第十五章排队系统的分析-单服务台的模型
队列的应用——单服务台排队系统的模拟
队列的应用：单服务台排队系统的模拟一、三个模拟1.离散事件模拟系统在排队系统中，主要有两类事件：顾客的到达事件和服务完毕后顾客的离去事件，整个系统就是不断有到达事件和离开事件的发生，这些事件并不是连续发生的，因此这样的系统被称为离散事件模拟系统。
（1）事件处理过程如果服务员没空，就去队列中排队；否则就为这个顾客生成服务所需的时间t，表示服务员开始为它服务，所需的服务时间是t。
每当一个离开事件发生，就检查有没有顾客在排队，如果有顾客在排队，则让队头顾客离队，为它提供服务，如果没有顾客排队，则服务员可以休息。
（2）如何产生顾客到达事件和离开事件在一个排队系统中，顾客的到达时间和为每个顾客服务的时间并不一定是固定的。
但从统计上来看是服从一定的概率分布。
假设到达的间隔时间和服务时间都满足均匀分布，则可以用随机数产生器产生的随机数。
①以生成顾客到达事件为例子如顾客到达的间隔时间服从[a,b]之间的均匀分布，则可以生成一个[a,b]之间的随机数x，表示前一个顾客到达后，经过了x的时间后又有一个顾客到达。
[a,b]之间的随机数可以按照下面的过程产生：假如系统的随机数生成器生成的随机数是均匀分布在0到RAND_MAX之间，可以把0到RAND_MAX之间的区间等分成b-a+1个，当生成的随机数落在第一个区间，则表示生成的是a，当落在第二个区间，则表示生成的是a+1…当落在最后一个区间，则表示生成的是b。
这个转换可以用rand()*(b-a+1)/( RAND_MAX+1)+a实现，rand 表示系统的随机数生成函数。
2.离散的时间驱动模拟在得到了在x秒后有一个事件生成的信息时，并不真正需要让系统等待x秒再处理该事件。
在模拟系统中，一般不需要使用真实的精确事件，只要用一个时间单位即可，这个时间单位是嘀嗒tick，可以表示1秒，也可以表示1min\1h.沿着时间轴，模拟每一个嘀嗒中发生了什么事件并处理该事件。
模拟开始时时钟是0嘀嗒，随后每一步都把时钟加1嘀嗒，并检查这个时间内是否有事件发生，如果有，则处理并生成统计信息。
数学建模排队论模型
可以证明，顾客在系统中逗留时间服从参数为μλ的负指数分布。
(2)顾客在系统中的平均逗留时间
1
则顾客在系统中的平均等待时间
q1 1()
Little公式
L与, Lq 是衡,量q 排队系统质量的很重要的效率度量
上式称为LittleL 公 式。 L qq
表明系统中的顾客数，等于一个顾客在系
统时间L内来到的新的顾客数；
（三）Poisson流与指数分布
1.最简单流与Poisson过程
记随机过程｛x（t）：t≥0｝为时间［0，t］内流 (事件)发生的次数，例如对于随机到来某电话交换台 的呼叫，以x（t）表示该交换台在［0，t］这段时间 内收到呼叫的次数；若是服务机构，可以用x（t）表 示该机构在［0，t］时间内来到的顾客数。
p N ( t ) p N 1 ( t ) p N ( t )
即 满Pn (足t) 微分方程
pn (t)pn 1(t)( )pn(t)pn 1(t) p 0 (t) p 0(t)p 1(t) pN (t)pN 1(t)pN (t)
n1 ,2 , ,N 1
在稳态情况下， pn ，pn(t) ，pn则(t)0
服务规则
服 离去 务 机 构
排队系统
在排队论中，我们把要求服务的对象称为“顾 客”，而将从事服务的机构或人称为“服务台”。 在顾客到达服务台时，可能立即得到服务，也可 能要等待到可以利用服务台的时候为止。
排队系统中的“顾客”与“服务台”这两个名词 可以从不同的角度去理解。
排队系统
上、下班的工人乘公共汽车 病人到医院看病 高炮击退敌机
最简单流应 x(t):t具0有以下特征称
(1)流具有平衡性
对任何 a和0 0 t1 t,2 tn x ( a t i) x ( a ) ( 1 i n )
排队论之简单排队系统
1.//1/M M ∞排队系统//1/M M ∞排队系统是单服务台等待制排队模型,可描述为：假设顾客以Poisson 过程（具有速率λ）到达单服务员服务台，即相继到达时间间隔为独立的指数型随机变量，具有均值1λ，若服务员空闲，则直接接受服务，否则，顾客排队等待，服务完毕则该顾客离开系统，下一个排队中的顾客（若有）接受服务。
相继服务时间假定是独立的指数型随机变量，具有均值μ。
两个M 指的是相继到达的间隔时间和服务时间服从负指数分布，1指的是系统中只有一个服务台，∞指的是容量为无穷大，而且到达过程与服务过程是彼此独立的。
为分析之，我们首先确定极限概率0,1,2,n p n •••=，，为此，假定有无穷多房间，标号为 0,1,2,•••，并假设我们指导某人进入房间n （当有n 个顾客在系统中），则其状态转移框图如图所示。
图 //1/M M ∞排队系统状态转移速率框图由此，我们有状态 离开速率＝进入速率0 01p p λμ=,1n n ≥ ()11n n n p p p λμλμ-++=+解方程组，容易得到00,1,2,ii p p i λμ•••⎛⎫== ⎪⎝⎭，再根据0011()1n n n n p p p λμλμ∞∞=====-∑∑得到：01p λμ=-， ()(1),1nn p n λλμμ=-≥ 令/ρλμ=，则ρ称为系统的交通强度（traffic intensity ）。
值得注意的是这里要求1ρ<，因为若1ρ>，则0n p =，且系统中的人数随着时间的推移逐渐增多直至无穷，因此对大多数单服务排队系统，我们都假定1ρ<。
于是，在统计平衡的条件下（1ρ<），平均队长为,1,1j j L jp λρρμλρ∞====<--∑（5-52）由于a λλ=，根据式（5-2）、（5-3）以及上式，可得： 平均逗留时间为：1,1LW ρλμλ==<- （5-53） 平均等待时间为：1[],1()(1)Q W W E S W λρρμμμλμρ=-=-==<-- （5-54）平均等待队长为：22,1()1Q Q L W λρλρμμλρ===<-- （5-55）另外，根据队长分布易知，01ρρ=-也是系统空闲的概率，而ρ正是系统繁忙的概率。
排队理论模型课件
当系统状态S为有限集时，生灭过程的微分差分方
程组为
pn' (t p0' (t
) )
p n1 n1(t ) ( n 0 p0(t ) 1 p1(t )
n ) pn(t)
p n1 n1(t )
pk'
(t
)
p k 1 k 1(t )
k pk(t)
| n k
14
的Poisson过程即 N(t)～(t) 设M(t)为(0，t)内容去顾客数，则{M(t):t 0}是平均率为
的Poisson分布即 M(t)～(t) (2)X(t):时刻t系统中的顾客数
则
X (t) N(t) M(t)
L(t):时刻t排队等待顾客数
则
L(t) max{X (t) 1,0}
(2)消失(灭):在(t，t+△t)内，系统消失一个的概率的 nt 0(t); n 0 的常数，没有消失的概率为 1 nt 0(t); 消失多于一个以上的概率为0(△t)则称系统状态随时间而 变化的过程X(t)为一个生灭过程。
12
2.生灭过程微分差分方程组 设 pn(t) 表示系统在时刻t的状态X(t)=n的概率即
15
3.统计平衡下的极限解
实际应用中，关心的是 t 时，方程的解称为生
灭过程微分差分方程组的极限解。
令
p lim
t n(t )
pn
由pn' (t) 0
及(9.1)(9.2)式得当S为有限状
态集时，(9.1)式变为
n1 pn1 (n n ) pn p n1 n1 0 0 p0 1 p1 0 k1 pk1 k pk 0
当系统状态S为可数集时，生灭过程微分差分方程 组为
实验单服务台单队列排队系统仿真
实验单服务台单队列排队系统仿真简介实验单服务台是指在实验室或研究机构等地，为科学实验、研究项目提供相关服务的地方。
对于一个实验室来说，合理的排队系统可以提高实验员的工作效率，并且能够更好地管理实验项目。
本文将介绍一种基于单队列的排队系统仿真方法，通过模拟实验单的排队过程，评估实验室排队系统的性能，为实验室提供有效的管理建议。
目标本次排队系统仿真的目标是评估实验室中的排队系统性能，包括等待时间、队列长度等指标，以及不同服务台数量下的性能表现。
通过仿真实验，可以找出最优的服务台数量，从而提高实验室的工作效率，减少实验员的等待时间，提供更好的服务。
方法实验单生成在排队系统仿真中，需要生成一批实验单用于模拟实验员的需求。
实验单的生成可以根据实验室的实际情况和需求来设计，可以包括实验名称、实验员姓名、实验日期等信息。
生成一批实验单后，即可进行排队模拟实验。
单队列排队模型本文使用单队列排队模型来模拟实验室的排队系统。
模型中有一个服务台，实验员依次排队等待被服务。
当服务台空闲时，队列中的第一个实验员将被服务，其余实验员依次推进队列。
在模拟过程中，需要记录实验员进入队列的时间和离开队列的时间，以计算等待时间、队列长度等性能指标。
仿真实验仿真实验的过程可以分为以下几个步骤：1.生成实验单：根据实验室的实际情况，生成一批实验单。
2.初始化队列和服务台：将生成的实验单放入队列中，并初始化服务台的状态。
3.开始仿真：根据队列中实验员的情况，模拟实验员进入队列、离开队列以及服务台的状态变化。
记录实验员的等待时间，计算队列长度等性能指标。
4.评估实验结果：根据实验的性能指标，评估排队系统的表现，并分析不同服务台数量下的性能差异。
5.提出改进建议：根据实验结果，提出优化排队系统的建议，如增加服务台数量、调整队列管理策略等。
结果与分析通过对排队系统的仿真实验，可以得到一些重要的结果和分析：1.等待时间分布：通过模拟实验员的等待时间，可以得到等待时间的分布情况，从而评估实验室排队系统的性能。
排队论简要知识
例如，某排队问题为M／M／S／∞／ ∞/FCFS，则表示顾客到达间隔时间为负指数分 布(泊松流)；服务时间为负指数分布；有s(s>1) 个服务台；系统等待空间容量无限(等待制)； 顾客源无限，采用先到先服务规则。
某些情况下，排队问题仅用上述表达形式 中的前3个符号。例如，某排队问题为M／M／S，
如不特别说明则均理解为系统等待空间容量无 限；顾客源无限，先到先服务，单个服务的等 待制系统。
3、服务机构――单服务台，服务时间的长 短是随机的，服从相同的指数分布 。
2021/10/10
33
对于M／ M／1模型有如下公式：
P0 1
L 1
W 1
Pn n(1)
Lq(2 )12L
Wq ()
W
P(Nk)k1
例1 某医院急诊室同时只能诊治一个病人，诊
治时间服从指数分布，每个病人平均需要15分钟。 病人按泊松分布到达，平均每小时到达3人。试 对此排队队系统进行分析。
这是指服务台从队列中选取顾客进行 服务的顺序。一般可以分为损失制、等 待制和混合制等3大类。
(1)损失制。这是指如果顾客到达排队系
统时，所有服务台都被先到的顾客占用， 那么他们就自动离开系统永不再来。
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2．服务规则
(2)等待制 这是指当顾客来到系统时，所有服务台
都不空，顾客加入排队行列等待服务。等待制中，服务 台在选择顾客进行服务时常有如下四种规则： 1)先到先服务。按顾客到达的先后顺序对顾客进行服务。 2)后到先服务。 3)随机服务。即当服务台空闲时，不按照排队序列而随 意指定某个顾客接受服务。 4)优先权服务。
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各符号的意义:
单服务台排队模型
n
n
Pk 95% (1 ) k 1 n1 95%
k 0
k 0
n1 5%
解得 n 15.4 16
即至少为病人准备15个座位（正在取药的人除外）。
26
例8-3 某医院欲购一台X光机，现有四种可供选择的 机型。已知就诊者按泊松分布到达，到达率每小时4 人。四种机型的服务时间均服从指数分布，其不同机 型的固定费用C1，操作费C2，服务率µ见表。若每位 就诊者在系统中逗留所造成的损失费为每小时15元， 试确定选购哪一类机型可使综合费（固定费+操作费+ 逗留损失费）最低。
过程服从泊松分布，即顾客到达间隔时间服从负 指数分布； （2）排队规则――单队，且队长没有限制，先到先服 务； （3）服务机构――单服务台，服务时间的长短是随机 的，服从相同的负指数分布 。
17
排队系统的状态n随时间变化的过程称为生灭过程， 设平均到达率为λ,平均服务率为μ,负指数分布排队系统 （M/M/1/∞/∞）的生灭过程可用下面的状态转移图表 示：
40
解：3个M/M/1系统，
0.3人/ 分钟， 0.4人/ 分钟，
（3）每个系统的平均等待队长
Lq
2 ( )
0.09 0.4(0.4 0.3)
9 4
2.25
（4）每个系统的平均队长
L 0.3 （3 人） 0.4 0.3
41
解：3个M/M/1系统，
0.3人/ 分钟， 0.4人/ 分钟，
30
31
1、状态概率
C－1
P0＝ k＝0
k1！
k
＋
11
C！1－
C 1
C
Pn＝
n1！
n
1 C! C n－C
第十五章排队系统分析单服务台模型 30页PPT文档
顾客到达就能理发的概率 相当于理发店内没有顾客
P01 1 N111 (33//44)80.2778
等待顾客数的期望值
Ls1 (N 1 1 )N N 111 33 /4 /418 (3 (3 //44 )8 )82.11
LqLs(1P 0)2.1 1(10.27)7 18 .39 运筹学
Little公式（相互关系）
Ls Ws
Ws
Wq
1
Lq Wq
Ls
Lq
运筹学
例15-2：某医院手术室每小时就诊病人数和手术时间的 记录如下：
到达的病人数
n 0 1 2 3 4 5 6 以上 合计
出现次数
un 10 28 29 16 10
6 1 100
完成手术时间
r 0.0~0.2 0.2~0.4 0.4~0.6 0.6~0.8 0.8~1.0 1.0~1.2 1.2 以上
平衡方程：
pn 1 p0
n
P nP 1 0 P P n 11 0()P n0
n 0 n 1
求解：令: ，且当 1时
P P0 n 1 (1)n n1
运筹学
关于 的几点说明：
(1) (2)
合计
出现次数
vr 38 25 17 9 6 5 0 100 运筹学
解：2.1,2.5每小时病人平均到达率
到完达成的手病术人时数间
nr 0.0~00.2 0.2~10.4 0.4~20.6 0.6~30.8
出现次数
vur n 3180 2258 1279 19 6
nun 2.1（人/小时）
其中
Cn
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运筹学
状态转移图
0
1
. . . n-1
n
n+1 . . .
. . . Ｎ-1
Ｎ
运筹学
2 系统容量有限制的情形 (M/M/1/N/∞/FCFS）
状态转移方程
P1 P0 Pn1 Pn1 ( )Pn PN PN 1
n 0 n N -1
n N
运筹学
pn Cn p0 , n 1,2,...
0 1
运筹学
队列长
Lq (n 1)Pn nPn Pn
n0
n 1
n 1
Ls
2 1
运筹学
逗留时间: 可以证明, Ws服从参数为μλ的负指数分布. 则:
Ws
1
等待时间 Wq Ws W服务
Wq
Ws
1
运筹
Wq
Little公式（相互关系）
Ls Ws
1
Ws Wq
Lq Wq
Ls Lq
运筹学
例15-2：某医院手术室每小时就诊病人数和手术时间的 记录如下：
到达的病人数
n 0 1 2 3 4 5 6 以上 合计
出现次数
un 10 28 29 16 10 6
1 100
完成手术时间
r 0.0~0.2 0.2~0.4 0.4~0.6 0.6~0.8 0.8~1.0 1.0~1.2 1.2 以上
2.11
Lq Ls (1 P0 ) 2.11 (1 0.2778) 1.39
运筹学
求有效到达率 e （1 PN）或 e （1 P0） e 4(1 0.2778) 2.89 人/小时
顾客在理发馆内逗留的期望时间
Ws Ls / e 2.11/ 2.89 0.73 小时
43.8 分钟
运筹学
可能的顾客中有百分之几不等待就离 开，即求系统中有7个顾客的概率。
P7
(
)
1 / 1 ( / )8
(
3 4
)
13/ 4 1 (3/ 4)8
3.7%
2.1 5.25 2.5
4.41
Ws
1
Wq
运筹学
2 系统容量有限制的情形 (M/M/1/N/∞/FCFS）
系统的最大容量为N，排队等待的顾客最 多为N - 1，在某一时刻顾客到达时，如 果系统中已有Ｎ个顾客，那么这个顾客 就被拒绝进入系统。
当Ｎ＝1时，为即时制；
当Ｎ 时，容量无限制的情形。
队列长
N
运筹学
Lq (n 1)Pn Ls (1 P0 )
n1
逗留时间
有效到达率：e （1 PN）或 e （1 P0）
根据Little 公式
Ws
Ls
e
Ls
（1
P0）
Lq
（1
PN）
1
等待时间
1
Wq Ws
运筹学
例：单人理发馆排队问题 有6个椅子接待人们排队，超过6人顾 客就离开，平均到达率3人/小时，理发 需时平均15分钟。
Ｎ＝7为系统中的最大顾客数。
平均到达率， 平均服务率 ＝3人/小时，＝4人/小时。
运筹学
顾客到达就能理发的概率 相当于理发店内没有顾客
P0
1
1
N 1
1
1 3/ 4 (3 / 4)8
0.2778
等待顾客数的期望值
Ls
1
(N 1) N 1 N 1
1
1
3
/4 3/
4
8(3 / 1 (3
4)8 / 4)8
(3) 1 p0 ——服务强度
(4) 1, 即顾客平均到达率
小于顾客平均服务率时， 运筹学 系统才能达到统计平稳。
计算有关指标
队长
Ls nPn n(1 ) n
n0
n 1
( 2 2 3 3 ...) ( 2 2 3 ...)
2 3 ... 1
Ls
平衡方程：
pn 1 p0
n
PnP10
P1 0 Pn1 (
)Pn
0
n 0 n 1
求解：令 : ，且当 1 时
P0 Pn
1 (1 ) n
n 1
运筹学
关于 的几点说明：
(1) 顾客平均到达率 顾客平均服务率
(2) ••1系 服/ 统务 中台 至处一少于个有忙顾一的客个状服务顾态时客 的间的 概概 率率 ；； •1反/ 映 系统一繁个忙顾程客度到达。时间
其中
Cn
n 1 n2 ...0 n n1...1
pn 1 p0
n
pn Cn p0 , n 1,2,...
where
Cn
n 1 n2...0 n n1...1
n
n
N
pn 1 p0 p0 2 p0 n p 1 0 运筹学
n0
求解得 :
P1 P0 P2 2 P0
单服务台负指数分布排队系统分析
本节讨论输入过程服从Poisson过程，服务 时间服从负指数分布单服务台的排队系统，分 三种情况讨论： 1 M/M/1模型
2 M/M/1/N/ 模型(即系统的容量有限) 3 M/M/1/ /m 模型（即顾客源为有限）
运筹学
1 M/M/1模型
输入过程服从
顾客源 参数为 的
100 每次手术平均时间
rvr 0.（4 小时/人）
100
0.8~41.0
160
1.0~51.2
56
16.2以以上上 01
合计
100
每小时完成手术人数
（平均服务率）
1 2.5（人/小时）
0.4
运筹学
解： 2.1, 2.5
2.1
Ls 2.5 2.1 5.25
Lq
Ls
合计
出现次数
vr 38 25 17 9 6 5 0 100 运筹学
解： 2.1, 2.5每小时病人平均到达率
到完达成的手病术人时数间
nr 0.0~00.2 0.2~10.4 0.4~20.6 0.6~30.8
出现次数
vurn 3180 2258 1279 196
nun 2.1（人/小时）
...
PN N P0
P0 P1 ... PN 1
P0 P0 ... N P0 1
P0 (1 ... N ) 1
P0
1
N 1 1
1
运筹学
P0
1 1 N 1
Pn
1 1 N 1
n
计算有关指标
n 1,2,..., N
队长
Ls
N
nPn
n0
1
(N 1) N 1 1 N 1
Poisson过程
服务时间服从
生灭过程 参数为 的
负指数分布
排队系统
接受服务
无 限
排队结构
排队规则
服务 机构
服务规则
后离去
单队
队长无限
运筹学
先到先服务
状态转移图
0
1
. . . n-1
n
n+1 . . .
运筹学
p pn Cn p0 , n 1,2,...
n :系统达到平稳后，其系中统有Cnn个顾客nn1的nn概12.....率.1。0