的解析式
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_ 月_ _日 星期__ 第__周 课 教 目 重 难 题 学 标 点 点 26.3－4 二次函数 y ax2 bx c 的图像 课 型 新授 教 时 1
1．掌握二次函数 y ax2 bx c 的图像特征，并会运用图像特征确定抛物线 的对称轴、顶点坐标和变化情况. 2．体会数形结合和化归的数学思想. 二次函数 y ax2 bx c 的图像特征及运用. 二次函数 y ax2 bx c 的图像特征及运用. 多媒体课件
抛 物 线 y 2x 6x 4 ， 它 的 开 口 方 向 向 下 ， 顶 点 坐 标 是
2
（
3 17 3 , ） ，对称轴是直线 x . 2 2 2
问 3：还可以用什么方法求得对称轴和顶点坐标？ 解法二： 解
y 2x 2 6x 4
2 x 2 3 x 4
2 3 9 2 x 2 3 x 4 2 4
3 9 2 x 4 2 2 3 17 2 x 2 2
2
2
这个函数的图像是抛物线 y 2x 2 6x 4 ，它的开口方向向
对称轴在y轴的左边
对称轴在y轴的左边
a 0, b 0 2a
a 0,
a 0, b 0
b 0 2a
a 0, b 0
a、b同号 归纳：二次函数的对称轴如果在 y 轴的左边，那么 a、b 同号；二 次函数的对称轴如果在 y 轴的右边，那么 a、b 异号. 简称：“左同右异”
2
归纳理解抛物线的性 质
见它的变化情况如下： （1）a>0 时，抛物线在对称轴的左侧部分是下降的，在对称轴的 右侧部分是上升的； （2）a<0 时，抛物线在对称轴的左侧部分是上升的，在对称轴的 右侧部分是下降的.
观察归纳 问：由以上几道题目，二次函数的一般式 y ax2 bx c中二次项系数 a 和一次项系数 b 在什么情况下， 对称轴在 y 轴的左边或右边？
2
利 用 配 方 法 将
y ax2 bx c 化成
顶点式
y (ax 2 bx) c b a x2 x c a b b b2 a x 2 x ( )2 2 c a 2a 4a
2 b b2 a x 2 c 2a 4a
y ax2 bx c b 抛物线 y ax2 bx c （ a 0 ）的对称轴是直线 x ， （ a 0 ）的图像特征 2a
顶点坐标是（
b 4ac b 2 , ）. 当 a>0 时，抛物线开口向上， 2a 4a
顶点是抛物线的最低点；当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点是抛 物线的最高点. ( 二 ) 例题讲解： 例 7：指出二次函数 y 2x 6x 4 图像的开口方向、对称轴
教具准备
教 教师活动
一、复习旧知：
学
过
程 学生活动
复习旧知
问 1：顶点式 y a( x m )2 k 的图像有什么特征？ 对称轴：直线 x= -m； 顶点坐标： （－m，k）. 开口方向： （1）当 a>0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点； （2）当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 问 2:用配方法化顶点式的步骤是什么? • 一括（括二次项、一次项） • 二提(提取二次项系数) • 三配(配一次项系数一半的平方) • 四合(合成完全平方形式) • 五简(化简常数项). 化成顶点式很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 问 3： 对于二次函数 y ax2 bx c ，你能求出它的对称轴和 顶点坐标吗?如何求? 先将 y ax2 bx c 化成顶点式,再求出. 二、新课探索： (一)新课导入： 将 y ax bx c 化成顶点式
三、练习： P101/1－2 四、小结： 谈收获和注意点
a、b同号
完成练习
五、作业： 练习册：习题 26.3(4)
板书设计：
1．二次函数 y ax bx c 的图像特征
2
2. 例题解题格式
课后反思：
2
和顶点坐标，并画出这个函数的图像． 问 1：开口方向是什么？ 问 2：如何求对称轴和顶点坐标？ 解法一. 解：a=-2<0,b=-6,c=4
熟悉一般式的二次函 数的对称轴表达式和 顶点坐标
b 6 3 2a 2 2 2
2
4ac b 2 4 2 4 6 17 这个函数的图像是 4a 4 2 2
b b2 a x c 2a 4a b 4ac b 2 a( x )2 2a 4a
将 上 式 y a( x
2
b 2 4ac b 2 ) 2a 4a
和 y a( x m )2 k 作 比
较，它的对称轴和顶点坐标是什么？ 抛物线 y ax2 bx c （ a 0 ）的图像特征 ： 思考并归纳抛物线
下，顶点坐标是（
3 17 3 , ） ，对称轴是直线 x . 2 2 2
画抛物线 y 2x 2 6x 4 时，可先确定顶点的坐标，再画出 它的对称轴， 列表时要注意选取一些特殊的点.如与 y 轴的交点 （0， 4） ，然后利用轴对称性取它的对称点（－3，4）. 由对称性列表：
x
y 2x2 6x 4
„ „
3
4
5 2 13 2
3 2 17 2
1 2 13 2
0 „ 4 „
问 4：沿着 x 轴的正方向看，图像是上升还是下降的？ 问 5：当 a>0 时的抛物线的变化情况是什么（如下图）？ 归纳： 一般地，抛物线 y ax bx c ， 沿着 x 轴的正方向看，可
1．掌握二次函数 y ax2 bx c 的图像特征，并会运用图像特征确定抛物线 的对称轴、顶点坐标和变化情况. 2．体会数形结合和化归的数学思想. 二次函数 y ax2 bx c 的图像特征及运用. 二次函数 y ax2 bx c 的图像特征及运用. 多媒体课件
抛 物 线 y 2x 6x 4 ， 它 的 开 口 方 向 向 下 ， 顶 点 坐 标 是
2
（
3 17 3 , ） ，对称轴是直线 x . 2 2 2
问 3：还可以用什么方法求得对称轴和顶点坐标？ 解法二： 解
y 2x 2 6x 4
2 x 2 3 x 4
2 3 9 2 x 2 3 x 4 2 4
3 9 2 x 4 2 2 3 17 2 x 2 2
2
2
这个函数的图像是抛物线 y 2x 2 6x 4 ，它的开口方向向
对称轴在y轴的左边
对称轴在y轴的左边
a 0, b 0 2a
a 0,
a 0, b 0
b 0 2a
a 0, b 0
a、b同号 归纳：二次函数的对称轴如果在 y 轴的左边，那么 a、b 同号；二 次函数的对称轴如果在 y 轴的右边，那么 a、b 异号. 简称：“左同右异”
2
归纳理解抛物线的性 质
见它的变化情况如下： （1）a>0 时，抛物线在对称轴的左侧部分是下降的，在对称轴的 右侧部分是上升的； （2）a<0 时，抛物线在对称轴的左侧部分是上升的，在对称轴的 右侧部分是下降的.
观察归纳 问：由以上几道题目，二次函数的一般式 y ax2 bx c中二次项系数 a 和一次项系数 b 在什么情况下， 对称轴在 y 轴的左边或右边？
2
利 用 配 方 法 将
y ax2 bx c 化成
顶点式
y (ax 2 bx) c b a x2 x c a b b b2 a x 2 x ( )2 2 c a 2a 4a
2 b b2 a x 2 c 2a 4a
y ax2 bx c b 抛物线 y ax2 bx c （ a 0 ）的对称轴是直线 x ， （ a 0 ）的图像特征 2a
顶点坐标是（
b 4ac b 2 , ）. 当 a>0 时，抛物线开口向上， 2a 4a
顶点是抛物线的最低点；当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点是抛 物线的最高点. ( 二 ) 例题讲解： 例 7：指出二次函数 y 2x 6x 4 图像的开口方向、对称轴
教具准备
教 教师活动
一、复习旧知：
学
过
程 学生活动
复习旧知
问 1：顶点式 y a( x m )2 k 的图像有什么特征？ 对称轴：直线 x= -m； 顶点坐标： （－m，k）. 开口方向： （1）当 a>0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点； （2）当 a<0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 问 2:用配方法化顶点式的步骤是什么? • 一括（括二次项、一次项） • 二提(提取二次项系数) • 三配(配一次项系数一半的平方) • 四合(合成完全平方形式) • 五简(化简常数项). 化成顶点式很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标. 问 3： 对于二次函数 y ax2 bx c ，你能求出它的对称轴和 顶点坐标吗?如何求? 先将 y ax2 bx c 化成顶点式,再求出. 二、新课探索： (一)新课导入： 将 y ax bx c 化成顶点式
三、练习： P101/1－2 四、小结： 谈收获和注意点
a、b同号
完成练习
五、作业： 练习册：习题 26.3(4)
板书设计：
1．二次函数 y ax bx c 的图像特征
2
2. 例题解题格式
课后反思：
2
和顶点坐标，并画出这个函数的图像． 问 1：开口方向是什么？ 问 2：如何求对称轴和顶点坐标？ 解法一. 解：a=-2<0,b=-6,c=4
熟悉一般式的二次函 数的对称轴表达式和 顶点坐标
b 6 3 2a 2 2 2
2
4ac b 2 4 2 4 6 17 这个函数的图像是 4a 4 2 2
b b2 a x c 2a 4a b 4ac b 2 a( x )2 2a 4a
将 上 式 y a( x
2
b 2 4ac b 2 ) 2a 4a
和 y a( x m )2 k 作 比
较，它的对称轴和顶点坐标是什么？ 抛物线 y ax2 bx c （ a 0 ）的图像特征 ： 思考并归纳抛物线
下，顶点坐标是（
3 17 3 , ） ，对称轴是直线 x . 2 2 2
画抛物线 y 2x 2 6x 4 时，可先确定顶点的坐标，再画出 它的对称轴， 列表时要注意选取一些特殊的点.如与 y 轴的交点 （0， 4） ，然后利用轴对称性取它的对称点（－3，4）. 由对称性列表：
x
y 2x2 6x 4
„ „
3
4
5 2 13 2
3 2 17 2
1 2 13 2
0 „ 4 „
问 4：沿着 x 轴的正方向看，图像是上升还是下降的？ 问 5：当 a>0 时的抛物线的变化情况是什么（如下图）？ 归纳： 一般地，抛物线 y ax bx c ， 沿着 x 轴的正方向看，可